2015年第二学段教学质量检测
数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中
只有一项是符合题目要求的。） 1.490和910的最大公约数为( ).
A. 2
B. 10
C. 30
D. 70 2.将51转化为二进制数为( ).
A.100 111(2)
B.110 110(2)
C.110 011(2)
D.110 101(2) 3．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2
＝2，则点M(2,1)满足( )
A ．在直线l 上，但不在曲线C 上
B ．既在直线l 上，也在曲线
C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上
D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
4.命题R t p ∈?:，使得直线x -y +t =0与圆x 2+y 2
=1相交；命题0:>?m q ，双曲线
22m x 2
2
m y -=1的离心率为2。则下面结论正确的是（ ）. A. p 是假命题 B. q ?是真命题 C. p ∧q 是假命题 D. p ∨q 是真命题
5.已知条件p ：x≤1，条件q ：，则￢p 是q 的 ( ).
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，C 1与C 2的离心
率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ). A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 7.已知x 、y
从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.8x ＋a ，则a ＝( ). A ．0.8 B ．1 C ．1.2 D ．1.5
8.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随
机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ).
A.13
B.23
C.34
D.14
9.某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测 后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其 中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为
[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104),[104,106]， 已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净 重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是( ). A ．90 B ．75 C ．60 D ．45
10.曲线C 的方程为122
22=+n
y m x ，其中n m ,是将一枚骰子
先后投掷两次所得点数，事件=A “方程122
22=+n
y m x 表示焦点在x 轴上的椭
圆”，那么=)(A P ( ). A.
125 B. 127 C. 21 D. 6
1 11.在区间[﹣3，3]上任取一个数a ，则圆C 1：x 2
+y 2
+4x ﹣5=0与圆C 2：（x ﹣a ）2
+y 2
=1有 公共点的概率为( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2
2，且
过点（2，2）.又M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直
的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，则PQ
MN 1
1+
为定值 （ ）. A.
8
2
3 B.
825 C.827 D.8
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.命题“R x ∈?，082>-+x x ”的否定为 _________________。
14.已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，当x ，y∈R 时，P 满足(x －2)2
＋(y －
2)2
≤4的概率是_________________。
15.设命题p ：c 2 ＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立， 则实数c 的取值范围是________． 16.设A,B 分别是直线y=x 和y=-x 上的两个动点,并且| |= ,动点P 满 足= + ,记动点P 的轨迹为C,求轨迹C 的方程是 _。 2015年第二学段教学质量检测 数学答题卷（理） （总分：150分 时间：120分钟 ） 第Ⅱ卷（非选择题） 二、请将填空题答案填入下列横线（每小题5分，共计20分） 13．___________________________ 14．___________________________ 15．___________________________ 16．___________________________ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17.(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为5 2 的双曲 线方程． 18.（本小题满分10分）已知斜率为1的直线l 过椭圆x 2 4 ＋y 2 ＝1的右焦点，交椭圆于A 、 B 两点，求弦AB 的长． 19.（本题分12分）已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x 、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率． 20.（本小题满分12分）已知R a ∈，命题[]"0,2,1"2≥-∈?a x x p ：，命题 "022,"2=-++∈?a ax x R x q ： （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题""q p ∨为真命题，命题""q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 21.（本小题满分12分）设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为 A ，上顶点为 B .已知|AB |＝ 3 2 |F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的 直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝2 2.求椭圆的方程． 22.（满分14分）设椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标 原点． (1)求椭圆E 的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ， 且OA →⊥OB → ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明 理由． 高二年级第二次段考 数学（理科）试卷答案 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。） 1、D 2、 C 3、 B 4、 D 5、 A 6、A 7、B 8、B 9、C 10、A 11、B 12、A 二、填空题（4小题，每个5分，共20分） 13、R x ∈?，082≤-+x x 14、π16 15、12≤c <1或－1 2 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（满分10分）解：由椭圆方程x 29＋y 2 4＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1 ＝a 2 1－b 2 1＝5，（3分） ∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，（5分） 设双曲线方程为x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得????? c ＝5，c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，c a ＝5 2 ，解得??? ?? a ＝2， b ＝1. （9分） 故所求双曲线的方程为x 2 4 －y 2 ＝1.