课时作业21 向量数量积的物理背景与定义
向量数量积的运算律
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( ) A ．－3 2 B ．－62 C ．6 2
D ．12
解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos135°＝3×4×(－2
2)＝－6 2.
答案：B
2．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由(2a ＋b )·b ＝0得2a ·b ＋b 2＝0，从而a ·b ＝－b 2
2，
所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－
b 2
2|a |·|b |＝－1
2，〈a ，b 〉＝120°.
答案：C
3．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2等于( )
A ．1
B ．2
C．4 D．5
解析：|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5.
答案：D
4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3
C．2 D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.
∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
答案：D
5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( )
A.AB→∥CD→
B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)
C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0
D.AB→·AD→＝BC→·CD→
解析：A显然正确；
B：AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∵菱形对角线互相垂直，
∴AC→⊥BD→.∴B正确．
C：AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，同B一样，正确．
D：AB→·AD→＝|AB→||AD→|cos∠BAD，BC→·CD→＝|BC→||CD→|cos(π－∠BAD)＝－|AB→||AD→|cos∠BAD.
6．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )
A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a ·b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a ·b 又∵a ⊥b ，且|a |≠|b |，
∴f (x )＝(|b |2－|a |2)x (|b |2－|a |2≠0) 故f (x )为一次函数且为奇函数，选A. 答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.
解析：本题考查向量数积及运算性质．
以{AB →，AD →}为基底，则AB →·AD →＝0，而AE →＝12AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，
∴AE →·BD →＝(12AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝－12|AB →|2＋|AD →|2＝－12
×22＋22＝2.
8．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a |
|b |
＝________.
解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.
∴cos120°＝a ＋2b ·a －2b
|a ＋2b ||a －2b |＝
a 2－4
b 2a 2＋4b 2
2
＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233
. 答案：233
9．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD
→的值是________．
解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，
所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－316
AB →2，
即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 借助AD →·AB →表示出AP →·BP →是解决本题的关键所在． 答案：22
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a ·b 的值及a 与b 的夹角θ.
解：由(2a －3b )(2a ＋b )＝61，得
4|a |2－4a ·b －3|b |2＝64－4a ·b －27＝61.
所以a ·b ＝－6，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
，
因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3，所以a 与b 的夹角θ为2π
3.
11．(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，求|2a －b |.
(2)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．
解：(1)∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. (2)∵|a |＝|a －b |，
∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝1
2|a |2，
又|a ＋b |＝
a ＋b
2
＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，
设a 与a ＋b 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝|a |2
＋1
2
|a |2
|a |·3|a |＝3
2
，
又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π
6.
12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；
(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． 解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×
－6＝13.
(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，
∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为
a ·a ＋b
|a ＋b |
＝1013
＝
1013
13
.
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向量数量积的运算律 新知检索 8.向量数量积满足交换律：·＝__________________________. 9.向量数量积满足分配律：（+）·＝______________________. 10.数乘向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ，有（?λ＝_________. 学法指导 本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律，并准确运用；重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题： 1.对于分配律，用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时，可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同. (1)已知实数)0≠b c b a （、、，则c a bc ab =?=；但对于向量、、，该推理是不正确的，即a ·b =b ·不一定能推出a =.只有当向量a 、b 、共线且同向时，才成立，否则就不成立. 比如：|a |＝3，|b |＝1，|c |＝3,< a ,b >=30°，=60°， 经过计算可知：·＝·，但≠. (2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc )，但对于向量、、c ，(·)·c ≠·(·c )，这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) . 2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论： （1）2（+＝22||2||b b a a +?+; （2）（a +b ）·（a -b ）＝22||||-.在以后的运算中，可以直接运用. 3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步：
