全国2008年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码：04184
说明: |A |表示方阵A 的行列式，
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．设A 为3阶方阵，且==-||3
1
31A A 则，（ ）
A ．-9
B ．-3
C ．-1
D ．9
2．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2
，则必有（ ） A ．A =B B ．A = -B C ．|A |=|B | D ．|A |2=|B |2
3．已知矩阵A =??? ??-1011，B =??
? ??1101，则AB -BA =（ ） A ．??? ??--1201 B ．??? ??-1011 C ．??? ??1001 D ．??
? ??0000 4．设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（ ）
A ．??? ??0000
B ．??? ??0001
C ．??? ??0011
D ．??
? ??1011 5．设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(222221111122221111d c b a d c b a c b a c b a ====ββαα，下列命题中正确的是（ ）
A ．若21αα,线性相关，则必有21ββ，线性相关
B ．若21αα,线性无关，则必有21ββ，线性无关
C ．若21ββ，线性相关，则必有21αα,线性无关
D ．若21ββ，线性无关，则必有21αα,线性相关
6．已知???
?
?????? ??-132,121是齐次线性方程组Ax =0的两个解，则矩阵A 可为（ ）
A ．（5，-3，-1）
B ．??? ??-112135
C ．??? ??--712321
D ．???
? ??----135221121 7．设m ×n 矩阵A 的秩r (A )=n -3(n >3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ） A ．α，β，α+β B ．β，γ，γ-β C ．α-β，β-γ，γ-α D ．α，α+β，α+β+γ
8．已知矩阵A 与对角矩阵D =???
? ??--10001000
1相似，则A 2=（ ） A ．A B ．D C ．E D ．-E
9．设矩阵A =???
?
??001010100，则A 的特征值为（ ）
A ．1，1，0
B ．-1，1，1
C ．1，1，1
D ．1，-1，-1
10．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2
=E ，则必有（ ） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．已知行列式01
110321
2=-a ，则数a =__________.
12．设方程组???=+=+020
221
21kx x x x 有非零解，则数k = __________.
13．设矩阵A =??? ??--311102，B =??
? ??753240，则A T B = __________.
14．已知向量组??
?
?
? ??+=????? ??=????? ??=4212,0510,2001321t ααα的秩为2，则数t = __________. 15．设向量的长度为则αα),1,2
1
,1,2(-= __________.
16．设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β
3
等价，则向量组β1，β2，β3的秩为 __________.
17．已知3阶矩阵A 的3个特征值为1，2，3，则|A *|= __________.
18．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r (A )= __________.
19．矩阵A =???
? ??--31412242
1对应的二次型f = __________. 20．设矩阵A =??
? ??-1002，则二次型x T Ax 的规范形是__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D =5
02101132
1014321---的值.
22．已知A =??? ??-2141，B =??? ??-1102，C =??
? ??-1013，矩阵X 满足AXB =C ，求解X .
23．求向量β=（3，-1，2）T 在基α1=（1，1，2）T ，α2=（-1，3，1）T ，α3=（1，1，1）T
下的坐标，并将β用此基线性表示.
24．设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.
试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性.
25．已知线性方程组???
??-=++-=++-=++3
2232
1321321λλλλx x x x x x x x x ，
（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.
（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基
础解系表示）.
26．已知矩阵A =???
?
??111111111，求正交矩阵P 和对角矩阵Λ，使P -1AP =Λ.
四、证明题（本题6分）
27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个
基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.
全国2009年10月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．行列式011110111
1011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 2．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ）
A ．
21 B ．1 C ．3
4 D ．2
3．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B A D ．11--A B
4．已知2阶矩阵???? ??=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1
*)(A （ ）
A ．???? ??----d c b a
B ．????
??--a c b d
C ．???? ??--a c b d
D ．???
?
??d c b a
5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）
A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组
B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量
C ．s ααα,,,21 全是非零向量
D ．s ααα,,,21 全是零向量
6．设A 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ） A ．n r =)(A B ．m r =)(A C ．n r <)(A D ．m r <)(A
7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ） A ．?????
