第30练双曲线得渐近线与离心率问题
[题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也就是高考热点,其性质就是考查得重点,尤其就是离心率与渐近线、考查形式除常考得解答题外,也会在填空题中考查,一般为中等难度、熟练掌握两种性质得求法、用法就是此类问题得解题之本、
常考题型精析
题型一双曲线得渐近线问题
例1(1）（2015·重庆)设双曲线错误!－错误!=1(a＞0,b>0)得右焦点就是Ｆ，左,右顶点分别就是A１,A2，过F作A1A2得垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2Ｃ,则该双曲线得渐近线得斜率为＿______＿、
（２)(２014·江西)如图，已知双曲线Ｃ:错误!-y2=１(a>０)得右焦点为F、点A,B分别在Ｃ得两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(Ｏ为坐标原点)、
①求双曲线Ｃ得方程;
②过C上一点P（x0,ｙ０)(y0≠0）得直线ｌ:＼f(x０x,a2）－y０y＝１与直线ＡF相交于点Ｍ，与直线x＝＼f(3,2)相交于点N、证明:当点P在C上移动时，错误!恒为定值,并求此定值、
点评(1）在求双曲线得渐近线方程时要掌握其简易求法、由y＝±b
ａ
ｘ?错误!±错误!=0?错误!-错误!＝０,所以可以把标准方程错误!-错误!＝1（ａ>0,b>0)中得“１”用“0”替换即可得出渐近线方程、
（２)已知双曲线渐近线方程：y=错误!ｘ,可设双曲线方程为错误!－错误!=λ（λ≠0),求出λ即得双曲线方程、
变式训练1(２014·山东改编)已知a>ｂ>０，椭圆C１得方程为＼f(x2,a2)+＼ｆ(y2，ｂ2)=１,双曲线Ｃ2得方程为错误!－错误!=１，Ｃ1与C2得离心率之积为错误!，则Ｃ2得渐近线方程为_＿_＿＿___＿＿__＿_＿___＿__＿、
题型二双曲线得离心率问题
例2（1）（2０1５·湖北改编）将离心率为ｅ1得双曲线C1得实半轴长ａ与虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0）个单位长度，得到离心率为ｅ2得双曲线C2,则下列命题正确得就是__＿_
＿_＿_、
①对任意得ａ,b ,ｅ１＞e ２；
②当a >b 时，e １＞ｅ2;当a
③对任意得a ,ｂ，e 1 ④当a >b 时,e 1 (2)已知O 为坐标原点,双曲线错误!-错误!＝1（a ＞０，b >０)得右焦点为F ,以OF 为直径作圆交双曲线得渐近线于异于原点得两点Ａ、B ,若(错误!＋错误!）·错误!＝0,则双曲线得离心率e 为________、 点评 在研究双曲线得性质时,实半轴、虚半轴所构成得直角三角形就是值得关注得一个重要内容；双曲线得离心率涉及得也比较多、由于e =错误!就是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 得一个关系式，利用b 2＝c 2－ａ2消去ｂ,然后变形求ｅ，并且需注意e >1、同时注意双曲线方程中x ,y 得范围问题、 变式训练2 (２014·湖南)如图,O 为坐标原点,椭圆C 1:错误!＋错误!=1(a >b >0）得左、右焦点分别为F １、F 2,离心率为e １;双曲线C 2:错误!-错误!=1得左、右焦点分别为F ３、Ｆ４，离心率为e ２、已知e 1e 2=错误!，且F ２Ｆ4=错误!-1、 (1)求C 1，C 2得方程; （2)过F 1作Ｃ1得不垂直于y 轴得弦AB ,M 为AB 得中点,当直线OM 与C 2交于P ,Q 两点时,求四边形A ＰB Ｑ面积得最小值、 题型三 双曲线得渐近线与离心率得综合问题 例3 （2014·福建）已知双曲线E ：x ２a 2-＼f （ｙ2,b 2)＝1（a >0，ｂ＞0)得两条渐近线分别为l １:ｙ＝2x ,ｌ2:y ＝－2ｘ、 （1)求双曲线Ｅ得离心率; (2）如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线ｌ1,l ２于A ，Ｂ两点(A ,B 分别在第一、四象限)，且△OA Ｂ得面积恒为８、试探究:就是否存在总与直线l 有且只有一个公共点得双曲线E ？若存在,求出双曲线E 得方程;若不存在,请说明理由、 点评 解决此类问题:一就是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组、二就是数形结合，由图形中得位置关系，确定相关参数得范围、 变式训练3 (2014·浙江)设直线x -3y +m ＝0(m ≠0）与双曲线＼f(x 2,a 2)－错误!=1(ａ＞0，b >0)得两条渐近线分别交于点A ,B 、若点P (m,0)满足P A =ＰＢ，则该双曲线得离心率就是_＿＿_＿__＿、 高考题型精练 1、(２015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0,ｙ0)就是双曲线Ｃ:错误!－y 2=1上得一点,F 1,F 2就是C 得两个焦点，若错误!·错误!<0，则y 0得取值范围就是_______＿__、 2、(２01５·镇江模拟)已知０＜θ<错误!,则双曲线Ｃ1:错误!－错误!＝１与C 2:错误!－错误!=1得＿_______相等、(填序号) ①实轴长；②虚轴长;③离心率;④焦距、 3、已知双曲线x ２ a 2－错误!=1（a ＞０, b >0)得两条渐近线均与圆C :x ２＋ｙ2－6ｘ＋５＝0相切，且双曲线得右焦点为圆Ｃ得圆心,则该双曲线得方程为＿___＿＿___＿＿＿__、 4、以椭圆错误!＋错误!＝1得右焦点为圆心，且与双曲线错误!-错误!=1得渐近线相切得圆得方程就是___＿＿__＿＿＿_＿＿__＿、 ５、已知双曲线错误!－错误!=１（ａ>0,b >0）以及双曲线错误!-错误!=1得渐近线将第一象限三等分,则双曲线错误!-错误!＝1得离心率为_＿_＿____、 6、(2015·镇江模拟)已知双曲线C :x 2ａ2-＼ｆ（y 2,b 2）=1 (a >0,b >0)得左,右焦点分别为F 1，F 2， 过F 2作双曲线C 得一条渐近线得垂线,垂足为H ,若F 2Ｈ得中点M 在双曲线C 上,则双曲线Ｃ得离心率为__＿_＿___、 7、已知抛物线ｙ２=8x 得准线过双曲线＼f(x 2,ａ2）－错误!=1(ａ>０,b >0）得一个焦点,且双曲线得离心率为2,则该双曲线得方程为____＿＿_____＿____、 ８、已知双曲线C 得中心在原点,且左,右焦点分别为F １,F 2,以F １F 2为底边作正三角形,若双曲线C 与该正三角形两腰得交点恰为两腰得中点,则双曲线C 得离心率为___＿_＿＿_、 9、已知F 1，Ｆ2分别就是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1 (a ＞0,b >0）得左，右焦点,过点Ｆ２与双曲线得一条渐近线平行得直线交双曲线另一条渐近线于点M ,若点Ｍ在以线段F 1F ２为直径得圆外,则双曲线离心率得取值范围就是____＿＿_____＿、 １0、过双曲线＼f(ｘ2,ａ２)－y 2b 2=1 (a >０,ｂ>0)得左焦点F 作圆ｘ２+y ２＝错误!a ２得切线,切点为Ｅ,直线EF 交双曲线右支于点P ，若错误!