2017高考复习专题四 数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和：
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和2*10()n S n n n N =-∈,又*||()n n b a n N =∈．
（1）求数列{}n a ；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2. 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *，求1
)32()(++=
n n S n S n f 的最大值.
二、错位相减法求和：
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。
1. 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= ，（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。
2．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项;
（Ⅱ）求数列{ a n 2n }的前n 项和S n .
3.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和。
4.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242,1,2,1n n S n n S n +==+，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
1.求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如：
①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；
是等差数列；n n b a ②
()()⎩
⎨⎧∈=-==*N k k n n g k n n f a n ,2,,12, 1. 求数列 ,16
14,813,412,211前n 项的和
2. 求数列的前n 项和：231,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）()1111;n a n n k k n n k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
1. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =
211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2. 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和。
3.在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
1. 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
2. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
3. 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.