??101010001
B ．?????
??-101010001
C ．????
? ??100020001 D ．????
? ??101011001 9．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．设矩阵???
?
? ??=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）
A ．2
3
2221z z z ++ B ．2
3
2221z z z --- C ．232221z z z -- D ．2
32221z z z -+
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．已知行列式422221111
-=-+-+b a b a b a b a ，则=2
21
1b a b a ______. 12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C T =，则2C =______. 13．设矩阵?
???
? ??=333022001A ，则=???
??-1
21A ______.
14．已知矩阵方程B XA =，其中???
?
??-=???? ??=0111,1201B A ，则=X ______. 15．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______. 16．设向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则向量组21,ββ的秩为
______.
17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为???
?
? ??++-0100101
0121
1a a ，若该方程组无解，则a 的取值为______.
18．已知3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则|E +A |=______. 19．已知向量T k )2,,3(=α与T k ),1,1(=β正交，则数=k ______.
20．已知3元二次型2
3
2221321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的最大取值范围是______.
三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21．计算行列式1
11111111
1111111---+-----+=x x x x D 的值.
22．设矩阵???
?
??-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求|B |.
23．已知线性方程组???
??=-=-=-313
232121a
x x a x x a x x
(1)讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．
(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，
求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
25．设矩阵???
? ??-=???? ??=1205,3421B A ，存在T
T )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在,)1,0(,)1,3(21T T ==ββ使得2211,5ββββ-==B B .试求可逆矩阵P ，
使得B AP P =-1.
26．已知二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求一正交变换Py x =，将此二次型化
为标准形．
四、证明题(本题6分)
27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组
32,,ααβ也线性无关．
全国2010年1月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．设行列式11
11304=z
y x ，则行列式
=1
111034
222z y x （ A ） A ．
2
B ．1
C ．2
D ．8
2．设C B A ,,为同阶可逆方阵，则=)(ABC （ B ）
A ．111---C
B A B ．111---A B
C C ．111---B A C
D ．111---B C A 3．设4321,,,αααα是4维列向量，矩阵),,,(4321αααα=A ．如果2||=
A ，则=-|2|A （ D ） 4321A ．4321,,,αααα一定线性无关
B ．1α一定可由432,,ααα线性表出
C ．4321,,,αααα一定线性相关
D ．321,,ααα一定线性无关 5．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α，)1,1,1(3=α的秩为（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．设A 是64?矩阵，2)(=A r ，则方程组0
=Ax 的基础解系中所含向量的个数是（ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
A ．n m ≥
B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解
C ．m A r =)(
D ．0=Ax 存在基础解系
8．设矩阵??
??
?
?????--=496375A ，则以下向量中是A 的特征向量的是（ A ） A ．T
B ．T
C ．T
D ．T
9．设矩阵??
??
?
?????--=111131111A 的三个特征值分别为321,,λλλ，则=++321λλλ（ B ）
10．三元二次型332231211321912464),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的矩阵为（ A ）
A ．????
??????963642321 B ．??????????963640341 C ．??????????960642621 D ．????
???
???9123042321 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
12．设????
????
??=110012000012
A ，则=-1A _________．
13．设方阵满足O E A A =+-2，则=-
_________．
16．设是实矩阵，若，则=)(A r _________． 17．设线性方程组??
?
?
????-=????????????????21111121x x a a 有无穷多个解，则=
a _________．
20．二次型84434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=的秩为_________．
21．计算4阶行列式876576546543
5432=
D ． 解：01
1
1
111116
54354
3211
1
176546543543287
65
76546543
5432====
D （标准答案）． 22．设??
??
?
?????---=375254132A ，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵1-A ． 解：???
?
? ??----→????? ??----→????? ??---=001010110132254121110010001121254132100010001375254132),(E A
????
