六、机械能一、知识网络
αcos Fs W =)(α
1、功：
⑴功的概念：一个物体在力的作用下，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。这里特别强调：力和在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。
⑵功的公式：力对物体所做的功（W ）、等于力的大小（F ）、位移的大小（s ）、力的方向和位移方向间的夹角的余弦三者的乘积。
⑶功是标量：功是由力的大小和位移的大小确定的，它没有方向，是个标量，
⑷功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J 。1J 就1N 的力使物体在力的方向上发生1m 位移所做的功。
N m J 11=
（请注意千万不要把力矩的单位与功的单位相混淆） ⑸功的正负：当20πθ<≤时F 做正功，当2πθ=时F 不做功，当πθπ≤<2
时F 做负功。 ⑹什么叫克服阻力做功：
a. 力对物体做负功时，通常也可说成是物体．．
克服阻力做功。如刹车时摩擦力对汽车做负功，意味着汽车克服摩擦力做功；重力对竖直上抛物体做负功，意味着物体克服重力做功，计算物体克服某个力所做的功时，其值要取绝对值。
b. 另一种是外力．．
克服阻力做功。如我们把一个质量为m 的物体匀速举高时。我们必须用一个与物体所受到力G=mg 大小相等、方向相反的外力，克服重力做功，物体被举高为h 时，外力克服重力所做的功为W=mgh 。
⑺一对作用力和反作用力做功的特点：
①一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。 ②一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。
⑻关于摩擦力或介质阻力做功的特点：摩擦力做功的大小是摩擦力与所作用的物体 在力的方向上通过的路程，而非位移。
⑼在两个接触面上因相对滑动而产生的热量：Q=f 滑s 相对，其中f 滑为滑动摩擦力，s 相对为接触物的相对位移。
2、功率：
⑴功率的概念：功率是表示物体（施力物）做功快慢的物理量，表示了单位时间内，施力物做功的多少。是用功与完成这些功所用时间的比值表示。 ⑵功率的公式：t W P =
该式表示了在某一段时间t 内物体做功的平均功率。当力的方向和位移的方向一致
时，上式中的W=Fs ，则：v F t s F P ?=?=
重力的功率可表示为P G =mgv y ，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。
⑶功率的单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特。
概念
1瓦特=1焦耳/秒，符号：1W=1J/s
除了“瓦”这个单位以外，技术上常用“千瓦”（KW ）做功率的单位。
⑷公式P=Fv 中三个物理量的相依关系：
当力F 与物体运动方向相同时，P=Fv ，在功率一定的情况下，力越大，速度就越小，如汽车从平地开始上坡时，在保持发动机功率不变的条件下，需换档降低速度以增大牵引力。在力大小不变时，功率越大，速度越大，如在竖直方向上匀速吊起重物，起重机输出功率越大，起吊速度就越大。保持速度不变时，功率越大，力越大，如汽车从平路转入上坡时，要保持速度不变，就需要加大油门增大牵引功率以增大牵引力。
⑸注意区别P=t
W 、P=Fvcos α、P=Fv 三个公式的适用范围： 对P=t
W ，P 是时间t 内的平均功率；对P=Fvcos α，若v 是瞬时速度，P 是瞬时功率，若v 是平 均速度，P 是平均功率；对P=Fv ，F 与v 必须同方向，功率P 与速度对应，即瞬时速度对应瞬时 功率，平均速度对应平均功率。
⑹额定功率：任何一个动力机器，它的功率都是有一定的限制的，这就是该机器的额定功率，额定功率都要在铭牌上标明，机器工作时受额定功率的限制。而机器功率的发挥是可以人为控制的。如汽车可通过控制给油的多少（油门），确定功率的大小。但功率不管如何改变，功率的最大值是额定功率。
⑺关于机车的两种起动方式：⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P =Fv 和F-f = ma
①以额定功率起动：由公式P =Fv 和F-f=ma 知a= m
f v P -，由于P 恒定，随着v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加
速度不断减小的加速运动，直到F =f ，a =0，这时v 达到最大值
f P F P v m m m ==。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过
程发动机做的功只能用W =Pt 计算，不能用W =Fs 计算（因为F 为变力）。
②以加速度a 匀加速起动：由公式P =Fv 和F -f =ma 知，由于F 恒定，所以a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额定功率P m ，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为m m m m v f P F P v =<='，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F ?s 计算，不能用W=P ?t 计算（因为P 为变功率）。例题：解析： 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
例题：如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F 做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力；⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有
A.θcos FL
B.θsin FL
C.()θcos 1-FL
D.()θcos 1-mgL
解：⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解。F 做的功等于该过程克服重力做的功。选
D
v a
⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功。选B
⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B 、D
在第三种情况下，由θsin FL =()θcos 1-mgL ，可以得到2tan sin cos 1θθθ=-=mg F ，可见在摆角为2
