第一章 三角函数
任意角和弧度制
1.1.1任意角
学习目标：
（1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；
（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（3）理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
学习重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.
学习过程
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的假如你的手表快了小时，你应当如何将它校准当时间校准以后，分针转了多少度
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋
转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360??~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了0360??~角的概念，它是如何定义的呢
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题又该如何区分和表示这些角呢 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方
向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图中，正角210α?=，负150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.
3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图中的30?角、210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
4.练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几100天后的那一天是星期几
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图,以它为终边的角是否唯一如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系请结合 4.(2)口答加以分析.
不难发现,在教材图中,如果32?-的终边是OB ,那么328,392??-L 角的终边都是OB ,而328321360???=-+?,39232(1)360???-=-+-?.
设{|32360,}S k k Z ββ??==-+?∈,则328,392??-角都是S 的元素,32?-角也是S 的元素.因此,所有与32?-角终边相同的角,连同32?-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32?-角终边相同.
一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 {|360,}S k k Z ββα?==+?∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
6.例题讲评
例1. 例1在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判
定它是第几象限角.（注：0360??－是指0360β??≤<）
例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
例 3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤720?<的元素β写出来.
7.练习
教材6P 第3、4、5题.
注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.
学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢
(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗会写终边落在x 轴、y 轴、直
线y x =上的角的集合.
作业：
1．习题1.1 A 组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于360?的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．
随堂练习
1、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题：①C B A == ②C A ? ③A C ? ④B C A =?
其中正确命题的个数为 （ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 4
2、与120°角终边相同的角是 （ ）
A. －600°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
B. －120°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
C. 120°＋(2k ＋1)·180°，ｋ∈Ｚ
D. 660°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
3、若α是第四象限角，则1800-α是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5、下列命题中正确的是 （ ）
A. 终边在y 轴正半轴上的角是直角
B. 第二象限角一定是钝角
C. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
D. 第四象限角一定是负角
6、若角α与β终边相同，则一定有 （ ）
A. α＋β＝180°
B. α＋β＝0°
C. α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ
D. α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
7、若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；
B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；
C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列正确的是（ ）
A. Ａ＝Ｂ＝Ｃ
B. Ａ＝ＢI Ｃ
C. ＡY Ｂ＝Ｃ
D. ＡＢＣ
8、若α与β的终边互为反向延长线，则有 （ ）
A. α＝β＋180°
B. α＝β－180°
C. α＝－β
D. α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ
9、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角
是 .
10、终边在第二象限的角的集合是
11、今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那
一天是星期 .
12、钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
【课后札记】
1.1.2弧度制
学习目标：
（1）理解并掌握弧度制的定义；
（2）领会弧度制定义的合理性；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；
（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.
学习重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；
弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
学习过程
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢1弧度是什么意思一周是多少弧度半周呢直角等于多少弧度弧度制与角度制之间如何换算请看课本67P P ~，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ， 弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少
角α的弧度数的绝对值是：r
l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径.
5.根据探究中180rad π?=填空:1___rad ?=,1___rad =度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
7例1.按照下列要求,把'6730?化成弧度:
(1)精确值；
(2)精确到的近似值.
例2.将rad 换算成角度(用度数表示,精确到.
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12
S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.
例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗
作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．
随堂练习
1、下列各对角中终边相同的角是 （ ） A. πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B. －3
π和322π C. －97π和911π D. 9
122320ππ和 2、若α＝－3，则角α的终边在 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3、若α是第四象限角，则απ-一定在 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4、下列与π6
13-的终边相同的角（Z ∈k ）是 （ ） A. ππk 26+ B. ππk 2610+ C. ππk 2611+ D. ππk 26
7+- 5、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值
为 （ ） A. 2sin1 B. 1
sin 12 C. 2cos 11- D. 1sin1 6、把01125-化成()πααπ20,2<≤∈+Z k k 2sin1
的形式是 （ ） A ． 46ππ-- B ．476ππ+- C ．48ππ-- D ．4
78ππ+-
7、集合()??????∈?-+==Z k k x x A k ,21|ππ，?
?????∈+==z k k x x B ,22|ππ,则A 、B 的关系为 （ ）
A ．
B A ? B ．A B ?
C ．B A =
D ．=
?B A 8、已知()Z k k ∈+=323ππα，则2
α在 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． x 轴上 D ． y 轴上
9、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
10、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
11、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
12、在（－4π，4π）上与角3
16π终边相同的所有角为 .
