第二章 平面向量
一、向量的基本概念与基本运算
1、数量：只有大小，没有方向的量．
2、有向线段：
①定义：带有方向的线段（规定了起点和终点的线段）叫做有向线段。
②.表示：表示有向线段时，要将表示起点的字母写在前面，表示终点的字母写在后面。在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
③.有向线段包括三要素：起点、方向和长度，知道了有向线段的起点，它的终点就被方向和长度唯一确定。
④有向线段不等同于向量。二者的区别是：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段。
3、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点
的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=
向量的膜：向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a
｜
注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，
0 与任意向量平行零向量a ＝0
?｜a
｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的
问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量?｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可以进行任意的平移(即自
由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a
=大小
相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?2
12
1y y x x
二、向量加法。
定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC
（1）a a a
=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，
但这时必须“首尾相连”．
三、向量的减法。
① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a
-,零向量的相反
向量仍是零向量
②关于相反向量有： （i ）)(a --=a
； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；
(iii)若a
、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0
③向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a
与b 的差，
记作：)(b a b a
-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法
④作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a
、b 有共同起点）
四、实数与向量的积：
1、①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）a a
?=λλ；
（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；
当0=λ时，0
=a λ，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
2、两个向量共线定理：
向量b 与非零向量a
共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ
五、平面向量的基本定理：
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，
它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
例1 、给出下列命题：
① 若|a |＝|b |，则a =b ；
② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③ 若a =b ，b =c ，则a =c ， ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ； ⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ， 其中正确的序号是
解： ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
② 正确．∵ AB DC =，∴ ||||AB DC =且//AB DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =．
③ 正确．∵ a =b ，∴ a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴ b ，c 的长度相等且方向相同，∴ a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．
④ 不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b =0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③．
例2 、设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
①AB BC CD ++，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+- 解： ①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+= ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=
③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=
例3、设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k
解： ∵c ∥d
∴由向量共线的充要条件得：c =λd (λ∈R) 即 k a +b =λ(a +k b ) ∴(k -λ) a + (1-λk ) b = 0 又∵a 、b 不共线
∴由平面向量的基本定理 1010±=????=-=-k k k λλ
六、平面向量的坐标表示。
1、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于
a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在
x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
2、平面向量的坐标运算：
(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)
(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥，则02121=?+?y y x x
3、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
运算类型几何方法坐标方法运算性质
向量的加法1平行四边形法则
2三角形法则
1212
(,)
a b x x y y
+=++a
b
b
a
+
=
+
)
(
)
(c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
AB BC AC
+=
向量的减法三角形法则
1212
(,)
a b x x y y
-=--)
(b
a
b
a
-
+
=
-
AB BA
=-
OB OA AB
-=
向量的乘法
a
λ是一个向量,
满足:
λ>0时,a λ与a 同向;
λ<0时,a λ与a 异向;
λ=0时, a λ=0
)
,
(y
x
aλ
λ
λ=a
a
)
(
)
(λμ
μ
λ=
a
a
a
μ
λ
μ
λ+
=
+)
(
b
a
b
a
λ
λ
λ+
=
+)
(
a
∥b
a
b
λ
=
?
向量的数量积
b
a
?是一个数
=
a或0
=b时,
b
a
?=0
≠
a且0
≠
b时,
>
<
=
?b a
b
a
b
a
,
cos
|
||
|
1212
a b x x y y
?=+a
b
b
a
?
=
?
)
(
)
(
)
(b
a
b
a
b
a
?
=
?
=
?λ
λ
λ
c
b
c
a
c
b
a
?
+
?
=
?
+)
(
2
2|
|a
a
=,2
2
|
|y
x
a+
=
|
||
||
|b
a
b
a
≤
?
例1 、已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值
解： 因为(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-
所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x =+=+，2(1,2)(,1)(2,3)v x x =-=- 又因为//u v
所以3(21)4(2)0x x +--=，即105x = 解得12
x =
例2、已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标
解： 设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y ==- 因为P 是AC 与OB 的交点
所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上 即得//,//OP OB AP AC
由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB =-=
得方程组6(4)20
440x y x y -+=??-=?