θ时小球的速度最大。实际上，因为F 与mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。
例题：质量为2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v =36km/h 时的瞬时加速度是多大？
解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F 等于阻力f ，即P m =f v m ，而速度为v 时
的牵引力F =P m /v ，再利用F -f =ma ，可以求得这时的a=0.50m/s 2
3、功和能：
⑴能的最基本性质：能就是指能量，如果物体能够做功，就说这个物体。如水流的机械能，带动水轮机发电，这是机械能转化为电能；电动机能电后，把电能转变成机械能；大力发电是把热能转化成电能，电热取暖则又是把电能转化成热能；这些现象都告诉了我们各种不同形式的能是可以互相转化的，而且在转化过程中，能的总量是守恒的。这就是能的最基本性质。
⑵功和能的关系：功是能量转化的量度
①做功的过程就是能的转化过程，能的转化是通过做功来实现的。
②做多少功就有多少能量发生转化(用功的数值来量度能量转化的多少)
4、动能：
⑴动能：物体由于运动而具有的能量。
一个物体由静止开始运动，必须受有外力的作用，那么这个外力做了多少功，就表示了有多少其它形式能量转化为物体的动能了。我们利用这个办法可求出物体的动能。
⑵动能公式的推导：在光滑的水平面上有一个质量为m 的静止物体，在水平恒力作用下开始运动，经过一段位移S ，达到速度为υ。在此过程中：
外力做功W=Fs
物体的动能E K
功是能量转化的量度
∴ E K = W=Fs
a S as ma F 22;
22υυ=∴==而 22
2
12υυm a ma E k =?=则． ⑶动能公式：221
mv E k = 即物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半。
⑷动能是标量，在国际单位制中，动能的单位是焦耳（J ）。
⑸关于物体动能的变化：
①速度υ是一个描述物体运动状态的物理量，动能22
1υm E k =也是一个描述物体运动状态的物理量。速度变化时，动能不一定变化。如物体做圆周运动时，虽然速度在变化，但动能是恒量。可是动能变化时，速度一定发生变化。如物体做自由落体运动，物体动能变化，其运动速度也在变化。
②物体在一直线上运动时，其速度有正、负之分（表示方向），但物体的动能却永远是正值。可是动能的变化量可以有正负。
动能的变化量表示了运动物体的终了状态的动能)(2k E 减去其初始状态的动能)(1k E 。 如汽车加速运动，12k k E E >，则动能变化量为正值。
若汽车做减速运动，即12k k E E <，则其动能变化量为负值。
③物体动能的变化是与外力做功有关的，这个“功”，指的是合外力做的功，或合功。如果以动力做功为主，则物体动能变化量为正。若以阻力做功为主，则物体动能变化量为负。
5、势能：
⑴势能的概念：相互作用的物体间，由其相对位置所决定的能量。
⑵势能和种类：有重力势能和弹性势能等。
重力势能：地球与地球附近的物体之间由于重力的作用而是有的势能。
弹性势能：物体发生弹性形变时，由于其各部分间存在弹力的相互作用的是有的势能。 ⑶重力势能：公式E p =mgh
①表示物体的重力势能等于物体的质量、重力加速度和它所处的高度三者的乘积。 ②根据功是能量转化的量度，也可以看做是外力把物体举高了h ，外力做功W=mgh 全转化成物体的重力势能，即E p =mgh 。
③重力势能是标量。在国际单位制中，它的单位跟功的单位相同：焦耳（J ）。
④公式中h 的含义要特别注意：
重力势能公式E p =mgh 中的h 表示高度，用来表示物体所在的位置，是个状态量，是由规定的高度零点（如地面）开始量度的，向上为正；而自由落体公式 221
gt h =中的h 表示
自由下落物体的位移，是个过程量，是由起始位置开始量度的，向下为正，二者不能混为一谈。
⑤重力做功的特点：
重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动路径无关。
⑥重力做功和重力势能的变化：重力做正功,势能减少；重力做负功，势能增加。重力做多少功，就改变多少重力势能。其数学表示式为W G =－△p E ＝1p E －2p E ，式中1p E 、2p E 分别表示初态和终态的重力势能。
a 重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即重力做多少功，重力势能就改变多少．
b 重力做功只跟初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关，即W G =mg △h 。
⑷弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能叫弹性势能。弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。
⑸势能是相互作用的物体由相对位置而决定的一种能量。离开物体间的相互作用也就无所谓势能。因此势能只能属于系统，说某个物体具有多少势能，显然是一种简略的说法。
例题：如图所示，劲度系数为K 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1、m 2
的物体1、 2拴接，劲度系数为K 2 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下
端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢
地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了，物块1的重力势能增加了。
解析：该题难度较大，在方法的选用上应注意借助整体法和隔离法辅助求解．在求解m1上升高度时，要找准m1相对水平面的高度变化，不要漏加m2上升高度；考虑k1的变化时不要忽略弹簧k2的变化．很容易考虑不全面，顾此失彼．可做如下分析：下面弹簧受到压力
大小为(m
1+m
2
)g，压缩量?x2=
()
2
2
1
k
g
m
m+, 要使其离开桌面，m
2
应上升高度?x
2
,则增加
的重力势能为?E
2
P ＝m
2
g?x
2
=
()
2
2
2
1
2
k
g
m
m
m+, 对弹簧k
1
拉起的过程中，k1是由压缩状
态转为拉伸状态，压缩的长度?x
1=
1
1
k
g
m,当k
2
离开桌面时，k
1
伸长了?x
1
/=
2
1
k
g
m，则
上面物体能上升的高度为?x
1+?x1/+?x2＝(m1+m2)g(
1
1
k
+
2
1
k
),所以m
1
增加的重力势能
为?E
1p = m
1
(m
1
+m
2
)(
1
1
k
+
2
1
k
)g2.