=错误!(错误!＋错误!）,则双曲线得离心率就是_____＿、 １１、已知双曲线ｙ2 a 2-错误!=1 (a >０, b ＞0）得一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近 线得距离为错误!、 (1）求此双曲线得方程; (2)设P 为双曲线上一点,Ａ,B 两点在双曲线得渐近线上,且分别位于第一、二象限,若错误!=错误!，求△AOB 得面积、 12、(2０１5·盐城模拟)已知双曲线错误!-错误!＝１ (a >0,ｂ>0)得右焦点为F (c,0)、 （1）若双曲线得一条渐近线方程为y ＝x 且ｃ=2,求双曲线得方程; （２)以原点O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限得交点为A ,过A 作圆得切线，斜率为-3，求双曲线得离心率、 答案精析 第３0练 双曲线得渐近线与离心率问题 常考题型典例剖析 例1 (１)±1 解析 双曲线错误!－错误!=1得右焦点Ｆ（c,0),左,右顶点分别为A 1（－a ,0），A 2（a,0),易求 Ｂ错误!,C 错误!,则 k Ａ２C ＝错误!，kA 1B =错误!,又Ａ1B 与A 2C 垂直, 则有kA 1Ｂ·k Ａ2Ｃ=-1,即错误!·错误!＝-1, ∴错误!=1,∴ａ２=b 2,即a =b , ∴渐近线斜率ｋ=±b a =±1、 (2)解 ①设F （c ，0),因为b =1,所以c ＝错误!, 直线ＯB 得方程为y =-错误!x , 直线ＢF 得方程为ｙ＝＼f （1,a )(x -c ), 解得B （＼f(c,2),-＼f(ｃ，2a ))． 又直线ＯA 得方程为ｙ＝错误!x ， 则A (ｃ,＼f(c,ａ))，k ＡＢ=错误!＝错误!、 又因为AB ⊥OB ,所以错误!·(-错误!)＝-1, 解得a 2＝3, 故双曲线C 得方程为＼f(ｘ2,３)-ｙ2=1、 ②由①知ａ＝＼r(３),则直线l 得方程为 错误!-y ０y ＝１（y 0≠0），即y ＝错误!、 因为直线AF 得方程为x ＝2, 所以直线l 与AF 得交点为Ｍ（2,错误!); 直线l 与直线x =32得交点为N (32，＼f(３，２)x 0-33y ０ )． 则错误!=错误!＝错误! =错误!·错误!、 因为P (x 0，y 0)就是C 上一点，则＼f （x 2０，3)－y 错误!＝1, 代入上式得MF 2NF ２ =＼f(4,3)·错误! ＝错误!·错误!=错误!, 即所求定值为错误!=错误!=错误!、 变式训练1 x ±２y ＝0 解析 由题意知e 1=ｃ１a ,e ２＝c 2ａ, ∴e 1·e ２＝＼f(c 1，ａ)·错误!＝错误!=错误!、 又∵a 2=b 2+ｃ错误!,c 错误!＝a 2+b 2， ∴c 错误!＝a 2-b ２， ∴错误!＝错误!=1-(错误!)4, 即1－(错误!)4=错误!, 解得错误!＝±错误!,∴错误!=错误!、 令错误!－错误!＝0，解得bx ±ａｙ＝0, ∴x ±＼r(2）y ＝0、 例2 （1)④ (２）＼r(2) 解析 (１)由题意e 1＝ ＼r(＼f(a 2＋b 2,ａ2）)＝ 错误!;双曲线Ｃ２得实半轴长为a +ｍ,虚半轴长为b ＋ｍ, 离心率e 2= ＼f （(ａ+m )２+(b ＋m )2(a +m )2）＝ 错误!、 因为ｂ＋m a ＋m -ｂa ＝＼f(m (a -b ),a (a +ｍ))，且a ＞0,ｂ>0,m >0，a ≠b ， 所以当ａ>b 时,错误!>0,即错误!>错误!、 又错误!>0,错误!>0, 所以由不等式得性质依次可得错误!2>错误!2,１＋错误!2>1+错误!２,所以错误!>错误!，即e 2>e 1；同理，当a 综上,当a >b 时,e 1 (2）如图,设OF 得中点为Ｔ，由(错误!+错误!)·错误!＝0可知AT ⊥OF , 又A 在以OF 为直径得圆上,∴A 错误!, 又A 在直线y =b a ｘ上, ∴ａ=ｂ,∴e =＼r(2)、 变式训练２ 解 （1)因为e 1e 2=错误!，所以 错误!·错误!＝错误!,即a ４－b ４=错误!a 4，因此a 2＝2ｂ2,从而F 2(b ，０），F 4(３b,0),于就是错误!ｂ－b =F ２F 4＝错误!－1,所以b =1,a 2=2、 故C １,C 2得方程分别为错误!+y 2=1,错误!－y ２=1、 (2)因AB 不垂直于y 轴,且过点F 1(-1,0), 故可设直线A Ｂ得方程为x =my -1、 由错误!得(ｍ2+2)y 2－2my －1=0、 易知此方程得判别式大于0、 设A (x 1,ｙ1）,B （x 2,ｙ2）, 则y １,y ２就是上述方程得两个实根, 所以ｙ1＋ｙ2=错误!,y 1y 2＝错误!、 因此x 1＋x 2＝m (ｙ1＋y 2)-2＝＼f （-4，m ２+２), 于就是AB 得中点为M （-2ｍ2+2 ，错误!)， 故直线PQ 得斜率为－ｍ2 ,PQ 得方程为y ＝－＼f(ｍ,2)x 、 由错误!得(2－m 2)x 2＝４, 所以2-m ２>0,且x 2=错误!,y 2＝错误!， 从而P Ｑ=2＼r(x ２+y ２）＝２错误!、 设点A 到直线PQ 得距离为ｄ, 则点B 到直线P Ｑ得距离也为d ， 所以２ｄ＝错误!、 因为点A ，Ｂ在直线mx ＋2y ＝0得异侧, 所以(mx １+2y 1)（mx 2+2y 2)<０, 于就是|mx 1＋2y 1｜＋|mx 2+2y 2| ＝|mx 1+2y １－mx 2-2ｙ2|, 从而2ｄ=(m 2＋2)|y 1-y 2｜m 2＋4 、 又因为|y 1-ｙ2｜=错误! ＝＼f(２２·1＋m 2，m 2＋2), 所以2d =错误!、 故四边形ＡPBQ 得面积S ＝１2 ·P Ｑ·2ｄ＝错误!=2错误!·错误!、 而0<2－m 2≤２，故当m ＝0时,S 取得最小值2、 综上所述,四边形AP ＢＱ面积得最小值为2、 例3 解 (1）因为双曲线E 得渐近线分别为y ＝２x , y =-2x ,所以错误!=2, 所以错误!=2,故c =错误!ａ, 从而双曲线Ｅ得离心率e =错误!＝错误!、 （2)方法一 由(１)知,双曲线Ｅ得方程为错误!-错误!=1、 设直线l 与x 轴相交于点C 、 当ｌ⊥x 轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则OC ＝a ，AB =4a 、 又因为△OAB 得面积为８, 所以＼ｆ(1，2)·O Ｃ·ＡB ＝８, 因此错误!a ·４a ＝8,解得ａ=2, 此时双曲线E 得方程为＼ｆ（x 2,4)－错误!=１、 若存在满足条件得双曲线E ， 则E 得方程只能为错误!-错误!