平面向量的数量积及运算律 学校上南中学 姓名欧阳民 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．复习两个非零向量夹角的概念。 2．问题探索：利用物理学中的做功问题，来引入平面向量数量积（内积）的定 义： θcos b a b a =? 3．“投影”的概念： 定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积。 例1．若45==b a ,，当a 与b 的夹角为0120时，求b a ?。 变式1 若45==b a ,，当b a ⊥，求b a ?； 变式2 若45==b a ,，当b a //，求b a ?，a a ?； 变式3 若45==b a ,，当210=?b a ，求a 与b 的夹角； 变式4 若45==b a ,，当a 与b 的夹角为060时，求b a ?。 练一练，比一比： 1．已知68==q p ,，p 与q 的夹角为060，求q p ?。 2．设912==b a ,，254-=?b a ，求a 与b 的夹角。 3．已知ABC ?中，,,b a ==当00=??b a 呢？ 二、平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 3．分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c
精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]
8.1.2 向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】 知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则 交换律 a ·b ＝□ 01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□ 02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□ 04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a . (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2 －b 2 .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做
向量数量积的运算律 制作人：张明娟 审核人：叶付国 使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标： 1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算； 2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法； 3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法. 学习重点：向量数量积的运算律及其应用. 学习难点：向量数量积分配律的证明. 重点知识回顾： 1、两个向量的夹角的范围是： ； 2、向量在轴上的正射影 正射影的数量为 ； 3、向量的数量积（内积）：a ·b = ； 4、两个向量的数量积的性质： （1）b a ⊥? ； （2）a a ?= 或a = ； （3）θcos = ； 向量数量积的运算律 平面向量数量积的常用公式 证明：（1） （2） c b c a c b a b a b a b a b a a b b a ?+?=?+?=?=?=??=?))(3(;)()())(2(; 1λλλλ）（222 2))(1(b b a a b a +?+=+2 2))()(2(b a b a b a -=-+
典例剖析： 例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060， 求：（1）b 在a 方向上的投影； （2）a 在b 方向上的投影； （3） 例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求： ()() b a b a 32-?+） （））（；（）；（）（b a b a b a b a 32321 22+?-- ?（-+5 4取何值，问夹角为与t t b a -==0 120,1
例 3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？ 变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角. 练习题:求证菱形的对角线互相垂直. 例 4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.
= = AC ? ?? ? 2.3.2 向量数量积的运算律 类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模 【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。 【自主学习】： 向量数量积的运算律： （1） 交换律： 例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。 3 （2） 数乘 向量的数量积 结合律： 那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律： 变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600 , 求 。 【课堂互动】 类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证： 类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直： 已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。 （1） (a + b ) 2 = 2 + 2a ? b + 2 → → → → ；（2） a + b ?? a - b ? = ? ?? ? → 2 → 2 a - b ; 求证： AC ⊥ BD . 证明： → → → → 变式：已知 a = 3, b = 4, ?a , b ? = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b ) . 总结： a ⊥ b ? 。 a b
a b a ⊥ 变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。 2 【合作探究】 1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则 a ? b = a ? b 成 立 ， 对 于 向 量 3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3 的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ，则 k 的值为 。 a , b , a ? b = ? 成立吗？ 2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ? a = c ; 但对于向量， ab = bc ? a = c 还成立吗？ 4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2. 3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ? b )? c = a ? (b ? c )成立吗？ (a ? b ) ? c 表 示什么意义？ a ? (b ? c ) 表示什么意义？ 【当堂检测】 → → < >= 1200 , = = 5, (2a - b )? a = 1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则 （选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。 （1） 若 x = a + (t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t); （2） 求出函数 k=f(t)的最小值。 → → → → 2 2 、 a = 6, b = 8, ?a , b ? = 120 , 求 a + b , a + b .