1、动能定理
⑴动能定理的表述
合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔE K
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。
⑵注意：①不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立；
②对变力做功，应用动能定理要更方便、更迅捷。
③动能为标量，但ΔE k=E k2-E k1仍有正负，分别表动能的增减。
⑶应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。
②对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。
③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
④写出物体的初、末动能。
⑤按照动能定理列式求解。
例题：如图所示，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。质量为m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。
规律
解析：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgL sin α，摩擦力做的功为αμcos 32m gL -，支持力不做功。初、末动能均为零。 mgL sin ααμcos 32m gL -=0，αμtan 23= 从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不
同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。
例题：将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v 。
解析：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理： 2021mv mgH =和()20218.0mv H f mg =+，可得H=v 02/2g ，mg f 41= 再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：22021218.02mv mv H f -=
??，解得05
3v v = 从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。
例题： 质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m 。质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速度水平射向木块，
并以v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。
解析：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：
子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2， 有：2221212
1Mv Mv MgL -=μ……② 木块离开台面后的平抛阶段，g h v s 22
=……③ 由①、②、③可得μ=0.50
从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。 从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。 例题：如图所示，小球以大小为v 0的初速度由A 端向右运动，到B 端时的速度减小为v B ；若以同样大小的初速度由B 端向左运动，到A 端时的速度减小为v A 。已知小球运动过程中始
终未离开该粗糙轨道。比较v A 、v B 的大小，结论是 A.v A >v B B.v A =v B C.v A v / R m v m g N 2 =-可知，对应的弹力N 一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通过凸起D 时的速率比向左通过凸起D 时的速率小，由向心力方程R m v N m g 2 =-可知，对应的弹力N 一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右运动全过程克服阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A 。 2、机械能守恒定律 ⑴机械能守恒定律的两种表述 ①在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 ②如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。 ⑵对机械能守恒定律的理解： ①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v ，也是相对于地面的速度。 ②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。 ③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。 ⑶机械能守恒定律的各种表达形式 ①222 121v m h mg mv mgh '+'=+，即k p k p E E E E '+'=+； ②0=?+?k P E E ；021=?+?E E ；减增E E ?=? 用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE 增=ΔE 减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。 ⑷解题步骤 ①确定研究对象和研究过程。 ②判断机械能是否守恒。 ③选定一种表达式，列式求解。 例题： 如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？ 解析：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩 擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知： 斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。 有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守 恒。这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块 的弹力N 和物块的实际位移s 的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。⑵由于水 平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块 的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。 例题：如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。AO 、BO 的长分别为2L 和L 。开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求： ⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开 始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。 解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻 力，所以该系统的机械能守恒。 ⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。2 22321221322?? ? ???+??+?=?v m v m L mg L mg ，解得118gL v = ⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。2mg ?2L cos α=3mg ?L (1+sin α)，此式可化简为4cos α-3sin α=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16° ⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，()2232 12221v m v m ??+??=2mg ?2L sin θ-3mg ?L (1-cos θ) =mgL (4sin θ+3cos θ-3)≤2mg ?L ，解得11 4gL v m = ⑴ ⑵ 本题如果用E P +E K = E P /+E K /这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦 琐。用ΔE 增=ΔE 减就要简洁得多。 例题： 如图所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。开始时阀门K 闭合，左右支管内水面高度差为L 。打开阀门K 后，左右水面刚好相平时左 管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计） 解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左 右支管水面相平为止，相当于有长L /2的水柱由左管移到右管。系统的重 力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L /2 的水柱降低L /2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m ，则282 12v m L mg ??=?，得8 gL v =。 