几何发展史
组长：杨锦波高一13班
组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云
指导老师：李朗庭
英语摘要
As a middle school student, has learned a good few years of the geometry. However, we geometric understanding of the historical status Have great deficiencies. We do not know its civilization What is the significance, I do not know why we should learn from this class (other That is to the college entrance examination! ), Let us look into its history!
However, there are really some massive object, ` Therefore, we only research papers of the guidelines
1、问题提出：
作为一名中学生，已经学了好几年几何了。可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。
2、研究目的：（三个有助于）
（1）有助于对几何的总体的结构认识
（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位
（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）
3、研究方法：
（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；
（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；
（3）认真分析总结，写成论文.
4、正文
几何史研究
杨锦波
以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。在阅读前，最好先看附录。
1 欧几里得的乐园
古希腊，一个民主的国度。在那片土地上，孕育出了理性和智慧的果实。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。
但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。
欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。由极少数的几条公理出发，演绎出整个的几何体系，成为万世师表。
之后，古希腊又出现了一位伟大的数学家——阿基米德。
阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学. 他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大,它已经将等於这个观念跨向"任意趋近於"的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:
3.1408<π<3.142858
阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果),同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家).阿基米德的去世,可代表著希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作"The Method",在当时引起一阵轰动.
其实，推动几何学发展的数学家，学者，还有许多。如阿波罗尼阿斯、托勒密、帕布斯等等。
后来，由于罗马人、基督教的兴起、回教徒征服，古希腊的几何学衰退了。直到文艺复兴时期才得以再次发扬光大。
到这里为止，欧几里得几何学建立了。她是直观清晰和严谨逻辑的完美结合，代表着人类对空间的一个时代的认识。世界是有序的，平直的，而这种时空观在上世纪才被打破。
2．美梦该醒了
费马、笛卡儿创立了解析几何，以及画法几何的创始人蒙日的学生彭赛列创立射影几何。关于平直空间的几何理论日臻完善。无数人仰望着欧几里得的乐园。
但是，风雨前总是平静的。
门，就是第五公设。
一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
虽然如此，但人们认为，新几何与我们的现实世界里的空间毫不相干，直到那个时候……
20世纪初，爱因思坦在解决狭义相对论与牛顿万有引力定律的矛盾时，提出了一种新思想。这就是认为，我们生活在其中的现实空间，由于物质具有质量而被弯曲。非欧几何中的黎曼几何正是描述它的良好工具。
后来，这种思想发展为一个完备的理论——广义相对论。由此又可以引出“宇宙大爆炸”模型，彻底改变了我们对时空、宇宙的观念。
霍金说：“世界在上世纪的变化超过了以往任何世纪。原因不是新的经济或政治教义，却是由于基础科学的进步引发技术的巨大发展。还有谁比爱因斯坦更能代表呢？”
就是这样，那欧几里得的乐园的美梦被打破，但醒来之后就获得了累累硕果。
3．今天
“幾何的發展從一開始只能掌握正規的圖形, 到牛頓時代藉由微積分開始去瞭解彎曲的情形,接著高斯與黎曼的時代建立了內在幾何的觀點, 最後由愛因斯坦集其大成, 提出相對論理論, 使人類更進一步瞭解自己所生存的時空.”以上这段文字概括了1、2的内容。那么，今天的几何学的研究是些什么呢？
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。
如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。
法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。
还有拓扑学、微分几何等，这些几何分支的纯学术研究和应用，构成了当代几何的内容。
有关时空观念，人们对其又有了新的理解。
4．接下来，我们要进行讨论，主要包括2点：
几何学的发展模式
空间、时间观念的更新
从以上的文段中，我们可以知道，整个几何学的历史，大致分为4个时期：
1、欧几里得几何
2、解析几何、画法几何、射影几何
（2、3间相对独立的有微分几何、拓扑学，后来成为重要一支）
3、非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）、分形几何
4、现代的几何研究
几何学在“公理化”时期后进入4。
在那段时期，数学上有3个派别：逻辑主义、直觉主义、形式主义。我们经研究后发现，数学这门逻辑性极强的学科，竟是如此地背离逻辑地发展。粗略来说，在不同阶段，三者发挥的作用各不相同。
对于基础建立不牢，逻辑化最重要；对于构造性证明，飞跃式发展而言，直觉最重要；对于发挥符号作用，发展数学语言，形式化最重要。
人类一直以来都是认为空间是一个物质运动的舞台，而时间则是像一条河，无止休地流逝。几何学的对象由直的到曲的，后来竟然连背景也是曲的。广相更是让我们改变观念。现今，对时空的理解还是新鲜的问题。
这篇论文到这已经算完了，但还是不足以囊括几何史这个庞大的对象，只能算是从高中生的角度出发的导引性文章。
教师评语：
关于几何发展史的认识，相当部分同学都只是循教材编辑设置有些了解。现通过网络和阅读文献等手段，主动参与和博览，对几何的总体结构有了较清晰的体会，培养了学生自主探究的科学态度和钻研精神。有助于文理科方法的互补整合提高，也为同学学好文化科，用发展的观点看知识的发展更新，符合科学发展观。这是一篇较好的研究报告。
参考文献：
1、〈数学文化〉方延明
2、〈数学史辞典〉杜瑞芝
3、数学之旅丛书
（在大科普网上有更详细的资料）
6、收获和体会：
这次研究花费的时间比预定的时间3个月要长，但我们小组还是完满地完成任务了。通过这次研究，我的目光更开阔了。在研究中，好几次进入死胡同，不知道什么该编进来，什么是作用不大的，还有怎样从浅而明的角度理解。这些使我学会了怎样研究问题，把握重心。我知道了对一个学科的历史的研究，其作用并非会立竿见影，但是就知道了人们是怎样从不知到知、从具体到抽象的。这种作用对几何，乃至数学，是做多少习题都比不上的。因为这是截然不同的作用。
附录1
公理化方法：在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
欧氏几何：几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
黎曼几何：德国数学家黎曼创立，他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。微分几何学：光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
拓扑学：几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。
射影几何：研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。曾经也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
以上摘自BAIDU百科
附录2：大事纪年表
公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲(注：传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。
公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。
美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。
公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。
