《函数的表示方法》教学设计
钱蒙娜
一、教材分析
本节内容为苏教版《数学必修1》中2.1.2 “函数的表示方法”。在初中学生已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素Z-,即对应关系的表达方式。函数学习要“多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深对函数概念的理解。”在苏教版《数学必修4》中还会继续学习的三角函数，也是非常重要的一类函数模型。
学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。同时，基于高屮阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全而的认识。在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学牛更好地体会这一重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。
二、教学目标
根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观三个维度制订教学目标。
知识与技能：掌握函数常用的三种表示方法（列表法、图象法、解析法），了解函数不同表示方法的优缺点并能根据不同需要选择恰当的方式表示函数；掌握分段函数、复合函数的概念；能根据不同情况求出函数的表达式和定义域。
过程与方法：通过实例，分析比较函数三种不同的表示方法；通过分段函数改变的形成过程，培养学生观察、归纳和抽彖的能力，培养数形结合和分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观：通过对函数不同表示方法的学习，从中体会数学的简洁统一美；通过探究函数的表达式，激发学牛的学习热情。
三、学情分析
该班学生是江苏省常熟屮学重点班学生，数学基础扎实、逻辑思维能力较强并且在之前的学习中对分段函数和复合函数已有初步了解，因此在教学中会加快进程以及更加注重启发学牛让学牛自主回答。若上课进程过快，提前准备一些略有难度的题目作为补充题。
函数这一模块内容最多，比较抽象，学生学习确有许多困难。基于高中阶段所接触的许多函数都可用不同的方式表示，因此教师要通过设置问题去帮助学生积极主动地感受、分析、归纳三种方法的各自优点及不足，逐步过渡到能合理选用和灵活转换函数的各种表示形式，这也是向学牛渗透数形结合思想方法的重要过程，同时也为后述内容一一函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）的学习打下良好的基础。
学生可能在下列三种情形屮感到困难：
（-）已知函数是数据较多的表格形式，画函数图象吋，有点茫然，没想到是一些离散的点。
（二）己知函数是分段函数，画函数图象时，用不准定义域的分段范围，忙而乱。
（三）学生在做关于换元法的例题时极有可能用平移做或者用配凑法做。
四、教学方法
根据教学内容，结合学牛的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式。在整个教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，
逐步培养学生能够利用函数来处理信息的能力。
五、教学重点与难点
教学重点：掌握函数常用三种表示方法、掌握分段函数与复合函数的概念以及能根据不同情况求出函数表达式并且求出定义域。
教学难点：根据不同情况能求出函数表达式，并且求出定义域。
六、教学准备
直尺、多媒体设备。
七、教学过程
（一）函数的表示方法引入
同学们，今天我们要讲《函数的表示方法》这一节。在之前函数的学习中，已经见过或者运用过这些表示方法了，我们一起来看屏幕。
例一：这是我们班学号为1-5的同学的身高，为了清楚的表示我已经把它列成了一个表格的形式。这里面的变量是学号和身高。
Q：请问，这是不是表示一个函数呢？（学生冋答）
每一个学号对应着唯一的身高，所以当然是函数。根据这张表格只要我们知道该同学的学号就能知道他对应的身高。像这种，用列表来表示两个变量之间函数关系的方法，就叫作列表法。