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )
A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
周周清13平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=u u u v u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若 2AB BC AB 0?+=u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b , d =λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（ ） A ． 7 4 B ． 7 5 C ． 4 7 D ． 5 7 8、设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ） ① (a ·b )·c －(c ·a )·b =0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 ④ (3a +2b ) ·(3a －2b )= 9| a | 2 －4| b | 2 其中真命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（06陕西）已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12 AB AC AB AC ?=u u u r u u u r u u u r u u u r , 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10.（05全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是
第十二教时 平面向量的数量积的运算律 要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件 复习： 1 ?平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2 ?判断下列各题正确与否： 1若a = 0,则对任一向量b ,有a b = 0。 2若a 0,则对任一非零向量b ,有ab 0。 3 若 a 0, ab = 0,则 b = 0。 4若ab = 0,则a 、b 至少有一个为零。 5 若 a 0, a b = a c ,贝U b = c 。 6若a b = ac ,贝U b = c 当且仅当a 0时成立。 7对任意向量a 、b 、c ,有（a b ） c a （b c ）。 8对任意向量a ,有a 2 = |a|2。 平面向量的运算律 1 .交换律：a b = b a 证：设 a , b 夹角为，贝U a b = |a||b|cos , b a = |b||a|cos 二 a b = b a ??? c （a + b ） = ca + c b 即：（a + b ） c = a c + b c 4.例题：P118-119 例二、例三、例四 （从略） 三、应用例题：（《教学与测试》第27课P156例二、例三） 例一、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直, 解：如图：」ABCD 中：AB DC , AD BC , AC = AB AD 2 ■ 2 ? |AC |2=| AB AD |2 AB AD 而 BD = AB AD ? |BD |2=| AB AD |2 AB AD ?'?I c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2 2.( a) b = (a b) =a( b) 证 :若 > 0, ( a) b = |a||b|cos , (ab): = |a||b|cos , a (b): = |a||b|cos , 若 < 0, ( a) b =| a||b|cos() (ab): = |a||b|cos , a (b): =|a || b|cos() 3. (a + b) c =a c + b c 在平面内取一点 0,作OA = a, AB = b , |a||b|( cos ) = |a||b|cos , |a||b|( cos ) = |a||b|cos 。 __ !， __ p _____ h 2 ___ 2 ___ t k ? | AC |2 + |BDf = 2 AB 2AD = | AB |2 | BC |2 | DC |2 四、 小结：运算律 五、 作业：P119 习题5.6 7、8 《教学与测试》P152练习 |AD |2 ??? a + b （即OB ）在c 方向上的投影 等于a 、b 在c 方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2 教材: 目的: 过程: (V ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (V ) a 4 b 与7a 2b 垂直， 求a 与b 的夹角。 解：由(a + 3b)(7a 5b)= 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b)= 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a b = b 代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为, 则 cos : =a b b 2 1 ? =60 |a||b| 2|b|2 2 2AB AD 例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
平面向量的数量积测试题 （时间60分钟，满分100分） 一、选择题：（每小题5分，共30分） 1、已知a 、b 为两个单位向量，下列四个命题正确的是（ ） （A ）a =b （B ）a ·b =0 （C ）|a ·b |<1 （D ）2a =2b 2、有下面四个关系式 ①0 ·a = 0 ②)()(c b a c b a ??=?? ③a b b a ?=? ④||||||a b b a ?=? 其中正确的个数是（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 3、a 、b 是非零向量，||||b a b a ?=?是a 、b 共线的（ ） （A ） 充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4、设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则下列命题中错误的是（ ） （A ）2121||y x a += （B ）01221=+?y x y x b a ∥ （C ）2121y y x x b a +=? （D ）02121=+?⊥y y x x b a 5、已知向量)3,4(=a ，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） （A ）)53,54()54,53(或 （B ）)5 4 ,53()54,53(--或 （C ）)53,54()54,53(--或 （D ）)5 4,53()54,53(--或 6、以)2,5(),5,3(),2,1(---C B A 为顶点的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等边三角形 二、填空题：（每小题5分，共30分） 7、已知|a |=5，a 与b 的夹角为 30，则a 在b 方向上的投影为______________________ 8、若)3,4(-=a 、)6,(λ=b ，且b a ∥则λ=_______________________ 9、若a ·b <0，则a 与b 夹角θ的取值范围是____________________________________ 10、若向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为 60，则|a +b |=________________________ 11、已知)1,2(-=a ，)3,(λ=b ,若a 与b 夹角为锐角，则λ的取值范围是_______________ 12、已知)4,3(-=a ，|b |=|a |，且b a ⊥，则b =________________________________
3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫 做向量a ，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律 (3) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )
A.7 B.10 C.13 D ．4 4.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－12 5. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144 6．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m 不平行于n ，m 也不垂直于n D ．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b ) ２ ＝a ２＋２a 2b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a 2b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２ －b ２ 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a 2b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a 2b ＋b ２＝２２＋２3（－３）＋５２ ＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２ ＝（a －b ）２ ＝a ２ －2a 2b ＋b ２ ＝2２ －23（－3） 3５２ ＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a 2b ＋b ２＝｜a ｜２ ＋2｜a ｜2｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０２ ， ∴ｃｏｓθ＝ 40 23 ，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２ ＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２ ＝１ ② 由①②有24xy +25y ２ ＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =± 7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==7535 24753524y x y x 和