【课后札记】
1.2.1任意角的三角函数(一)
学习目标：
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
学习重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
学习过程
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
第一课时
提问：锐角O
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示三角函数吗
如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点
(,)
P a b,它与原点的距离0
r=>.
过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP
的长度为b.则sin
MP b
OP r
α==;cos
OM a
OP r
α==; tan
MP b
OM a
α==.
思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢
显然，我们可以将点取在使线段OP的长1
r=的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系
内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin
MP
b
OP
α==; cos
OM
a
OP
α==; tan
MP b
OM a
α==.
思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)
P x y,那么:
(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin y
α=；
（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos x
α=；
（3）y
x
叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)
y
x
x
α=≠.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就
必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)
P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如
何求它的三角函数值呢
前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的
大小有关.
我们只需算点到原点的距离r =,
那么sin α=,
cos α=,tan y x
α=.所以，三角函数是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求53
π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设3,4,x y =-=-
则5r ==.
于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3
y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入
7例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0
θθ<>成立时，角θ为第三象限角. 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈)
tan(2)tan k απα+=
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250?; (2)sin()4
π-; (3)tan(672)?-; (4)tan3π 例5.求下列三角函数值:
(1)'sin148010?; (2)9cos 4π; (3)11tan()6
π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0?到360?)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10. 巩固练习17P 第4,5,6,7题
学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系你在解题时会准确熟练应用公式一吗
作业：1．习题1.2 A 组第1,2题．
随堂练习
1、若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ）
A ．第一、四象限
B ．第一、三象限
C ．第一、二象限
D ．第二、四象限
2、若α是第二象限角，用2cos |2cos |αα-=，则2
α是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3、sin2·cos3·tan4的符号是 （ ）
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不确定
4、角α终边上有一点（a ，a ）则sin α= （ ）
A ．22
B ．－22或 22
C ．－2
2 D ．1 5、若三角形的两内角，满足sin cos <0，则此三角形必为 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上三种情况都可能
6、若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 （ ）
A ．sin +cos <0
B ．tan sin <0
C ．sin tan <0
D ．tan sin <0
7、下列说法正确的是 （ ）
A ．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零。
B ．设A 是第三象限的角，且2sin |2sin |A A -=，则2
A 是第四象限的角。 C ．对任意的角α，都有ααααcos sin cos sin +=+。
D ．若αcos 与αtan 同号，则α是第二象限的角。
8、若α为第二象限角，那么αααα2cos ,2tan ,2
cos ,2sin 中，其值必为正的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
9、适合条件|sin α|=－sin α的角α是第 象限角或y 轴负半轴。
10、已知α的终边过点)2,93(+-x x ，且αcos ≤0，0sin >α，
则∈x _______。 11、若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且32sin -
=α，则ｙ的值是 。 12、填表：
0 30
45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度
αsin
αcos
αtg
13、已知是第三象限角且02cos <，问2
是第几象限角 14、已知第二、第三象限角x 满足cosx=a a --432，求实数a 的取值范围。
15、已知角θ的终边上一点P 的坐标是（x ，–2）(x ≠0)，且3cos x =θ，求sin θ和tan θ的值。
【课后札记】
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、三角函数的定义；
2、三角函数在各象限角的符号；
3、三角函数在轴上角的值；
4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】 1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角
函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢换句话说，能否用几
何方式来表示三角函数呢
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位
长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注
意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有
一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于
点M ，则请你观察:
根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化
3．思考：
（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个
适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致
（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM
的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种
情况都有cos
OM xα
==
同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：
当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin
MP yα
==
4.像MP OM
、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角α的正切呢
如上图,过点(1,0)
A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段
OA AT
、,我们有tan
y
AT
x α==
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT
、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：
（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗
（2）当α的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢
7.例题讲解
例1．已知42π
π
α<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.
8.练习19P 第1,2,3,4题
学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、
正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)sin15?、tan15? （2）'cos15018?、cos121? （3）5
π、tan 5π 2．练习三角函数线的作图.
随堂练习
1、已知βα,是第一象限的角，且βα>，则 （ ）
A ．必有βαsin sin >
B ．必有βαsin sin <
C ．必有βαsin sin ≠
D ．不确定
2、在区间（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围是 （ ）
A ．(4π, 2π)∪(π,45π)
B ．(4π,π)
C ．(4π,45π)
D ．(4π,π)∪(45π,23π) 3、若??
