例、如图，已知直线y＝kx与抛物线交于点A（3，6）．若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点0、A不重合），且满足∠BAO＝∠AOD．
（1）求B点的坐标；
（2）若D（n，0），∠DEB＝∠AOD，且符合条件的E点只有一个，求n．
1、如图，已知抛物线y＝＋2x＋8与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
2、已知抛物线y＝a—6ax＋5a与x轴交于A、B两点（A左、B右）。
（1）若抛物线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值；
（2）若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围。
（2）若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围。
例、如图，点P是直线l：y＝—2x—2上的点，过点P的另一条直线优交抛物线y＝于A、B两点．试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得P A＝AB成立。
1、已知二次函数y＝a（x2—6x＋8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴交x轴于M点，如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即
这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由。
2、如图，抛物线y＝a（x—1）2＋4 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，已知CD＝．在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值。
例、已知关于x的二次函数y＝x2—2mx＋m2＋m的图象与关于x的函数y＝kx＋1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）。
（1）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（2）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（2）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
1、如图，抛物线y＝—2x—3与坐标轴交于A、B、C三点，直线y＝kx—1与抛物线交于P、Q两点，
且y轴平分△CPQ的面积，求k的值。
2、（2006·武汉·中考）如图，已知抛物线y＝—4x＋3，过点D（0，
的直线与抛物线交于点M、N，
）
与x轴交于点E，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。
例、已知抛物线与x轴交A、B二点，与y轴交于点C，将直线l：向上平移，交抛物线于M、N（M点在N点右侧），MN交y轴正半轴于点T，，求直线l 的解析式．
1、如图，抛物线y＝过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当
时，求点E、F的坐标．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝＋4x—3与x轴的交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点，抛物线顶点为M将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后抛物线交x轴子点A′、B′，若2≤A′B′≤4，求M移动的最大距离。
3、如图，己知抛物线y＝＋3x＋6交y轴于A点，点C（4，k）在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于点从M、N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。
例、如图，抛物线：的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点．将抛物线向下平移与直线AB相交于C、D两点，若BC＋AD＝AB，求平移后的抛物线的解析式。
1、抛物线．经过原点，将直线l：向下平移n个单位，与抛物线交于EF两点，若∠EOF＝90°，求n的值。
2、如图，已知抛物线y＝＋2x＋3与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，与y轴交于点C．P为BC上的一个动点，过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点，若四边形BMCN的面积为12，求直线MN 的解析式。
例、已知：抛物线：y＝＋2ax—a的顶点为A，与y轴正半轴相交，将抛物线沿对称轴向上平移，得到抛物线，抛物线与y轴交于点N，顶点为M，AN交OM于E，若直线AN与抛物线有唯一公共点，试探究：点E与点N的纵坐标之间的数量关系，并说明理由．
1、已知抛物线：y＝x2—4x＋3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P在对称轴上，四边形OBPC 为直角梯形．将沿水平方向平移得，设顶点D（m，n）．当抛物线与原梯形OBPC只有两个交点，且有一个交点在线段PC上时，求m的取值范围。
2、如图，抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于B，延长AB至C，使BC＝2AB，将抛物线向左平移n个单位，使抛物线与线段AC总有两个交点，求n的取值范围．
3、如图，经过点A（0，—4）的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于B（—2，0），C两点，O为坐标原点．将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度，再向左平移m个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC内，求m的取值范围。
例、如图，已知抛物线y＝a＋bx＋c，顶点坐标为原点，且过（4，8），若A、B两点在抛物线上，且OA ⊥OB，AB交y轴于H点，求H点的坐标．
1、如图，抛物线的顶点为P，直线l交抛物线于A、B两点，交y轴于C点，AOC＝BOC，求直线l与y轴交点C的坐标．
2、如图，直线l：y＝mx—（m＞0）与抛物线y＝a有唯一公共点A，点D（0，4）．连AD交抛物线于B点，若，求m的值。
3、已知抛物线C1：y＝（x＋1）2—4的顶点为P，与x轴的交点为A、B（A左B右），将抛物线C1关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移．m个单位（m＞l），得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为Q．根据下列条件分别求m：
（1）如图1，若PQ正好被y轴平分，求m的值；
