内容心理学
实验心理学建立
一、科学背景
约翰内斯?缪勒、赫尔姆霍茨、海林在感官生理心理学方面的重大成果，韦伯、费希那
在心理物理学方面用实验法取得的突破性成果，不仅为实验心理学奠定了基础，而且也对冯特进一步建立实验心理学给以重要的启迪、借鉴和推动。有人比喻，科学心理学的产生，哲学是母亲，生理学是父亲，而生物学是媒人。
人差方程、脑机能的研究、神经心理学、感觉心理学、
二、冯特心理学的体系
内容心理学和民族心理学
三、心理学的研究方法实验内省法，客观测量，反应时和词语联想，心理产品分析法。
四、心理学的任务
1. 心理元素的分析感觉和情感，情感三维说，意志。
2. 经验的结合心理复合体：由心理元素结合成，由感觉组成的心理复合体称为观念，由感情组
成的心理复合体称为情绪，情绪导致意志。
联想的四种形式：融合、同化、合并、相继联想。统觉：把特定心理内容由意识的范围提升到注意焦点的过程，具有创造性综合的功能。心理复合的规律：创造性综合原则、心理关系原则、心理对比原则。
德国的其他内容心理学家
一、艾宾浩斯——遗忘曲线记忆研究对记忆做了定量研究。
创造了无意义音节来排除旧经验对识记的影响；用完全记忆法和节省法来测量记忆效果；对记忆保持和遗忘规律的发现；记忆保持与诵读次数的关系；重复学习和分配学习的规律；对联想开展了实验研究。
创造了填充测验。对社会心理学也有论述
二、格奥尔格?缪勒
研究内容对费希纳心理物理学的理论和方法做了修订与补充。对记忆的实验研究：整体学习比部分学习效果更好；提出了印象法；指出决心和心向对记忆的效果有很大影响；与舒曼一起发明了记忆鼓。
关于颜色视觉的研究。用复合说对抗完形心理学的理论
三、缪勒的学生
舒曼——与缪勒一起发明了记忆鼓；视觉的空间知觉；用注意解释完形现象。乔斯特——用无误的联想法得出Jost' s law。
卡茨——用经验来解释色觉的恒常性；提出三种颜色模式。鲁宾——把视觉结构分为图形和背景，设计了著名的两可图形。杨施——首先发现遗觉象，并且认为可以把它用来作为研究人格类型的一种方法。
意动心理学
一、布伦塔诺的意动心理学
1. 研究对象：以意动为内容，指意识的活动。内容属物理现象，意动才是心理现象。三种意动：表象的意动；判断的意动；爱憎的意动。
2. 研究方法
反省法：直接观察、审视和体验自己的意识领域，从呈现在意识领域内的现象中排除那些感性的、偶然的或虚假的东西，从而把握心理活动本质的东西，并用适当的表述将它们描述出来。
观察法，实验法。
二、斯顿夫的机能心理学（支持意动）
1. 研究对象一切科学的研究对象均为直接经验，分为四种：现象是现象学的研究对象；心理机能如
知觉活动、组合活动等是心理学的研究对象；经验之间的各种关系；内在的客观结构。所谓心理机能指包括着作用、状态、体验的一种名称。一方面包含着认识和情绪的机能，一方面还认为具有从未分化的机能到分化的机能的各种阶段。
机能和现象是不可分的而又各自独立存在于经验中。（心理机能具有整体性）
2. 音乐心理学和音学说：两个同时发生的音融合是一种整体的关系，是单一性的感觉现象。音融合既与注意、练习无关，也与声音本身无关，是高一级的神经特殊能力，称为特殊协力。
三、形质学派厄棱费尔、麦农
将意动心理学具体运用到形、形质问题的研究上，其形成依赖于意动，对格式塔心理学有直接的影响。在知觉理论上，是元素主义向格式塔过渡的桥梁
四、二重心理学
1、产生背景首先和意动心理学与内容心理学的对峙有关。屈尔佩为了解决这种对峙，便主张将意动
和内容结合起来；其次，和胡塞尔的影响有直接关系。胡认为，要认识寓于主体意识内的对象，主体必须发挥意动的作用，把意识的内容用括弧划出，进行现象学的还原。
2. 屈尔佩二重心理学的观点心理学研究的对象有两项：一为内容，一为机能，两者同属心理现象，
但有明显的区别：⑴内容和机能在经验中可以分离；⑵内容和机能可以各自独立变化；⑶内容和机能在性质上各不相同：内容稳定，易于实验分析；机能则变动不居，只能用经验反省进行研究；⑷内
