高一数学北师大版必修一学案 2.2.1 函数概念
1．函数的概念
(1)义务教育阶段对函数的描述性概念
在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
(2)用集合与对应语言刻画的函数概念
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
破疑点函数概念的理解
函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，义务教育阶段函数的定义是从运动变化的观点出发，描述两个变量之间的制约关系的，高中阶段函数的定义是从集合的观点出发，对两个变量之间的对应关系加以说明．相比之下，义务教育阶段函数的定义更接近于生活，突出体现两个变量的相互依赖关系，高中阶段函数的定义更科学严谨，突出强调两个变量的取值及对应关系，也就是说高中阶段函数定义是初中阶段函数定义的发展．从高中阶段函数的定义可以看出，函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应．
(3)函数符号f(x)的意义
①符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应关系“f”形象地看作一个“暗箱”．例如f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m ＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.
②符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系f所施加的对象；f是对应关系，它常用一个解析式表示，但在某些问题中，对应关系不便用或不能用解析式来表示，这时，就必须采用其他方式，如图像、表格等；y是自变量x的函数，当x允许取某一具体数值时，相应的y值为与该自变量值相对应的函数值；y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
③f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
④在函数概念中，集合B不是函数的值域，值域是集合B的一个子集．
R R R R R
R
R
R
R
R
{x |x ≠0} {x
|x ≠
0} 44ac b y a -≥244ac b y y a -≤{y |y ≠0}
{y |y ≠0}
【例1－1】判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数？
(1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ； (4)A ＝{－1, 1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.
分析：判断一个对应是否为从一个集合到另一个集合的函数，只需判断按照对应关系，对于一个集合中的任何一个数，在另一个集合中是否都存在唯一确定的数与之对应．
解：(1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故此对应不是集合A 到集合B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系：f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故此对应是集合A 到集合B 的函数；
(3)集合A 中的负整数没有算术平方根，在集合B 中没有对应的元素，故此对应不是集合A 到集合B 的函数；
(4)对于集合A 中任意一个数，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故此对应是集合A 到集合B 的函数．
解技巧 非函数关系的判断
若在集合A 中存在元素，按照对应关系在集合B 中没有对应元素或存在一个以上的元素与之对应，则此对应不是从集合A 到集合B 的函数．
【例1－2】下列各式中，y 是x 的函数的是( )． ①y =
②y =
③y =④y 2＝x 2
A ．①②
B ．①②③
C．①②③④D．①③
解析：③中变量x的取值为?，故不是函数；④中变量x的一个值，可对应两个y值，故也不是函数．
答案：A
解技巧函数关系的判断
判断两个变量之间的关系式是否为函数，关键看两点，一是变量的取值是否为空集，若是，一定不是函数；二是每一个自变量是否对应唯一的函数值．
2．函数的三要素
(1)定义域
定义域是自变量x的取值范围，是构成函数的一个不可缺少的组成部分．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量允许的取值范围，如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义．
例如：函数y
x
=没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是{x|x≥－3，且x≠0}．又如：一矩形的宽为x，长是宽的2倍，其面积为S＝2x2，定义域为{x|x＞0}，而不是R.
(2)对应关系
函数符号“y＝f(x)”是数学中的抽象符号之一，对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”于不同形式的变量，如f(x)是对x实施“操作”，而f(x2)是对x2实施“操作”，f(2)是对2实施“操作”，f(a)是对a实施“操作”．
(3)值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定．
【例2－1】已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，写出下列各式的结果：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－2)＝________；
(3)f(x－1)＝________；
(4)f(2x)＝________.
解析：(1)(2)均是求当自变量x取某个具体值时，函数f(x)的值，只需将所给的自变量值代入函数的解析式，便可求出f(0)＝2×02－3×0＋1＝1，f(－2)＝2×(－2)2－3×(－2)＋1＝15；而(3)和(4)中是分别用x－1和2x去取代函数自变量，即占据了函数f(x)自变量的位置，所以只需把函数f(x)中的自变量x分别替换为x－1和2x即可，故f(x－1)＝2(x－1)2－3(x－1)＋1＝2x2－7x＋6，f(2x)＝2(2x)2－3(2x)＋1＝8x2－6x＋1.
答案：(1)1(2)15(3)2x2－7x＋6(4)8x2－6x＋1
【例2－2】已知函数
2
2
()
1
x
f x
x
=
+
，则f(a)＋
1
f
a
??
?
??
＝________.
解析：∵
2
2
()
1
a
f a
a
=
+
，
2
22
1
11
1
1
1
a
f
a a
a
??
?
????
==
?+
????
+ ?
??
，
∴
22
222
111 ()1
111
a a
f a f
a a a a
+
??
+=+==
?+++
??
.