第二章 2.3 2.3.2 一、选择题 1．若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π 6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ． 3 C ．21 D ．21 [答案] D [解析] ∵|a|＝3，|b|＝3，a 与b 的夹角为π 6， ∴|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝9＋2×3×3×cos π6＋3 ＝9＋2×3×3×3 2 ＋3＝21， ∴|a ＋b|＝21. 2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝1 2，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 [答案] B [解析] 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1 2， ∴1－1×1×cos θ＝1 2， ∴cos θ＝1 2，∵0≤θ≤π， ∴θ＝π3 . 3．设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．5
[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ， ∴c 2＝|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋4＝5，故选D ． 4．已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b [答案] B [解析] 本题考查向量的运算． 由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b －b 2， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b . 注意：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 5．下列各式中正确命题的个数为( ) ①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B [解析] ①、③正确，②、④错误． 6．(2015·重庆理，6)若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π 2 C ．3π4 D ．π [答案] A [解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题意可知，(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2－a·b －2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，再由|a|＝223|b|得83|b|2－223|b|2 cos θ－ 2|b|2＝0，∴cos θ＝ 22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π 4 .
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
第十一教时 教材：平面向量的数量积及运算律 目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。 过程： 一、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。 二、导入新课： 1．力做的功：W = |F|?|s|cosθ θ是F与s的夹角 2．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a||b|cosθ， 并规定0与任何向量的数量积为0 。? 3． 4．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定。 2?两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b， 而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 3?在实数中，若a≠0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a?b=0， 不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为0。这就得性质2。 4?已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ? a=c。但是c 如右图：a?b = |a||b|cosβ = |b||OA| b?c = |b||c|cosα = |b||OA| ?ab=bc但a≠c 5?在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c≠a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般 a与c不共线。 5．例题、P116—117 例一（略） 三、投影的概念及两个向量的数量积的性质： 1．“投影”的概念：作图 定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1?投影也是一个数量，不是向量。 2?当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0?时投影为|b|； 当θ = 180?时投影为-|b|。 2．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 3．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cosθ 2?a⊥b?a?b = 0 3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或a a a? =| | C θ = 0? θ = 180? O O B B A A O O B O B1 O a b θ A O O B O B1 O a b θ A O O B O (B1) O a b θ
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD →
【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所 以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错； 2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C 二、填空题 5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61，
课时作业21 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( ) A ．－3 2 B ．－6 2 C ．6 2 D ．12 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 答案：B 2．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：本题考查向量的夹角公式． 由(2a ＋b )·b ＝0得2a ·b ＋b 2 ＝0，从而a ·b ＝－b 22， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－b 2 2|a |·|b |＝－1 2，〈a ，b 〉＝120°. 答案：C 3．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2 等于( )
A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 解析：|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5. 答案：D 4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0. ∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0. 答案：D 5．如图，在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是( ) A.AB →∥CD → B ．(AB →＋BC →)⊥(BC →＋CD →) C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0 D.AB →·AD →＝BC →·CD → 解析：A 显然正确； B ：AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，∵菱形对角线互相垂直， ∴AC →⊥BD →.∴B 正确．