解之得3
3
x y =??=?
故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)
六、平面向量的数量积
1、两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ?=
2、向量的投影：︱b ︱cos θ=
||
a b
a ?∈R ，称为向量
b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射
影
3、数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积
4、向量的模与平方的关系：22||a a a a ?==
5、乘法公式成立：
()()2
2
22a b a b a b a b +?-=-=-；
()2
2
2
2a b a a b b
±=±?+2
2
2a a b b =±?+
6、平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ?=?
②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈
③分配律成立：()a b c a c b c ±?=?±?()c a b =?± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ??≠??；
（2）消去律不成立a b a c ?=?不能得到b c =?
（3）a b ?=0不能得到a =0或b =0
7、两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·
b =1212x x y y + 8、向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角
cos θ=cos ,a b a b a b
?<>=
?=
2
2
2
22
12
12121y x y x y y x x +?++
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9、垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b
10、两个非零向量垂直的充要条件； a ⊥b ?a ·b ＝O ?02121=+y y x x 平面向量数量积的性质
例1、 判断下列各命题正确与否： （1）00a ?=；（2）00a ?=； （3）若0,a a b a c ≠?=?，则b c =；
⑷若a b a c ?=?，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ??=??对任意,,a b c 向量都成立； （6）对任意向量a ，有2
2a a =
解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对
例2、 已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d 的夹角
解： 由题意，1a b ==，且a 与b 的夹角为0120，
所以，01
cos1202
a b a b ?==-，
2
c c c =?=(2)(2)a b a b -?-22447a a b b =-?+=，
7c ∴=，
同理可得13d ∴=
而c d ?=2217(2)(3)7322
a b b a a b b a -?-=?--=-， 设θ为c 与d 的夹角， 则182
91
1713
7217cos -
==θ 1829117arccos -=∴πθ
例3、 已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ的值
（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n = 解：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=
∴（1）m n ⊥()()082374=?-+?+?λλ952
-
=?λ； （2）//m n ()()072384=?--?+?λλ2
1
-=?λ；
(3)m n =()()08845872342222
2=--?+=-++?
λλλλ
5
11
22±=
?λ
习题
2.5平面向量应用举例
一、选择题
1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( )
A ．103N
B ．0N
C ．56N D.56
2N [答案] C
[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为2×53＝56(N)． 2．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A ．10m/s
B ．226m/s
C ．46m/s
D ．12m/s
[答案] B
[解析] 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1.
∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，
∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝100－0＋4 ＝104＝226.
3．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则
x 1＋y 1
x 2＋y 2的值为( ) A.2
3
B ．－23 C.5
6
D ．－56
[答案] B
[解析] 因为|a |＝2，|b |＝3，又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，可得cos 〈a ，b 〉＝－1.即a ，b 为共线向量且反向，又|a |＝2，|b |＝3，所以有3(x 1，y 1)＝－2(x 2，
y 2)?x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，所以x 1＋y 1x 2＋y 2＝－2
3(x 2＋y 2)
x 2＋y 2
＝－2
3，从而选B.
4．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )
A ．lg2
B ．lg5
C ．1
D ．2
[答案] D
[解析] W ＝(F 1＋F 2)·S ＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.
5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )
A.1
3
B.12
C.2
3
D.34
[答案] C
[解析] 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，得P A →＋PB
→＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA
边上的三等分点，如图所示．故
S
△PBC S
△ABC
＝PC AC
＝23
.
6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10)
[答案] C
[解析] 5秒后点P 的坐标为： (－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e )
[答案] C
[解析] 由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1， ∴t 2－2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立， 即Δ＝4(a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立．
∴(a ·e －1)2≤0恒成立， 而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0.