＝1、 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时, 双曲线E :错误!－错误!＝1也满足条件. 设直线l 得方程为y ＝kx ＋ｍ,依题意, 得k >2或k <-2,则Ｃ(－错误!,0）. 记A （x １,y 1),B （x 2,ｙ2). 由错误!得y 1=错误!,同理,得ｙ２＝错误!、 由S △ＯAB =１2 |ＯC ｜·|ｙ1-y 2｜,得 错误!|－错误!|·|错误!－错误!｜=8， 即m 2=4|4-k 2|=4(k 2-4)． 由错误! 得(4-k 2)x 2－2kmx －m 2－１６=0、 因为4-k ２<０, 所以Δ＝4ｋ2ｍ2+4(4-ｋ２）(m 2＋1６) =－16（４k 2-m 2－16). 又因为ｍ２=4（k 2－４）, 所以Δ＝０，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与ｌ有且只有一个公共点得双曲线E ,且E 得方程为错误!-错误!＝１、 方法二 由(1)知,双曲线Ｅ得方程为错误!－错误!＝1、 设直线l 得方程为x ＝my +ｔ,A (x 1,ｙ１）,Ｂ(x 2,y 2)． 依题意得－１2 同理,得ｙ2=＼f(－2t ，1+2m ）、 设直线l 与ｘ轴相交于点C ，则Ｃ(t ，０). 由S△ＯAB=错误!·OC·|y1-y2|＝８,得 错误!｜ｔ|·错误!＝8、 所以t2＝4|1-4m2|＝4(1－4m2). 由错误! 得（4m2-1)ｙ2+8ｍty＋4（ｔ2－ａ2)＝0、 因为4m2－1<０，直线l与双曲线Ｅ有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2ｔ2-16（4m２－１)(t ２－ａ2)＝0, 即4m2a2+ｔ2－ａ2=０, 即4m２a２+4(1-4m2)-a2＝0, 即(1－4m2)(a2-4）＝0， 所以ａ２＝4， 因此，存在总与ｌ有且只有一个公共点得双曲线E, 且E得方程为错误!－错误!＝1、 变式训练3错误! 解析双曲线＼ｆ(x２,a2）－错误!＝１得渐近线方程为ｙ＝±错误!x、 由错误!得A(错误!,错误!), 由错误!得B(错误!,错误!), 所以AB得中点C得坐标为(错误!,错误!). 设直线l：ｘ－3ｙ＋m＝0（ｍ≠０)， 因为P A＝PＢ,所以PC⊥l, 所以kＰC＝－3，化简得a2=４ｂ２、 在双曲线中，c2=a２＋b2＝5b2, 所以e =ｃa =＼f(＼r(５）,２)、 常考题型精练 1、错误! 解析 由题意知a ＝错误!,b ＝１,c =错误!， ∴Ｆ1(-错误!,０),F 2(错误!,０）， ∴错误!=（-错误!－x 0,-y 0),错误!=(错误!－x 0,-y ０). ∵错误!·错误!＜０,∴(-错误!－x 0)（错误!-x 0)＋y 错误!<０, 即x 错误!－3+y 错误!<0、 ∵点M (ｘ0,y 0)在双曲线上, ∴错误!－y 错误!=1,即ｘ错误!=2＋2ｙ错误!， ∴2+2y 错误!－3＋y 错误!<0，∴－错误!＜y 0<错误!、 2.③ 解析 双曲线C １:e 错误!=错误!＝错误!,双曲线Ｃ２：e 错误!=错误!=１+ｔan 2θ=错误!, ∴C 1,C 2得离心率相等． ３、错误!-错误!=１ 解析 ∵双曲线x 2ａ2－错误!=1得渐近线方程为y ＝±错误!x ， 圆C 得标准方程为(x －３）2＋ｙ2＝４, ∴圆心为Ｃ(3,０）. 又渐近线方程与圆Ｃ相切, 即直线bx －ａｙ=0与圆C 相切, ∴错误!＝２，∴5b 2＝４a 2、① 又∵x 2a 2-错误!=１得右焦点Ｆ2(错误!,０）为圆心C (3,0）, ∴ａ2＋b ２=９、② 由①②得ａ2＝5,b ２＝4、 ∴双曲线得标准方程为＼ｆ(ｘ2，5)－ y 2４ =1、 4．x 2＋y 2-1０ｘ＋９＝0 解析 由于右焦点(5，0)到渐近线4x -3ｙ=０得距离d ＝＼f(20,５)＝4, 所以所求得圆就是圆心坐标为(5,0),半径为4得圆.即圆得方程为x 2＋y 2-1０x ＋9=０、 5、错误!或2 解析 由题意,可知双曲线x 2a ２－y ２ｂ2=1得渐近线得倾斜角为30°或60°,则＼ｆ(b,ａ)＝错误!或3、 则e =错误!＝错误!= 错误! ＝ 错误!＝错误!或2、 6、错误! 解析 取双曲线得渐近线y =错误!x ,则过Ｆ２与渐近线垂直得直线方程为y ＝-错误!(x -c ）,可解得点H 得坐标为错误!,则Ｆ2H 得中点M 得坐标为错误!,代入双曲线方程错误!-错误!＝1可得(a 2+c ２)2 4ａ2c 2-错误!＝1,整理得c 2=２ａ2,即可得e =错误!＝错误!、 7.x ２－ｙ23=１ 解析 由y 2=8ｘ,2p =8,p ＝４,∴其准线方程为x ＝－２, 即双曲线得左焦点为(-2,0),c =2, 又e =2,∴a ＝1,b 2=c 2－a ２＝3, 故双曲线得方程为ｘ２－＼f(y 2,3)=１、 ８、＼r(3）＋１ 解析 设以F 1Ｆ2为底边得正三角形与双曲线C 得右支交于点M ,则在Ｒt △M Ｆ1F 2中,可得Ｆ１F 2=2c ,ＭＦ1＝＼r(3)ｃ，ＭF 2＝ｃ,由双曲线得定义有MF 1－MF 2＝2a ，即３c －c =2ａ,所 以双曲线C 得离心率e ＝错误!=错误!＝错误!+１、 9.(2,＋∞) 解析 双曲线＼ｆ(x 2,a 2)-错误!=1 (a >0,b >0)得渐近线方程为y ＝±错误!ｘ，设直线方程为y =错误!(x -ｃ),与y =－错误!ｘ联立求得Ｍ错误!,因为M 在圆外,所以满足错误!·错误!>０,可得-错误!c 2＋错误!2>０,解得e ＝错误!>2、 1０、＼r(10)2 解析 设双曲线得右焦点为F 1,连结PF 1、 由错误!＝错误!(错误!+错误!)知,Ｅ就是FP 得中点. 又O 就是ＦF 1得中点, ∴OE ∥PF 1,且ＯE ＝错误!PF １,易知OE ⊥FP ,∴PF 1⊥F Ｐ,∴PF 2+PF 错误!1＝ＦＦ错误!,PF 1=a ,PF =2a ＋P Ｆ1=3a , ∴9a ２+a 2=（2c ）2,∴＼f （ｃ，a ）=＼f （＼ｒ（10)，2）、 11.解 (1)依题意得错误!解得错误! 故双曲线得方程为错误!-x 2＝１、 (2)由（1）知双曲线得渐近线方程为ｙ＝±２x ,设Ａ(m,２m ),B (-ｎ,２ｎ),其中m >0,n >0,由错误!＝错误!得点P 得坐标为错误!、 将点P 得坐标代入错误!-x 2＝1,整理得mn =1、 设∠A ＯB ＝2θ，∵tan 错误!＝２, 则t ａｎ θ=＼f(1,２),从而ｓin 2θ=＼f(4，5）、 又ＯA ＝错误!m ，O Ｂ＝错误!n ， ∴S △AOB ＝错误!·OA ·OB ·ｓin 2θ＝２mn =2、 1２.解 （1)∵双曲线得渐近线为ｙ＝±b a x ,∴a =b , ∴ｃ２＝a 2+b 2=2a 2=4，∴ａ2＝ｂ2=２, ∴双曲线方程为x 2２-y 2２ ＝1、 (2）设点A 得坐标为(x 0,y 0), ∴直线AO 得斜率满足错误!