容和机能都有性质和强度两种属性，但它们彼此间无内在联系；⑸内容和机能各有自己的规律。构造心理学
一、心理学背景
19 世纪末至20 世纪初冯特内容心理学与布伦塔诺意动心理学对立更加明显，在美国出
现构造心理学与机能心理学争论的情况下形成的。构造心理学与机能心理学作为相互对立的名称，是铁钦纳于1898 年在《构造心理学的基本公设》一文中利用詹姆斯的用语而提出来的。主张实验心理学应以分析心理的构造或结构为主要目的。他认为机能心理学虽然有用，但是它必须建立在构造心理学的基础上，好比生物科学的生理学要建立在形态学的基础上一样。
二、心理学的研究对象依赖于经验者的经验。
三、心理学的性质
心理学应该研究心理或意识内容本身，不应该研究其意义或功用。坚持心理学是一门纯科学。
机能心理学只是心理学的应用，必须建立在构造心理学的基础之上。
四、心理和生理的关系
心理过程和神经过程完全对应，但两者不互相干涉。神经过程不是心理过程产生的原因，而是心理过程发生的条件。
五、心理学的方法
采用实验内省法：向内的对意识经验的观察。与冯特的区别：在应用范围上推广到高级的心理过程如思维、想象等；在具体应用的过程上，对内省法规定了种种限制；反对冯特那种客观量化测量的方法。
六、心理学的任务
分析和说明心理过程构成的元素以及它们相互结合的方式和规律。
在心理学任务上与冯特的区别：在心理元素的数量上，主张有感觉、意象和感情三种元素；在心理元素的属性上，除性质和强度外，还有持久性、清晰性和广延性；在感情的向度上，认为只有愉快和不愉快两种类别；在注意和统觉上，用注意代替统觉，认为注意是一种
心理状态；在心理复合体的构成上，认为知觉和观念是两种不同的复杂经验。知觉的心理元
素是感觉，观念的心理元素是意象。
七、对机能心理学的评论
首先，认为机能心理学是新的经验心理学；其次，他认为机能心理学把意识现象和神经
系统视为彼此相应的机能系统是困难的；再次，他认为机能心理学是属于目的论心理学范畴；
最后，他认为机能心理学只不过是哲学的导言。
继承和发展了冯特实验心理学的主要思想，为其提供有效的方法和资料。
创建第一个从哲学中分化出来的心理学派。
从负面启发了机能主义、行为主义和完形主义，成为美国心理学发展的一种反作用力量。
机能心理学
欧洲：
达尔文进化论对心理学发展的贡献
1. 把心理看作是生物进化赋予人的一种技能，强调心理适应环境的作用，从而为机能心理学的产生
奠定了基础。
2. 强调从动物到人类心理进化与发展的连续性，从而直接促进了比较心理学和动物心理学
研究的开展。
3. 将个体变异作为心理发展的重要方面，从而促进了儿童与发展心理学、心理测量以及个体差异心
理学的研究。
美国
一、科学背景
达尔文的进化论
首先，强调有机体适应生活环境过程中心理的演化及心理的适应机能等问题其次，从“人猿同祖论”出发，承认人与动物在心理上具有连续性；最后，非常重视个体发展的研究，促进了儿童心理学和个别差异心理学的建立。高尔顿Galt on的个别差异研究
开创个别差异心理学；首创智力理论；创造一种数学统计的方法。
二、詹姆斯机能心理学思想
1. 心理适应观
主张心理学是一门自然科学，是生物对环境适应的科学。心理是生物进化赋予人对环境
适应的一种机能，并与外部世界同步发展和相互作用。意识的功用是指引有机体达到生存所
必须的目的。心理学的定义最好界说为关于意识状态的描述和解释。意识状态乃是指感觉、愿望、情绪、认识、推理、决心、意志，以及诸如此类的事件…包括关于它们的原因、条件和直接后果的研究。
2. 意识流说
意识不是割裂的片段和静止的状态，而是整体的经验和川流不息的历程。具有五个特点：意识是属于私人的；意识是常变的；意识是连续不断的；意识有它自身以外的对象，而意识又具有对这些对象认识的功能；意识是有选择性的。
3. 研究方法
内省法、实验法、比较法。
4.