本题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE 增 =ΔE 减 建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个v 1 水柱中的每一小部分的速率都是相同的。 3、功能关系 做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。 能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。 需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J ），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 “功是能量转化的量度”这一基本概念。 ⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W 其=ΔE 机，（W 其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。 ⑷当W 其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。 ⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f d =Q （d 为这两个物体间相对移动的路程）。 例题：质量为m 的物体在竖直向上的恒力F 作用下减速上升了H ，在这个过程中，下列说法中正确的有 A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH C.物体的机械能增加了FH D.物体重力势能的增加小于动能的减少 解析：由以上三个定理不难得出正确答案是A 、C 例题： 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A 位置有一只小 球。小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是 A.在B 位置小球动能最大 B.在C 位置小球动能最大 C.从A →C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D.从A →D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，A →C 小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C →D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B 正确。从A →C 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C 正确。A 、D 两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D 正确。选B 、C 、D 。 例题：如图所示，a 、b 、c 三个相同的小球，a 从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b 、c 从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有 A.它们同时到达同一水平面 B.重力对它们的冲量相同 C.它们的末动能相同 D.它们动量变化的大小相同 解析：b 、c 飞行时间相同（都是g h 2）；a 与b 比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a 的位移大，所以用的时间长，因此A 、B 都不对。由于机械能守恒，c 的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C 也不对。a 、b 的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b 、c 所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D 正确。 这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b v a B C D 为中介：a 、b 的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b 、c 飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同。本题如果去掉b 球可能更难做一些。 例题：质量为m 的汽车在平直公路上以速度v 匀速行驶，发动机实际功率为P 。若司机突然减小油门使实际功率减为2 P 并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运动？ 解析：由公式F - f=ma 和P=Fv ，原来牵引力F 等于阻力f ，减小油门瞬间v 未变，由P=Fv ， F 将减半，合力变为 v P F 22=，方向和速度方向相反，加速度大小为mv P 2；以后汽车做恒定功率的减速运动，F 又逐渐增大，当增大到F=f 时，a =0，速度减到最小为v /2，再以后一直做匀速运动。 这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。 例题： 质量为M 的小车A 左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m 的小物块B 从右端以速度v 0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚 好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能E P 和全过程系统摩擦生热Q 各多少？简述B 相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。 解析：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv 0=(m +M )v ；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能E P 恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以E P 是全过程摩擦生热Q 的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔE K =Q =2E P 而() m M Mmv E k +=?220， ∴()()m M Mmv Q m M Mmv E p +=+=2,42020 至于B 相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B 的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F 也一定大于摩擦力f ，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大 小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B 脱离弹 簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B 具有向左的共同 速度，并保持匀速运动。 例题：海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M ，每颗炮弹质 量为m 。当炮身固定时，炮弹水平射程为s ，那么当炮身不固定时，发射 同样的炮弹，水平射程将是多少？ 解析：两次发射转化为动能的化学能E 是相同的。第一次化学能全部转 化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式m p E K 22 =知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能E m M M mv E E mv E +====22221121,21，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，m M M s s m M M v v s s +=∴+==∴2122 这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；要善于从能量守恒的观点（本题是系统机械能增量相同）来分析问题。 例题： 质量为m 的长木板A 静止在光滑水平面上，另两个质量也是m 的铁块B 、C 同时从A 的左右两端滑上A 的上表面，初速度大小分别为v 和2v ，B 、C 与A 间的动摩擦因数均为μ。⑴试分析B 、C 滑上长木板A 后，A 的运动状态如何变化？⑵为使B 、C 不相撞，A 木板至少多长？ 解析：B 、C 都相对于A 滑动时，A 所受合力为零，保持静止。这段时间为g v t μ=?1。B 刚好相对于A 静止时，C 的速度为v ，A 开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A 、B 、C 最终的共同速度3v v ='，这段加速经历的时间为g v t μ322=?，最终A 将以3v v ='做匀速运动。 全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热mgd fd Q μ==，由能量守恒定律列式：()g v d v m v m mv mgd μμ37,33212212122 22=?? ? ???-+=解得。这就是A 木板应该具有的最小长度。 本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B 、C 与A 摩擦生热之比：第一阶段B 对A 的位移就是对地的位移：s B =v 2/2μg ，C 的平均速度是其3倍因此C 对A 的位移是其3倍：s C =3v 2/2μg ；第二阶段A 、B 共同向左运动的加速度是μg /2，对地位移是s =v 2/9μg ，C 平 均速度是其4倍，对地位移是s /= 4v 2/9μg ，相对于A 位移是v 2/3μg ，故B 、C 与A 间的相 对位移大小依次是d B = v 2/2μg 和d C =11v 2/6μg ，于是系统摩擦生热为μmg (d B + d C )=7mv 2/3， d B ∶d C =3∶11 例题： 质量M 的小车左端放有质量m 的铁块，以共同速度v 沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L ，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？ 