·(－错误!）=－1,∴ｘ0=错误!y 0、① 依题意,圆得方程为x 2+ｙ2=c ２, 将①代入圆得方程得3ｙ错误!＋y 错误!＝c 2， 即y ０＝错误!c ,∴x 0=错误!c , ∴点A 得坐标为错误!，代入双曲线方程得 ＼ｆ(＼f(3,4)c 2,ａ２)-＼ｆ(1,４)ｃ２ ｂ2=1,即＼f(３,4)b 2ｃ２－错误!ａ２c 2=a ２b 2、② 又∵a ２＋b ２＝ｃ2,∴将b 2=c 2－a 2代入②式,整理得 ＼ｆ(3,4）c 4－2a ２c ２＋a 4=0，∴3错误!4－8错误!2＋4＝0， ∴(３e 2-２)(ｅ2－２)=0、∵ｅ>１,∴e ＝2, ∴双曲线得离心率为＼r(2)、 双曲线的渐近线探究 一．内容和内容解析 本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。 传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。 二．目标和目标解析 经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内在联系，理解双曲线渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程及其求法，并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图，体验用曲线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略，感悟有限与无限，曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。 提倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能力、形成意识）、情感态度价值观的有机整合，强调过程与结果的有机结合。教师首先要把学生看成是发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终目的是育人，利用数学…的特点提高学生的数学素养，提高整体素质，而对学生发展的正确认识也真体表现在我们在教学中要教什么、给学生一些什么东西、给学生留下什么东西。 三．教学过程设计 用列表描点法分别画出双曲线 12 22 2=-y x 双曲线都在框外，向左右上下近伸，但这种延伸与函数 2y -=x 的图象一样吗？ 问题情境是以学生自身周围环境中的现象、自然、社会和其他科学或数学中的问题为知识学习的切入点，是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数学学习、数学思维和数学活动产生的具体条件。 再观察反比例函数 ，指数函数y=2x . 教师指导或引导下，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径。让学生置身于适当的学习活动中，学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、去发现或猜测数学概念或结论，迸一步去证实或否定他们的发现或猜测。 上课开始，学生点击相关栏目，明确学习目标、利用已制作的“几何画板”上的“双曲线图形”，移动鼠标，观察动态图形，发现变化规律，形成感性认识，置身问题情境，寻求解答 。 问题一：双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？ 圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得 13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠ 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 双曲线的渐近线概述 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握. 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1﹑对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0. 2﹑渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线. 3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形. 二﹑掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了 此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即两条渐近线方程为x a ±y b ＝0；若双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令y 2a 2－x 2b 2＝0，即两条渐近线方程为y a ±x b ＝0． 三、掌握双曲线渐近线常见结论 1﹑两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数. 2﹑两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x 轴、y 轴对称. 3﹑等轴双曲线的的渐近线方程：y ＝±x. 4﹑共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同. 5﹑渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点. 四、典例分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线 例1已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝30?，则双曲线的渐近线方程为( ) (A)y ＝± 22x (B)y ＝±3x (C)y ＝±33x (D)y ＝±2 x 分析：由条件知△PF 1F 2为一个直角三角形，又|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30?，因此只需再确定由a 、b 、c 表示的另一边，由条件易知，点|PF 2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了. 解：设双曲线的焦点F 1(c ，0)、F 2(－c ，0)，则将x ＝c 代入双曲线方程得点P(c ，b 2 a )， 今天我们研究共轭双曲线的性质。以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫 做原双曲线的共轭双曲线。