本能论本能是一种趋向一定目的的、自动的、不学自会的动作能力或冲动行为。一切心
理起因都归结为本能冲动。
习惯论一一本能冲动因重复养成的习惯会发生偏爱，这种偏爱对人类生活和社会存在有积极
作用。
5?记忆理论
双重记忆理论；记忆的原因：保持能力是大脑构造的一般特性，除了依赖于个人脑的构
造外，还取决于特定的脑神经通路的运用。
6. 情绪理论
神经系统对外部刺激做出某种先天的或反射性的适应，而构成情绪的正是对这些变化的感知。
促进了情绪生理机制的大量研究和行为主义的产生
7. 自我理论
自我分为客体自我与主体自我；客体自我指一切一个人要呼之为我的或我的东西的总和也可叫被动的我，包括：物质的自我，社群的自我，精神的自我；主体自我指一个知晓一切的那个东西，具体就是一个人暂现的当事思想；自我情感、人格恒同之感等。
三、霍尔
1. 美国发展心理学的创始人
正常心理的发展是一系列的进化阶段，并以达尔文进化论的观点解释身体的成长和青春期心
理与其身体变化之间的关系
2. 是教育心理学的先驱
提出复演论：人类个体自幼稚到成熟的成长历程，正反映人类自原始到现代整个进化阶段的
重演。“未成熟期”是一个带有沿着某些方向发展的心理倾向的可塑时期，教育的有效作用就要看是否能充分利用这一可塑性，促进人的心理的正常发展。
3. 是精神分析在美国传播的有力支持者。
四、芝加哥的机能主义心理学
1. 杜威对芝加哥机能主义心理学的理论建树
(1)提供了基本概念和理论基础
1896年《心理学中的反射弧概念》是芝加哥学派诞生的标志。反对把心理分析为各个元素，反对把反射弧分析为刺激和反应，认为心理活动是一个连续的整体，反射弧也是一个连续的
整合的活动。
（2）把完整动作的机能确定为心理学的研究对象
心理、意识不是副现象，能使有机体进行适当的活动，而这种活动可使有机体生存和进步。
（3）认为人的活动与社会是一个整体，心理学不能脱离社会对人进行研究。
我们不能把行为和意识分解为两部分或元素，我们必须根据它们在使有机体适应环境方面的
作用来理解它们。
2?安吉尔
明确而系统地提出了机能心理学的主张
（1）认为心理学的研究对象是意识，但不只研究意识内容，主要研究心理操作，即心理过程是如何进行的
（2）认为心理学有两项研究任务：一为描述，二为解释
（3）认为心理学的科学性质是一门自然科学，而且是一门生物科学
（4）认为心理学搜集资料的方法有两种：内省法和客观观察法。
明确地提出机能主义与构造主义的三点区别p186
3?卡尔
（1）把心理活动如记忆、知觉、情感、想象、判断和意志等过程，确定为心理学的研究对象。心理活动的机能在于获得、确定、保持和评估经验，并利用经验来指导行为。这种以心理活动来
指导的行为，就是适应性行为。
适应性行为包括三部分：动机性刺激，指机体需要；激发刺激指环境；做出的反应。
（2 ）把心理活动看作是一种心理物理过程。因为它们不仅能被经验到，而且也是肉体有机体的一种反应，即直接同感官、肌肉和神经这样一些构造有关的动作。
（3）主张心理学要采用多种研究方法：内省法，客观观察法，实验法，活动产品研究法。
五、哥伦比亚的机能主义心理学
他们都没有树立鲜明的机能主义学派的旗帜，有着比较广泛和自由的研究方向，但是他们都
有美国机能主义的共同特点，因此也被称为广义的机能主义心理学。
1?卡特尔
（1）关于反应时的研究，通过对不同复杂程度的感知过程进行速度测定发现，刺激越强，反应时间就越短。
（2）关于个别差异和心理测验的研究，个别差异的研究是其他所有研究的中心。反应时、联想、知觉、阅读和等级排列法最后都归结到个别差异上来。首创了等级排列法。
（3 ）关于心理物理学的研究，用平均误差的大小来代替最小可觉差的大小。
（4 ）关于知觉和阅读过程的研究，
（5 ）关于联想的研究，证明控制联想快于自由联想
在测验时只是着重于测定能力及其变异的表现，而不去探究这些个别差异所涉及的意识内容或生理原因，为机能主义过渡到行为主义创造了条件
2?桑代克
（1 ）首先用实验法取代自然观察来研究动物心理，为动物心理的研究开辟新的道路。认为通过尝试错误偶然获得成功的行为就是动物的学习。
（2）创建了联结主义心理学
学习是联结的形成与巩固。行为的基本单元是联结，联结有两类：一类是先天的联结，
即本能；另一类是习得的联结，即习惯。单纯强调刺激与反应之间的联结，否认在动物联结形成中观念的作用。
（3）创建教育心理学。
他认为，人性的变化是通过学习进行的，不同个体的学习又是有差异的认为学习就是形成后天习得的联结，与武德沃斯共同研究学习迁移，提出了相同因素说，
为机能主义向行为主义过渡提供重要前提。
3?武德沃斯
（1）把人的全部活动作为心理学的研究对象，包括意识和行为
（2 ）提出动力心理学，强调动机和内驱力是人与动物行为决定因素的心理学。人的活动包括内驱力和机制。提出新的行为公式：S-O-R这对以后新行为主义产生明显的影响。行为主义（第一势力）背景
1. 自然科学背景
（1）生理学为行为主义提供了自然科学根据。
（2）俄国“生理学之父”谢切诺夫根据新的反射图式提出把心理学改造成为客观科学的纲领。
（3）巴甫洛夫创立了以条件反射为核心思想的高级神经活动学说。
（4）别赫切列夫针对主观心理学提出客观心理学思想。
2. 心理学背景
第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??
第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92
第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X，分布函数F(x)P(X x) 离散型随机变量X的概率分布用分布列p k P(X x)分布函数F(x)p k k 连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)分布函数 x F(x)f(t)dt 2．n维随机变量X(X1,X2,,X n) 其联合分布函数()(1,x,,x n)P(X x,X x,,X n x n,) F x F x 21122 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X E X x k p连续型随机变量X EX xf(x)dx k 方差：2() 2 2 DX E(X EX)EX EX反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量X,Y）：B XY E[(X EX)(Y EY)]E(XY)EX EY 相关系数（两个随机变量X,Y）： B XY XY若0，则称X,Y不相关。 DX DY 独立不相关0 itX ４．特征函数g(t)E(e)离散g(t)e连续g(t)e f x dx itx p itx() k k 重要性质：g(0)1，g(t)1，g(t)g(t)，k i k EX g(0) k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布P(X1)p,P(X0)q EX p DX pq 二项分布k k n k P(X k)C n p q EX np DX n p q k 泊松分布P(X k)e EX DX均匀分布略 k!
2正态分布N(a,) 2 (x a) 1 2 f(x)e EX a 2 2 D X2