（10分） 18、（满分10分）解：解 ∵a 2 ＝4，b 2 ＝1， ∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)， ∴直线l 方程y ＝x － 3. （3分） 由????? y ＝x －3，x 2 4 ＋y ＝1，消去y 并整理得5x 2－83x ＋8＝0. （5分） 设直线l 与椭圆的交点的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝8 5， （8分） ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－3－x 2＋3)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2[(835)2－4×85]＝85，即弦AB 的长为8 5. （10分） 19、（满分12分）解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；（2分） 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1， 所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；（4分） 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝1 12 .（5分） (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；（6分） 满足a ·b <0的基本事件的结果为 A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；（8分） 画出图形如图， 矩形的面积为S 矩形＝25，（9分） 阴影部分的面积为S 阴影＝25－1 2×2×4＝21，（10分） 故满足a ·b <0的概率为21 25.（12分） 20、（满分12分）解：⑴命题2:"[1,2],0"p x x a ?∈-≥， 则分离参数得2 x a ≤ 对]2,1[∈?x 恒成立，则min 2）（x a ≤ （2分 ） ]2,1[,)(2 ∈=x x x f ， 1)1(min ==f f 则 1≤a （ 4分） ⑵命题q 为真命题时，2 44(2)0a a ?=--≥，解得21a a ≤-≥或 （6分） 命题q 为假命题时，12<<-a 由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤， ，命题p 为假命题时，1>a 。……（8分） 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 当命题p 为真，命题q 为假时，1 2121 a a a ≤??-< -< 当命题p 为假，命题q 为真时，1 1-21 a a a a >??>? ≤≥?或， （10）分 综上：1a >或21a -<<． （12分） 21、（满分12分）解 ：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32 |F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2 . （2分） 又b 2＝a 2－c 2 ，则c 2a 2＝12 . 所以，椭圆的离心率e ＝ 2 2 . （4分） (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2 . 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2 c 2＝1. （5分） 设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B → ＝(c ，c )． （6分） 由已知，有F 1P →·F 1B → ＝0， 即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20 c 2＝1.② 由①和②可得3x 2 0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4 3 c ， 代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为? ?? ??－4c 3，c 3. （8分） 设圆的圆心为T (x 1，y 1)， 则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝2 3c ， 所以圆的半径r ＝ x 1－0 2 ＋ y 1－c 2 ＝ 5 3 c . （10分） 由已知，有|TF 2|2 ＝|MF 2|2 ＋r 2， 又|MF 2|＝22，故有? ????c ＋23c 2＋? ????0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2 ＝3. （11分） 所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 2 3 ＝1. (12分) 22、（满分14分） 解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点， 所以????? 4a 2 ＋2b 2 ＝1，6a 2 ＋1 b 2 ＝1， 解得????? 1a 2＝1 8，1b 2 ＝1 4， （3分） 所以????? a 2 ＝8， b 2 ＝4， 椭圆E 的方程为x 28＋y 2 4 ＝1.（4分） (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA → ⊥ OB → ，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解方程组????? y ＝kx ＋m ，x 28＋y 2 4 ＝1得x 2 ＋2(kx ＋m )2 ＝8， 即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2 －8＝0，（6分） 则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0，即8k 2－m 2 ＋4>0. 故????? x 1 ＋x 2 ＝－4km 1＋2k 2 ，x 1x 2 ＝2m 2 －8 1＋2k 2 ， （7分） y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝k 2(2m 2－8)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2. 要使OA →⊥OB → ，需使x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝0， 所以3m 2－8k 2 －8＝0，（8分） 所以k 2 ＝3m 2 －88 ≥0.（9分） 又8k 2 －m 2 ＋4>0，所以????? m 2 >2， 3m 2 ≥8， 所以m 2 ≥83 ， 即m ≥263或m ≤－263 ，（10分） 因为直线y ＝kx ＋m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r ＝|m | 1＋k 2 ， r 2 ＝ m 2 1＋k 2 ＝ m 21＋ 3m 2 －88 ＝83，r ＝26 3 ， 所求的圆为x 2＋y 2 ＝83 ，（11分） 此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－26 3 ，（12分） 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±263与椭圆x 2 8＋y 2 4＝1的两个交点为(263，±26 3)或(－ 263，±263 )满足OA →⊥OB → ，（13分） 综上，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2 ＝83 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ， 且OA →⊥OB → .（14分）
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