? ??------→????? ??------→450221110230110121221450110110230121 ????? ??-----→????? ??------→2130121031000100212132211101001101
21 ????? ??-----→213012121100010001，所以A 可逆，且1
-A ????? ??-----=213012121（标准答案）
． 23．设向量)2,3(=α，求101)(ααT ．
解：αααααααααααααααα
100
101
101)())(()())(()(T T T T T T T T ==，
由于)13(23)2,3(=???
?
??=T αα，
所以10010010113)13()(==ααααT T ???
? ??=???? ??=466913)2,3(2313100100ααT （标准答案）． 24．设向量组)6,3,2,1(1=α，)4,2,1,1(2-=α，)8,2,1,1(3---=α，)2,3,2,1(4=α． （1）求该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表示为该极大无关组的线性组合．
解：（1）??????? ??----=2846322321121111),,,(4321T
T T T αααα→??????
? ??------42200
11003301111
→??????? ??------2110011001101111→??
?
??
??
??----2200000001101111→??
?
?
?
??
??----0000220001101111
→??????? ??--0000110001101111→??
?
???? ??0000110010102011→??????
? ?
?00
0011001010
1001
， 321,,ααα是一个极大线性无关组；
（2）=4α321ααα++（标准答案）．
25．求齐次线性方程组???
??=--=---=-+030402321432142
1x x x x x x x x x x 的基础解系及其通解．
解：????? ??------=011311142011A →????? ??-----614071502011→???
?
? ??----61401010201
1
→????? ??----6140101
02011→????? ??---210010102011→???
?? ??---210010101001， ?????
??====4
4434
2412x x x x x x x x ，基础解系为??????? ??1211，通解为??
?????
??1211k ． 26．设矩阵?????
?????---=324010223A ，求可逆方阵P ，使AP P 1-为对角矩阵． 解：)1()1()1)(1(3
42
3)1(3
240102
23||22-+=-+=+--+=+--+--=-λλλλλλλλλλλA E ，
A 的特征值为121-==λλ，13=λ．
对于121-==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x B E λ：
????? ??-→????? ??----=-0000002/12/11224000224A E λ，???
?
???==+-=33
223212121x x x x x x x ，基础解系为
????? ??-=012/11p ，????
? ??=102/12p ；
对于13=λ，解齐次线性方程组0)(=-x B E λ：
????? ??-→????? ??----=-000010101424020222A E λ，?????===332310x x x x x ，基础解系为???
?? ??=1013p ．
令????? ??-=11000112/12/1P ，则P 是可逆方阵，使得????
? ??--=-1000100011
AP P ．
四、证明题（本大题6分）
27．已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ，
即 0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，
因为4321,,,αααα线性无关，必有???
???
?=+=+=+=-0
00
433
221
41k k k k k k k k ，
021
11
11
101110
011100111011
1000110101100011100011000111001||≠=-=-==
=-=A ，
只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关．
全国2010年4月自学考试线性代数（经管类）试题
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)
1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2
211c b c b =n ,则222
111c a b c a b ++=( )
A.m-n
B.n-m
C.m+n
D.-(m+n )
2.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA
3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8
4.已知A=????? ??333231232221131211a a a a a a a a a ，B =???
?? ??333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =?????? ??100030001，Q =?????
? ??100013001，则B =（ ）
A.P A
B.AP
C.QA
D.AQ
5.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误．．
的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
8.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩
（ ）
A.小于m
B.等于m
C.小于n
D.等于n
9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2
C.A -1
D.A *
10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=212322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式
2010
200820092007的值为_________________________.
12.设矩阵A=???
?
??-102311,B=?
??? ??1002,则A T B=____________________________. 13.设4维向量=α(3,-1,0,2)T ,β=(3,1,-1,4)T ，若向量γ满足2+αγ=3β，则γ=__________.
14.设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=n
1
-,则|A -1|=___________________________.
15.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.
16.齐次线性方程组???=+-=++0320
32
1321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________.
17.设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵1
231-??
?
??A 必有一个特征值为_____________.
18.设矩阵A=?????
??? ??----00202221x 的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.
19.已知A =?????????
?