（2）如图2，若PQ经过坐标原点，求m的值．
例、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—2x—3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．直线x＝m（m＞0），直线x＝n（n＞0）（m＜n）分别交线段BC于N点、H点，交抛物线于M点、Q点，当NH∥MQ时，求m＋n的值．
1、已知抛物线C1：y＝x2—2的顶点为A，点B的坐标为（1，0），将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得抛物线C2 ，且顶点为P，与x轴负半轴交于M点，交射线AB于N点，NQ⊥x轴，当PN平分∠MNQ 时，求m．
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋1与y轴交于C点，与x轴交于两个不同点A，B，且A（1，0），直线y＝1与该图象交于C、D两点，线段BC、AD交于点P，＝S1 ，＝S2 ，当O＜a＜1时，求证S1—S2为常数．
3、如图，顶点为P（4，—4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，证明∠ANM＝∠
ONM。
例、如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（—1，m），B（n，n）在坐标平面上找点C，使以A、0、B、C为顶点的四边形是平行四边形．能否将抛物线平移后经过A，C两点，若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
1、已知：抛物线：y＝—4x＋3沿x轴平移得到抛物线。设的顶点为D，的顶点为E，抛物线
与交于M若△MDE为等腰直角三角形．求平移的距离。
2、如图，直线y＝x＋b经过点B（—，2），与x轴交于点A，抛物线：y＝沿x轴向右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为P．抛物线与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线对应的函数关系式。
3、如图，抛物线：，顶点为，直线l：y＝x—1与y轴交于B点，将沿方向平移n个单位得，且的顶点及与x轴的两个交点为顶点的三角形为正三角形，求n。
例、如图，抛物线：y＝—x2＋2x＋3分别交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线顶点为E，（1）过D（0，—1）的直线交抛物线于K。T两点（K在T左边），且KD＝DT，求此直线的解析式；（2）将抛物线向右平移m个单位，得抛物线，抛物线与x轴交于、（在B1的左边），抛物线与抛物线交于M点，若AM⊥M，求m的值．
1、已知抛物线C1：y＝—x2＋2mx＋n（m，n为常数，且m＞0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C1与抛物线C，关于y轴对称，其顶点为B，连接AC、BC、AB。抛物线C，上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
2、将抛物线：绕原点O逆时针旋转180°后再向下平移1个单位，得抛物线．现将抛物线向右平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线向左也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与直线y＝—1的交点从左到右依次为D，E．①如图1，当M、B、N三点共线时，求优的值；②如图2，在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
例、如图1，抛物线交z轴于A（—1，0）、B两点，交y轴于C（0，2）．将抛物线沿y轴平移交y轴于点D．
（1）当BD＝2CD时，求点D的坐标；
（2）如图2，若将抛物线沿直线x＝m翻折，使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点，且P、Q关于C 点对称，求m的值．
1、如图，抛物线y＝—2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线y＝x＋m交x轴于M 交y轴于N，将△MON沿直线MN折叠，得到△MPN，点P恰好落在第二象限的抛物线上，求m的值。
2、如图，直线经过点B（，2），抛物线：y＝沿x轴向右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为P．在抛物线平移过程中，将△P AB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点P的坐标；如不能，说明理由。
例、如图1，抛物线与x轴交于A、B，直线分别交x轴、y轴于D点和C点，抛物线的顶点E在直线CD上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线的顶点沿射线DE的方向平移得抛物线，抛物线交z轴于M、N两点（N在M左侧），且顶点为F点，tan∠FNM＝2，求抛物线的解析式；
（3）如图2，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），交y轴H点，且PH⊥CD，求抛物线平移的距离。
1、如图1，抛物线的顶点M在直线上，且与直线交y轴负半轴于点N．
（1）求抛物线的顶点M的坐标及a的值；
（2）将抛物线沿直线MN移动，设移动后的抛物线为，顶点为P，若抛物线交x轴于A、B两点（点A在B的左边），且△P AB的外心在△P AB的外部，求抛物线的顶点P横坐标的取值范围；
（3）如图2，作MN关于原点对称线段M'N'，抛物线沿射线MN队每秒个单位速度移动，得新抛物线，若与线段M'N'能产生公共点，求抛物线移动的时间t的取值范围．
2、已知：如图1，二次函数y＝a＋bx—3的图象交x轴负半轴于点A（—1，0），交z轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，顶点M的横坐标为1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）P是B点右侧抛物线上一点，Q是对称轴上一点，并且AQ⊥PQ，是否存在这样的点P，使得∠P AQ＝
∠AMQ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转180°得到抛物线，且交x轴于D，E两点，若∠BME＝45°，求R点的坐标．
3、已知抛物线，顶点为P，与y轴交于G点．
（1）若P（—1，4）、G（0，3），求的解析式；
（2）如图1，将（1）中的抛物线向下平移3个单位，然后向右平移m个单位，得新抛物线，顶点为A，与x轴交于C、D两点（C点在D点左侧），若P A⊥AC，求m；
（3）如图2，点E在上，过E点作EF//x轴交于F，抛物线，过P点，其顶点为E，作PN//x轴交与N点，且PN＝PF，求卜的值．
例、抛物线y＝＋x＋m的顶点在直线y＝x＋3上，过点F（—2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且P A?PB＝，求点M的坐标．
