人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元 易错题难题测试综合卷检测试
题
一、选择题
1．下列说法正确的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂线段最短；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
⑤5的小数部分是51-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( )
A ．5±
B ．2-
C ．5
D ．5-
3．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ） A ．4m
B ．4m +4n
C ．4n
D ．4m ﹣4n
4．下列实数中是无理数的是（ ） A ．
B ．
C ．0.38
D ．
5．下列说法正确的是（ ）
A ．
1
4是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和
等于0
C ．27的平方根是7
D ．负数有一个平方根
6．15a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B 156 C ．815D 158 7．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ）
A ．1或﹣1
B ．-5或5
C ．11或7
D ．-11或﹣7
8．设42a ，小整数部分为b ，则1
a b
-的值为（ ） A ．2-
B 2
C ．212+
D ．212
-
9．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是()
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．10±，
二、填空题
11．观察下面两行数： 2，4，8，16，32，64…① 5，7，11，19，35，67…②
根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．
12．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________． 13．估计
512-与0.5的大小关系是：
51
2
-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．27的立方根为 ．
16．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2
a b b a ++
-=___________.
17．
1111111111112018201920182019202020182019202020182019?
???????--++----+ ??? ???????????________．
18．若x ＜0323x x ____________．
19．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________ 20．如果36a =
b 7的整数部分，那么ab =_______．
三、解答题
21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<332768______位数；
（2）由32768的个位上的数是8332768________，划去32768后面的三位数768得到32，因为3
3
3=27,4=64332768_____________
(3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：
3
327683-110592________=
22．观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的
个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; . 请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空：
（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2，
1
4
）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n
，4n
）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n 所以3x =4，即（3，4）=x ， 所以（3n ，4n ）=（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30) 24．观察以下一系列等式：
①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；③23﹣22=8﹣4=22；④_____：… （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：_____；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n 的式子表示第n 个等式：_____； （3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+ (2100)
25．已知：b 是立方根等于本身的负整数，且a 、b 满足(a+2b)2+|c+1
2
|=0，请回答下列问题：
（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a=_______，b=_______，c=_______．
（2）a 、b 、c 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C ，点D 是B 、C 之间的一个动点(不包括B 、C 两点)，其对应的数为m ，则化简|m+
1
2
|=________． （3）在（1）、（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点B 、点C 都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A 以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，请问：AB?AC 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB?AC 的值．
26．已知
2+a b
（1）求2a －3b 的平方根；
（2）解关于x 的方程2420ax b +-=．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根逐个判断即可．
【详解】
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②垂线段最短，故②正确；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，故③正确；
④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，故④正确；
2，故⑤错误；
即正确的个数是3个，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
首先根据平方根的定义求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b异号，由此即可求出a-b 的值．
【详解】
解：∵a2=4，b2=9，
∴a=±2，b=±3，
而ab＜0，
∴①当a＞0时，b＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5；
②a＜0时，b＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．C
解析：C
【分析】
根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.
【详解】
解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：
m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n
m，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0
m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m
所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．
【详解】
解: A、π是无限不循环小数，是无理数；
B、=2是整数，为有理数；
C、0.38为分数，属于有理数；
D. 为分数，属于有理数.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．
【详解】
A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；
B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；
C、72的平方根为±7，所以C选项错误；
D、负数没有平方根．
故选B．
【点睛】
本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作a a≥0）；0的平方根为0．
6．A
解析：A
先根据无理数的估算求出a 、b 的值，由此即可得． 【详解】
91516<<，
<<34<<，
3,3a b ∴==，
)
336a b ∴-=-
=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
7．A
解析：A 【分析】
根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x 与y 的值即可． 【详解】
解：∵|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0， ∴x=2或-2，y=3或-3， 当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1； 当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1， 故选：A ． 【点睛】
此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．D
解析：D 【详解】
解：∵1＜2＜4，∴1＜2， ∴﹣2＜
＜﹣1，∴2＜43， ∴a=2，b=
422=-2
∴12221
22a b -
==-=-
． 故选D ． 【点睛】
本题考查估算无理数的大小．
9．C
解析：C
根据立方根的定义，可以先设出这个数，然后列等式进行求解．
【详解】
设这个说为a，
a
，
∴3a=a，
∴a=0或±1，
故选C.
【点睛】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.
10．C
解析：C
【详解】
任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0，
故选C．
二、填空题
11．515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8
解析：515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，
故它们的和为256+259=515，
故答案为：515．
【点睛】
考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．
12．-5
【解析】
∵32<10<42, ∴的整数部分a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.
解析：-5 【解析】 ∵32<10<42,
a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.
13．> 【解析】
∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.
解析：> 【解析】
∵
1
0.52-=-=
20-> , ∴0> , ∴0.5> ,故答案为>.
14．0 【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
解析：0 【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
15．3 【解析】
找到立方等于27的数即可． 解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
解析：3 【解析】
找到立方等于27的数即可． 解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
16．【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0, |a+b|+=-a-b+b-a=-2a. 故答案为-2a.
