2019中考数学专题练习-命题与证明（含解析）
一、单选题
1.下列命题中正确的是（）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2.下列四个命题：⑴数据5、2、﹣3、0的极差是8；
⑵方差越大，说明数据就越稳定；
⑶不在同一直线上的三点确定一个圆；
⑷在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7
其中真命题的个数为（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3.下列定理中，没有逆定理的是（）①内错角相等，两直线平行
②等腰三角形两底角相等
③对顶角相等
④直角三角形的两个锐角互余．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.下列命题中，是假命题的是（）
A. 平方根等于本身的数是0
B. 如果a，b都是无理数，那么a+b也一定是无理数
C. 坐标平面内的点与有序实数对一一对应
D. 与6 可以合并同类项
5.下列命题中，是真命题的是（）
A. 有理数都是有限小数
B. 同旁内角互补
C. 函数y= 自变量x的取值范围是x≥3
D. 若甲、乙两组数据中各有20个数据，平均数= ，方差S甲2=1.25，S乙2=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定
6.下面说法正确的是( )
A. 定理一定是命题
B. 定理一定有逆定理
C. 命题一定是定理
D. 逆命题一定正确
7.下列命题是真命题的是（）
A. 不相交的两条直线叫做平行线
B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两直线平行，同旁内角相等
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
8.下列命题为真命题的是（）
A. 若a2=b2，则a=b
B. 等角的补角相等
C. n边形的外角和为（n﹣2）?180°
D. 若x甲=x乙，S2甲＞S2乙，则甲数据更稳定
二、填空题
9.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果…，那么…”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）三角形内角和等于180°．
10.“同位角相等”的逆命题是________．
11.请把命题“对顶角相等。”写成“如果……，那么……。”的形式：________
12.命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是________．
13.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是________，结论是________．
14.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：________．
15.写出“同位角相等，两直线平行”的题设为________，结论为________．
16.命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是________ 命题（选填“真”或“假”）．
三、解答题
17.用举反例说明命题“面积相等的两个三角形周长也相等”是假命题．
18.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；
④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来
19.判断下列命题是真命题还有假命题．如果是真命题，请证明，如果是假命题，请举出反例．
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
20.（1）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断真假；
（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例．21.说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
（1）如果a、b都是无理数，那么ab也是无理数；
（2）等腰三角形两腰上的高相等．
四、综合题
22.写出下列两个定理的逆命题，并判断真假
（1）在一个三角形中，等角对等边．
（2）四边形的内角和等于360°．
23.用“如果……那么……”的形式改写下列命题。
（1）两条平行线被第三条直线所截,则它们的一对同位角的平分线互相平行。
（2）菱形的四边相等。
24.如图，有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C、③∠E=∠F、请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明.
25.我们知道命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是我们所学习的一个定理．（1）请写出该命题的逆命题：________
（2）请判断该命题的真假性，并给出相应的证明．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
【分析】根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
2.【答案】C
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：数据5、2、﹣3、0的极差是5﹣（﹣3）=8，故（1）正确；方差越小，说明数据就越稳定，故（2）错误；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故（3）正确；
在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7或1，故（4）错误；
故选C．
【分析】根据极差、方差、三点确定圆以及垂径定理进行选择即可．
3.【答案】A
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：①内错角相等，两直线平行，逆定理为两直线平行，内错角相等，不符合题意；②等腰三角形两底角相等，逆定理为两角相等的三角形是等腰三角形，不符合题意；③对顶角相等，逆命题为相等的角为对顶角，符合题意；④直角三角形的两个锐角互余，逆定理为两个锐角互余的三角形为直角三角形，不符合题意，故选A
【分析】利用平行线的判定方法，等腰三角形的性质，对顶角性质判断即可．
4.【答案】B
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、平方根等于本身的数是0，是真命题；B、如果a= ，b=﹣
都是无理数，那么a+b=0是有理数，是假命题；
C、坐标平面内的点与有序实数对一一对应，是真命题；
D、∵=2 ，6 = ，∴与6 是同类二次根式可以合并，是真命题；
故选B．
【分析】根据平方根的性质，无理数的定义，同类二次根式的合并，坐标平面内的点与有序实数对的关系进行判断即可．
5.【答案】D
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、有理数都是有限小数或无限循环小数，故错误，是假命题；B、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C、函数y= 自变量x的取值范围是x＞3，故错误，是假命题；
D、若甲、乙两组数据中各有20个数据，平均数= ，方差S甲2=1.25，S乙2=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定，正确，为真命题；
故选D．
【分析】利于有理数的定义、平行线的性质、分式有意义的条件及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
6.【答案】A
【考点】命题与定理
【解析】【分析】A、定理都是真命题,正确；
B、定理不一定有逆定理，故此项错误；
C、命题不一定是定理，故此项错误；
D、逆命题不一定正确，故此项错误；
故选A
7.【答案】B
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，所以A选项错误；
B、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以B选项正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项错误；
D、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以D选项错误．
故选B．
【分析】根据平行线的定义对A进行判断；根据平行公理对B进行判断；根据平行线的性质对C、D进行判断．
8.【答案】B
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、a2=b2，则a=±b，此选项错误；B、等角的补角相等，此选项正确；
C、n边形的外角和为360°，此选项错误；
D、x甲=x乙，S2甲＞S2乙，则乙数据更稳定，此选项错误；
故选B．
【分析】根据等式性质、补角、三角形的外角和以及方差的定义即可作出正确的判断．二、填空题
9.【答案】（1）如果两条直线平行，那么内错角相等.