公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。
古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。
印度人求出=1.4142156。
公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理(古希腊巴门尼德、芝诺等)。
公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。
公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。
古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。
古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。
公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。
公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。
公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组
公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。
公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。
战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。
公元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。
公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。
公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。
公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。
一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。
古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。
三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。
中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。
四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。
约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。
六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。
1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。
1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。
1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。
1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。
1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。
1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。
1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。
1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。
意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。
1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。
1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。
1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。
公元１７０１～１８００年
1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。
1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。
1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。
1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。
1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。
1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。
1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。
1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。
1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。
1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。
1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。
公元１８００～１８９９年
1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。
1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。
1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。
俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。
1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。
1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。
德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。
瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。
1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。
1854年，德国的黎曼建立了更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学，并提出多维拓扑流形的概念。
1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。
1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。
1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。
1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。
1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。
1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。
1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。
1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。
公元１９００年～１９６０年
１９００年
德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。
１９０１年
德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。
意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。
法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。
１９０３年
英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。
１９０６年
意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。
法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。
德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。
俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。
１９０７年
德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。
美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。
１９０８年
德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。
德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。
１９１０年
德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。
美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。
英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。
１９１３年
法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。
德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。
１９１４年
德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。
１９１５年
瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。
１９１８年
希尔伯特空间理论的形成(匈牙利里斯)。
１９１９年
德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。
１９２２年
德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。
１９２３年
法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。
波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论()。
美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。
１９２８年
德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。
１９３０年
美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。
美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。
１９３１年
瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。
奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。
１９３３年
匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。
苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。
１９３４年
美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。
美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。
１９３５年
波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。
法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。
１９３６年
德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。
现代的代数几何学开始形成。(荷兰范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利培·塞格勒等) １９３７年
美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。
１９３８年
布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学(法国布尔巴基学派)。
１９４０年
美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。
１９４５年
美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。
１９４６年
法国的外耳建立现代代数几何学基础。
中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。。
１９５０年
美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。
１９５２年
美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理(即希尔伯特第五问题)。
以上摘自大科普网数学年鉴
附录3：几何史调查一（13）
1、你喜欢几何学吗？
A 、Y B、N
2、你知道几何的历史吗？
A 、Y B、N
3、你想了解几何的故事吗？
A 、Y B、N
4、你知道多少位数学家？
A、0—10个
B、10—25个
C、25个
5、你了解几何有哪几个分支？
A、1—3个
B、3—7个
C、7个以上
6、你认为了解几何史对课内学习有帮助吗？
A 、Y B、N
7、你对空间有什么看法吗？
人数百分比
1 A 169 42%
B 236 58%
2 A 38 10%
B 352 90%
3 A 179 44%
B 228 56%
4 A 351 86%
B 50 12%
C 8 2%
5 A 233 61%
B 114 30%
C 38 9%
6 A 178 46%
B 207 54%
分形几何 一、欧氏几何的局限性 自公元前3世纪欧氏几何基本形成至今已有2000多年。尽管此间从数学的内在发展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学，但与其他几何学相比，人们在生产、实践及科学研究中更多涉及到的是欧氏几何。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系．这种观念与特定时期人类的实践。认识水平是相适应的，数学的发展历史告诉我们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的囹象多是一些囫锥曲线、线段组合，受认识主。客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是～～战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。 美国数学家B， Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，在此，不妨称其为自然几何。 二、分形的产生 一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合（图形），如Cantor集、Peano曲线、KoCh曲线等，这些在连续观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal)这一概念。从字面意义上讲， fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点： （1）具有无限精细的结构； （2）比例自相似性； （3）一般它的分数维大子它的拓扑维数； （4）可以由非常简单的方法定义，并由递 归、迭代产生等。 （1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息．第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项则说明了分形的生成机制。图1中五条曲线自下而上，按图中所示的规律逼近Koch曲线。Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，以欧氏几何的眼光来看，这种曲线是被打入另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线，可以看出它们不过是各种分形。 我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较，可以得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系．其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范日主要是人造的物体。而分形的历史只有20来年，它由递归、迭代生成，主要
几何学的发展简史 上海市第十中学数学教研组王沁 [课前设计] 中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。 可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。 我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。 第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。 第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。 第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、
