2008年4月第36卷第4期
机床与液压
MACH I NE TOOL &HYDRAULI CS
A pr 12008
V ol 136N o 14
收稿日期:2007-06-07
基金项目:德阳市重点科学技术研究项目
作者简介:张静(1979)),女,汉族,博士研究生,山东聊城人,主要研究方向:机构学、优化技术和数字化设计。电话:
028-********,E -m ai :l sdzj 2006@1261co m 。
平面连杆机构的模糊优化设计
张静,李柏林,刘永均
(西南交通大学机械工程学院,四川成都610031)
摘要:根据模糊理论和机构设计的原理,建立机构模糊优化的数学模型,利用模糊综合评判和扩增系数法,转化模糊约束优化问题为常规优化问题,并采用遗传算法进行优化问题的求解,完成机构的模糊优化设计。以一个再现轨迹的四杆机构为例,阐述了机构模糊优化设计问题的解决方法。
关键词:模糊优化;模糊综合评判;连杆机构;遗传算法中图分类号:TH122 文献标识码:A 文章编号:
1001-3881(2008)4-273-3
Fuzzy Optim ization Design of P lanar L inkage M echanism
Z HANG Ji n g ,LI Baili n ,LIU Yong jun
(Schoo l o fM echanical Eng i n eering ,Southw est Jiaotong Un i v ersity ,Chengdu 610031,China)
Abstrac t :B ased on fuzzy t hoery and pr i nc i ple of m echan ical des i gn ,fuzzy m athe m atical mode l o f m echan is m s was estab lished .Fuzzy contra i nts w ere changed by f uzzy co m prehensi ve eva l uation and a m plifi cation coeffi c ient-m ethod .U si ng genetic a l go rith m,the opti m u m w as ach i eved .The f our-ba r m echan is m w as adopted to describe soluti on procedure .
K eyword s :Fuzzy opti m ization ;Fuzzy comprehensi ve eva l uati on ;L i nkage m echan i s m;G enetic algor i th m
0 引言
在机械设计及工艺中所要考虑的尺寸、形状以及加工工艺等因素,大都要涉及到模糊因素,从而构成
了模糊优化设计问题[1]
。对于机构设计,同样存在模糊问题,比如,约束条件边界的模糊性。平面四杆机构是连杆机构中广泛使用的典型运动机构,以其为研究对象进行机构的模糊优化设计有着重要的理论和实
际意义。所以,本文从模糊理论[2]
和机构设计原理的
角度出发,应用模糊综合评判法[3]
与扩增系数法,处理机构综合中的模糊影响因素,转化模糊优化问题为非模糊(常规)优化问题,再通过常规优化方法求解,完成平面四杆机构的模糊优化设计问题。1 机构模糊优化一般模型
优化模型的3个基本要素:目标函数、约束条件与设计变量,只要其中一个要素包含模糊因素,该优化模型就属于模糊优化问题,此时机构模糊设计优化模型的一般形式为:
m i n F ~(X )
s .t .C ~j <~G ~j
(j =1,2,,,J )X =(x 1~,x 2~,,,x n ~)
T
式中:X 为n 维模糊设计变量;
G ~j 为模糊约束C ~j
的允许范围。2 再现轨迹的平面四杆机构模糊优化设计
再现轨迹的平面连杆机构,就是要求机构在运动过图1 四杆机构简图程中,使其连杆上某点p 给
定的轨迹运动[4]
。以平面四杆机构为例,使其连杆上点p 的轨迹曲线y =f (x )与已
知轨迹点坐标M (x (n)M ,y (n)
M )的偏差值最小。平面四杆机构如图1所示。
211 目标函数
以轨迹误差最小为设计目标时,目标函数为:F (X )=E 12
n =1[(x (n)p -x (n )M )2+(y (n)p -y (n )M )2
]
在时刻t n ,连杆上点p 坐标(x (n)p ,y (n )
p )为:x (n )
p =x A +l 2(cos (U (n )
1)+A )+l 5(cos (U (n )
2)+B )y
(n )
p =y A +l 2(si n (U (n )1)+A )+l 5(si n (U (n )2
)+B )
(1)
式中:
U (n)
2
=arccos d 2+l 23-l 2
42l 3d -arctan l 2sin U (n)
1
l 1-l 2cos U (n)
1+A 其中:d =
l 21+l 22-2l 1l 2cos U (n)
1。
212 设计变量
设计变量主要包括系统的坐标原点、杆长与支臂角,即:
X =[x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,x 9]=[x A ,y A ,
l 1,l 2,l 3,l 4,l 5,A ,B ]
213 约束条件
(1)曲柄存在约束条件g 1=x 6+x 3-x 4-x 5\0g 2=x 5+x 3-x 4-x 6\0g 3=x 6+x 5-x 4-x 3\0(2)机构传动角约束条件g 4=C i \~[C
