§3.3 二元关系的性质与闭包

习题3.3

1. 确定下列整数集合上的关系R 是否是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的，其中R y x >∈<，，当且仅当 （1）y x ≠

（2）1≥xy

（3）11-=+=y x y x 或

（4）)7(mod y x ≡

（5）2

y x =

（6）2

y x ≥

（7）x 是y 的倍数

（8）x 与y 都是负的或都是非负的

解 （2）、（4）、（6）、（8）略

（1）不是自反的，是反自反的，是对称的，不是反对称的，不是传递的。 （3）不是自反的，是反自反的，是对称的，不是反对称的，不是传递的。 （5）不是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，不是传递的。 （7）是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的。

2. 设}{d c b a A ，，，=，

（1）给出A 上的一个关系R ，要求R 既不是自反的又不是反自反的； （2）给出A 上的一个关系R ，要求R 既是对称的又是反对称的； （3）给出A 上的一个关系R ，要求R 既不是对称的又不是反对称的； （4）给出A 上的一个关系R ，要求R 是传递的但1

-R R 不是传递的。

解 略

3. 设A 是一个n 元集合，问A 上有多少个关系？这其中又有多少个关系是

（1）对称的？ （2）反对称的？

（3）非对称的？

（4）反自反的？

（5）自反的和对称的？

（6）既不是自反的也不是反自反的？

解 （2）、（4）、（6）略

A 是一个n 元集合，所以A A ⨯有2

n 个元素，它的子集的个数为2

2n ，所以A 上有2

2n ，所以A 上有2

2n

个关系。

（1）将A A ⨯中的元素分为三部分：第一部分是n 个>

))((102/)1(2/)1(12/)1(02/)1(n

n n n n n n n n n n n C C C C C C ++++++=----

n n n 22

2

/)1(⋅=-2/)1(2+=n n

（2）A 上反对称关系的个数与A 上对称关系的个数相等2

/)1(2+=n n 。

（

3

）

A 上对称关系的个数为

))((102/)1(2/)1(1

2

/)1(02/)1(n

n n n n n n n n n n n C C C C C C ++++++---- ，其中又是自反的仅为

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