? ??∈2,4ππθ，那么下面不等式成立的是 （ ） A ．θθθtan cos sin << B ．θθθtan sin cos <<
C ．θθθcos tan sin <<
D ．θθθsin tan cos <<
4、若βαcos cos =，则α与β之间的关系是 （ ）
A ．
βα=B ．Z k k ∈=-,2πβα C ．Z k k ∈+=,βπα D ．Z k k ∈=±,2πβα
5、函数x x y tan sin -+=有意义，则x 的取值范围是 （ ）
A ．()Z k k x k ∈+<<,122ππ
B ．Z k k x k ∈+
<≤,222πππ C ．()Z k k x k ∈+≤<+,1222πππ D ．()Z k k x k x k ∈=+<<+,,122
2πππ
π或 6、设α是第三象限的角，下列各式的值恒为正的是 （ ）
A ．ααcos sin +
B ．ααcos 1cos +
C ．ααcos tan +
D ．ααtan sin + 7、已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 （ ）
A ．若βα,是第一象限的角，则βαcos cos >
B ．若βα,是第二象限的角，则βαtan tan >
C ．若βα,是第三象限的角，则βαcos cos >
D ．若βα,是第四象限的角，则βαtan tan >
8、点P 从（1，0）出发，沿单位圆122=+y x 按逆时针方向运动3
2π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 （ ）
A ．???? ??-23,21
B ．???? ??--21,23
C ．???
? ??--23,21 D ．???? ??-21,23 9、已知2
1sin <
α，则满足条件的角α的取值范围是___________________. 10、写出使ααcos sin >的角α的集合是_______________.
11、设MP 和OM 分别是角π18
17的正弦线和余弦线，则给出以下不等式： ①0<
12、5
2tan ,56cos ,52sin πππ从小到大的顺序是_____________
【课后札记】
1.2.2同角三角函数的基本关系
学习目标：
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；
(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；
(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；
(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；
（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
（7）掌握恒等式证明的一般方法.
学习重、难点
重点：公式1cos sin 22=+αα及αα
αtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
学习过程
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数
之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一
个角不同三角函数之间的关系吗
如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP
三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾
股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.
根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有
sin tan cos ααα
=.这就是说,同一个角α 正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.
2. 例题讲评
例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值.sin ,cos ,tan ααα三者知一求
二,熟练掌握.
3. 巩固练习23P 页第1,2,3题
4.例题
例7.求证:
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题
学习小结
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γ
βαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符
号，即要就角所在象限进行分类讨论．
作业：习题1.2A 组第10,13题.
随堂练习
1、下列表示同一函数的是 （ ）
A ．x x f sin )(= ；x
x x x g sin )(= B ．x x f sin )(= ；x x g 2sin 1)(-= C ．1)(=x f ；x x x g 22cos sin )(+= D ．1)(=x f ；x x x g cot tan )(?=
2、若0cos cos sin sin 122=?+?+θθθθ成立，θ不可能是
（ ） A ．第一、二、三象限的角 B ．第一、二、三象限的角
C ．第一、二、三象限的角
D ．任何象限的角
3、下列四个命题中，可能成立的是 （ ）
A ．2
1cos 21sin ==αα且 B ．1cos 0sin -==αα且 C ．1cos 1tan -==αα且 D ．()在第二象限αα
ααcos sin tan -= 4、已知()παα,0,5
4sin ∈=，则αtan 的值为 （ ） A ．34 B ．43 C ．43± D ．3
4±
5、若21cos sin 1-=+x x ，则1
sin cos -x x 的值是 （ ） A ．21 B ．2
1- C ．2 D ．2- 6、若α是第四象限的角，且2cos 2sin 212cos 2sin α
α
α
α
-=-，则2
α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角
C ．第一或第三象限的角
D ．第二或第四象限的角
7、若角α的终边落在直线0=+y x 上，则αααα
cos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或2 D ．0
8、设ααcos sin +=t ，且0cos sin 33<+αα，则t 的取值范围是 （ ）
A ．)0,2[-
B ．]2,2[-
C ．]2,1()0,1(?-
D ．),3()0,3(+∞?-
9、化简： cos 4α－sin 4α＋2sin 2α=_________________.
10、0cos sin 12≠α=α-，那么α是第 象限或x 轴正半轴上的角.
11、若a a -==1cos ,sin αα，则_________=a ．
12、已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在)2,0[π内的α的取值范
围为_______．
13、 已知2tan =α，求下列各式的值： (1)α
αααsin cos 3sin 3cos 2++； (2)2cos sin 2sin 2+-ααα； 14、已知2cos sin cos sin =-+θ
θθθ，求θθcos sin ?的值． 15、求证：()x
x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+ 16、已知sin α·cos α＝81，且2
4παπ<<，则cos α－sin α的值是多少 【课后札记】