第二次月考数学理试题【新课标Ⅱ版】
第Ⅰ卷（12题：共60分）
一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合{|lg(2)},{|M x y x N y y ==-=，则 （ ） A.M N ? B.N M ? C.M N = D.N M ∈
2.下列说法正确的是 （ ） A.命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为“若2
1x =，则1x ≠” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
C.命题“2,10x R x x ?∈++<”的否定是“2,10x R x x ?∈++<”
D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 3.若复数2014
1(
)1i z i
+=-，则l n||z = （ ） A.2- B.0 C.1 D.不存在
4.在等差数列{}n a 中，3923a a +=，则数列{}n a 的前9项和等于 （ ） A.9 B.6 C.3 D.12
5.已知3cos 5
α=，则2
cos2sin αα+的值为 （ ） A.925 B.1825 C.2325 D.3425
6.
10
()x e x dx +?
的值为 （ ）
A.e
B.1e +
C.12e -
D.1
2
e + 7.已知()
f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则满足2
(2)()f x f x -<
的实数x 的取值范围为 （ ） A.(1,)+∞ B.(,2)-∞- C.(,2)(1,)-∞-+∞U D.(2,1)-
8.设函数()|sin(2)|3
f x x π
=+
，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）
A.()f x 是偶函数
B.()f x 的最小正周期为π
C.()f x 在区间7[
,
]312ππ
上是增函数 D.()f x 的图象关于点(,0)6
π
-
对称
9.已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ?uu r uu r 的
最小值为 （ ）
A.4-
B.3-
C.4-+
D.3-+10.已知函数()ln 1(0)a
f x x a x
=
+->在定义域内有零点，则实数a 的取值范围 是 （ ） A.1a ≤ B.01a <≤ C.1a ≥ D.1a >
11.已知正实数,x y 满足24x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y 都有
2
()1()0x y m x y ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）
A.5
(,]2-∞ B.5[,)2+∞ C.3(,]2-∞ D.3[,)2
+∞
12.对于函数(),()f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“互相接近点”。现给出两个函数： ①2(),()22f x x g x x ==-；
②()()2f x g x x ==+；
③()ln ,()f x x g x x ==； ④()1,x
f x e
-=+1
()g x x
=-。
则在区间(0,)+∞上存在唯一“相互接近点”的是 （ ） A.①② B.③④ C.②④ D.①③
第Ⅱ卷（10题：共90分）
二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u r u u u r u u u r
，且,,A B C 三点共线，则k = 。
14. 数列{}n a 满足111,,*21
n
n n a a a n N a +==
∈+，则通项n a = 。
15.已知集合0{(,)|}4312x x y y x
x y ≥??
≥??+≤?表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点(,)P x y ，若23
1
x y u x ++=
+，则u 的取值范围是 。
16.若函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，
,x y 满足不等式22(2)(2)0,(1,2),(,),f x x f y y M N x y O -+-≤为坐标原点，则当
14x ≤≤时，OM ON ?u u u r u u u r
的取值范围为 。
三、解答题（包括6小题，共70分） 17. （本题10分）
已知集合2
4
{|4},{|1}3
A x x
B x x =<=<+。 （1）求集合A B I ；
（2）若不等式2
20x ax b ++<的解集为B ，求,a b 的值。 18. （本题12分）
已知函数()4sin cos()3
f x x x π
=+
（1）求()f x 的最小正周期T ； （2）求()f x 在区间[,]46
ππ
-上的最大值和最小值及取得最值时x 的值。
19. （本题12分）
已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且1052a a =。 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中不大于27m
的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项
和m S 。
20.（本题12分）
已知向量2,cos2),(cos2,cos2)a x x b x x ==-r r
（1）若7513
(
,),241225
x a b ππ∈?+=-r r ，求cos 4x 的值； （2）设ABC V 的三边,,a b c 满足2
b a
c =，且边b 所对应的角为x ，若关于x 的方程
1
2
a b m ?+=r r 有且仅有一个实数根，求m 的值。
21. （本题12分）
已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1015a =，且347,,a a a 成等比数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n a b =，数列{}n b 的前n 项和n
T ，求证：7
1(*)4
n T n N -≤<-∈。
22. （本题12分）
已知函数2()(21)ln f x ax a x x =-++。 （1）当1a =时，求()f x 的极值；
（2）设()1x g x e x =--，若对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
参考答案
一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
二、 填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 13．23k =-
； 14.121
n -； 15.[3,7]； 16.[0,12]。 三、 解答题
17.（1）(2,2),(3,1);(2,1)A B A B =-=-=-I ； （2）4,6a b ==-.
18.（1）()2sin(2),3
f x x T π
π=+=；
（2）当4
x π
=-时，min ()1f x =-；当12
x π
=
时，max ()2f x =。
19.（1）7n a n =；（2）2121
77
7;48
m m m m b S +--==。
20.（1）3sin(4)65x π
-=-；3cos 410
x -=。 （2）1cos (0,]23x x π≥∴∈，1sin(4)[,1]62x π-∈-1m ∴=或12
-。
21.（1）25n a n =-；
（2）2112n n n T -=--。21
012n n
n T ->∴<-Q 11123
(2)2n n n n n n T T T T n +++--=∴>≥
又1237,24T T =-=-122,T T T >∴Q 最小，即27
4n T T ≥=-。
综上：7
1(*)4
n T n N -≤<-∈
22.（1）(21)(1)
()x x f x x
--'=
当12x =
时，()f x 有极大值，且()f x 极大值=5
ln 24
--； 当1x =时，()f x 有极小值，且()f x 极小值=2-。
（2）()1,x
g x e '=-其在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以min ()(0)0g x g == 对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可。 即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立。
22(21)1
()ax a x f x x
-++'=
①当0a =时，1()ln ,()x
f x x x f x x
-'=-=
，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >，所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，max ()(1)10f x f ==-<，
所以0a =符合题意。 ②当0a <时，(21)(1)
()ax x f x x
--'=
，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >，
所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，max ()(1)10f x f a ==--≤，所以
10a -≤<符合题意。
③当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=
，由()0f x '=得121,12x x a =
=；当1
2
a >时，101x <<，由()0f x '>得102x a <<
或1x >；由()0f x '<得1
12x a
<<，所以()f x 在(1,)+∞上是增函数，易知()f x 可取到正值，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾。
同理当1
02
a <≤
时也不成立。 综上，a 的取值范围为[1,0]-。