设计意图：从实际生活屮举例，使学生感到亲切，自然引出列表法。
例二：同学们这是一张股市行情图，
Q：这个图象是否是函数的图像呢？（学生回答）
自变量是时间，因变量是上证指数，一个时间对应唯一的上证指数所以是函数
的图像。接下来这一张是一天的气温变化图象，同理它也是表示函数的图象，自变量是时间，因变量是气温，一个时间对应唯一的气温。
像这一类用图象来表示两个变量Z间函数关系的方法，就叫作图象法。
设计意图：函数现象大量存在于生活中，使学生感受到数学在生活中的重要性，引出图象法。
例三:屏幕上这几个函数是大家所熟知的，它都是以y二X的式子的形式给岀。
像这种，用等式来表示两个变量Z间函数关系的方法，就叫作解析法。而这个等式就是我们常见的解析式。
Q：用解析法表示函数的时候，要注意函数的三要素，分别是？（学牛回答）设计意图：学生对于解析法已有认识，强调解析式必须跟上定义域。
（衔接）那函数的表示方法就是以上学习的三种：分别是列表法、图象法和解析法。
接下来我们来看几个相关的问题，请同学讨论一下。
Q：问题1：图象法中函数的图象一定是连续曲线吗？如果不是举个例子。
Q：问题2：列表法、图彖法和解析法各自的优缺点是什么？
Q：问题3：根据优缺点和以往的经验，我们最常用来表示函数的方法是哪一种？最不常用的呢？
先由学生讨论与表述，后由师生归纳三种表示方法的优缺点。
列表法，优点是不是可以直接从表格中看出自变量对应的函数值，很直观，Q：缺点呢？请同学回答。列表法的缺点是只能表示自变量取值有限的时候，而我们往往遇到的题目中函数自变量取值是无限的，所以列表法很少会用到。
图象法的优点显然就是形象、直观，缺点就是根据函数图象只能近似求出自变量对应函数值。
解析法是我们最常用来表示函数的，那它肯定有很大的优点。解析法全面的概括出了变量间关系，我们可以通过计算求出任意自变量对应的函数值。一个事物是有两面性的，和另外两种方法比较，解析法的缺点是不够形象直观，而口不是所有函数都能用解析法表示的。
设计意图：让学生体会总结三种表示法各自的优缺点。这对培养学生观察、总结、表达能力是非常好的机会，教师千万不可代替。
(衔接)函数三种表达方式的优缺点已经明了，那我们在做题中，根据上述优缺点可知最常用的应该是解析法，图象法作辅助。函数表达方式到这里就结束To Q：接下来，我们看一下屏幕上的函数，这是一个什么函数？定义域是多少？能不能用图象法表示？请同学口头回答。
像这个分段函数，在第--段定义域内，函数解析式是y二x,在第二段定义域内，函数解析式就是y二-x。我们把在定义域内不同部分上，有不同解析表达式的函数称为分段函数。
设计意图：让学生进一步体会数形结合在理解函数概念中的重要性。引岀分段函数的特征。
例题讲解：下面我们来看一道分段函数的例题。
(-)函数解析式的求法引入
(衔接)在刚刚所学的三种表示方法中我们讲过，函数表达方式中最常用的是？解析式(大家一起回答)，那接下来的重点就是来探究求函数解析式的方法。
(1)由例题引入待定系数法
先看例题，请同学们尝试做题。(在等待同学做题时，不断提醒同学：这是一个二次函数。那二次函数是什么样的形式呢？)
1、设二次函数y=f (x)的最小值为4, 且f (0) =f (2) =6,
求f (x)的解析式.
先请同学回答，详细解答过程板书呈现。写完之后，根据板书内容解释待定系数法的名称和总结此方法做法：
首先，这个函数的类型我们已经知道，那顺势我们可以设出这个函数的形式，这个形式中有等待被确定的系数；进而，根据给岀的条件，我们可以求出这个形式中
等待被确定的系数。所以，我们称这个方法为：待定系数法。
Q：请问，求函数解析式时用待定系数法的前提是什么？
A：已知函数类型。
Q：那么我们学过的哪些函数可以用待定系数法？
A：一次函数、二次函数和反比例函数。
Q：接着这道题，请问，二次函数除了设成顶点式，(如果一开始同学回答的是一般形式，那这里的顶点式和下面的一般形式互换)我们一般还可以设为什么形式？
A：可以设成一般形式。(板书呈现具体形式)(若有同学回答出两点式给予表扬) Q：若我们已知二次函数的两个交点，我们还可以设为什么形式？
A：两点式。(板书呈现具体形式)
2、已知函数f(x)为一次函数，Mf[f(x)]=x+2, 求f(x)
?