将双曲线22 221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22 221-=y x b a ,这两个双曲线就是互相共轭的双曲线。互为共轭的一对双曲线方程合起来可写为22 22 1-=±x y a b 。共轭双曲线的主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。 先看例题： 例：双曲线22 1364 -=x y 的共轭双曲线的方程是( )，它们的四个焦点都在圆( )上。 解：将双曲线221364=x y 的实、虚轴互易，所得共轭双曲线方程为：22 1436 -=y x ； 双曲线22 1364 =x y 的焦点4040（,0）,（-,0）; 双曲线22 1436 -=y x 的焦点4040（0,）,（0,-）; 四个焦点都在圆22 40+=x y 上。 归纳整理： 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，称为其共轭双曲线。 性质： 互为共轭的一对双曲线22221x y a b =与双曲线22 221-=y x b a ， 它们有共同的渐近线， 它们的四个焦点共圆， 它们的离心率的倒数的平方和等于1。 再看一个例题，加深印象 例：两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：2212 11e e +=1. 证明：双曲线22221x y a b -=的离心率222 21122c c a b e e a a a +=?==； 双曲线22 221-=y x b a 的离心率22222222c c a b e e b b b +=?==. ∴22 22222212111a b e e a b a b +=+=++. 总结： 1.双曲线22221x y a b -=与双曲线22 221-=y x b a 互为共轭。 2.互为共轭的双曲线主要性质有： 它们有共同的渐近线， 它们的四个焦点共圆， 它们的离心率的倒数的平方和等于1。 练习： 1. 双曲线的离心率为2，则共轭双曲线的离心率为（）， 2.双曲线22 11625 -=x y 的共轭双曲线的渐近线方程是( )。 3．双曲线122 22=-b y a x 的共轭双曲线的准线方程是（） 求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． Ｄ． 例2．直线L 过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A ． 2 ? ? ?? B ． 2 ? ?? ?? C ． ? +∞?? ?? D ． ? +∞?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________ 椭圆、双曲线离心率难题专题 1. （2018学年杭高高三开学考15）已知1F ，2F 分别是椭圆()22 22133 x y a a +=>的左右焦点，A 是椭圆上 一动点，圆C 与1F A 的延长线以及线段2AF 相切，若()2,0M 为一切点，则椭圆的离心率为 ． 2. （2018学年杭十四中4月月考2）已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y ，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 3. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考2）双曲线2 213 x y -=的焦距为（ ） A ．2 B ． C ． D ．4 4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的一条 渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ． 5. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考3）已知双曲线2 221y x a -=的一条渐近线方程为y =， 则该双曲线的离心率是（ ） A ． 3 B C ．2 D 6. （2019届超级全能生2月模拟16）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆 上点P 满足122PF PF =，射线PM 平分12F PF ∠，过坐标原点O 作PM 的平行线交1PF 于点Q ，且 121 4PQ F F =，则椭圆的离心率是 ． 7. （2019届慈溪中学5月模拟6）若椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点 的 曲线，且都过点B ，它们的离心率分别是1e ，2e ，则2212 11 e e +=（ ） A ． 32 B ．2 C ．3 D ． 52 8. （2019届杭二仿真考16）存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c ?? ??? （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取 值范围是 ． 9. （2019届杭州4月模拟10）已知椭圆()22 22:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点， 以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ ，则a 的取值范围为（ ） A ．( B ．? C ．? ?? D ．? ?? 10. （2019届湖州三校4月模拟17）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个顶点()(),0,0,A a B b ，过,A B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同的顶点C ，D 两点，若23BD AC =，则椭圆的离心率是 ． 11. （2019届稽阳联谊4月模拟16）已知,C F 分别是椭圆22 22:1x y a b Γ+=的左顶点和左焦点，,A B 是椭圆 的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r ，则椭圆Γ的离心率为 ． 共渐近线的两个双曲线系的解题功能 甘肃 彭长军 本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。 