??100021
021b a
是正交矩阵，则a +b =_______________________________。
20.二次型f (x 1, x 2, x 3)=-4x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的矩阵是_______________________________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D =3
3
3
222
c c b b a a c b a c
b a
+++的值。 22.已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。
23.设向量组,,,,T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)=α=α=α=α求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
24.已知矩阵A =????????? ??100210321，B=??
?
??
???
? ??--315241.（1）求A -1；（2）解矩阵方程AX =B 。
25.问a 为何值时，线性方程组??
??
???=++=+=++6
32222432321
32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出
其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。
26.设矩阵A =?????
??
?
?
?3030
002a
a 的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使P -1AP =???????
? ??500020001。
四、证明题（本题6分） 27.设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明（A +B ）-1=A -1+B -1。
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中，A T
表示矩阵A 的转置矩阵（行列对换）；A *
表示A 的伴随矩阵； A -1
=
*
A A
（重要）
求A -1
和A*时，可用这个公式，A *太复杂了自己看看
r (A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。100E 010001????=??????
2002E 020002??
??=??
????
,每一项都乘2
一、单项选择题 [ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；| |表示行列式，计算后为一个
数值，行列式相乘为数值运算 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( C ) A.-12 B.-6 αi （i =1,2,3）为A 的列向量，3行1列 C.6 D.12
2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0
5 10 2 0 2 0 3 ----=( A )=3*-2*10*3=-180
A.-180
B.-120
C.120
D.180
3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( C )=23
| A |=8*1/2=4
A.
21 B.2 C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B ) n+1个n 维向量线性相关 A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( C ) A.2 B.3 n- r (A )=解向量的个数=2,n=6
C.4
D.5 6.设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B )，则( C ) A 与B 合同? r (A )=r (B ) ?P T AP=B, P 可逆
A.A 与B 相似
B.| A |=| B |
C.A 与B 等价
D.A 与B 合同 7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( D )，| A |=所有特征值
的积=0
A.0
B.2 A +2E 的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A +2E |=4*3*2
C.3
D.24 8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( B ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同 C.| A |=| B | D.A 与B 有相同特征值
A 、
B 相似?A 、B 特征值相同?| A |=| B |? r (A )=r (B )；若A ～B ，B ～
C ，则A ～C （～代表等价）
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( D )
T 0σβ=, 即
1*2-2*3+1*t=0，t=4
A.-2
B.0
C.2
D.4
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( B )，所有特征值都大于0，正定； A.A 正定 B.A 半正定 所有特征值都小于0，负定；
C.A 负定
D.A 半负定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设A =?
???
? ??-4 21 02 3,B =???
???--0 1 01 1 2，则AB =（A 的每一行与B 的每一列对应相乘相加）=3*22*03*12*13*12*00*21*00*11*00*11*02*24*02*14*12*14*0----+-?? ?++-+ ? ?++--+??=653010422-?? ?- ? ?--?? 111213212223
313233a a a a a a a a a ?? ?
? ?
??
下标依次为行列，如21a 表示第二行第一列的元素。 A 为三行两列的矩阵即3×2的
矩阵，B 为2×3的矩阵，则AB 为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置
12.设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |= 33| A -1
|=27*1A
=9
13.三元方程x 1+x 2+x 3=1的通解是_______________. 扩充为123231
000000
x x x x x ++=++=++=，再看答案
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________. 15.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________.
16.设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，2
1
，1，则| 5A -1 |=____同12题__________.
17.若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________. 若矩阵A 的行列式| A |≠0，则A 可逆，即A A -1=E ，E 为单位矩阵。Ax =0只有零解?| A |≠0，故A 可逆
若A 可逆，则r (AB )= r (B )=3，同理若C 可逆，则r (ABC )= r (B )
18.实对称矩阵A=????
? ??--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=22
131223222x x x x x x +-+
实对称矩阵A 对应于2
112
13212
2
2321323
3
x x x x x x x x x x x x x x x ??
?
? ??
?