1、如图，抛物线y＝ax2＋c（a≠0）经过C（2，0），D（0，—1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，—2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
例、已知抛物线，点F（1，1）．
（1）求抛物线C1的顶点坐标；
（2）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：．（3）取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于Q（xQ，yQ）．试判断是否成立？请说明理由；
1、如图，抛物线的顶点坐标为D（1，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线，直线y＝x＋c，经过点D交y轴于点A，交抛物线于点B，抛物线的顶点为P，求△DBP的面积；
（3）如图2，在（2）中连结AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC＋EC）为定值.
例、如图，抛物线F：y＝ax2＋bx＋c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y＝a′x2＋b′x＋c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a＝1，b＝—2，c＝3时，求点C的坐标；
（2）若a、b、c满足了b2＝2ac。求b：b′的值；
（3）在（2）的条件下，探究四边形OABC的形状，并说明理由．
1、如图，抛物线，顶点为A，与y轴相交于C点．
（1）若点A（2，4），求C点坐标；
（2）若∠ACO＝150°，过A点作AN⊥x 轴，平移抛物线得抛物线，顶点为M正好在y轴上，∠NAM ＝15°，若OC ＝，求的解析式；
（3）抛物线，与x轴交于B、D两点，若AC⊥BD，求证：OD ＝．
例、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B，与y轴正半轴交于点C，A（—5，0），且OC＝5OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为P，点E 在抛物线上，求E点坐标；
（3）（3）如图（2）过点B作BG⊥x轴交直线AC于G，F（0，10），若将抛物线沿对称轴方向平移t个单位（沿向上为正，向下为负），使平移后抛物线与△F AG有两个公共点，求t的范围。
1、如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，—5），D（4，0）．
（1）求c，b（用含t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC 1、在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝
＋
的顶点A的坐标为（0，—1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
关于2010年天津中考数学二次函数考点解析 10年关于二次函数的考题整体看难度有所降低，能找到一定的思路，只是计算量大些 分值是16分。考查点：识图，获取信息，不同位置的x 取值所对应的函数值的特点。 识图：开口，对称轴（y 轴的左右），与x 交点（x 的正、负半轴、原点、交点个数），与y 轴 交点（y 轴的正负半轴）等。 （10）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；与x 轴两个交点；结论成立. ②0abc >；a ＞0，b ＜0（与a 左同右异），c ＜0 ③80a c +>；由12b a - =得，2b a =-， 由2x =-，y ＞0，得2(2)(2)(2)a a c -+--+＞0， 所以80a c +>成立。 ④930a b c ++<．由对称轴为1，与x 轴的左交点在-2—-1 之间，可确定与x 轴的右交点在3—4之间（图形直观法：对称轴左右距离相等；代数推导法：20022x a x x b -<<-，其中1a b x <<）。 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （16）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为 ．22y x x =+- 考点：待定系数法，解方程，信息的合理（优化）选择。都会做，也都能做（试题的背景公平，关注结果，更关注过程，解题的个性与通性），但怎样做的简捷体现的是个人的数学能力。 信息：顶点（12-，94-），与y 轴的交点（0，-2），与x 轴的一个交点（1，0）推得另一个 交点（-2，0）等。增减性：x 变大，y 变小，拐点（12-，9 4-），y 随x 的增大而增大。 能力：获取、选择、计算、读图表。 特征点：顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点。 第（10）
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ = ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ??-- ??? ，． [解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B ，，，， 86FB FA ∴==，． 图① 图②
10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷= ， ． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 3 5 GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+ ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴=??=+- ?? ?． 即2319 20105 S t t =- ++． 19 195323 210b a -=-=???- ??? ，且190103≤≤， ∴当19 3t = 时，S 有最大值． 此时476331 1051555 GP t OG t == =-=，， ∴点P 的坐标为7631155?? ??? ，． （8分） 方法二：当5t =时，1637922 OG OQ S OG OQ === = ，，． 设所求函数关系式为2 20S at bt =++． 抛物线过点()63102852?? ??? ，，，， 1001020286325520.2 a b a b ++=??∴?++=??，
