时域信号弧频率表示的
注释傅里叶变换
1 线性
2 时域平移
3 频域平移,变换2 的频域对应
如果值较大，则会收缩到原
4 点附近，而会扩散并变得
扁平.当| a | 趋向无穷时，成为
Delta 函数。
傅里叶变换的二元性性质。通过交换5
时域变量和频域变量得到.
6 傅里叶变换的微分性质
7
变换 6 的频域对应
9 矩形脉表冲示和归一和化的的卷sin 积c 函—数这就 8
是卷积定理
变换 10 的频域对应。矩形函数是理
10 想的低通滤波器， sinc 函数是这类滤
波器对反因果冲击的响应。
1 tri 是三角形函数
12
变换 12 的频域对应
高斯函数 exp( - αt 2
) 的傅里叶变
13 换是他本身 . 只有当 Re( α) > 0 时，
这是可积的。
14
15
16 a>0
17 变换本身就是一个公式
δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布.这18 个变换展示了狄拉克δ函数的重要
性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23 的频域对应
20 由变换3 和24 得到.
由变换 1 和25 得到，应用了欧拉公21
式: cos( at) = ( e iat + e - iat ) / 2.
22 由变换1 和25 得到
这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是
狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这23
个变换是根据变换7 和24 得到的。
将此变换与 1 结合使用，我们可以变
表2－1 几种典型波形的傅立叶变换表 名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 矩形脉冲 ,2 0, 2 E t t τ τ ?
名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 梯形脉冲 1 111 110, 22,222, 222, 222t E t t E t E t t τττττττττττττ? ≥?? ???+-<<- ??-?? ?? ?-<?
§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数， 则有如下性质： 一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω) 证明： 将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t， 或： ， 即：F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3：已知 ， 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换： (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性： (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移)： P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：
(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理： 欧拉公式 ? 例如门信号的调制：
显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积： f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明： 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法： 时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件： 例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性：
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1） F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2） F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω， 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 （3） F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的 函数，即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1） f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默 认返回是关于x 的函数。 （2） f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3） f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八 餐丄I 则 嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55） 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 ，； 「" 由式（3-55）得 =侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ — 2 2 2 2 JtD J QJ 、对称性 （3-56） 则」 将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即 证明因为 fC ）二丄「EQ 讣叫田 N J 2^(i) = f F(J 噪叫 a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕 J —TO
」一 再将t用夕代之，上述关系依然成立，即 2戒（―型）-[ Jr-CD 最后再将x用t代替，则得—Lm—? ” 所以,fl- —■-'■ ■■* 证毕 若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56） 尺〔血—2对'（创）C3-57） 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：/（0 =郭）一S）=l FS）= 1一2才㈣=2斶眄 例3-7若信号；二的傅里叶变换为 < r 72 G3> r <2 试求。 解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有 M |r|G 戈 0 |t|>r/2 该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为 頁恥）卜2氓旳（号）
3-5 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(ωj F 。 解 因 由式(3-55)得 二、对称性 若 证明 因为 有 将上式中变量ω换为x ，积分结果不变，即 再将t 用ω代之，上述关系依然成立，即 最后再将x 用t 代替，则得 所以 证毕 若)(t f 是一个偶函数，即)()(t f t f =-，相应有)()(ωωf f =-，则式(3-56)成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数π2。式中的ω-表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如
例3-7 若信号)(t f 的傅里叶变换为 试求)(t f 。 解 将)(ωj F 中的ω换成t ，并考虑)(ωj F 为ω的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 根据对称性 故 再将)(ω-f 中的ω-换成t ，则得 )(t f 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 观看动画 若 则 证明 因a ＞0，由 令at x =，则adt dx =，代入前式，可得 函数)(at f 表示)(t f 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a 倍，而 ) (a j F ω 则表示 )(ωj F 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8 已知 ,求频谱函数)(ωj F 。 解 前面已讨论了
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数非周期信号分析-- 傅里叶变换脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 § 2—1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
x(t) Acos J% ° m 非确定性信号 （随机信号）： 给定条件下 取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信 号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 简谐信号及其三个要素 质量—弹簧系 统的力学模型
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法：将信号看成许多谐波(简谐信号)之和，每一个谐波称作该信号的一 个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各 谐波的幅值和相角。 vpage break〉 § 2-2 周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数 形式 周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” # 傅里叶级数的三角函数展开式 x(t) a0(a n cosn 0t b n sinn 0t) n 1
(n =1,2, 3 ，…) 傅立叶系数： a 。 1 T T 2 T x(t)dt 2 T 2 2 o tdt a n T T x(t)cos n 2 T 2 2 b n T T x(t)sin n o tdt 2 式中T --周期；0--基频，o =2 /T o 三角函数展开式的另一种形式: 次谐波的幅值 次谐波的频率 信号的均值，直流分量 N 次谐波的相角
常用傅里叶变换 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大， 则会收缩 到原点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 |?a?|?趋向无穷 时，成为。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质 7 变换6的频域对应
8 表示和 的卷积—这就是9 变换8的频域对 应。 []平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 和归一化的 11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器，是这类滤波 器对冲击的响 应。 12 tri?是 13 变换12的频域对 应
14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。 22 ???? U n?(t)是。
[]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表分布.这个变换 展示了狄拉克δ函数的 重要性：该函数是常函 数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应 用了:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个.δ(n)(ω)是 狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这个变换是根 据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使 用，我们可以变换所 有。