内容与教材内容的相关程度、在几何史上地位的重要性等方面进行选取。 第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让学生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。 数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比较薄弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在国家提倡数学素质教育,那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题的能力，我选择了四道应用性较强的例题:平改坡问题,遮阳篷的角度,飞机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力，我没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们建立了数学模型后，指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知识解决数学问题。 我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数学的历史，为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学是多么有用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好还是数学成绩不理想的同学都能对数学永远保持一分兴趣。 [教案] 教学目标： （1）让学生大致了解几何学（主要是立体几何）学在中外的发展简史；
分形几何的应用 分形几何是法国数学家芒德布罗在1975年将具有分数维数的图形，例如科赫曲线，称为分形，建立了以这类自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体为对象的数学新分支。分形几何作为一门新兴的学科已经开始逐渐发展，它的应用遍及哲学、数学、物理学、化学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理科学，甚至在电影、音乐、美术、书法等。下面介绍一些分形几何在当代社会中的应用。 在生命科学的研究中，科学家发现，细胞的分裂正是生物体分形的基础以及近几年来的研究表明，蛋白质的分子链具有分形特征，这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法；而且分形在中医治病的病理中起着重要的作用，因为分形理论从人体分形着手进行分析，得出令人耳目一新的结论，以针灸为例，一个穴位是人体某一部分的缩影，是一个分形元，当人体的某一器官或部位有病时，就必然要在相应的穴位上表现出来，在穴位上产生对痛刺激敏感，皮肤电阻降低等病理生理反映，因此，对特定穴位施加刺激，就会产生治疗效果，这就是中医治病的病理分形性。 在实际工程问题中，如石油开采就可以利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油；而且分形理论为化学家深化对高分子地认识提供了有利的工具使得对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶的生成的控制都有很好的作用。 芒德布罗经过研究不仅计算出英国西海岸线、澳大利亚海岸线、
南非海岸线、西班牙与葡萄牙的国界线的分形维数分别是1.25、1.13、1.02、1.14，还将分形应用于经济学，他测定出美国60年的棉花价格随时间变化的分形维数；在矿业应用方面，中国工程院院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了演示损伤的分形模型及演化机理；国际上的一些学者将分形应用于情报学，语言学和证券的变化进行深入的研究，得出了相应的分形维数，有了这些分形维数，专家们就可以预测出在该方面的一些结果，这有利于人类的进步。 近二十年来，国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究，取得了一批富有价值的成果，例如：根据分形几何原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。分形在影视事业中也大有发展前途。20世纪80年代初，A.Fournier 将分形图形推向好莱坞影视业，致使分形在电影特技制作上大显身手，用于创作出效果奇佳的地球、宇宙中某特定地域、空间的“实景”或人世间从未有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。 由于分形通常是以非常简单的递归方式无穷次迭代而生成的，因此各种分形可以借助微型电子计算机编制一定的程序实现。分形的这种微机图形显示进一步帮助人们推开分形艺术宫殿的大门。 这些实例足以说明分形有强大的生命力，它对于人们认识自然界和人类社会中的某些现象的真实面貌是一个有利的数学工具。
数学发展简史 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前 5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》
托勒密——三角学 丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
课程名称：分形几何在实际生活 中的应用 英文名称：Fractal Geometry and its Applications 课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、 成祖泓、楼琪伟、杨德峻 选用教材或参考书： 教材：《分形几何---数学基础与应用》 参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press
※课题背景 人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。 分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。 也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。其实不然。在生活、学习、工业、农业、饮食、
文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。 由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。 研究目的： 对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。 研究方法： 研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。 第一阶段：认真查阅老师所发的资料，并上网查询分形几 何的基础知识，要对分形几何有一个初步了解第二阶段：继续上网查找网络上对分形几何应用情况的数 据资料，仔细阅读以便对下步研究活动作铺垫。 第三阶段：拟定一份调查问卷，在各自班中做调查问卷， 统计数据。问卷中包括他们对分形几何的了解 程度，以及他们认为分形几何在现实生活中所 应用的实力。 第四阶段：对一致的一些可能是分形几何的实例进行调查， 并用数码照相机拍摄一些关于实例方面的照
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。 几何学的发展大致经历了4个基本阶段。 1.实验几何的形成与发展 几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。 然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。 但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。 2.理论几何的形成与发展 到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。特别是柏拉图（Plato，公元前427-前347）学派把形式逻辑的思想方法引入几何学，确立了缜密的定义和明晰的公理作为几何学基础。后来古希腊大数学家欧几里得（Euclid，约公元前330一前275）在前人研究的基础上，按照严密地逻辑公理系统编写成了不朽的巨著《几何原本》13卷，至此理论几何已基本形成。 尽管《几何原本》存在公理不够完善、论证有时借助于直观等不足，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法为以后的数学发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑、人类文化遗产中的瑰宝。 3.解析几何的产生与发展 公元前3世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定的研究，发现了圆锥曲线的许多性质。在后来较长时间里，由于封建社会中神学占有统治地位，科学得不到应有的重视，几何学也一直没有得到突破性的进展。直到16世纪随着欧洲文艺复兴运动的发展，生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所左右，他竭力主张几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革——解析几何产生