（2）如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°.
【考点】命题与定理
【解析】【解答】（1）如果两条直线平行，那么内错角相等.
（2）如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°.
故答案为：（1）如果两条直线平行，那么内错角相等.
（2）如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°.
【分析】命题定义：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.命题由题设和结论两部分组成；如果后面是题设，那么后面是结论；由此从而得出答案. 10.【答案】相等的角是同位角
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．故答案为：相等的角是同位角．
【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
11.【答案】如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等
【考点】命题与定理
【解析】【解答】把命题中的题设放在如果后面，把结论放在那么后面就可以改写.【分析】把命题中的题设放在如果后面，把结论放在那么后面就可以改写.即如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等。
12.【答案】到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
【分析】把原命题的题设与结论交换得到逆命题．
13.【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线互相平行
【考点】命题与定理
【解析】【解答】“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．14.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】根据题设（如果）为：对顶角，结论（那么）为：相等，即如果两个角是对顶角，那么它们相等.
15.【答案】同位角相等；两直线平行
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．
故答案为：同位角相等；两直线平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．“同位角相等，两直线平行”的条件是同位角相等，结论是两直线平行．
16.【答案】假
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是四边相等的四边形为正方形，此逆命题为假命题．
故答案为：假．
【分析】先写出逆命题：四边相等的四边形为正方形，利用菱形作为反例可判断逆命题为假命题．
三、解答题
17.【答案】解：两直角三角形
第一：两直角边分别为3，4，斜边5，
面积为：3×4÷2=6，
周长：3+4+5=12；
第二：两直角边分别为2，6，斜边2，
面积：2×6÷2=6，
周长：2+6+2=8+2，
明显两个直角三角形面积相等，周长不相等，
所原命题是假命题．
【考点】命题与定理
【解析】【分析】分别列举两个直角三角形，计算出面积与周长，即可解答．
18.【答案】解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；
（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；
（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；
（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．
【考点】命题与定理
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定，找出符合要求的正确的命题即可．
19.【答案】解：（1）“两个锐角的和是钝角位”是假命题，如30°和40°的和为70°；
（2）“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”为真命题．
理由如下：如图，∵b⊥a，c⊥a，
∴∠1=90°，∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∴b∥c．
【考点】命题与定理
【解析】【分析】（1）理由反例说明命题为假命题；
（2）利用平行线的判定方法可证明命题为真命题．
20.【答案】解：（1）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个三角形全等，为假命题；
（2）如面积相等的一个锐角三角形和一个钝角三角形．
【考点】命题与定理
【解析】【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
21.【答案】解：（1）逆命题为：如果ab是无理数，那么a、b都是无理数．
此逆命题为假命题．例如：如果ab=2，那么a=2，b=．
（2）逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．
此逆命题是真命题．证明如下：
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，
求证：AB=AC．
证明：∵S△ABC=AB?CF=AC?BE，
而BE=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【考点】命题与定理
【解析】【分析】（1）把原命题的题设和结论互换可得到其逆命题，利用反例说明逆命题为假命题；
（2）把原命题的题设和结论互换可得到其逆命题，然后根据三角形面积公式和等腰三角形的定义证明其逆命题为真命题．
四、综合题
22.【答案】（1）解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题
（2）解：内角和等于360°的多边形是四边形．真命题
【考点】命题与定理
【解析】【分析】将原命题改写成若果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题；两个命题的逆命题：
（1）在一个三角形中，等边对等角，根据已有的定理可以判断出此命题是真命题；
（2）内角和等于360°的多边形是四边形．根据已有的定理可以判断出此命题是真命题。
23.【答案】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截那么它们的一对同位角的平分线互相平行
（2）解：如果一个四边形是菱形那么四边相等。
【考点】命题与定理
【解析】【分析】因为命题的表现形式是“如果……那么……”，所以先找出这个命题的题设和结论，再在题设前添加如果，结论前添加那么即可。
（1）如果两条平行线被第三条直线所截那么它们的一对同位角的平分线互相平行
（2）如果一个四边形是菱形那么四边相等。
24.【答案】（1）解答：构造的命题：由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①；（2）解答：∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题.
【考点】命题与定理
【解析】【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假.
25.【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形；
（2）这个逆命题为真命题．
证明如下：因为三角形一边上的中线等于这边的一半，即三角形三个顶点到这边的中点的距离相等，所以三角形一边为三角形外接圆的直径，根据圆周角定理得这个三角形为直角三角形．
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：（1）该命题的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形；
【分析】（1）交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题；
（2）根据圆周角定理的推论可判断逆命题为真命题．