5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题
基础巩固强化
1.(20122沈阳市二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足xAB →＋yAD →＋PA →
＝0(x ，y ∈R )，则当点P 在以A 为圆心，3
3|BD →
|为半径的圆
上时，实数x ，y 应满足关系式为( )
A ．4x 2
＋y 2
＋2xy ＝1 B ．4x 2＋y 2
－2xy ＝1 C ．x 2
＋4y 2
－2xy ＝1 D ．x 2
＋4y 2
＋2xy ＝1
[答案] D
[解析] ∵xAB →
＋yAD →＋PA →
＝0，∴AP →
＝xAB →
＋yAD →，
∵AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°，∴BD ＝3AB ，∴|AP →
|＝33|BD →|＝|AB →|，∴|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)
2
＝x 2
|AB →
|2
＋y 2|AD →
|2
＋2xy 2AB →2AD →
＝x 2
|AB →
|2
＋4y 2
|AB →
|2
＋2xy 2|AB →|2|AD →
|2cos60°＝(x 2
＋
4y 2
＋2xy )|AB →
|2
，∴x 2
＋4y 2
＋2xy ＝1，故选D.
2．(20122河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →
＋2PA →
＝0，现
将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.12
D.23
[答案] C
[解析] 如图，PB →＋PC →
＝PE →
＝2PD →
，∵PB →＋PC →
＋2PA →
＝0，∴PA →＋PD →
＝0，∴P 为AD 的中
点，
∴所求概率为P ＝
S △PBC S △ABC ＝1
2
. 3．在△ABC 中，(BC →
＋BA →
)2AC →
＝|AC →
|2
，则三角形ABC 的形状一定是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 由条件知|AC →
|2
＝(BC →
＋BA →)2(BC →－BA →
) ＝|BC →
|2
－|BA →
|2
，∴AB 2
＋AC 2
＝BC 2
， ∴△ABC 为直角三角形．
4．(20122郑州六校质检)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝1
4
时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
[答案] C
[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2
＋t 2
|b |2
＋2t |a ||b |cos θ＝4t 2
＋4t cos θ＋1＝4t ＋cos θ
2
2
＋1－cos 2
θ.
又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ
2＝0，
∴cos θ＝－12，∴θ＝2π
3
.故选C.
5．(文)(20112河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2
＝9相交于两点M 、N ，若
c 2＝a 2＋b 2，则OM →
2ON →
(O 为坐标原点)等于( )
A ．－7
B ．－14
C ．7
D ．14
[答案] A
[解析] 记OM →、ON →
的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于
|c |
a 2＋
b 2
＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2
θ－1＝23(13)2－1＝－79，
∴OM →2ON →
＝333cos2θ＝－7，选A.
(理)设F 1、F 2为椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→
2PF 2→
的值等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．－2 [答案] D
[解析] 由题意得c ＝a 2
－b 2
＝3，
又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝231
23F 1F 22h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1
时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.
所以PF 1→
2PF 2→
＝|PF 1→
|2|PF 2→
|2cos120° ＝2323(－1
2
)＝－2.
6．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC
的外心，则OC →2CA →
＝( )
A ．6
B ．－6
C ．8
D ．－8
[答案] D
[解析] ∵AB 2
＝AC 2
＋BC 2
，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，
∴OC →2CA →
＝－CO →
2CA →
＝－1
2(CA →
＋CB →
)2CA →
＝－12|CA →|2
－12CB →2CA →＝－8.
7.
(文)(20112佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →2BD →
＝________.
[答案] 1
[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →2BD →＝1. (理)
(20122宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E
为CD 的中点，则AE →
2BD →
＝________.
[答案] －3
2
[解析] AE →2BD →＝(AD →
＋12DC →)2(BA →＋BC →)＝AD →2BA →＋AD →2BC →＋12DC →2BA →＋12DC →2BC →＝－3
2.
8．(20112河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a 2b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．
[答案] t ≥5
[解析] 由题意知，f (x )＝x 2
(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3
＋x 2
＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x
2
＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立?t ≥3x 2
－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2
－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上
的抛物线，故要使t ≥3x 2
－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.
9.
如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径
OC 上的动点，则(PA →
＋PB →)2PC →
的最小值为________．
[答案] －9
2
[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(PA →＋PB →
)2PC →＝2PO →2PC →
＝－2x 3(3－x )＝2x 2
－6x ＝2(x
－32)2－92，所以(PA →＋PB →)2PC →
的最小值为－92
. 10．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数． (1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；
(2)若θ＝π
6，求|x a －b |的最小值及对应的x 值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系．
[解析] (1)由题意得，(a ＋2b )2(a －4b )＝0.