解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v ，而铁块的速度未变， 仍是v ，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M 与m 的大小关系：当M >m 时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是m M Mmv Q +=2 2；当M =m 时，显然最终共同速度为零，当M 1v m M Q += 例题：一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。已知在一段相当长 的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。这装置由电动机带动， 传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。 解析：电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能， 还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q =f d 求得， 其中f 是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d 是这两个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是v ，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动 路程d 和小货箱的实际位移s 大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q =mv 2/2。 因此有W=mv 2+mgh 。又由已知，在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N ，所以有NW T P =，vT=NL ，带入后得到???? ??+=gh T L N T Nm P 222。 专题一：物体的受力分析 （一）物体的受力分析 物体之所以处于不同的运动状态，是由于它们的受力情况不同。要研究物体的运动，必须分析物体的受力情况。正确分析物体的受力情况，是研究力学问题的关键，是必须掌握的基本功。 如何分析物体的受力情况呢？主要依据力的概念，从物体所处的环境（有多少个物体接触）和运动状态着手，分析它与所处环境的其他物体的相互联系。具体的分析方法是： 1、确定所研究的物体，然后找出周围有哪些物体对它产生作用。 不要找该物体施于其他物体的力。比如所研究的物体叫A，那么就应该找出“甲对A”和“乙对A”及“丙对A”的力……而“A对甲”或“A对乙”等力就不是A所受的力。也不要把作用在其他物体上的力错误地认为通过“力的传递”作用在研究对象上。 2、要养成按步骤分析的习惯。 先画重力：作用点画在物体的重心。 其次画接触力（弹力和摩擦力）：绕研究对象逆时针（或顺时针）观察一周，看研究对象跟其他物体有几个接触点（面），某个接触点（面）若有挤压，则画出弹力，若还有相对运动或趋势，则画出摩擦力。分析完这个接触点（面）后再依次分析其他接触点（面）。 再画其他场力：看是否有电场、磁场作用，如有则画出场力。 3、画完受力图后再作一番检查。 检查一下画出的每个力能否找出它的施力物体，若没有施力物体，则该力一定不存在。特别是检查一下分析的结果，能否使研究对象处于题目所给的运动状态，否则必然发生了多力或漏力的现象。 4、如果一个力的方向难以确定，可用假设法分析。 先假设此力不存在，观察所研究的物体会发生怎样的运动，然后审查这个力应在什么方向时，研究对象才能满足给定的运动状态。 5、合力和分力不能重复地列为物体所受的力。 力的合成与分解的过程是合力与分力“等效替代”的过程，合力和分力不能同时存在。在分析物体受力情况时，如果已考虑了某个力，那么就不能再考虑它的分力。例如，在分析斜面上物体的受力情况时，就不能把物体所受重力和“下滑力”并列为物体所受的力，因为“下滑力”是物体所受重力在沿斜面方向上的一个分力。 专题二：力的正交分解法 1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。 说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作用的情怳。 2、正交分解的原理 一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。当物体受到多个力的作 小学数学总复习经典好题解析 提前练习一道：分数的加减法单元习题 李林喝了一杯牛奶的1/6,然后加满水，又喝了一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多，还是水多？ 解答题 1、甲、乙两个修路队同时合修一条1875米的公路，用25天。完工时乙队比甲队少修125米，乙队平均每天修35米，甲队平均每天修多少米？ 2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇是快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？ 3、电影门票20元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一，那么一张门票降价多少元？ 4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8, 两车还需要几小时才能相遇？ 5、加工一批零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个，两人零件个数就相等，这批零件共多少个？ 6、修一条路3天修完。第一天修全长的37%，第二天和第三天修的米数的比是4:5，第二天修了64米，这条路全长多少米？ 7、红星鞋厂生产一批儿童鞋准备装箱。如果每箱装70双，5箱装不满，如果每箱装44双，7箱又装不完，最后决定每箱装A双，这是恰好装满A箱而没有剩余，这批儿童鞋共有多少双？ 8、有两桶油，第一桶用去1/4后，余下的与第二桶的质量比是3:5，第一桶原来有油18千克，第二桶原来有油多少千克？ 9、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出。一段时间后，客车行了全程的7/8,货车行的超过中点54千米，已知客车比货车多行了90千米，甲、乙两地相距多少千米？ 10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？ 11、生产一批零件，甲每小时可以生产70个，乙单独做要10小时完成，现在由甲、乙两个人同时合做完成，甲、乙生产零件数量的比是4:3，甲一共生产理解多少个？ 12、一个商店以每双6.5双的价格购进一批布鞋，以每双8.7元的价格售出，当卖出这批布鞋的3/4时，不仅收回原来的成本，而且还盈利20元，购进这批布鞋是多少双？ 功知识点梳理与典型例题： 一、功 1．功：如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向我们就说力对物体做了功．2．做功的两个必要因素：和物体在力的方向上． 3．计算公式：，功的单位：，1焦耳物理意义是。 4．不做功的几种情况： A．“劳而无功”物体受到力的作用，但物体没有移动，这个力对物体不做功． 如小孩搬大石头搬不动． B．“不劳无功”由于惯性保持物体的运动，虽有通过的距离，但没有力对物体做功．如冰块在光滑水平面上运动． C．“垂直无功”当物体受到的力的方向与物体运动方向垂直时，这个力对物体不做功． 如提着重物在水平地面上行走．甲、乙图是力做功的实例，丙、丁图是力不做功的实例 基础题 【例1】在国际单位制中，功的单位是（） A．焦耳B．瓦特C．牛顿D．帕斯卡 【例2】以下几种情况中，力对物体做功的有（） A．人用力提杠铃，没有提起来B．沿着斜面把汽油桶推上车厢 C．用力提着水桶水平移动2米，水桶离地面高度不变 D．物体在光滑水平面上匀速前进二米 【例3】下列关于物体是否做功的说法中正确的是（） A．起重机吊着钢筋水平匀速移动一段距离，起重机对钢筋做了功 B．被脚踢出的足球在草地上滚动的过程中，脚对足球做了功 C．小刚从地上捡起篮球的过程中，小刚对篮球做了功 D．小丽背着书包站在路边等车，小丽对书包做了功 【例4】如图所示的四种情景中，人对物体做功的是（） 的是（） 【例5】关于图所示的各种情景，下面说法错误 ．． A ．甲图中：系安全带可预防汽车突然减速时人由于惯性前冲而撞伤 B ．乙图中：人用力向上搬大石块没有搬动，则重力对大石块做了功 C ．丙图中：在拉力作用下拉力器弹簧变长，说明力可使物体发生形变 D ．丁图中：抛出的石块在重力作用下改变原来的运动方向和运动快慢 【例6】 物体A 在水平拉力F =20N 的作用下，第一次加速运动了10m ，第二次匀速运动了 10m ，第三次减速运动了10m ，在三次不同的运动情况中比较拉力F 对物体做的功 （ ）A ．第一次最多 B ．第二次最多 C ．三次一样多 D ．第三次最多 【例7】 一个人先后用同样大小的力沿水平方向拉木箱，使木箱分别在光滑和粗糙两种不同 的水平地面上前进相同的距离．关于拉力所做的功，下列说法中正确的是（ ） A ．在粗糙地面上做功较多 B ．在光滑地面上做功较多 C ．两次做功一样多 D ．条件不够，无法比较两次做功的多少 【例8】 如图所示，已知A B C M M M >>．在同样大小的力F 作用下，三个物体都沿着力的 方向移动了距离s ，则力F 所做的功（ ） A ．A 情况下F 做功最多 B ．B 情况下F 做功最多 C ．C 情况下F 做功最多 D ．