点睛：根据，推广此时a 可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小 解析：2a -
【解析】
由数轴得，a +b <0,b-a >0,
=-a-b +b-a =-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据,0
,0a a a a a ≥?=?-
，推广此时a 可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝
对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 17．【分析】
设，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式
故答案为：. 【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：
1
2020
【分析】
设11
20182019m =
+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】
原式()111120202020m m m m ????
=-+
--- ? ?????
221202*********
m m m m m
m =-+
--++ 12020
=
故答案为：1
2020
. 【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设11
20182019
m =
+将式子进行合理变形是解题的关键. 18．0 【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案． 【详解】 解：∵x ＜0， ∴，
故答案为：0． 【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是
解析：0 【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案． 【详解】 解：∵x ＜0，
0x x =-+=， 故答案为：0． 【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．
19．36 【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案. 【详解】 解：观察，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数， 因此得到第三个数的
解析：36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
≈≈≈≈，
7.071
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
≈.
因此得到第三个数的估值扩大1022.36
故答案为22.36.
【点睛】
本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.
20．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
a==
6
<<
479
<<
<<23
∴的整数部分是2，即2
b=
ab=?=
则6212
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
三、解答题
21．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】
解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10100，
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴3040．
3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10100，
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴2030．
；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10100，
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴4050．
；
故答案为：24，-48．
【点睛】
此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
22．（1）7；2；27；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.
【详解】
(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，
故答案为：7，2，27；
(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；
验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；
先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.
【点睛】
本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.
23．（1）3，0，-2 (2) (4，30)
【解析】
分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.
详解：（1）∵33=27
∴（3，27）=3
∵50=1
∴（5，1）=1
∵2-2=1 4
∴（2，1
4
）=-2
（2）设（4，5）=x，（4，6）=y
则x45
=，y4=6
∴x y x y
44430
+=?=
∴（4，30）=x+y
∴(4，5)+(4，6)=(4，30)
点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.
24．24-23=16-8=23 24﹣23=16﹣8=23 2n﹣2（n﹣1）═2（n﹣1）
【解析】
试题分析：（1）根据已知规律写出④即可．
（2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性．
（3）写出前101个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．
试题解析：（1）根据已知等式：
①21-20=2-1=20；
②22-21=4-2=21；
③23-22=8-4=22；
得出以下：
④24-23=16-8=23，
（2）①21-20=2-1=20；
②22-21=4-2=21；
③23-22=8-4=22；
④24-23=16-8=23；
得出第n个等式：
2n-2（n-1）=2（n-1）；
证明：
2n-2（n-1），
=2（n-1）×（2-1），
=2（n-1）；
（3）根据规律：
21-20=2-1=20；
22-21=4-2=21；
23-22=8-4=22；
24-23=16-8=23；
…
2101-2100=2100；
将这些等式相加得：
20+21+22+23+ (2100)
=2101-20，
=2101-1．
∴20+21+22+23+…+2100=2101-1．
25．（1）2；-1；
1
2
-；（2）-m-
1
2
；（3）AB?AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB
－AC=1 2
【分析】
（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c 的值；
（2）根据题意，先求出m的取值范围，即可求出m+1
2
＜0，然后根据绝对值的性质去绝
对值即可；
（3）先分别求出运动前AB和AC，然后结合题意即可求出运动后AB和AC的长，求出AB?AC即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，
∴b=-1
∵(a+2b)2+|c+1
2
|=0，(a+2b)2≥0，|c+
1
2
|≥0
∴a+2b=0，c+1
2
=0
解得：a=2，c=
1 2 -
故答案为：2；-1；
1
2 -；
（2）∵b=-1，c=
1
2
-，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，点D是B、C之间的一个动
点(不包括B、C两点)，其对应的数为m，
∴-1＜m＜
1 2 -
∴m+1
2
＜0
∴|m+1
2
|= -m-
1
2
故答案为：-m-1
2
；
（3）运动前AB=2－（-1）=3，AC=2－（12-
）=52
由题意可知：运动后AB=3＋2t ＋t=3＋3t ，AC=52＋2t ＋t=5
2
＋3t ∴AB －AC=（3＋3t ）－（
52＋3t ）=1
2
∴AB?AC 的值不会随着时间t 的变化而改变，AB －AC=1
2
． 【点睛】
此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题，掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键．
26．（1）23a b -的平方根为4±；（2）3x =±． 【分析】
（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可； （2）先将a 、b 的值代入，再利用平方根的性质求解即可． 【详解】
（1）由相反数的定义得：20a b ++=
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：20
3120a b b +=??+=?
解得2
4a b =??=-?
则23223(4)41216a b -=?-?-=+= 故23a b -的平方根为4±；
（2）方程2420ax b +-=可化为2
24(4)20x +?--=
整理得22180x -=
29x =
解得3x =±． 【点睛】
本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．