即a 2
－2a 2b －8b 2
＝0，得32
－233313cos θ－8312
＝0，
得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈(0，π
2)，
因此，sin θ＝1－cos 2
θ＝1－16
2
＝
356
， tan θ＝sin θ
cos θ＝35.
(2)|x a －b |＝x a －b 2
＝x 2a 2－2x a 2b ＋b 2
＝
9x 2
－2x 33313cos π6＋1＝
9x －
36
2
＋14
， 故当x ＝
36时，|x a －b |取得最小值12
， 此时，a 2(x a －b )＝x a 2
－a 2b ＝
3639－3313cos π
6＝0，故向量a 与x a －b 垂直. 能力拓展提升
11.(文)已知不共线向量OA →、OB →
，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →
(λ∈R )，则点(x ，y )
的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
[答案] A
[解析] 由PA →
＝λAB →得，OA →－OP →
＝λ(OB →－OA →
)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →
. 又2OP →
＝xOA →
＋yOB →，
∴?
??
??
x ＝2＋2λ，
y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.
(理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →2AF →
＝－4，则点A 的坐标是( )
A ．(2，±2)
B ．(1，±2)
C ．(1,2)
D ．(2,22)
[答案] B
[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 20
4
，y 0)，
则OA →
＝(y 20
4，y 0)，AF →
＝(1－y 20
4，－y 0)，
∵OA →2AF →＝－4，
∴y 204(1－y 20
4)－y 2
0＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；
当y 0＝－2时，x 0＝y 20
4＝1.
故A (1，±2)．故选B.
12．(20112北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<
π
2
)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →2ON →
＝0，则A 2ω等于( )
A.π
6 B.712π C.7
6
π D.73
π [答案] C
[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π
12)＝π，∴ω＝2.
∵M (π
12，1)在图象上，
∴sin(23π
12
＋φ)＝1，
∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π
3)，
又∵M (π12，A )，N (7π
12，－A )，OM →2ON →＝0，
∴π1237π12－A 2
＝0，∴A ＝712π， ∴A 2ω＝23
712π＝7
6
π，故选C. 13．(文)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →
＋AB →＋AC →
＝0，且|OA →
|＝|AB →
|，向量CA
→
在CB →
方向上的投影为( )
A ．－3
B ．－ 3 C. 3 D ．3
[答案] C
[解析] ∵OA →＋AB →
＋AC →＝0， ∴OB →＝CA →，∴|OB →
|＝|CA →
|，
又|OA →|＝|AB →
|，∴如图，AB ＝AC ＝OA ＝OB ＝OC ＝2，∠ACB ＝30°，∴CA →在CB →
方向上的投
影为|CA →
|2cos30°＝23
3
2
＝ 3.
(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →2MD →
＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] B
[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝
22
，
∴MC →2BA →
＝|MC →
|2|BA →
|2cos45°＝223232
2
＝1， MB →
2CD →
＝|MB →
|2|CD →
|2cos135°
＝
22313? ?
???－22＝－12， ∴MA →2MD →＝(MB →
＋BA →
)2(MC →＋CD →)
＝MB →2MC →
＋MB →2CD →
＋BA →2MC →
＋BA →2CD →
＝－?
????222＋? ??
??
－12＋1＋231＝2，故选B. 14．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2
＝a 24
的切线，
切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →
＝1
2
(OF →＋OP →
)，则双曲线的离心率为________．
[答案]
102
[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2
＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a
2，∵OE →
＝12
(OF →＋OP →)，∴E 为PF
的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2
＝52
，
∵e >1，∴e ＝102
. 15.
(文)点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2
＋CD 2
＝AC 2
＋BD 2
，求证：AD ⊥BC .
[分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →
2BC →
＝0，可设AD →
＝m ，AB →
＝c ，AC →
＝b ，将BC →
用
m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．
[证明] 设AB →
＝c ，AC →
＝b ，AD →＝m ，
则BD →＝AD →
－AB →
＝m －c ，CD →
＝AD →－AC →
＝m －b . ∵AB 2
＋CD 2
＝AC 2
＋BD 2
，
∴c 2
＋(m －b )2
＝b 2
＋(m －c )2
，即
c 2＋m 2－2m 2b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m 2c ＋c 2，
∴m 2(c －b )＝0，即AD →
2(AB →－AC →
)＝0，
∴AD →2CB →
＝0，∴AD ⊥BC .
(理)已知四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .
[证明]
如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，
y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)，又AC →∥BE →
，∴x 2(－1)－13(y －1)＝0，∴x ＋y －1
＝0 ①.
