微机测控原理及应用
问题： 已知G(s)=
)
15.0)(1(5++s s s K
，
（1） 试设计数字调节器D(Z)，使系统相对裕量γ≥40°，速度误差系
数Ku ≥100s -1，系统最大超调σ<25%；
（2） 建立计算机控制系统的状态空间表达式，并计算在典型给定输入条
件下被控系统的输出序列y （kT ），画出输出响应曲线；
（3） 若输出不能达到系统控制性能指标，分析造成原因，并对数字调节
器D （Z ）进行改进。 解：（1）根据速度误差系数
Ku=
)(lim 0
s G s s ?>-=)
15.0)(1(5lim 0
++?
>-s s s K
s s =5K ≥100s -1 ,
则取K=20 ，G(s)=
)
15.0)(1(100
++s s s ；
未校正前系统BODE 图如下（图一）：
Bode Diagram
Gm = -30.5 dB (at 1.41 rad/sec) , P m = -60.8 deg (at 5.71 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-500
50
100
M a g n i t u d e (d B )
10
10
10
10
-270
-225-180-135
-90P h a s e (d e g )
图一 未校正前系统K=20时BODE 图
由图一可见系统是不稳定的，为了使系统达到要求的相位裕量40°，必须对系统进行校正，附加裕量8°，取θm =60.8°+48°=109.6°>90°,无法直接用串联超前校正。 采用串联滞后校正，在相位裕量48°（即-132度），ω=0.516处，幅值为44.4dB ， 设校正器D(s)=
Ts
Ts
β++11 （β>1），
由于要衰减45dB ，则-20lg β= -44.4，得β=165.96，为了尽量减小校正器的相位滞后对原来系统的影响，选择1/T 是校正系统交接频率的1/10，则1/T=0.0516，得T=19.38。
则校正器的传递函数为：D(s)=
s
s
30.3216138.191++，
得修正后的传递函数为：G(s)=)
30.32161)(15.0)(1()
38.191(100s s s s s ++++；
BODE 图如下(图二)：
-150-100-50050100
150M a g n i t u d e (d B )10
10
10
10
10
10
10
10
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Gm = 13.2 dB (at 1.36 rad/sec) , P m = 42.3 deg (at 0.52 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
图二 串联滞后校正后K=20时BODE 图
从图中可以知道系统达的相位裕量为42.3°>40°，满足系统要求。 （2）在采样周期T=1时，因为有G(s)=
)
30.32161)(15.0)(1()
38.191(100s s s s s ++++
开环时G(z)= 04977.06026.0056.22.503z -z 0.02248
-0.1771z z 1138.00.1028z 2
3423+-+-+z z 在闭环的情况下G c (z)= 02729
.07797.01698.22.4002z -z 0.02248
-0.1771z z 1138.00.1028z 23423+-+-+z z
在采用零阶保持器的离散化状态空间表达式为：
[][][][]????????????++++T k x T k x T k x T k x )1()1()1()1(4321=??????0
02503.2 05.00028.1- 25.00
06026.0
?
????
?
-0001991.0 ?????
?
??????)()()()(4321kT x kT x kT x kT x +????
?
?
??????0005.0u (kT) ; y (kT)=[0.2055 0.1138 -0.3542 -0.1799] x (kT)
系统单位阶跃输入时，可得输出量y (kT)为：
y(0)=0 y(T)= 0.0969 y(2T)= 0.46 y(3T)= 0.925 y(4T)= 1.32 y(5T)= 1.53 y(6T)= 1.53 y(7T)= 1.53 y(8T)= 1.39 y(9T)= 1.16 y(10T)= 0.975 y(11T)= 0.851 y(12T)= 0.827 y(13T)= 0.878 y(14T)= 0.969 y(15T)= 1.06 y(16T)= 1.12 y(17T)= 1.11 ···
阶跃响应曲线如图三所示：
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Step R esponse
Tim e (sec)
A m p l i t u d e
图三 串联滞后校正后 K=20时 离散阶跃响应曲线
由以上可知：调节时间为t s =30T 左右；超调量为53%。不满足条件要重新设计
（3）由单位阶跃响应曲线可知，校正后系统超调量很大，将比例系数K 减小到5，即K=5时，方法和前面是一样，可得如下系统波特图（图四）和单位阶跃响应曲线(图五)：
-150-100-50050100
150M a g n i t u d e (d B )10
10
10
10
10
10
10
10
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Gm = 25.3 dB (at 1.36 rad/sec) , P m = 58.5 deg (at 0.156 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
图四 串联滞后校正后K=5时BODE 图
Step Response
Tim e (sec)
A m p l i t u d e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
图五 串联滞后校正后K=5时离散单位阶跃响应曲线
由以上可知：调节时间为t s =50T 左右；超调量为22%，满足要求。 附：MATLAB 计算程序
%校正前BODE 图 K=20时 K=20 num=5*K
den=conv([1 1 0],[0.5 1]) G=tf(num,den) figure(1); margin(G);
%串联滞后校正后BODE 图 K=20时 clear K=20 num=5*K
den=conv([1 1 0],[0.5 1]) G=tf(num,den)
G1=tf([19.38 1],[3216.30 1]); figure(1) margin(G*G1);
%串联滞后校正后状态方程 K=20时
clear
K=20
num=K*5*[19.38 1]
den=conv([1 1 0],conv([0.5 1],[3216.30 1]))
G=tf(num,den)
sysd=c2d(G,1,'zoh')
szoh=ss(sysd)
%串联滞后校正后单位阶跃响应曲线 K=20时
clear
num=[0.1028 0.1138 -0.1771 -0.02248]
den=[1 -2.4002 2.1698 -0.7797 0.02729]
dstep(num,den)
%串联滞后校正后状态方程 K=5时
clear
K=5
num=5*K
den=conv([1 1 0],[0.5 1])
G=tf(num,den)
G1=tf([19.38 1],[3216.30 1]);
figure(1)
margin(G*G1);
%串联滞后校正后单位阶跃响应曲线 K=5时
num1=[0.02569 0.02845 -0.04428 -0.005621]; den1=[1 -2.4773 2.08445 -0.64688 0.044149]; dstep(num1,den1)