选修1-2 第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i
[答案] D
[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，
∴????? 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴?????
a ＝－2
b ＝－1
， ∴a ＋b i ＝－2－i.
2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] C
[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限． 3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] z 是纯虚数??????
x 2－1＝0，x ＋1≠0，
?x ＝1，故选A.
4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →
对应的复数为( )
A ．1＋5i
B ．3＋i
C ．－3－i
D ．1＋i
[答案] B
[解析] 向量OA →
对应的复数即为A 点对应的复数，
又因为BA →＝OA →－OB →
， 而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ， 故BA →
对应的复数为3＋i ，故选B.
5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－3
4＋i
B ．34－i
C ．－3
4－i
D ．－34
＋i
[答案] D
[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋
x 2＋y 2＝2＋i ，
因此有?
????
x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，
解得?????
x ＝34y ＝1，
故z ＝3
4
＋i ，故选D.
[点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，
∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a . 6．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1
[答案] D
[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1. 二、填空题
7．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________. [答案] ±23－2i
[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )，
由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.
8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.
[答案] －1
[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，
∴?????
a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0
，解得a ＝－1.
9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →
对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，
那么B C →
对应的复数为________．
[答案] 4－4i
[解析] B C →＝O C →－O B →
＝O C →－(O A →＋A B →
) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题
10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →
对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．
(1)求A D →
对应的复数； (2)求D B →
对应的复数； (3)求△APB 的面积．
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →
对应的复数，先求出向量P A →、P B →
对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．
[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →
，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，
即A D →
对应的复数是－2＋2i.
(2)由于D B →＝A B →－A D →
，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →
对应的复数是5.
(3)由于P A →＝12C A →＝－12
A C →＝????－12，－2， P
B →＝12
D B →＝????
52，0， 于是P A →·P B →＝－54，
而|PA |→
＝172，|PB |→＝52，
所以
172·52·cos ∠APB ＝－54
， 因此cos ∠APB ＝－
1717，故sin ∠APB ＝417
17
， 故S △APB ＝12|PA |→|PB |→
sin ∠APB
＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52
.
[点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．
(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.
一、选择题
11．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1
[答案] A
[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，
∴????? x ＋y ＝2x －y ＝0，解得?????
x ＝1y ＝1
.
∴xy ＝1.
12．若复数x 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4
[答案] B
[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.
13．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1
[答案] B
[解析] 由条件知?????
a 2－4a ＋3＝0
a －1≠0
，∴a ＝3.
二、填空题
14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三
[解析] ∵3π<10<7π
2，∴cos10<0，sin10<0，
∴z 的对应点在第三象限． 15．已知z 1＝3
2
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.
[答案] 3 [解析] z 1－z 2＝[3
2
a ＋(a ＋1)i]－[－33
b ＋(b ＋2)i] ＝(
3
2
a ＋33
b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43， ∴?????
32a ＋33b ＝43a －b ＝1
，
解得?
????
a ＝2
b ＝1，∴a ＋b ＝3.
三、解答题
16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.
[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，
又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，
所以????? 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得?????
x ＝2y ＝－1
.
所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.
17．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →
对应的复数为1＋2i ，向量BC →
对应的复数为3－i ，求：
(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．
[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →
对应的复数为3－i ， ∴向量AC →
对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，
∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，
∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →
＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →
＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，
∴????? x －2＝3，y －1＝－1，解得?????
x ＝5，y ＝0.
∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|
＝3－25×10＝210.
∴sin B＝72
10.
＝7，∴S＝|BA→||BC→|sin B＝5×10×72
10
∴平行四边形ABCD的面积为7.