又|CE →
|＝|AC →
|，∴x 2＋y 2
－2＝0 ②. 由①②得???
??
x ＝1＋32
y ＝1－3
2
或???
??
x ＝1－
32y ＝1＋3
2
(舍去)，
即E (1＋32，1－3
2
)．
设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →
＝(1＋32，1－32)共线得1－32x ′－1＋3
2＝0，
解得x ′＝－2－3，
∴F (－2－3，1)，
∴AF →
＝(－1－3，0)，AE →
＝(3＋32，－1＋3
2)，
∴|AE →|＝
3＋3
2
2
＋－1＋32
2
＝1＋3＝|AF →
|，
∴AF ＝AE .
16．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →2AM →
＝0，AM →
＝－3
2
MQ →
，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．
[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则PA →＝(a,3)，AM →
＝(x －a ，y )，MQ →
＝(－x ，b －y )， 由PA →2AM →
＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →
＝－3
2
MQ →得，
(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，3
2(y －b ))，
∴?????
x －a ＝32x ，y ＝32y －3
2b ，
∴?????
a ＝－x
2，b ＝y
3.
把a ＝－x
2代入①，得－x
2(x ＋x
2)＋3y ＝0，
整理得y ＝14
x 2
(x ≠0)．
(理)(20112山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 2
2＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆
上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．
[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→
与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→2PF 2→
>0建立关于y 0的不等式求
得y 0的取值范围．
[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 20
2＝1，∵PF 1→2PF 2→＝|PF 1→||PF 2→
|cos
∠F 1PF 2，
若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→2PF 2→
>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)，
PF 1→
＝(－6－x 0，－y 0)，PF 2→
＝(6－x 0，－y 0)，
所以PF 1→
2PF 2→
＝x 2
0－6＋y 2
0>0，
又x 2
0＝8－4y 2
0，因此8－4y 2
0＋y 2
0－6>0， 解得－
63 3 ，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角， 所以y 0的取值范围是－ 63 3 . [点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过PA →2PB → >0(PA → 2PB → <0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y 0≠0这一限制条件． 1．(20112江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两 之间的夹角均为120°，且|k a ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．(0,2) [答案] C [解析] 根据|k a ＋b ＋c |>1可得|k a ＋b ＋c |2 >1， ∴k 2a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2k a 2b ＋2k a 2c ＋2c 2b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2. 2．(20112浙江理)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是________． [答案] [π6，5π 6 ] [解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝1 2， ∵|α|≤1，|β|≤1， ∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π 6 ]． 3．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？ [分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s | cos 〈F ，s 〉． [解析] 设木块的位移为s ， 则F 2s ＝|F ||s |cos30°＝503203 3 2 ＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为 |F |sin30°＝5031 2＝25(N)． 所以，摩擦力f 的大小为 |f |＝(80－25)30.02＝1.1(N)， 所以f 2s ＝|f ||s |cos180° ＝1.13203(－1)＝－22(J)． 即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J. 4．求证：(ac ＋bd )2 ≤(a 2 ＋b 2 )(c 2 ＋d 2 )． [分析] 联想到向量模的坐标表示式，可将a 2 ＋b 2 与c 2 ＋d 2 分别视作向量α＝(a ，b )， β＝(c ，d )的模，于是ac ＋bd ＝α2β，因此可以运用向量知识探求证明方法． [证明] 设OA → ＝(a ，b )，OB → ＝(c ，d )． 当OA →、OB → 至少有一个为零向量时，所证不等式成立； 当OA →、OB → 均不是零向量时，设其夹角为α，则有cos α＝ OA →2OB → |OA → |2|OB → | ＝ ac ＋bd a 2＋ b 22 c 2＋ d 2 ， ∵|cos α|≤1，∴???? ?? ac ＋bd a 2＋b 22c 2＋d 2≤1， 即(ac ＋bd )2 ≤(a 2 ＋b 2 )(c 2 ＋d 2 )． [点评] 待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决． 本例中a 2 ＋b 2 ，c 2 ＋d 2 与向量的模有联系，而ac ＋bd 与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示． 立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥体积的最大值为__________． 例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ， 四边形是正方形，，Q 是的中点，且，． 求证：平面； 求二面角 的余弦值． 例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都 相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的 三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，，，E ，F 为AB 的三等分点，且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面 平面PEF ； 若，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值． 空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合． 注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ， ，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??， ．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??， ，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=； （3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?． 四、空间向量的直角坐标运算 前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 1.坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，． 若123()a a a a =， ，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++， ，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， 一、知识梳理 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3． 求空间距离 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距 离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， A B C A 1 B 1 C 1 M y z A B C D E F x y z M N A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E F 高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习 一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题） 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是 1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1 练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？ 例 2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线 AE BD ,上，且AE AN BD BM 3 1 ,31==,求证：//MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE A B C D A 1 B 1 C 1 D 1P x z y A B C D E P x y z F A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F 1 H G A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F A 1 D 1 B 1 C 1 z 2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ， ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使 BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4 1 A 1 B 1，D 1F 1=4 1 D 1C 1，求B E 1与D F 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 4 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 所成角的大小 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。 