求二次函数的解析式的几种方法 山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。 一、二次函数常见的三种表达式： （1）一般式：y ax bx c a =++≠2 0()； （2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点； （3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。 二、利用待定系数法求二次函数关系式 (1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。 例1、已知抛物线2 y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=??-+=-??=-? 解之得1, 4,3,a b c =-??=??=-? 所以抛物线为2 43;y x x =-+- 说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解． (2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，， ，则相当于方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而2 12()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为 12()()(0)y a x x x x a =--≠． 例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式． 解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-． 又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =． 因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即2 23y x x =--． 说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号． (3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0) 例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。 解：设所求解析式为y =a (x -h )2+k ， 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 1 9 a ∴= ∴()2 1219y x =+-即2145999 y x x =+-
25．（2018 14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（13分）（2017烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2016 12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF 交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）如图2，过点F作FM∥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN∥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 24.(2015 本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是
( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题 ?类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用 图4－ZT－1 1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________. 2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________． 3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”． (1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点． (2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式． 图4－ZT－2
?类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究 4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答． 5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点． (1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．
2 1.定义：一般地，如果 y ax bx c （a,b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数. 2 2. 二次函数 y ax 的性质 2 , b , 4ac b h ， k a 4a 6?抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 （2 ）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 二次函数必背知识点 冲刺中考 （1）抛物线 y ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2）函数y ax 2 的图像与a 的符号关系. ①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点; ②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3 ）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 2 y ax （ a 0）. 3. 二次函数 y ax bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4.二次函数y ax 2 bx c 用配方法可化成：y a h 2 k 的形式，其中 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 2 ax 2 ；② y ax k ； 2 2 ③ yaxh :④ yaxh k ； ax 2 bx c . ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时, 开口向上；当 0时，开口向下; ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线 x 0. 7.顶点决定抛物线的位置 ?几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y 2 ax bx c 2 b a x 2a 4ac b 2 4a ' 2 二顶点是（2a ‘誉），对称轴是直线 x b 2a 2 a x h k 的形式，得到
2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D .