数学在提出问题和解答问题方面，已经形成了一门特殊的科学。在数学的发展史上，有很多的例子可以说明,数学问题是数学发展的主要源泉。数学家门为了解答这些问题，要花费较大力量和时间。尽管还有一些问题仍然没有得到解答，然而在这个过程中，他们创立了不少的新概念、新理论、新方法，这些才是数学中最有价值的东西。◇公元前600年以前◇据中国战国时尸佼著《尸子》记载："古者,倕(注:传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳,使天下仿焉＂，这相当于在公元前2500年前,已有"圆、方、平、直＂等形的概念。公元前２100年左右，美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。公元前20０0年左右,古埃及已有基于十进制的记数法、将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。中国殷代甲骨文卜辞记录已有十进制记数，最大数字是三万。公元前约１950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道＂勾股定理＂。◇公元前60０--1年◇公元前六世纪,发展了初等几何学（古希腊泰勒斯)。约公元前六世纪,古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数,引起了所谓第一次数学危机。公元前六世纪，印度人求出√2＝1．41421５6。公元前４62年左右,意大利的埃利亚学派指出了在运动和变化中的各种矛盾,提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理（古希腊巴门尼德、芝诺等).。公元前五世纪,研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积,指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比(古希腊丘斯的希波克拉底)。公元前四世纪，把比例论推广到不可通约量上，发现了"穷竭法＂(古希腊，欧多克斯)。公元前四世纪，古希腊德谟克利特学派用"原子法"计算面积和体积,一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的＂原子"所组成。公元前四世纪，建立了亚里士多德学派，对数学、动物学等进行了综合的研究（古希腊，亚里士多德等)。公元前四世纪末,提出圆锥曲线,得到了三次方程式的最古老的解法(古希腊,密内凯莫)。公元前三世纪，《几何学原本》十三卷发表,把以前有的和他本人的发现系统化了,成为古希腊数学的代表作(古希腊,欧几里得)。公元前三世纪，研究了曲线图和曲面体所围成的面积、体积;研究了抛物面、双曲面、椭圆面;讨论了圆柱、圆锥半球之关系；还研究了螺线(古希腊，阿基米德)。公元前三世纪,筹算是当时中国的主要计算方法。公元前三至前二世纪，发表了八本《圆锥曲线学》，是一部最早的关于椭圆、抛物线和双曲线的论著(古希腊阿波罗尼)。约公元前一世纪,中国的《周髀算经》发表。其中阐述了＂盖天说"和四分历法，使用分数算法和开方法等。公元前一世纪,《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图洛书纵横图,即为"九宫算"这被认为是现代＂组合数学"最古老的发现。◇１-４00年◇继西汉张苍、耿寿昌删补校订之后，50-100年，东汉时纂编成的《九章算术》,是中国古老的数学专著,收集了２４６个问题的解法。一世纪左右,发表《球学》,其中包括球的几何学,并附有球面三角形的讨论(古希腊,梅内劳)。一世纪左右,写了关于几何学、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的"希隆公式"（古希腊,希隆)。100年左右,古希腊的尼寇马克写了《算术引论》一书,此后算术开始成为独立学科。 150年左右，求出π＝3．1416６,提出透视投影法与球面上经纬度的讨论,这是古代坐标的示例(古希腊，托勒密)。三世纪时，写成代数著作《算术》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了许多定和不定方程式（古希腊，丢番都)。三世纪至四世纪魏晋时期，《勾股圆方图注》中列出关于直角三角形三边之间关系的命题
几何发展史 组长：杨锦波高一13班 组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云 指导老师：李朗庭 英语摘要 As a middle school student, has learned a good few years of the geometry. However, we geometric understanding of the historical status Have great deficiencies. We do not know its civilization What is the significance, I do not know why we should learn from this class (other That is to the college entrance examination! ), Let us look into its history! However, there are really some massive object, ` Therefore, we only research papers of the guidelines 1、问题提出： 作为一名中学生，已经学了好几年几何了。可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。 2、研究目的：（三个有助于） （1）有助于对几何的总体的结构认识 （2）有助于认清几何学在人类文明中的地位 （3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学） 3、研究方法： （1）搜集资料，阅读文献，记下心得； （2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总； （3）认真分析总结，写成论文. 4、正文 几何史研究 杨锦波
绪论 “解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，基本方法是坐标法。就是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。 1.解析几何产生的实际背景和数学条件 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。 解析几何产生前的几何学 平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》），圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》），特点：静态的几何, 既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法. 几何学出现解决问题的乏力状态 16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学． 16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用． 2.解析几何的创立 17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。1637年，笛卡尔发表哲学著作《更好地指导和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），《几何学》作为其附录之一发表.笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何． 笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序数对表示点的坐标；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。 费尔玛是一位业余数学家，但他的数学成就在17世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。早在笛卡尔的《几何学》发表以前，费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言——方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而
论文：数学的发展简史 作者： 学号： 班级： 指导教师： 日期：
几何学发展简史 几何，英文为Geometry ，是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。“依据很多的实证，几何是埃及人创造的，并且产生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作。无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需要。”（引自[1]）。明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552~1610）翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学。 几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力。几何学最先发展起来的是欧几里得几何。到17世纪的文艺复兴时期，几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿(R..descartes，1596~1650）和费马（P.de Fermat，1601~1665）的解析几何。他们把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟通。随着透视画的出现，又诞生了一门全新的几何学——射影几何学。到19世纪上半叶，非欧几何诞生了。人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生，几何学进入一个空前繁荣的时期。 1 从欧几里得几何到非欧几何 欧几里得（Euclid，约公元前330~275）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。 《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理： 定义 （1）点没有部分。 （2）线有长度，而没有宽度。 （3）线的界限是点（注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线）。 （4）直线是同其中各点看齐的线。 （5）面只有长度和宽度。 （6）面的界限是线。 （7）平面是与其上的直线看齐的面。 （8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。 （9）当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。 （10）~（22）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）。 （23）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。 关于几何的基本规定的5条公设： （1）从每个点到每个其它的点必定可以引直线。 （2）每条直线都可以无限延伸。 （3）以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。