第十三章空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有和的量． (2) 向量相等：方向且长度． (3) 向量加法法则：． (4) 向量减法法则：． (5) 数乘向量法则：． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝． (3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使． 基础过关 知识网络 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论：． 5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底：的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使． 空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角：． (2) 空间向量的长度或模：． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝； (b) ?a ?2＝； (c) a ⊥b ?． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a ) 交换律a ·b ＝； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝． ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值. 解：易求得0,2 1 =-∴==y x y x 变式训练1.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ， =A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是 ( ) A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 解：A 例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， 求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则 A B C D A 1 B 1 高考《向量》专题复习 1.向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：. （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化：与AB 共线的单位向量是. （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 （5）平行向量又叫共线向量，记作：∥. ①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行； ④平行向量无传递性！（因为有0)； （6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则； 2.平面向量的坐标表示及其运算： （1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→； （3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =?； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=?→→， 所以002121=+?=??⊥→ →→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→； （7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以 定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 一、利用向量处理平行与垂直问题 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1 练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？ 例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3 1,31==,求证：//MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE 2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ， ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点 F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4 1A 1B 1，D 1F 1=4 1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且 = 11E D 41 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。 空间向量与立体几何 第二课时 空间向量的坐标运算 一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题） 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,,i j k 都叫坐标向量． ),,(321a a a ),,(321b b b (1) a ±b ＝ 。 (2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ． (4) a ∥b ? ；a ⊥b ? ． （5）模长公式：若123(,,)a a a a =， 则21||a a a a =?=+ 21312||||a b a b a b a ??==?+2||(AB AB x ==),,(),,,(222111z y x B z y x A == 则AB ＝ ，= ． AB 的中点M 的坐标为 ． 4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标 例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k （2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1) D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知； （2）A 点拨：由题知?????=++=++024*******x y x ????-==3,4y x 或???=-=.1,4y x ； （3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。 点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。 例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =，b =， （1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =，b =， ∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）. (1)cos θ||||b a 52001?++-=－1010，∴和的夹角为－1010。 (2)∵k a +b =k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2）， k a －2b =（k+2，k ，－4），且(k a +b )⊥（k a －2b ）， ∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2+k －10=0。 则k=－25 或k=2。 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k －2)=k 22 －k ·－22=2k 2+k －10=0，解得k=－25 ，或k=2。 题型2：数量积 例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －）·=_____. （2）设空间两个不同的单位向量=(x 1，y 1，0)，=(x 2，y 2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于4π 。(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π)。 、利用向量处理平行与垂直问题 例 1、 在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， ACB 900 , BAC 300, BC 1,A 1A 6,M 练习：棱长为 a 的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱 DD 1上是否存在点 P 使B 1D ⊥ 面 PAC ？ 例 2 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M ,N 分别在对 11 角线 BD, AE 上，且 BM BD,AN AE ,求证： MN //平面CDE 33 练习 1、在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是 BB 1, ,CD 中点，求证： D 1F 平面 ADE 是 CC 1 得中点。求证： A 1 B AM y z A 1 D F 2 、 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P —ABCD 中 , ABC 60 ， PA AC a,PB PD 2a,点 E 在PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF ∥平面 AEC? 证明你的结论 . ABCD A 1B 1C 1D 1中, F 分别是 BC 的中点，点 E 在 D 1C 1上,且 1 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面 D 1AC 所成角的 大小 4 、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体 D 1F 1= 1D 1C 1， 4 求 BE 1与 DF 1所成的角的大小。 例 2 在正方体 D 1 E 1 例 3 在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, 求二面角 A 1 BD ABCD A 1B 1C 1D 1 中,E 1，F 1 z y x C 1的大小。 高考数学复习题库空间向量及其运算 空间向量及其运算 一.选择题 1.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基 底的一组向量是( ). A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b} C.{c，a＋b，a－b} D.{a＋b，a－b，a＋2b} 解析若c.a＋b.a－ b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则 a.b.c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾， 故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底. 答案 C 2.以下四个命题中正确的是( ). A.