指数分布f(x) e 0, x1 ,x0 EX x0 DX 1 2 ６．Ｎ维正态随机变量(X1,X,,X n) X的联合概率密度X~N(a,B) 2 f( 11 T1 x1,x,,x)exp{(x a)B(x a)} 2n n1 2 22 (2)|B| a(a1,a2,,a n)，x(x1,x2,,x n)，B(b ij)n n正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设 (,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t T，都有一个随机变量X与之对应， 则称随机变量族X(t,e),t T是(,P)上的随机过程。简记为X(t),t T。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规 律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当 t固定时，X(t,e)是随机变量。当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本 函数或轨道。 分类：根据参数集T和状态空间I是否可列，分四类。也可以根据X(t)之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳 过程等 。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程X(t),t T的一维分布，二维分布，?，n维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些 统计特征 来取代。 （１）均值函数 m X(t)EX(t)表示随机过程X(t),t T在时刻t的平均值。 （２）方差函数2 D X(t)E[X(t)m X(t)]表示随机过程在时刻t对均值的偏离程度。 （３）协方差函数B X (s,t)E[(X( E[X s) (s) m ( s ) ) (t) (s) m X m X (t) (t))] 且有 B(t,t)D(t) X X
应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
第一章 随机过程得基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1.随机变量, 分布函数 离散型随机变量得概率分布用分布列 分布函数 连续型随机变量得概率分布用概率密度 分布函数 2.n 维随机变量 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３.随机变量得数字特征 数学期望:离散型随机变量 连续型随机变量 方差: 反映随机变量取值得离散程度 协方差(两个随机变量): 相关系数(两个随机变量): 若,则称不相关。 独立不相关 ４.特征函数 离散 连续 重要性质:,,, ５.常见随机变量得分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布 均匀分布略 正态分布 指数分布 ６.Ｎ维正态随机变量得联合概率密度 )}()(2 1ex p{||)2(1 ),,,(121221a x B a x B x x x f T n n ---=-π ,,正定协方差阵 二.随机过程得基本概念 １.随机过程得一般定义 设就是概率空间,就是给定得参数集,若对每个,都有一个随机变量与之对应,则称随机变量族就是上得随机过程。简记为。 含义:随机过程就是随机现象得变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象得全部统计规律性。另一方面,它就是某种随机实验得结果,而实验出现得样本函数就是随机得。 当固定时,就是随机变量。当固定时,时普通函数,称为随机过程得一个样本函数或轨道。 分类:根据参数集与状态空间就是否可列,分四类。 也可以根据之间得概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等。 ２.随机过程得分布律与数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程得统计规律性。随机过程得一维分布,二维分布,…,维分布得全体称为有限维分布函数族。随机过程得有限维分布函数族就是随机过程概率特征得完整描述。在实际中,要知道随机过程得全部有限维分布函数族就是不可能得,因此用某些统计特征来取代。 (１)均值函数 表示随机过程在时刻得平均值。
概率论与随机过程考点总 结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞ ===0 )()(k k k k z p z E z g !) 0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ=EX λ=DX 均匀分布略 正态分布),(2σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2σ=DX 指数分布 ???<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21 λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X
1.2.1 通信系统的一般模型 1.2.3 数字通信的特点 (1) 抗干扰能力强，且噪声不积累 (2) 传输差错可控 (3) 便于处理、变换、存储，将来自不同信源的信号综合到一起传输 (4) 易于集成，使通信设备微型化，重量轻 (5) 易于加密处理，且保密性好 1.3.1 通信系统的分类 按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统 。调制传输系统又分为多种 调制，详见书中表1-1。 按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统 按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统 3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 方差： 相关函数 3.2.1 平稳随机过程的定义 （1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔τ 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 3.2.2 各态历经性 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。 3.2.4 平稳过程的功率谱密度 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 []∫∞∞?=dx t x xf t E ),()(1ξ} {2)]()([)]([t a t E t D ?=ξξ2121212212121),;,()] ()([),(dx dx t t x x f x x t t E t t R ∫∫ ∞∞?∞∞?==ξξ???==)()(τR R a a ∫∫ ∞ ∞?∞∞??==ω ωπτττωωτξωτξd e P R d e R P j j )(21)()()(