命题1：与双曲线22 22b y a x -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲 线系方程为22 22b y a x -=λ(λ≠0) (*) 证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ22 22b y a x -=1, 22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线 方程为y=λ λ a b ±x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 （2）当λ<0 时，方程(*)可变形为λ λ22 2 2a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0.。表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐 近线方程为y=λ λ --±a b x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 由（1）（2）可知，原命题成立。 同理，与双曲线22 22b x a y -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线 系方程为22 22b x a y -=λ(λ≠0)。 命题2:以直线Ax ±By=0为渐近线的双曲线系方程为 (Ax+By)(Ax-By)=λ(λ≠0)，即A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0)。 证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。 推论:以两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=λ(λ≠0)。 运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y=± b a x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（） A.当a>b 时在x 轴上 B.当a0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选C. 例2.求与双曲线16 92 2y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程。 解：设所求双曲线方程为1692 2y x -=λ(λ≠0)。将A 点坐标代入，得λ=4 1 ，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44 922y x -=1 例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。 第34练 双曲线的渐近线和离心率 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近 线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 破题切入点 根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线． 答案 C 解析 由e ＝c a ＝ 5 2 知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2 ，知b ＝k .所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双 曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF → ＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3 破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系． 答案 C 解析 如图，设OF 的中点为T ， 由(AO →＋AF →)·OF → ＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ? ?? ??c 2，c 2， 又A 在直线y ＝b a x 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP → .若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线 与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值围是________． 破题切入点 先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解． 答案 (1,2) 解析 设P (x ，y )，由题设条件， 得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2 ＋(y －2)2 ＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆． 又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0， 由题意，可得2a a 2＋b 2 >1，即2a c >1， 所以e ＝c a <2， 又e >1，故1 双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） ⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n. 椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立） c 6a 2c e 3,e 1a ∴≥?= ≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2 222y x 1a b 0a b +=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦 点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ． [21,1) - C ．(0,31]- D ．[31,1)- [解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122a PF PF m(e 1)2a m e 1 ∴+=+=?= + 2112PF PF F F -≤Q （当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2a m e 1 = +代入化简可得 ()2a 1e 2c e 1 -≤+2e 2e 10e 21?+-≥?