空间的任何一个向量都可 用其他三个向量表示 B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则 {a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC为直角 三角形的充要条件是·＝0 D.任何三个不共线的向量都可构成空 间向量的一组基底解析若a＋b.b＋c.c＋a为共面向量，则a＋b ＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ， μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a.b.c为共面向 量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 答案 B 3.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若 p与a，b共面，则p＝xa＋yb. ③若＝x＋y，则P，M，A.B共 面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析其中①③为正确命题. 答案 B 4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是( ) A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D.－a－b＋c 解析＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c. 答案 A 5.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝ ∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( ). A.0 B. C. D. 解析设＝a，＝b，＝c 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝ |c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0， ∴cos〈，〉＝0. 答案 A 6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( ) A. B. C.1 D. 解析＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案 D 7.下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ.μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d. 正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有命题③是正确命题. 答案 B 二.填空题 8.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB.AC，M.N 分别为OA.BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z， 当前 形势 空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分 高考要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质 平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量 线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角 北京高考解读 2006年2007年2008年2009年2010年（新课标） 17题 （14分） 17题 （14分） 16题 （14分） 16题 （14分） 16题 （14分）新课标剖析 满分晋级 第14讲空间向量 立体几何9级 立体几何之角度 距离问题 立体几何10级 空间向量与立体 几何综合 立体几何11级 立体几何综合 1 立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版 2 立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版 空间中的点面距离： 空间中的角与空间中的位置关系 空 间向量与立体几何 ⑴体积法 ⑵空间向量法：定点A 到平面的距离，可设平面的法向量为n ，面内点B ， 点到平面的距离为 AB n n ? 直线的方向向量与平面的法向量的概念； （设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ， ） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ?∥2v ； 线面的平行关系：1l ∥α或1l α??存在实数x y ，，使1v xm yn =+； （其中m n ， 为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）?1n ∥2n ； ⑵线线垂直与线线所成角：1 2l l 1 2120v v v v ???=； 12cos cos v v θ=??，（θ为12l l ， 的夹角，π02θ?? ∈???? ，）； ⑶线面垂直与线面所成角：1l α⊥11v n ?∥； 11cos sin v n θ=??，（θ为1l 与平面α所成的角， π02θ??∈???? ，） ； ⑷面面垂直与面面所成角（二面角）： 12120n n n n α β???=； 12cos cos n n θ=??，（θ为平面α，β所生成的二面角， [)0πθ∈，） 知识点睛 y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目：数学 授课教师： 全国章 年级： 高二 上课时间： 教材版本：人教版 总课时： 已上课时： 课时 学生签名： 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底） 为坐标向量，则存在 唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++ ，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在 空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a = ．在空间直角坐标系O xyz -中， 对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++ ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?= 11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量> 空间向量 ● 高考复习 考点知识汇集 一、空间向量的含义 1、定义：空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。 2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0 ； ②模为1的向量称为单位向量； ③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。记为a ④方向相等且模相等的向量称为相等向量。 3、性质：向量具有平移不变性。 二、空间向量的坐标表示 1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。 ①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i )、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖 轴：单位长度k )，统称为坐标轴； ②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。 2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。 3、向量P （O 为原点）的坐标记作： = z y x ，， = k z j y i x 。 4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。 ②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。 5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用 k j i ，，表示。空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，， 。 三、空间向量的直角坐标运算公式 设： 321a a a a ，， ， 321b b b b ，， 1、法则 ①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，， 向量差运算： 332211b a b a b a b a ，， 数乘运算： 321a a a a ，， R 数乘分配律： b a b a 332211b a b a b a ，， R 数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a ? ? ； 2a = 2 3 2221a a a a a ? b a b a b a ? ? ? ②不满足乘法结合律： c b a c b a ?? ?? 2、共线向量 ①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。 空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建 二、课标及考纲要求 三、知识要点及考点精析 （一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算 （1）空间向量的加法、减法和数乘运算 平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b+a ； ②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ； ③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． （2）空间向量的基本定理 ① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 λa =b ． ② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ． ③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b +c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）． （3）两个向量的数量积 两个向量的数量积是a ?b= |a||b|cos，数量积有如下性质： a , b , c ① a ?e= |a|cos（e 为单位向量）； ② a ⊥a ?a ?b=0； ③ a ?a=|a|2； ④ |a ?b|≤| a||b|． 数量积运算满足运算律： ①交换律，即a ?b= b ?a ； ②与数乘的结合律，即（λa ）?b=λ（a ?b ）； ③分配律，即（a+b ） ?c =a ?c +b ?c ． 3．空间向量的坐标运算 （1）给定空间直角坐标系xyz O -和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =． （2）空间向量的直角坐标运算律 ①若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，， -a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，a ?b ),,(332211b a b a b a =．立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)
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