3.3.2 重要性质 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。 3.3.3 高斯随机变量 （1）f (x )对称于直线 x = a ，即 （2） 3.4 平稳随机过程通过线性系统 输出过程ξo (t )的均值: 输出过程ξo (t )的自相关函数： 输出过程ξo (t )的功率谱密度: 若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 3.5 窄带随机过程 若随机过程ξ(t )的谱密度集中在中心频率f c 附近相对窄的频带范围Δf 内，即满足Δf << f c 的条件，且 f c 远离零频率，则称该ξ(t )为窄带随机过程。 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声n (t ) 定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声 － 双边功率谱密度 － 单边功率谱密度 4.1 无线信道 电磁波的分类： 地波：频率 < 2 MHz ；距离：数百或数千千米 天波：频率：2 ~ 30 MHz ；一次反射距离：< 4000 km 视线传播：频率 > 30 MHz ；距离: 4.3.2 编码信道模型 P(0 / 0)和P(1 / 1) － 正确转移概率，P(1/ 0)和P(0 / 1) － 错误转移概率 P (0 / 0) = 1 – P (1 / 0) P (1 / 1) = 1 – P (0 / 1) 2)(0 n f P n =)(+∞<
第一章:预备知识 §1、1 概率空间 随机试验,样本空间记为Ω。 定义1、1 设Ω就是一个集合,F 就是Ω的某些子集组成的集合族。如果 (1)∈ΩF; (2)∈A 若F ,∈Ω=A A \则F; (3)若∈n A F , ，，21=n ,则 ∞=∈1n n A F; 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间,F 中的元素称为事件。 由定义易知: . 216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1、2 设(Ω,F )就是可测空间,P(·)就是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞ =∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（； ）（； 任意 则称P 就是()F ,Ω上的概率,(P F ，，Ω)称为概率空间,P(A)为事件A 的概率。 定义1、3 设(P F ，，Ω)就是概率空间,F G ?,如果对任意 G A A A n ∈,,,21 , ,2,1=n 有: (),1 1∏===???? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1、2 随机变量及其分布 随机变量X ,分布函数)(x F ,n 维随机变量或n 维随机向量,联合分布函 数,{}T t X t ∈,就是独立的。 §1、3随机变量的数字特征 定义1、7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,若?∞ ∞-∞<)(||x dF x ,则称 )(X E ＝?∞ ∞-)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差,()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差,而 DY DX B XY XY = ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 (Schwarz 不等式)若,,22∞<∞ 随机过程知识点汇总 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 ) (k k x X P p == 分 布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ= 其联合分布函数) ,,,,(),,,()(2211 2 1 n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤==ΛΛ 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随 机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 22 )() (EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的 离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）： EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）： DY DX B XY XY ?= ρ 若 0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ =EX λ =DX 均匀分布 略 正态分布),(2 σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2 σ=DX 指数分布 ?? ?<≥=-0, 00,)(x x e x f x λλ λ 1 = EX 2 1 λ = DX ６．Ｎ维正态随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ=的联合概率密度 ),(~B a N X )} ()(2 1 ex p{| |)2(1),,,(12 12 21a x B a x B x x x f T n n ---= -πΛ ) ,,,(21n a a a a Λ=，),,,(2 1 n x x x x Λ=，n n ij b B ?=)(正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设) , (P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每 个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量 概率论与随机过程考点 总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相 关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞ ===0 )()(k k k k z p z E z g !) 0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ=EX λ=DX 均匀分布略 正态分布),(2σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2σ=DX 指数分布 ???<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21 λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X T n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ?=)(正定协方差阵 3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数 连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 ３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差： 反映随机变量取值 的离散程度 协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。 