接下来请同学们继续做第二题。我请一位同学上黑板完成。
根据同学的板书解答，指击做题过程中击现的格式问题。详细解答通过ppt 呈现。
设计意图：待定系数法是学生们最能接受的一种求函数表达式的方法，通过旁敲侧击引导学生自己做题，感受待定系数法的过程。通过例题引入待定系数法, 再马上通过一道习题巩固此方法。并以板书形式呈现给学生，规范学生写作。最后通过师生互动共同总结该方法，提高学生总结与表达能力。
(2)由例题引入换元法
继续看例题，请同学冋答。
1 \ 若f (x+1) =x2-2x+3,求f (x)?
〈i＞若同学冋答用平移法做，先肯定这种解答。进而引出本质相同的换元法。〈2＞若同学回答用配凑法做，先肯定这种解答，进而提问第二小题用这种方法可以做吗？试试看。等同学尝试完后会发现第二题用配方法有问题，进而引出
2、设f （1 + 丄）=土 _ 1,求f（x）?
X x~
普适性更强的换元法。
解释换元法的名称：将括号屮整体换成一个新的元，所以就称为换元法。
Q：请同学总结换元法的步骤。
A：将括号中看作整体，令为t,接着用t表示x,代入原函数，成为关于t 的函数。
教师补充：由于我们习惯将自变量写为X,所以最后还耍加一步：将t用X 代换。
Q：有没有其它同学要补充？
（若没有，那么请做第二题，之后再来补充；若有，就及时补充）
请同学口头陈述过程，ppt-步步呈现过程。
Q：请问，函数的三要素是指什么？
A：定义域，对应法则，值域。
Q：那求函数解析式同学们漏掉了最重要的什么？
A：定义域。
Q：那再来考虑一下，为何第一道题目不需要写定义域呢？
A：因为x可以取到一切实数。
Q：很好，那这道题目里面的定义域为多少？
（若有同学回答是原始x的定义域,就指生这是换元法的易错点，也是重点）（若同学回答正确，继续追问他此处x的范围就是什么的范围？和同学解释清楚其中的关系，强调换元法的定义域是重点）
并且在此特别强调：求函数解析式，无论是大题还是填空题，都必须写出定义域，否则就是错的，会扣分。
设计意图：通过例题1引入换元法的时候，学生极有可能用平移法或者配凑法做，这时候先对同学会用以前学过的方法做题进行表扬，接着一定耍通过例题2让学生自己意识到那两种方法的局限性，此时教师才引入学生已接触过的整体代换思想的换元法。并且，强调换元法的注意点以及考试易错点是定义域。
(3)通过例题引入解方程组法
1、若函数f(X)满足2f (x)-f (-)=x,
求f(x)的解析式. X
Q：这个例题，同学们想想还能不能用上面两种方法作答？
A：不能
教师引导：遇到这种既不知道函数类型，也不知道一些函数相关形式的题目，我们不妨试一试把X看作整体，所有的X都用1/X替代，同学们动手做做看。
解释方法名称：通过题冃解答过程，我们会发现这是利用解方程组的方法求函数解析式。所以把这种方法称为解方程组法。
Q：请问同学们，这种方法适用于什么情况呢？让学牛总结。
PPt上强调这种方法的适用范围：
该方法经常越用在同时含有f (x), f (-X)或f(x), f 的函
数解析式问题中。
设计意图：解方程组法对高一学生来说是一种新解题思路，若完全让学生自我探索是很难做到的，所以尽可能地引导学生去充分理解此方法，并且由学生总结适用情况，增强学牛对此方法的认识与应用。
(3)课堂小结
今天这节课我们主要学习了两个内容：函数的三种表示方法和求函数解析式的三种方法。那么请问同学们：
1?函数的表示方法是哪些？
2.函数解析式的求法有哪些？注意点分别是什么？
(4)课后作业
1?预先准备好的三道练习题，若有时间则课堂讲解；若无时间，则作为课后
作业；
2.《功到自然成》函数的表示方法这一节作业;
3.课时训练函数的表示方法这一节作业。
八、板书设计
九、教学反思