各项的系数 19.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=????? ??321，α2=???
?
? ??-3 2 1且r (A )=2，则Ax =b 的通解是
_______________.
20.设α=???
?
? ??321，则A =ααT 的非零特征值是_______________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D =2 0 0 0 1 0 0 2 0 0
0 0 0 2 0 1 0 0 0 2
22.设矩阵X 满足方程
????? ??-2 0 00 1 00 0 2X ????? ??0 1 01 0 00 0 1=????? ??---0 2 11 0 23 4 1 求X .
23.求非齐次线性方程组
???
??=--+=+--=--+0
8954433134321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通. 24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
25.已知A =????
? ??---2 13 5 2 1 2 b a 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量. 26.设A =???
?
? ??----2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2a ，试确定a 使r (A )=2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.
全国2010年10月自学考试
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8
2.设矩阵A=???
?
??-11,B=(1,1),则AB=( )
A.0
B.(1,-1)
C. ?
??
?
??-11 D. ???? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )
A.AB-BA
B.AB+BA
C.AB
D.BA
4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=???? ??4321,则A -1
= ( ) A.2
1
-
????
??--1234 B. 2
1
-
???? ??--4321 C. 21- ???
?
??4321 D. 21- ???
?
??1324 5.下列矩阵中不是．．
初等矩阵的是( ) A.????? ??000010101 B. ????
?
??001010100
C. ????? ??100030001
D. ????? ??102010001
6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆
7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( ) A. α1, α2,β线性无关
B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一
D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
9.设齐次线性方程组???
??=++λ=--=+-0
x x x 0x x x 0x x x 2321
321321有非零解,则λ为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
10.设二次型f(x)=x T Ax 正定,则下列结论中正确的是( ) A.对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零 B.f 的标准形的系数都大于或等于零 C.A 的特征值都大于零 D.A 的所有子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式2
11
0的值为_________.
12.已知A=???
?
??3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
13.设矩阵A=???? ??--4231,P=?
??
? ??1011,则AP 3
=_________. 14.设A,B 都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1B|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.
16.已知Ax=b 为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且
,9753,4321311????
??
? ??=α+α??????? ??=α则该线性方程组的通解是_________.
17.已知P 是3阶正交矩,向量=βα???
?
? ??=β????? ??=α)P ,P (,201,231则内积_________.
18.设2是矩阵A 的一个特征值,则矩阵3A 必有一个特征值为_________.
19.与矩阵A=???
?
??3021相似的对角矩阵为_________.
20.设矩阵A=???
? ??--k 221,若二次型f=x T
Ax 正定,则实数k 的取值范围是_________.
三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21.求行列式D=
.012010122
1010210的值 22.设矩阵A=,000012021B ,100001010???
?
? ??---=????? ??-求满足矩阵方程XA-B=2E 的矩阵X.
23.若向量组???
?? ??--=α????? ??-=α????? ??-=α????? ??=αk 202,k 62,311,1114321的秩为2,求k 的值.
24.设矩阵.012b ,121011322A ???
?
? ??=????? ??--=
(1)求A -1;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,设B=A 2+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.
(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.
26.求二次型f(x 1,x 2,x 3)=- 4 x 1x 2+ 2x 1x 3+2x 2x 3经可逆线性变换???
??=+-=++=33
32123211y 2x y y 2y 2x y y 2y 2x 所得的标
准形.
四、证明题(本题6分)
27.设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是1±.
全国2011年1月高等教育自学考试
说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的
内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设行列式333231232221
13
1211
a a a a a a a a a =4，则行列式33
3231232221
13
12
11333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48
2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1
3.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E
4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关
C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示
D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 6.设A 为n 阶方阵，r (A ) 7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解 8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =??? ? ? ?????200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ） A.20 B.24 C.28 D.30 9.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A. 21 B.1 C.2 3 D.2 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=3231212 32221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.行列式1 22 1---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =?? ? ? ??1101，k 为正整数，则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=?? ? ???4321，则矩阵A =_________________________.
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