即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．
8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB
→，则m n
＝( ) A.1
3
B ．3
C ．3 3
D.33
2
[答案] B
[解析] ∵OC →·OA →＝m |OA →|2＋nOA →·OB →＝m ，
OC →·OB →＝mOA →·OB →＋n ·|OB →|2＝3n ， ∴m 3n ＝|OC →|·|OA →|·cos30°|OC →|·|OB →|·cos60°
＝1，∴m n
＝3. 二、填空题
9．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． [答案] λ>－5
3且λ≠0
[解析] ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－53. 当a 与a ＋λb 同向时，a ＋λb ＝m a (m >0)， 即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m )． ∴??? 1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，得???
λ＝0m ＝1， ∴λ>－53
且λ≠0.
10．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB →
＝________.
[答案] －2
[解析] ∵|AB |＝23，|OA |＝|OB |＝2， ∴∠AOB ＝120°.
∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos120°＝－2.
三、解答题。
11．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .
求证：AD ⊥CE .
[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ? ????0，a 2，C (0,0)，E ? ????1
3a ，23a .
∴AD →＝? ????－a ，a 2，CE →＝? ????13a ，23a .
∵AD →·CE →＝－a ·
13a ＋a 2·23a ＝0，∴
AD ⊥CE .
12．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连结DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .
[证明] 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC
→＝(2，－2)
设AF
→＝λAC →， 则BF
→＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 又DA
→＝(－1,2) 由题设BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，
∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23.
∴BF →＝? ????43，23，∴DF
→＝BF →－BD →＝? ????13，23， 又DC
→＝(1,0)，
∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55， cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝5
5，
又∠ADB 、∠FDC ∈(0，π)，∴∠ADB ＝∠FDC .
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC
→＝0，求t 的值．
[解析] (1)由题设知AB
→＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB
→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42和210.
(2)由题设知OC
→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·
(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 14．一条宽为3km 的河，水流速度为2km/h ，在河两岸有两个码头A 、B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？
[解析] 如图所示，设AC →为水流速度，AD →
为航行速度，以AC 和AD 为邻边作?ACED 且当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和?ACED 中，
|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠
AED ＝90°. ∴|AE
→|＝|AD
→|2－|DE →|2＝23，
sin ∠EAD ＝1
2，∴∠EAD ＝30°，用时0.5h.
答：船实际航行速度大小为4km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时半小时．
15．在?ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1
3BD ，求证：M ，N ，C 三点共线．
[证明] MN
→＝BN →－BM →.
因为BM
→＝12BA →，BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)， 所以MN
→＝13BA →＋13BC →－12BA →，
＝13BC →－16BA →
.
由于MC
→＝BC →－BM →＝BC →－12BA →， 可知MC →＝3MN →，即MC →∥MN
→. 又因为MC 、MN 有公共点M ，所以M 、N 、C 三点共线．
16．如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明P A ＝EF .
[分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出P A →和EF
→的坐标，证明其模相等即可． [证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
a ，则A (0，a )．设|DP
→|＝λ(λ>0)，则F ? ????22λ，0，P ? ????22λ，22λ，E ? ????a ，22λ， 所以EF →＝? ????22λ－a ，－22λ，P A →＝? ????－22
λ，a －22λ，
因为|EF →|2＝λ2－2aλ＋a 2，|P A →|2＝λ2－2aλ＋a 2，所以|EF →|＝|P A →
|， 即P A ＝EF .
17．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证AF ⊥BE .
[证明] ∵AB ＝AC ，且D 是BC 的中点， ∴AD →⊥BC →，∴AD →·BD →＝0. 又DE →⊥AC →，∴DE →·AE →＝0. ∵BD
→＝DC →，F 是DE 的中点， ∴EF →＝－12DE →.
∴AF →·BE →＝(AE →＋EF →)·(BD
→＋DE →) ＝AE →·BD →＋AE →·DE →＋EF →·BD →＋EF →·DE →＝AE →·BD →＋EF →·BD →＋EF →·DE →＝(AD →＋DE →)·BD →＋EF →·BD →＋EF →·DE →＝AD →·BD →＋DE →·BD →＋EF →·BD →＋EF →·DE →＝DE →·DC →－12DE →·DC →－12DE →·DE
→＝12DE →·DC →－12DE →·DE →＝12DE →·(DC →－DE →)＝12
DE →·EC
→＝0.