1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的 成分。Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少 方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理 论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论 依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展 也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和 拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论， 并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理） 若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：
实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波 一、实验目的 1、了解图像傅里叶变换的物理意义； 2、掌握频域滤波原理； 3、熟悉傅里叶变换的基本性质； 4、熟练掌握FFT的变换方法及应用； 5、通过实验了解二维频谱的分布特点； 二、实验平台 计算机和Matlab语言环境 三、实验内容 1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示 2、频域滤波器处理图像 3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性) 四、实验步骤 1、二维傅里叶变换的性质 1> 二维傅里叶变换 构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换 f = zeros(64,64); for j=1:5 f(:,j*10:j*10+1)=1; end F=fft2(f);Fc=fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换'); 2> 比例变换性 将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 fresize=imresize(f,2); fresize=fresize(31:94,31:94);
Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize); subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶'); 3> 旋转 将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 frotate=imrotate(f,45);%图像旋转 Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶'); 4> 可分性 首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶 for i=1:64 fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 end for j=1:64 fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 end Fc3=fftshift(fft_col); figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');
常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在 i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大，则如果 4 会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。
5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理
想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时，这是可积的。 14 15
a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到，应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +
22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27
根据变换1和31得到. uta > 0. ，且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.
2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为「"和F』-, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广，若- - - 「出■,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒心?］的?卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 綁new九 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(幼 因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳 寻共觇提到积分之外根据傅里 叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 町(卯訂:厂(号叫fe 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则 *曾筍％芳遛凸■_苗苫 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
FLTH)] = F? 町甘D FLH 心FH) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相 位或者实部与虚部两部分，即 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得 尺(耐=][/(f)cosaf 址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是 FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询) 根据定义，上式还可以写成 (2-33) 呎弊)=arc tan ［制 (曲)=2[
傅里叶变换 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复 杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先 由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数 形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里 叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为: 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里
叶变换对(transform pair)。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对: 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数; 而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅 里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积 分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:
傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行
● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中，?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(
● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换
● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f
● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π
傅里叶变换 对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。 在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。 在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。 傅里叶变换的几种可能形式 对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。 一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换 在“信号与系统”课程中，这一变换对为 ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j a a )()( Ω Ω= ? ∞ ∞ -Ωd e j X t x t j a a )(21)(π 这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示 非周期连续信号及其频谱 t Ω0 Ω-
附录A 拉普拉斯变换及反变换 .
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. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /**************************************************** ***********************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************** **********************************************/
前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
4种傅里叶变换形式 离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j ?).x(t)与X(j ?)之间变换关系为傅里叶变换对： ?∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ? ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20 =Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对： dt e t x T jk X T T t jk ?-Ω-=Ω22 ~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞ -∞ =∑Ω=π 时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π 2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT
当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()( ωπωππωd e e X n x n j j ?-=)(21)( 时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化. 离散傅里叶级数DFS 当~ x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对： ∑-=-=102~~)()(N n nk N j e n x k X π -∞
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