3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1
中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，（ 的实数）其中正确的结论有（）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B （A）②④（B）①④（C）②③（D）①③ 3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）B A．0B．1C．2D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。下列结论正确的是（）D A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当x 中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质： 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 最新中考数学题链接二次函数 一、选择题 1. （2011甘肃兰州）抛物线2 21y x x =-+的顶点坐标是 A ．（1，0） B ．（－1，0） C ．（－2，1） D ．（2，－1） 2. （2011四川乐山）将抛物线2 y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 A ．2 (2)y x =-+ B ．2 2y x =-+ C ．2 (2)y x =-- D ．2 2y x =-- 3. （2011湖南永州）由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 二次函数 一、基础知识 1?定义:一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数. 2. 二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式? 3?二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y ax2（a 0）； ②y ax2 k ；（a 0） ③y a x h （a 0）顶点式）； ④y a x h 2 k ；（ a 0） ⑤y ax2 bx c ?它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线? 4?各种形式的二次函数的图像性质如下表： 1. 抛物线y ax2 bx c中的系数a,b,c （1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方 向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同?当a 0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当 a 0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. 在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧. 半轴；当c 0时，则相交于y 轴的负半轴. 2. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (3) 运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的 对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：y ax 2 bx c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：y ax h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 两点式：已知图像与x 轴的交点坐标X !、X 2，通常选用交点式：y a x X ! x x 2 . 4. 抛物线与x 轴的交点 设二次函数y ax 2 bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 X !、x ?，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来 判定： (1) b 2 4ac 0 抛物线与x 轴有两个交点； (2) b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当b 0时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴 (3) c 决定抛物线与y 轴交点位置：当c 0时, 抛物线经过原点；当c 0时,相交于y 轴的正 (1) 公式法:y ax 2 bx c b 2a 4ac b 2 4a b 4a c b 2 ，顶点是(2a ，4a )，对称轴是直线 (2) b 2a 配方法：运用配方的方法， 将抛物线 ax 2 bx c 的解析式化为y ax h 2 k 的形式，得 到顶点为(h,k),对称轴是直线x h.其中h 2 4ac b 4a 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ； 二次函数的图像和性质专项练习 1.抛物线y=x 2+3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．抛物线y=－b 2x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。 3．抛物线y=－21(2)2 x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 5．抛物线y=－21(2)2 x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。 6．如果函数y=x 232+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 7．化243y x x =++为y =a 2()x h -k +的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿ ＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。 8．抛物线y=2 4x x +－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。 9、抛物线()232 1-- =x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。 10、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。 11、函数 y ＝1 2 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。 12、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。 13、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 1x A y O 1x B y O 1x C y O 1x D y O 【BSD版春季课程初三数学】第7讲：二次函数的图像与性质2学案（学生版） 二次函数的图像与性质2 第7讲适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点 1.二次函数2yaxh的图像与性质 2.二次函数2yaxhk的图像与性质 3.二次函数2yaxbxc的图像与性质教学目标 1.掌握二次函数的图像与性质 2.掌握二次函数的平移问题教学重点能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题教学难点能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题 【教学建议】 【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有极其重要的地位，也是中考中的必考内容。在教学中要让学生亲自参与画图，感受抛物线是怎么样平移的，体会从一般到特殊，从简单到复杂的处理方式，领会数形结合思想，抓住其中的变与不变。时时处处从以下五个方面去观察函数图象理解函数性质开口方向和开口大小.对称轴.顶点坐标.最值.增减性。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难 1.左右平移的口诀。 2.一般式如何转换成顶点式。 3.利用抛物线的性质去解综合题。 【知识导图】 【知识导图】 二次函数的图像与性质2二次函数yax-h2的图象与性质二次函数yax-h2k的图象与性质二次函数yax2bxc的图象与性质概述教学过程 【教学建议】 【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数是方程和不等式的高级形式，也可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师需要帮助学生理清函数图象平移的来龙去脉，以及如何全面把握二次函数的性质。 二次函数yax-h2（a0）a的符号a0a0图象h0h0h0h0开口方向向上向下顶点坐标（h，0）顶点位置当h0时，顶点在y轴的左边；当h0时，顶点在y轴的右边对称轴直线xh增减性（1）在对称轴的左侧是下降的，即xh时，y随x的增大而减小；（2）在对中考数学 二次函数知识点总结
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