三种情况下F 做功相同 【例9】 一名排球运动员，体重60kg ，跳离地面0.9m ，则他克服重力做功（取g =10N/kg ） （ ）A ．54J B ．540J C ．9J D ．600J 【例10】 今年6月美国将在科罗拉多大峡谷建成观景台．观景台搭建在大峡谷的西 侧谷壁上，呈U 字型，离谷底1200m 高，取名为“人行天桥”，如图所 示．如果在建造过程中有一块质量为0.1kg 的石子从观景台掉落谷底，则 下落过程中，石子的重力做功为（g 取10N/kg ）（ ） A ．12J B ．1200J C ．51.210J ? D ．61.210J ? 【例11】 某商场扶梯的高度是5m ，扶梯长7m ，小明体重为600N ．扶梯把小明 从三楼送上四楼的过程中对小明做功_________J ． 中档题 【例12】 足球运动员用500N 的力踢球，足球离开运动员的脚后向前运动了50m ，在此运动过程中，运动员对足球做的功是 J ． 【例13】 某人用20N 的力将重为15N 的球推出去后，球在地面上滚动了10m 后停下来，这 个人对球所做的功为（ ） A ．0 B ．200J C ．150J D ．条件不足，无法计算 【例14】 重为1000N 的小车，在拉力的作用下沿水平地面匀速前进10m ，小车所受阻力为 车重的0.3倍，则拉力对小车做的功为_________J ；小车的重力做的功为 _________J ． 力的合成与分解知识点 典型例题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 力的合成与分解典型例题 1．合力 当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力的作用效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力． 2．共点力 如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但他们的力的作用线延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力． 3．共点力的合成法则 求几个已知力的合力叫力的合成．力的合成就是找一个力去替代几个已知的力，而不改变其作用效果． 力的平行四边形定则：如右图所示，以表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向．（只适用于共点力） 下面根据已知两个力夹角θ的大小来讨论力的合成的几种情况： （1）当0θ=?时，即12F F 、同向，此时合力最大，12F F F =+，方向和两个 力的方向相同． （2）当180θ=?时，即12F F 、方向相反，此时合力最小，12F F F =-，方向 和12F F 、中较大的那个力相同． （3）当90θ=?时，即12F F 、相互垂直，如图，2212F F F =+，1 2 tan F F α= ． （4）当θ为任意角时，根据余弦定律，合力2212122cos F F F F F θ=++ 根据以上分析可知，无论两个力的夹角为多少，必然有1212F F F F F -+≤≤成立． 【例1】 将二力F 1、F 2合成F 合，则可以肯定 ( ) A ．F 1和F 合是同一性质的力 B ．F 1、F 2是同一施力物体产生的力 C ．F 合的效果与F 1、F 2的总效果相同 D ．F 1、F 2的代数和等于F 合 七年级数学上册典型例题 例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程， 得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x， 移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ?? 2012牛顿运动定律典型精练 基础知识回顾 1、牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 对牛顿第一定律的理解要点：（1）运动是物体的一种属性，物体的运动不需要力来维持；（2）它定性地揭示了运动与力的关系，即力是改变物体运动状态的原因，是使物体产生加速度的原因；（3）定律说明了任何物体都有一个极其重要的属性——惯性；（4）不受力的物体是不存在的，牛顿第一定律不能用实验直接验证，但是建立在大量实验现象的基础之上，通过思维的逻辑推理而发现的。它告诉了人们研究物理问题的另一种方法，即通过大量的实验现象，利用人的逻辑思维，从大量现象中寻找事物的规律；（5）牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不能简单地认为它是牛顿第二定律不受外力时的特例，牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系，牛顿第二定律定量地给出力与运动的关系。 2、牛顿第二定律：物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。公式F=ma. 对牛顿第二定律的理解要点：（1）牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系，即知道了力，可根据牛顿第二定律研究其效果，分析出物体的运动规律；反过来，知道了运动，可根据牛顿第二定律研究其受力情况，为设计运动，控制运动提供了理论基础；（2）牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果，即作用在物体上的力与它的效果是瞬时对应关系，力变加速度就变，力撤除加速度就为零，注意力的瞬时效果是加速度而不是速度；（3）牛顿第二定律是矢量关系，加速度的方向总是和合外力的方向相同的，可以用分量式表示，F x =ma x ,F y =ma y ,F z =ma z ;（4）牛顿第二定律F=ma 定义了力的基本单位——牛 顿（定义使质量为1kg 的物体产生1m/s 2的加速度的作用力为1N,即1N=1kg.m/s 2. 3、牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上。 对牛顿第三定律的理解要点：(1)作用力和反作用力相互依赖性，它们是相互依存，互以对方作为自已存在的前提；（2）作用力和反作用力的同时性，它们是同时产生、同时消失，同时变化，不是先有作用力后有反作用力；（3）作用力和反作用力是同一性质的力；（4）作用力和反作用力是不可叠加的，作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，各产生其效果，不可求它们的合力，两个力的作用效果不能相互抵消，这应注意同二力平衡加以区别。 4.物体受力分析的基本程序：（1）确定研究对象；（2）采用隔离法分析其他物体对研究对象的作用力；（3）按照先重力，然后环绕物体一周找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力；（4）画物体受力图，没有特别要求，则画示意图即可。 5.超重和失重：（1）超重：物体有向上的加速度称物体处于超重。处于失重的物体的物体对支持面的压力F （或对悬挂物的拉力）大于物体的重力，即F=mg+ma.；（2）失重：物体有向下的加速度称物体处于失重。处于失重的物体对支持面的压力F N （或对悬挂物的拉力）小于物体的重力mg ，即F N =mg －ma ，当a=g 时，F N =0,即物体处于完全失重。 6、牛顿定律的适用范围：（1）只适用于研究惯性系中运动与力的关系，不能用于非惯性系；（2）只适用于解决宏观物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题；（3）只适用于宏观物体，一般不适用微观粒子。 二、解析典型问题 问题1：必须弄清牛顿第二定律的矢量性。 牛顿第二定律F=ma 是矢量式，加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。在解题时，可以利用正交分解法进行求解。 练习1、如图1所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力 的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？ 分析与解：对人受力分析，他受到重力mg 、支持力F N 和摩擦力F f 作用，如图1所示.取水平向右 为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向，此时只需分解加速度，据牛顿第二定律可得：F f =macos300, 0 图1 七年级数学 下学期期末复习知识归纳总结与典型例题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 期末几何复习 二. 知识归纳总结(知识清单) 知识点(1)同一平面两直线的位置关系 知识点(2)三角形的性质 三角形的分类 <1>按边分 <2>按角分 ???? ???三角形 三角形锐角三角形)9()8( 知识点(3)平面直角坐标系 <1>有序实数对 有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做有序实数对，利用有序实数对可以很准确地表示(18) 的位置。 <2>平面直角坐标系 在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的(19) 三、中考考点分析 平面图形及其位置关系是初中平面几何的基础知识，相交点与平行线更是历年中考常见的考点，通常以填空题和选择题的形式考查，其中角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决实际问题是重点；平面直角坐标系的考查重点是在直角坐标系中表示点及直角坐标系中点的特征，分值为3分左右，考查难度不大；三角形是最基本的几何图形，三角形的有关知识是学习其它图形的工具和基础，是中考重点，考查题型主要集中在选择题和解答题。 【典型例题】 相交线与平行线 例一、如图:直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D 若∠1＝20°，∠2＝65° 则∠3＝＿＿＿ 解析:∵a∥b(已知) ∴∠2＝∠DBC＝65°(两直线平行，内错角相等) ∵∠DBC＝∠1＋∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∴∠3＝∠DBC－∠1 ＝65°－20° ＝45° 本题考查平行线性质和三角形的外角性质的应用 例二．