答案：1
3．相同函数的判断
值域可以由定义域和对应关系唯一确定，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数．
析规律相同函数的理解
1．若两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相同．
2．若两个函数的对应关系不相同，则这两个函数不相同；即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应关系是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．
3．函数与自变量及因变量的表示符号无关．
4．判断给出解析式的两个函数是否为同一函数，一看定义域是否相同，二看化简后解析式是否相同．
【例3】下列四组函数中，表示同一个函数的是()．
A．f(x)＝x，g(x)＝2
B．f(x)＝x，g(x)
C．f(x)＝x＋2，g(x)＝
24
2 x
x
--
D．f(x)＝|x|，g(t)
解析：对于选项A，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝2的定义域为{x|x≥0}，两个函
数的定义域不相同；对于选项B，g(x)|x|，它与f(x)＝x的对应关系不相同；对于选
项C，g(x)＝
24
2
x
x
-
-
＝x＋2(x≠2)，它与f(x)＝x＋2的定义域不同；对于选项D，两个函数的
定义域均为R，且f(x)＝|x|与g(t)＝|t|对应关系也相同．
答案：D
解技巧判断函数f(x)与g(x)是否为相同函数的步骤
根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：①先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同．4．区间及其表示
(1)区间的概念
设a，b是两个实数，且a＜b.我们规定：
①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，表示为[a，b]；
②满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫作开区间，表示为(a，b)；
③满足不等式a≤x＜b和a＜x≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，分别表示为[a，
b)，(a，b]．
这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们还可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
(2)区间的几何表示
以上区间均可以在数轴上表示出来，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．我们要善于利用区间的“数轴
谈重点区间的理解
1．并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}，自然数集N，有理数集Q等都不能用区间表示．
2．区间符号内的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．
3．无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数，因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．
4．区间仍是集合，是一类特殊数集的另外一种符号语言．今后我们表示函数的定义域、值域时常用区间形式．
5．一般地，区间符号内的两个字母(或数字)，左边的字母(或数字)不大于右边的；否则，该区间为空集．
【例4－1】将下列集合用区间表示出来：
(1){x|x≥1}；(2){x|1＜x≤2}；(3){x|－1＜x＜1，或x≥2}．
解：(1)集合{x|x≥1}用区间可表示为[1，＋∞)；
(2)集合{x|1＜x≤2}用区间可表示为(1,2]；
(3)集合{x|－1＜x＜1，或x≥2}用区间可表示为(－1,1)∪[2，＋∞)．
解技巧用区间表示数集
用区间表示数集的关键是紧扣区间的规定，若遇到有两个不等式且中间用“或”连接的数集时，用区间表示时用“∪”连接两部分即可．以上区间用数轴可表示为
【例4－2】对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ?N }，设94A x x ??=≥-????
，
B ＝{x |x ＜0}，则B －A ＝( )．
A ．9,4?
?-∞- ??
? B ．9,4
??-∞- ??
?
C ．(0，＋∞)
D ．[0，＋∞)
解析：在数轴上画出集合A 和B ，根据定义可知B －A ＝{x |x ∈B ，且x ?A }， 观察数轴得B －A ＝94x x ???<-??????
，此集合用区间可表示为9,4??-∞-
???
.
答案：B
【例4－3】已知集合A ＝(－∞，1]，集合B ＝[a ，＋∞)，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
解析：集合A ，B 都是用区间表示的两个数集，在数轴上画出集合A 和B ，若满足A ∪B ＝R ，则实数a 落在1的左侧或与1重合，所以实数a 的取值范围是a ≤1.
答案：a ≤1
【例4－4】已知集合A ＝[1,4]，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围是(用区间表示)________．
解析：在数轴上画出集合A ，要使集合A 和B 满足A ?B ，实数a 只能落在4的右侧，所以实数a 的范围用区间可表示为(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
5．函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则
①当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合； ②当函数y ＝f (x )用图像给出时，函数的定义域是指图像在x 轴上的正投影所覆盖的实数x 的集合；
③当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数x 的范围； ④当函数y ＝f (x )是由实际问题给出时，函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
(2)由函数解析式求定义域的常用方法
①如果f (x )为整式，其定义域为实数集R ；
②如果f (x )为分式，其定义域是使分母不为0的实数x 的集合；
③如果f (x )是二次根式(偶次根式)，其实义域是使根号内的式子不小于0的实数x 的集
合；
④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数x的集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则其定义域应符合实际问题．
(3)由解析式求函数定义域的一般步骤
第一，列出使解析式有意义的自变量适合的不等式(组)；
第二，解不等式(组)；
第三，把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式．
(4)抽象函数的定义域求法
①函数f[φ(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
②已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知f[φ(x)]中φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围；
③已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f[φ(x)]中的x的取值范围为B，求出φ(x)的取值范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域；
④在同一对应法则f下的范围相同，即f(t)，f[φ(x)]，f[h(x)]三个函数中的t，φ(x)，h(x)的取值范围相同．
例如：若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则f(2x－1)的定义域是________．
∵f(x＋1)的定义域是[－2,3]，
∴－2≤x≤3.
∴－1≤x＋1≤4，即f(x)的定义域是[－1,4]．
又由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤5
2
，
∴f(2x－1)的定义域为
5 0,
2
??????
.
