开放性问题
一、填空题
1. （2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
三.解答题
1．（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；函数及其图象．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．
（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN==，
∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．
②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，
线段AC的垂直平分线为y=x，
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠C GB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．