将一副三角板如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是【】A．45°B．50°C．60°D．75° 解析:∵AE∥BC(已知) ∴∠C＝∠CAE＝30°(两直线平行，内错角相等) ∵∠AFD＝∠E＋∠CAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ＝45°＋30°=75°故选D 本题解答时应抓住一副三角板各个角的度数 例三．如图，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数 解析:∵∠3＝∠5(对顶角相等)∠1＋∠3＝180°(已知) ∴∠1＋∠5＝180°(等量代换) ∴AD∥BE(同旁内角互补，两直线平行) ∵CD⊥AD(已知) ∴∠6＝90°(垂直定义) 又∵AD∥BE(已证) ∴∠6＋∠DCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠DCE＝90° 又∵CM平分∠DCE(已知) 反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C 高中物理功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ] A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C．两过程中拉力的功一样大 D．上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma， 匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2． [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系． 因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D． [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功． [例题2]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功． [思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功． [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果． 力的正交分解法经典试题（内附答案） 1．如图1，一架梯子斜靠在光滑竖直墙和粗糙水平面间静止,梯子和竖直墙的夹角为α。当α再增大一些后,梯子仍然能保持静止。那么α增大后和增大前比较，下列说法中正确的是 C A.地面对梯子的支持力增大 B.墙对梯子的压力减小 Ｃ．水平面对梯子的摩擦力增大 D.梯子受到的合外力增大 2．一个质量可以不计的细线，能够承受的最大拉力为Ｆ。现在把重力G=F 的重物通过光滑的轻质小钩挂在这根细线上，两手握住细线的两端，开始两手并拢，然后沿水平方向慢慢地分开，为了不使细线被拉断,细线的两端之间的夹角不能大于（C ) Ａ．6０° Ｂ.９0° C.１20° D ．150° ３.放在斜面上的物体，所受重力Ｇ可以分解使物体沿斜面向下滑的分力G 1和使物体压紧斜面的分力G 2，当斜面倾角增大时(C ) A. G 1和G 2都增大 Ｂ． G １和G 2都减小 C. G １增大，G 2减小 D ． G 1减小,Ｇ２增大 4.如图所示,细绳MO 与ＮＯ所能承受的最大拉力相同,长度MO>NO ，则在不断增加重物G 的重力过程中（绳O Ｃ不会断)（ A ) A.ON 绳先被拉断 B ．O Ｍ绳先被拉断 Ｃ.ON 绳和ＯM 绳同时被拉断 D.条件不足，无法判断 5.如图所示,光滑的粗铁丝折成一直角三角形，BC 边水平，AC 边竖直,∠ＡB Ｃ=β,AB 、AC 边上分别套有细线系着的铜环，细线长度小于BC,当它们静止时,细线与AB 边成θ角,则 （ D ) A.θ＝β B ．θ＜β C.θ>2 π D ．β＜θ＜2 π θ G C O M N α 图 6.质量为m的木块沿倾角为θ的斜面匀速下滑,如图1所示,那么斜面对物体的作用力方向是 [D ］ Ａ．沿斜面向上 B．垂直于斜面向上 Ｃ.沿斜面向下 Ｄ.竖直向上 7.物体在水平推力Ｆ的作用下静止于斜面上，如图3所示,若稍稍增大推力,物体仍保持静止，则 [BC ] A.物体所受合力增大 B.物体所受合力不变 C．物体对斜面的压力增大 D．斜面对物体的摩擦力增大 8．如图4-9所示，位于斜面的物块M在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态,则斜面作用于物块的静摩擦力的（ABＣD ) A．方向可能沿斜面向上 B．方向可能沿斜面向下 C．大小可能等于零 D．大小可能等于F 统计学是一门收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。包括：1.数据搜集：例如，调查与试验；2.数据整理：例如，分组；3.数据展示：例如，图和表；4.数据分析：例如，回归分析。 统计学的分科：按内容分为描述统计学（描述数据特征；找出数据的基本规律）和推断统计学（对总体特征作出推断）；按性质分为理论统计学（统计学的一般理论和数学原理）和应用统计学（在各领域的具体应用）。 一、描述统计学的典型例题 【例3.3】某生产车间50名工人日加工零件数如下（单位：个） 117 122 124 129 139 107 117 130 122 125 108 131 125 117 122 133 126 122 118 108 110 118 123 126 133 134 127 123 118 112 112 134 127 123 119 113 120 123 127 135 137 114 120 128 124 115 139 128 124 121 要求：请对上述数据进行分组，编制频数分布表；绘制直方图，并对该情况进行简要的分析说明 可以按Sturges 提出的经验公式来确定组数K=1+lgn/lg2 确定各组的组距：组距＝( 最大值- 最小值）÷组数 等距分组表（上下组限重叠——不重不漏：左闭右开）（上下组限间断） 面积来表示各组的频数分布；在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图(Histogram)；直方图下的总面积等于1。 分组数据—直方图（直方图的绘制） 对该情况进行简要的分析说明（略） 【例3.4】在某地区调查120名刚毕业参加工作的研究生月工资收入，进行分组 2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3． 功和功率 【例2】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m ，球的质量是0.1kg ，线速度v =1m/s ，小球由A 点运动到B 点恰好是半个圆周。 那么在这段运动中线的拉力做的功是（ ） A ．0 B ．0.1J C ．0.314J D ．无法确定 【例3】质量为m 的物体，受水平力F 的作用，在粗糙的水平面上 运动，下列说法中正确的是（ ） A ．如果物体做加速直线运动，F 一定做正功 B ．如果物体做减速直线运动，F 一定做负功 C ．如果物体做减速直线运动，F 可能做正功 D ．如果物体做匀速直线运动，F 一定做正功 【例4】 质量为2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v =36km/h 时的瞬时加速度是多大？ 【例5】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t 前进距离s ，速度达到最大值v m 。设此过程中发动机功率恒为P ，卡车所受阻力为f ，则这段时间内，发动机所做的功为（ ） A ．Pt B ．fs C ．Pt =fs D ．fv m t 【例6】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g 取2 /10s m ） 功和功率针对训练 1．用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升．如果前后 两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则 A ．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B ．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 初一英语Revision 2外研社（初中起点） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： Revision 2 二. 教学重点 1. 重点的词汇和语法 2. 考点例题 三. 内容的讲解与分析 1. like的句型有如下的两种. （1）Would you like sth. 此句型表示委婉地征求对方的意见。意为“你想要某物吗” 肯定回答为：Yes, please . / /否定回答为 :No, thanks . 如： Would you like some apples to eat Yes, please . 你想要些苹果吗好的，来点吧。 Would you like some fish No ,thanks . 你想要些鱼肉吗不，谢谢。 （2）Would you like to do sth. 此句表示委婉地提出邀请，意为：你愿意做某事吗 肯定回答为：I would like/love to. / I’d like to .(缩写形式) 否定回答为：Sorry, I am afraid not./ Sorry, I can’t. But … Would you like to come to my party Yes ,I’d like to. 