若 XY DX DY 独立 不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数 离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ， ， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2 随机过程学习报告 通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。 一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别 泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目： 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。 分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。 解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。 则Y(t)=∑=) (0 )n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程， )()(υ?n X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6 )()t (υ?Y =)1)((t )1(-γ?λX e 由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。 E[X(n)]=4*1/6+3*1/3+2*1/3+1*1/6=5/2 E[）（n X 2 ]=16*1/6+9*1/3+4*1/3+1*1/6=43/6 则E[Y(t)]=λt*E[X(1)]=t*5; D[Y(t)]=λt*E[）（1X 2 ]=t*43/3; 则五周内定居到该地的人数数学期望为：5*5=25 方差为：5*43/3=215/3 第一章： 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布； 概率论与随机过程考点 总结 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞ ===0 )()(k k k k z p z E z g !) 0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ=EX λ=DX 均匀分布略 正态分布),(2σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2σ=DX 指数分布 ???<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21 λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程简史 院系：电气工程学院 班级： 11S0104 设计者：孙延博 学号： 11S001070 指导教师：田波平 设计时间： 2011-10-23 随机过程简史 摘要 本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法 和研究内容，在现代工程技术领域的应用。 关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列 1.随机过程的概念研究方法及研究内容 随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 2.随机过程的历史 1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。 Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。 1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。 随机过程知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k e k X P k λλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数? ∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 2 2 )()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1(p EX =pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)(np EX =npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -==λ=EX λ=DX 均匀分布略 第一章：预备知识 §1.1 概率空间 随机试验，样本空间记为Ω。 定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）∈ΩF ； （2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21 =n ，则 ∞ =∈1 n n A F ； 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。 由定义易知： . 216\,,)5)4(1 1 1 F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞=∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1 121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（；）（； 任意 则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。 定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ?，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ， ,2,1=n 有： (),1 1 ∏===??? ? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1.2 随机变量及其分布 随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数， {}T t X t ∈,是独立的。 §1.3随机变量的数字特征 定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若 ? ∞ ∞ -∞<)(||x dF x ，则称 )(X E ＝?∞ ∞ -)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DY DX B XY XY =ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 （Schwarz 不等式）若,,2 2 ∞<∞随机过程知识点汇总
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