【例5－1】函数
1
()
2
f x
x
=
-
的定义域为()．
A．[－1,2)∪(2，＋∞)B．(－1，＋∞)
C．[－1,2) D．[－1，＋∞)
解析：当函数解析式给出时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各个部分都有
x＋1≥0，即x≥－1；要使
1
2x
-
有意
义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．
答案：A
析规律函数的定义域
求函数的定义域主要是通过解不等式(组)来获得．如果不加说明，函数的定义域就是使函数式有意义的自变量的取值集合．
【例5－2】(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；
(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(x)的定义域．
分析：正确理解函数定义域的意义是解抽象函数问题的关键，函数的定义域就是使函数有意义的自变量x的取值范围，而且在同一对应法则f下的范围相同．
解：(1)由0≤x2＋1≤1，得－1≤x2≤0，∴x＝0.
∴f (x 2＋1)的定义域为{0}．
(2)∵函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x ＜1， ∴－1≤2x －1＜1.∴f (x )的定义域为[－1,1)． 解技巧 抽象函数的定义域
1．已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域，一般设u ＝g (x )，则u 的取值范围就是f (x )的定义域，通过解不等式可求．
2．已知f [g (x )]的定义域为D ，求f (x )的定义域，就是求g (x )在D 上的值域． 【例5－3】求下列函数的定义域，并用区间表示．
(1)y =
(2)0
y =
(3)1
y x
=
+. 解：(1)
要使函数y =0,170,x x ≥??-≥?即0,
1
1,7
x ≥??
?≤??∴0≤x ≤17. 故此函数的定义域为107x x ??≤≤???
?，可用区间表示为10,7??
????.
(2)
要使函数0
y =10,||0,x x x +≠??->?即1,0,x x ≠-??
∴x ＜0，且x ≠－1.故此函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}，可用区间表示为(－∞，－1)∪(－1,0)．
(3)
要使函数1y x =+有意义，必须230,20,0,x x x +≥??
->??≠?即3,
2
2,0,
x x x ?
≥-??
?
∴32-≤x ＜2，且x ≠0.故此函数的定义域为32,02x x x ??
-≤<≠????
，可用区间表示为
3,02??
-????
∪(0,2)． 6．函数值域的求法
函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．
求函数值域的常用方法有：
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求
函数的值域；如求函数y =
x 2≥0及4－x 2≥0
∈[0,2]，故
所求的函数值域为[0,2]．
(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
如求函数212y x =
+的值域时，若令u ＝x 2＋2，则1y u =(u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0＜y ≤12，所以函数212y x =+的值域为10,2??
???
.
(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通
过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问
题．如求函数y ＝x
－3的值域，因为y ＝x
－3
＝2
1)＋2≥2，故所求的
值域为[2，＋∞)．
(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b
a ，
b ，
c ，
d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．
如求函数y ＝x
－＋3
t =(t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．
(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式
Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=++(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，
常用此方法求解．
(6)分离常数法：对于形如cx d y ax b +=
+的函数，可将其变形为h
y k ax b
=++的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．
【例6－1】函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( )． A ．[1,6] B ．[－3,1]
C ．[－3,6]
D ．[－3，＋∞)
解析：函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2
－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．
答案：C
【例6－2】函数f (x )
＝6的值域是( )． A ．(－∞，6] B ．(－∞，3] C ．(0,6] D ．(0,3] 解析：∵x 2≥0，∴x 2＋9≥9，
3≥，
∴63≤， ∴函数f (x )
＝6的值域为(－∞，3]． 答案：B
【例6－3】函数21
x
y x =
+的值域为________． 解析：∵22(1)22
2111x x y x x x +-===-+++， 又∵
2
01
x ≠+，∴y ≠2. ∴函数21
x
y x =+的值域为{y |y ≠2}．
答案：{y |y ≠2}
【例6－4】求下列函数的值域．
(1)2y x =
(2)223
1
x x y x -+=.
解：(1)t =，则t ≥0，x ＝t 2＋1，
∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2
115
248t ??-+ ???
.
∵该函数的对称轴为14t =，它在10,4??????
上是减少的，在1,4??
+∞????上是增加的，且当
14t =时，min 158
y =，
例如：求函数125x
y x -=+的值域．
由于177(25)112
222525225x x y x x x -++
-===-++++，因为72025
x ≠+，所以12y ≠-. 所以函数125x y x -=+的值域为1,2y y y ??
∈≠-???
?R 且.
析规律 分式型函数的值域
对于形如cx d y ax b +=+型函数，其值域为,c y y y a ??
∈≠???
?R 且. ∴该函数的值域是15,8??
+∞????
.
(2)由223
21
x x y x x -+=-+变形得(y －1)x 2＋(1－2y )x ＋y －3＝0，
当y ＝1时，x ＝－2； 当y ≠1时，∵x ∈R ，
∴Δ＝(1－2y )2－4(y －1)(y －3)≥0， 即12y ≥11，解得1112
y ≥
. 综上可知，该函数的值域为11,12??
+∞??
??
. 警误区 换元法求值域的注意事项
换元法通常用于无理函数，它是化无理式为有理式的有效方法．由于换元后，自变量的取值范围通常会发生变化，因此，注意新元的取值范围是正确求值域的关键．