热点探究训练(五)
平面解析几何中的高考热点问题
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
[解] (1)根据c ＝
a 2－
b 2
及题设知M ? ??
??c ，b 2
a ，
b 2a 2
c ＝34，2b 2＝3ac . 2分
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c
a ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为1
2. 5分
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2
a ＝4，即
b 2＝4a . ①8分 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ?????
2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即???
x 1＝－3
2c ，y 1＝－1.
10分
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.②
将①及c ＝
a 2－
b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋1
4a ＝1.
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12分 2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 2分 因此a ＝2，c ＝ 2.
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2. 5分
(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →
＝0， 所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0
x 0
. 8分
又x 20＋2y 20＝4，
所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝? ?
?
??x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2
＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2
0＋4－x 2
02＋2(4－x 2
0)x 20
＋4
＝x 20
2＋8x 20
＋4(0 因为x 202＋8x 20≥4(0 所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2. 12分 3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)． 图4 (1)证明：动点D 在定直线上； (2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值． [解] (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1 x 1 x ；BD 的方程为x ＝x 2. 2分 解得交点D 的坐标为??? x ＝x 2， y ＝y 1x 2 x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 1 4y 1 ＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0). 5分 (2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )， 即x 2－4ax －4b ＝0. 8分 由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1? ????2a ＋a ，2，N 2? ???? －2a ＋a ，－2，10分 则|MN 2|2 －|MN 1|2 ＝? ????2a －a 2＋42－? ?? ??2a ＋a 2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 12分 4．(2017·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M . (1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)； (2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 导学号：66482414 [解] ∵b ＝1，e ＝22， ∴?? ? c a ＝22，a 2＝1＋c 2， 解得a 2＝2. 3分 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2 ＝1. 设M (x M,0)， 由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1 ∵直线P A 的方程为y －1＝n －1 m x ， ∴x M ＝m 1－n ，则 M ? ????m 1－n ，0. (2)∵点B 与点A 关于x 轴对称， ∴B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝ m 1＋n . 8分 “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ | |ON |”， 即y Q 满足y 2 Q ＝|x M ||x N |. ∵x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1， ∴y 2Q ＝|x M ||x N |＝ m 2 1－n 2 ＝2. 10分 ∴y Q ＝2或y Q ＝－ 2. 故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ . 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 12分 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1. 图5 (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ → ＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 导学号：66482415 [解] (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，3分 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3＝1. 5分 (2)由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2. 8分 设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ? ???? －4k m ，3m . ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )， ∴MP →＝? ?? ??－4k m －t ，3m ，MQ → ＝(4－t,4k ＋m )，10分 ∴MP →·MQ →＝? ????－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立， 故????? t －1＝0， t 2－4t ＋3＝0， 即t ＝1. ∴存在点M (1,0)符合题意. 12分 6．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． [解] 由题意知F ? ?? ??12，0， 设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ， 则ab ≠0，且A ? ????a 22，a ，B ? ????b 22，b ，P ? ????－12，a ，Q ? ????－12，b ，R ? ????－12 ，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 2分 (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2 ＝a －b a 2－a b ＝1a ＝－ab a ＝－ b ＝b －0－12－12 ＝k 2. 所以AR ∥FQ . 5分 (2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |??? ???x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 8分 由题意可得|b －a |??? ???x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得 2a ＋b ＝y x －1 (x ≠1). 10分 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1. 12分
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