≥-又e 1<) e 21,1?∴∈-?,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系 例1：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =， 则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=， 222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈Q ． 三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 解：12PF PF 2a -=Q ,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知 222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，c c 3a e 3a ∴≤?= ≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一 点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ， 1 双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a => ，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -= (a >)的两条渐近线的夹角为3 π,则双曲线的离心率为 . 3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 4．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e . 5．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 6．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 . 8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 . 10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ． 方法二、构造,a c 的齐次式，解出e 1．过双曲线22 221x y a b -=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 2．设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 1．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 2．双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________． 3．设12,F F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________． 4．双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 双曲线的渐近线 【教学目标】 1.知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用? 1 2.能力训练点：在与初中所学的y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而 x 培养学生分析、归纳、推理等能力. 3.学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解. 【教材分析】 1.教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证. 1 （解决办法：引导学生类比初中所学的y —的图象的特点，然后逐一证明） x 2.教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明. （解决办法：通过类比以及几何画板猜测） 【教学程序】 1.新课引入 课前播放“悲伤双曲线”的音乐。 我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？ （标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等） 1 那么你对这条双曲线：y —（的图像）又有哪些了解呢？ x 你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。 我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切， 你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近一>无限接近。（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。（板书） 2.新课讲解 【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例）， 1 所以我们可以将y 的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。 x 这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。 那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿） 能否根据其特征（无交点、逐渐接近- > 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）—、、x2 y2 【探索2】你能找到和双曲线— 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y轴等 a b 过原点的部分直线） 2 2 【探索3】那么这么多和双曲线—占1（a 0, b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪 a b 一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？ 第四十一讲 双曲线 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 62 C.63 D.33 解析：由图易知：c b ＝tan60°＝3， 不妨设c ＝3，b ＝1，则a ＝ 2. ∴e ＝c a ＝32 ＝ 6 2 .