∴AF →⊥BE →，∴AF ⊥BE .
平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A ．EF ＝OF ＋OE B ．EF ＝OF －OE C ．EF ＝－OF ＋OE
D ．EF ＝－OF －OE
2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，
AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )
A.1
2
B.13
C.1
4
D ．1
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线
D ．以上均不正确
4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 B ．重心 内心 C ．外心 重心
D ．外心 内心
5.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( )
A ．a ＋34b B.14a ＋3
4b C.14a ＋14b D.34a ＋14b
6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB ＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4
μ的最小值是( ) A ．9 B.72 C ．5
D.92
二、填空题
7．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 8．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________. 9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．
三、解答题
10.△ABC 中，AD ＝2
3AB ，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN .
11．已知OB ＝λOA ＋μOC (λ、μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，求证λ＋μ＝1.
12．已知△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP ＝OA ＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题
1．已知向量a ＝(1，k)，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝
( )
A ．b －12a
B ．b ＋1
2a C ．a ＋1
2b
D ．a －1
2b
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝()
A.1
4 B.
1
2
C．1 D．2
4．已知向量a＝(1,1－cos θ)，b＝(1＋cos θ，1
2)，且a∥b，则锐角θ等于()
A．30°B．45°
C．60°D．75°
5．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(3b－c，cos C)，
n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于()
A.
3
6 B.
3
4
C.
3
3 D.
3
2
二、填空题。
7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1
a＋
1
b的值等于________．
8．在△ABC中，CA＝a，CB＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP＝_______(用a，b表示)．
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
三、解答题
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，λ∈R，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
求λ.
11．已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0.延长AP交BC于点D，若AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AP、AD.
12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值．
平面向量的数量积及平面向量的应用
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4 B．3
C．2 D．0
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()
A．－π
4 B.π6
C.π
4 D.
3π
4
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且a·b＝10，则|a－b|＝()
A．－10 B．10
C．－ 5 D. 5
4．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为() A.2－1 B．1
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
"表示法仔臥几何型标)1 I 在几何学中的丽1 正弦、余弦定理药丽 二、详细知识要点讲解； 重点知识回顾 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ,有二个要素： ? _________________ 4 4 2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母 a 、 b 等表示；③平面向量的坐标表 、，一 、、 4 - 示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底。任作一个向量 a ，由平 -H 4 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、y ，使得a 二xi ? yj ，(x, y)叫做向量a 的(直 角)坐标，记作a = (x, y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特 别地， ‘=(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)。 a=Jx 2+]2 ；若 A(x 1,y 1)，B(X 2,y 2)， 则 AB =仪2 -为』2 - y 1 ， AB = (X 2=xj 2—( y zP yj 2 3. 零向量、单位向量：①长度为 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 _________ 个单位长 —* 度的向量，叫单位向量?(注：就是单位向量) |a| 4. 平行向量：①方向 __________ 的向量叫平行向量；②我们规定 _______ 与任一向量平行? ,4 扌 彳十一 ，，4 扌 4 _ _ _ 十一亠耳一 「「亠冃 :知识框架图; 平面向量 趴洪线向量的充宴翔 向量的in.猱法1 1向量的怅度*夹角 “实数与向St 的积1 」两个向量平行的充套条件 向盘的数量积1―* 两个向量垂直的充要务件 卩线段的定比分点 1瞪翅证宙 向
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
§平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD； 若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线． 失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
§平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠∥b?x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a ＝ ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】
1. 判断正误（在括号内打或“X”） ⑴零向量与任意向量平行.（） （2）若a// b, b// c,贝U a// c.（） ⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（） ⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（） 2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（） A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017 ? 枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =() A.2 B.3 C. —2 D. —3 4.(2015 ?全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示). 1 2 6.（2017 ?嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE = 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ ,入2= _______________ . 考点一平面向量的概念 【例1】下列命题中，不正确的是_________ （填序号）. ①若I a| = |b| ,则a= b； ②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】下列命题中，正确的是_________ （填序号）. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； a, b都是单位向量，则a= b；
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区 别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则