几何学的发展简史 中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。 可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。 我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。 第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。 第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。
第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、内容与教材内容的相关程度、在几何史上地位的重要性等方面进行选取。 第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让学生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。 数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比较薄弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在国家提倡数学素质教育,那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题的能力，我选择了四道应用性较强的例题:平改坡问题,遮阳篷的角度,飞机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力，我没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们建立了数学模型后，指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知识解决数学问题。 我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数学的历史，为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学是多么有用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好还是数学成绩不理想的同学都能对数学永远保持一分兴趣。 [教案]
分形几何无处不在 【摘要】本文详细阐述了“什么是分形几何”的问题。并举海岸线、地表、河流、人脑表面、植物、星球分布、收入分布、股票价格的变动分布等例说明大自然中分形无处不在。介绍了分形的非均匀性、自相似性、重尺度性三个性质，最后总结出分形具有良好的发展潜质。 【关键词】分形几何；比较；定义；自然；性质 一、什么是分形几何 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）满足下式条件: ()dim() 的集合A，称为分形集。其中，() Dim A为集合A Dim A A 的Hausdoff维数（或分维数），dim()A为其拓扑维数。一般说来，() Dim A不是整数，而是分数。 （2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。 二、分形几何的性质 分形几何形态有哪些性质呢?概括说来，通常有3个特性：1．非均匀性；2．自相似性；3．重尺度性。问题的关键是它改变了人们对物体的测度观。过去人们习惯于用欧氏测度研究图形，它研究的图形是能用圆规和规尺画的简单图形，这样的图形是光滑的牛顿以后，微积分学和几何学的结构，人们可以描述复杂的形状，但这些形状的重要特征是具有特征长度．是平滑的，可微分的。分形几何研究的是更为复杂的圆形，它没有特征长度，不平滑，不可微分。
数学的发展史 学史研究证明：数学的发源地除古代非洲的尼罗河，还有西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河和恒河、东亚的黄河和长江。 知识简介：尼罗河－世界上最长的大河 尼罗河纵贯非洲大陆东北部，流经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、乌干达、埃塞俄比亚、苏丹、埃及，跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入地中海。流域面积约335万平方公里，占非洲大陆面积的九分之一，全长6650公里，年平均流量每秒3100立方米，为世界最长的河流。尼罗河——阿拉伯语意为“大河”。“尼罗，尼罗，长比天河”，是苏丹人民赞美尼罗河的谚语。古埃及人在这里创造出高度的文明。 世界三大河流：非洲尼罗河、南美洲亚马逊河、亚洲长江 中国第一大河——长江 长江的上源沱沱河出自青海省西南边境唐古拉山脉各拉丹冬雪山，干流全长6300公里。以干流长度和入海水量论，长江均居世界第三位。 长江流经青海、西藏、四川、重庆、云南、湖北、湖南、江西、安徽、江苏、上海，注入东海。 长江在湖北省宜昌市以上为上游，宜昌至江西省湖口间为中游，湖口以下为下游 长江流域是中国人口密集经济繁荣的地区，沿江重要城市有重庆、武汉、南京、上海。 长江在四川奉节以下至湖北宜昌为雄伟险峻的三峡江段（瞿塘峡、巫峡、西陵峡） 世界最大的水利枢纽工程三峡工程位于西陵峡中段的三斗坪（1994年12月14日开工，总工期17年） 中华民族的母亲河—黄河 黄河，发源于青海省巴颜喀拉山脉的约古宗列渠，流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南、山东9个省区，最后于山东省东营垦利县注入渤海。 干流河道全长5464千米，仅次于长江，为中国第二长河,世界第五长河黄河从源头到内蒙古自治区托克托县河口镇为上游，河口镇至河南郑州桃花峪间为中游，桃花峪以下为下游. 数学的发展史一般分为四个时期（有很多分法），即数学的萌芽时期，古代数学时期，近代数学时期和现代数学时期。 一、数学萌芽时期（公元前6世纪以前） 1.“数”概念的产生 早在远古时代，人类就已具备了识别事物多少的能力。逐渐地，这种原始的“数觉”经过漫长的历史演进，发展并形成了“数”的概念。早期人类在对事物数量共性的认识与提炼中，获取数的概念，从而播下了人类文明史上的数学火种。大约发生于30万年以前的这一过程可能与早期人类对火的认识与使用一样悠久而漫长。数对于人类文明的意义决不亚于火的使用。 当对“数”的认识变得越来越明确时，人们开始对其表达萌生了一种冲动，于是就有了记数（实物记数、书写记数）的产生。 最早比较成功的计数方式可能来自于最方便的实物工具，那就是人类自己的手指。一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。 当十指不够用时，随处可见的石子便成了当然的替代与补充。但记数的石子堆，很难长久保存信息，于是又有了结绳记数和书契(qi)记数。 结绳记数是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生产力发展到一定程
数学 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。 由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，至迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满的十进位值制。在成书不迟于1世纪的《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。刘徽在他注解的《九章算术》（3世纪）中，还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则在16世纪S.斯蒂文以后）十进小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率更精确值的一般方法。虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的数系统进行独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。 开平方和开立方是解最简单的高次方程。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。在中国以外，9世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其