故选B. 答案：B 2．已知双曲线9y 2－m 2x 2 ＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15 ，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：9y 2－m 2x 2 ＝1(m >0)?a ＝13，b ＝1m ，取顶点? ????0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0， ∵15＝|－3×1 3| m 2 ＋9?m 2 ＋9＝25，∴m ＝4，故选D. 答案：D 3．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且 满足12120,||||2,MF MF MF MF == 则该双曲线的方程是( ) A.x 2 9－y 2＝1 B ．x 2 －y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2 3 ＝1 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，且M 为右支上一点， 由已知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴221212||||2||||MF MF MF MF +- ＝4a 2 . 又∵12120,.MF MF MF MF =∴⊥ ∴4c 2－4＝4a 2，即b 2＝1. 又∵c ＝10，∴a 2 ＝9.∴双曲线方程为x 2 9－y 2 ＝1，故选A. 答案：A 4．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几 个说法： ①双曲线x 2 － 2y 2 5＋1 ＝1是黄金双曲线； ②若b 2 ＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( ) A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④ 解析：①e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋ 5＋1 2 ＝5＋32＝5＋1 2 ，双曲线是黄金双曲线． ②由b 2 ＝ac ，可得c 2 －a 2 ＝ac ，两边同除以a 2 ，即e 2 －e －1＝0，从而e ＝5＋1 2 ，双曲线是黄金双曲线． ③|F 1B 1|2＝b 2＋c 2，|A 2B 1|2＝b 2＋a 2，|F 1A 2|2＝(a ＋c )2，注意到∠F 1B 1A 2＝90°，所以b 2 ＋c 2 ＋b 2 ＋a 2 ＝(a ＋c )2 ，即b 2 ＝ac ，由②可知双曲线为黄金双曲线． ④∵|MN |＝2b 2a ，由射影定理知|OF 2|2＝|MF 2|·|F 2N |，即c 2＝b 4 a 2，从而b 2 ＝ac ，由②可 知双曲线为黄金双曲线． 答案：D 5．过双曲线x 2 －y 2 ＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( ) A ．28 B ．14－8 2 C ．14＋8 2 D ．8 2 椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直 线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5， 则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与 C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点 D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆 上，则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值范围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 巧解双曲线的离心率 离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。 1、求离心率的值 （1）利用离心率公式a c e =，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a b ，再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3 4=，则双曲线的离心率为__________. 分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3 4=a b 解答：由已知可得3 4=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+?=-+e e a ac c 例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。 解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--?-=?=?-=-?e e a c c a b c b a b 所以2 15+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围 求离心率的取值范围关键是建立不等关系。 （1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。 例3 若双曲线22 221x y a b -=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=?>>?>>a b e a b b a双曲线渐近线探究
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
双曲线离心率求解的基本方法
双曲线渐近线方程的概述
【KS5U推荐】高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：共轭双曲线+Word版含解析【KS5U+高
求离心率的取值范围方法总结
椭圆、双曲线离心率难题专题
共渐近线的两个双曲线系的解题功能
双曲线的渐近线和离心率
双曲线方程知识点总结_公式总结
椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2]
双曲线离心率常见求法整理归纳
双曲线的渐近线
2012年数学一轮复习试题 双曲线
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
巧解双曲线的离心率
相关主题
文本预览