八年级数学勾股定理练
习题及答案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
勾股定理
练习题
温故而知新：
1.勾股定理
直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.
2.勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示.
3.直角三角形的性质
两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.
例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（）
米米
米米
解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB；过点A向10米高的树作垂线，垂足为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定理可得
AB=22
+=10（米）.
86
AC BC
+=22
答案：B
小结：在解决实际问题时，往往根据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借助勾股定理列方程求解，常可使问题简便.
例2 （2013·衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（）
cm cm
2 cm 2 cm
解析：如图所示在图中标上字母，过点A 作AD ⊥BD ，
垂足为D ，则AD=3 cm ；
因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm ；
又△ABC 是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm ，根据勾股定理可得
AC=22AB BC +=2266+=62（cm ）
答案：D
小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，45°的直角三角形中，斜边是直角边的2倍.
例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积.
解析：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解.
答案：解：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点.
∵DC=BC ，∴△BCD 是等腰三角形.
∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°.
又BC=10m , 则EC=12
BC=5m ，∴BE=22BC EC -=53m ，BD=2BE=103m , ∴BDC S =12EC ·BD=12
×5×103=253（m 2）. 又∠DBA=∠CBA -∠CBE=90°，∠A=45°，∴△DBA 是等腰直角三角形.
∴DAB S =12BD ·AB =12
×103×103=150（m 2）. ∴这块草地的面积S=BDC S +DAB S =（150+253）m 2.
小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计算.
举一反三：
1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
B. 7
C. 5 或7
解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.
2.如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）
A.3
B.23
C.33
D.43
解析：由题意易知∠BDE=90°，在Rt △BDE 中，DE=4，BE=8，根据勾股定理可得BD=22BE DE -=2284-=43.
6.（2013·湘西）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3.
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积.
解析：（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=3；
（2）BD=BC -CD=5，S △ADB =12BD ·AC=12
×5×6=15. 例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n ，设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题：
（1）S 1=_______；
解析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S 1.
答案：解：∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为12，另一条直角边就是2
213122??-= ???
， ∴三角形的面积为12×32÷2=38，∴S 1=1+38. （2）通过探究，用含n 的代数式表示S ，则S n =________.
解析: 利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
答案：解：∵第二个正方形的边长为
3
2
，它的面积就是
3
4
，也就是第一个正方形面
积的3
4
，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的3
4
，
∴S2=（1+
3
8
）×
3
4
，依此类推，
S3=（1+
3
8
）×
3
4
×
3
4
，即S3=（1+
3
8
）× (
3
4
)2，
S n=（1+
3
8
）×(
3
4
)1n （n为整数）．
小结：（1）勾股定理反映直角三角形三边关系即a2+b2=c2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法.
举一反三：
4.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________.
解析：S3=S1+S2=S A+S B+S C+S D=2+5+1+2=10.
例5 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD 的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
解析：由四边形AEGF为正方形及对称性质得EG=GF=AE=AD=x， BD=BE=2，
CD=CF=3. BG=x-2，CG=x-3，BC=BD+CD=5，在Rt△BGC中利用勾股定理列方程求解.
∴21l ＞22l ,∴1l ＞2l .所以选择路线2较短.
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 dm ，高AB 为5 dm ”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1：21l =AC 2=______ _____________；
路线2：22l =（AB+BC ）2=______.∵21l _____22l ，∴1l ____2l （填“＞”或“＜”），
所以应选择路线_______（填“1”或“2”）较短.
（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短. 答案：（1）AB 2+BC 2=52+π2；（5+2）2=49；＜；＜；1
解：（2）路线1：21l =AC 2=AB 2+BC 2=h 2+(πr )2=h 2+π2r 2.
路线2：22l =(AB+BC )2=(h+2r )2.
∴21l -22l =(h 2+π2r 2)-(h+2r )2 =π2r 2-4hr -4r 2.
当21l -22l ＞0时, π2r 2-4hr -4r 2＞0,即［(π2-4)r -4h ］·r ＞0.
又r ＞0, ∴(π2-4)r -4h ＞0. 解得r ＞244
h π-. 当21l -22l ＜0时，π2r 2-4hr -4r 2＜0,即(π2-4)r -4h ］·r ＜0.
又r ＞0, ∴(π2-4)r -4h ＜0.∴r ＜
244h π-, 所以当r ＞
244h π-时，21l ＞22l ，选择路线2. 当0＜r ＜244
h π-时，21l ＜22l ，选择路线1. 小结：在这道题中，勾股定理和以前学过的不等式，以及圆柱体的一些相关知识联系到了一起，对我们的综合能力要求较高.
举一反三：
5.（2013·东营）如图，圆柱形容器中，高为 m ，底面周长为1 m ，在容器内壁离容器底部 m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m （容器厚度忽略不计）． 解析：将圆柱侧面展开如图所示，作点A 关于CD 的对称