你想来我的晚会吗是的，很愿意。 Would you like to fly kites with me Yes, I’d like to. 你想和我一起去放风筝吗很愿意。 Would you like to wear white shirtSorry, I am afraid not. 你想穿白上衣吗不想。 2. 我们来具体看看 can的用法. （1）表示某种能力时，意为“能,会”如： This boy can speak English. 这个男孩会说英语。 （2）表示允许或请求许可时，意为“可以，允许”，相当于may。若要表示更委婉，客气，可用 could来代替。如： You can /may go home now. 你现在可以回家了。 Can /Could I borrow two books at a time 我可以一次借两本书吗 Yes, you can .可以。 （3）表示可能性时，意为“可能”，具有怀疑或不肯定的意味，仅用于否定句或疑问句中. can的否定式can’t 的意思是“不可能”。如： I think you are a good student, you can’t do that thing. 我认为你是好学生，不可能做那样的事。 Can he be a bad man 他可能是坏人吗 3. must 是情态动词，它的用法如下： （1）表示命令，义务或要求时，意为“必须，应该”，其否定式mustn’t意为“不应 学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0) 功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ] A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C．两过程中拉力的功一样大 D．上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma， 匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2． [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系． 因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D． [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功． [例题2]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功． [思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功． [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果． 牛顿运动定律典型精练 基础知识回顾 1、牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 对牛顿第一定律的理解要点：（1）运动是物体的一种属性，物体的运动不需要力来维持；（2）它定性地揭示了运动与力的关系，即力是改变物体运动状态的原因，是使物体产生加速度的原因；（3）定律说明了任何物体都有一个极其重要的属性——惯性；（4）不受力的物体是不存在的，牛顿第一定律不能用实验直接验证，但是建立在大量实验现象的基础之上，通过思维的逻辑推理而发现的。它告诉了人们研究物理问题的另一种方法，即通过大量的实验现象，利用人的逻辑思维，从大量现象中寻找事物的规律；（5）牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不能简单地认为它是牛顿第二定律不受外力时的特例，牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系，牛顿第二定律定量地给出力与运动的关系。 2、牛顿第二定律：物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。公式F=ma. 对牛顿第二定律的理解要点：（1）牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系，即知道了力，可根据牛顿第二定律研究其效果，分析出物体的运动规律；反过来，知道了运动，可根据牛顿第二定律研究其受力情况，为设计运动，控制运动提供了理论基础；（2）牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果，即作用在物体上的力与它的效果是瞬时对应关系，力变加速度就变，力撤除加速度就为零，注意力的瞬时效果是加速度而不是速度；（3）牛顿第二定律是矢量关系，加速度的方向总是和合外力的方向相同的，可以用分量式表示， F x =ma x ,F y =ma y ,F z =ma z ;（4）牛顿第二定律F=ma 定义了力的基本单位——牛顿（定义使质量为1kg 的物体产生1m/s 2 的加速度的作用力为 1N,即1N=1kg.m/s 2 . 3、牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上。 对牛顿第三定律的理解要点：(1)作用力和反作用力相互依赖性，它们是相互依存，互以对方作为自已存在的前提；（2）作用力和反作用力的同时性，它们是同时产生、同时消失，同时变化，不是先有作用力后有反作用力；（3）作用力和反作用力是同一性质的力；（4）作用力和反作用力是不可叠加的，作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，各产生其效果，不可求它们的合力，两个力的作用效果不能相互抵消，这应注意同二力平衡加以区别。 4.物体受力分析的基本程序：（1）确定研究对象；（2）采用隔离法分析其他物体对研究对象的作用力；（3）按照先重力，然后环绕物体一周找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力；（4）画物体受力图，没有特别要求，则画示意图即可。 5.超重和失重：（1）超重：物体有向上的加速度称物体处于超重。处于失重的物体的物体对支持面的压力F （或对悬挂物的拉力）大于物体的重力，即F=mg+ma.；（2）失重：物体有向下的加速度称物体处于失重。处于失重的物体对支持面的压力F N （或对悬挂物的拉力）小于物体的重力mg ，即F N =mg －ma ，当a=g 时，F N =0,即物体处于完全失重。 6、牛顿定律的适用范围：（1）只适用于研究惯性系中运动与力的关系，不能用于非惯性系；（2）只适用于解决宏观物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题；（3）只适用于宏观物体，一般不适用微观粒子。 二、解析典型问题 问题1：必须弄清牛顿第二定律的矢量性。 牛顿第二定律F=ma 是矢量式，加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。在解题时，可以利用正交分解法进行求解。 练习1、如图1所示，电梯与水平面夹角为300 ,当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？ 分析与解：对人受力分析，他受到重力mg 、支持力F N 和摩擦力F f 作用，如图1所示.取水平向右为x 轴正向， 竖直向上为y 轴正向，此时只需分解加速度，据牛顿第二定律可得：F f =macos300, F N -mg=masin300 因为 56=mg F N ，解得5 3 =mg F f . 练习2．一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a ，如图3-1-15所示．在物体始终相对于斜 面静止的条件下，下列说法中正确的是（ ） A ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小 B ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大 C ．当a 一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小 D ．当a 一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小 练习3．一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于在水平面上加速运动的小车中，加速度为a ，如图3—1-16所示，在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法中正确的是（） A ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越大 B ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大 C ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小 D ．当θ一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越小 问题2：必须弄清牛顿第二定律的瞬时性。 1．物体运动的加速度a 与其所受的合外力F 有瞬时对应关系，每一瞬时的加速度只取决于这一瞬时的合外力．若合外力的大小或方向改变，加速度的大小或方向也立即(同时)改变;或合外力变为零，加速度也立即变为零(物体运动的加速度可以突变)． 2．中学物理中的“绳”和“线”，是理想化模型，具有如下几个特性: A ．轻:即绳(或线)的质量和重力均可视为等于零，由此特点可知，同一根绳(或线)的两端及其中间各点的张力大小相等． B ．软:即绳(或线)只能受拉力，不能承受压力(因绳能变曲)，由此特点可知，绳与其物体相互间作用力的方向总是沿着绳子且背离受力物体的方向． C ．不可伸长:即无论绳所受拉力多大，绳子的长度不变，由此特点可知，绳子中的张力可以突变． 30a F m g F f 图1 x y x a a 图图力的正交分解法
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