]m in g 5=C m in \~
C i
(i =1,2,,,s)式中:传动角C 为:
C =arccos (x 25+x 26-x 24-x 2
3+2x 4x 3cos U 1
2x 5x 6
)
式中:[C ]m i n 、[C ]max 分别为传动角最小、最大值。
(3)杆长模糊约束条件
g 6=x 3[~b 1;g 7=x 4[~b 2;g 8=x 5[~b 3;
g 9=x 6[~b 4;g 10=x 7[~
b 5;x 3\0;
x 4\0;x 5\0;x 6\0;x 7\0。3 模糊约束边界的确定
311 模糊综合评判法求K
*
(1)建立因素集。因素集是影响评判对象的各种因素所组成的一个普通集合。作为杆机构,影响其性能好坏的因素主要有设计水平、制造水平、材料好坏、使用条件、重要程度、维修费用等,每一因素又按其影响的重要程度分为高、较高、一般、较低与低5个等级。
u ij 为第i 个因素的第j 个等级对该元素的隶属度。
将u ij 归一化,a ij =u ij /E 6
i =1u ij ,建立第i 个因素等级的
权重集为
A ~
=(a i 1,a i 2,,,a i 5)
其中:0[u ij [1 (i =1,2,
,,6;j =1,2,
,,5)
(2)确定备择集。根据设计条件及要求离散评判对象-截集水平K 为p 个值,其备择集为:
K =(K 1,K 2,,,K p )(3)确定因素的权重集。为准确反映各因素对评判对象K 的影响,应赋予各因素相应的权重A ~,
确定因素的权重集为:
A ~
=(a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6)(4)等级评判矩阵。将各因素的各个等级对备
择集中的各元素作出单因素评价,建立等级评判矩阵
R ~i
=
r i 11
r i 12,r i 1p r i 21r i 22,r i 2p s s s r i 51
r i 52
,
r i 5p
r ijk 为第i 个等级对备择集中第k 个元素的隶属度(i =1,2,,,6;j =1,2,,,5;k =1,2,,,p )。
(5)一级模糊综合评判矩阵。一级模糊综合评判集为:
B ~=A ~i b R i =(b i 1,b i 2,,,b ip )
b ik =E 5
j =1a ij r ijk
(j =1,2,,,6;k =1,2,,,p )
由B ~i
(i =1,2,,,6),建立一级模糊综合评
判矩阵为:
R ~
=(B 1,B 2,B 3,B 4,B 5,B 6)T
(6)二级模糊综合评判矩阵B ~=A ~b R ~
=(b 1,b 2,,,b 6)(7)评定结果的确定由加权平均法求得最优K *
K *
=E 6
i =1
b i K i /E 6
i =1
b i =019016
312 扩增系数法
利用扩增系数法确定模糊变量的上下界。扩增系数法[5]
是在充分考虑了以往普通设计规范和设计经验的基础上,通过引进扩增系数B (包括上扩增系统B
和下扩增系数B )来确定过渡区间上下界的一种方法,通常,
B =1105~1130,B =0170~0195,B 、B
的具体取值大小可根据实际情况确定。这样,所有隶属函数的表达式可写作:
x K
=x L
+K (x u
-x L
)x K
=x u
-K (x u
-x K
)其中K I
[0,1],用一系列K 值取截取模糊集
合,就可以得到不同设防水平下的K 水平截集。取不同的K 值,就可以得到不同的优化结果。若需要同时满足,就要寻求一个最优K 值,即K *
。
4 计算实例
设计一曲柄摇杆机构[6]
,点p 的再现轨迹上的
12个点见表1,给定转动副A 的坐标为:a x =67mm,
a y =10mm 。
(1)取B =1105,B =0180,K *
=019016,转化模糊优化约束;
(2)在M atlab 平台上,运用遗传算法进行求解,模糊优化设计结果与文献[3]确定设计优化比较如表2所示。
#
274#机床与液压 第36卷
表1点p轨迹
n123456789101112 U
1n
/(b)0306090120150180210240270300330
p(n)
x
50481542342930344248555651
p(n)
y
91111107906745281712142452 5结论
在机械设计中,模糊现象是普遍存在的,本文以模糊数学方法为基础,建立了机构模糊优化的数学模型,采用了模糊综合评判和扩增系数法转化模糊约束条件,从而把模糊优化设计问题转化为常规优化问题,然后,利用遗传算法进行常规优化问题的求解,完成再现轨迹的四杆机构模糊优化设计。把模糊理论与机构设计原理相结合,进行机构运动设计问题的研究,对解决同类问题具有普遍的意义,具有工程实用价值。
表2模糊优化设计结果与确定设计结果比较
设计变量l
1l
2
l
3
l
4
l
5
A B
模糊优化设计10815324516139110251081272551197321308b111937b 确定优化设计10817534510479111991131265571957321236b121712b
参考文献
=1>黄洪钟.机械设计模糊优化原理及应用[M].北京:科学出版社,1997.
=2>杨伦标,高英仪.模糊数学原理及应用[M].广州:华南理工大学出版社,1993.
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=5>谢庆生,罗延科,李屹.机械工程模糊优化方法[M].北京:机械工业出版社,2002.
=6>熊彬生.现代连杆机构设计[M].北京:化学工业出版社,2005.
(上接第272页)
Z轴方向上的旋转静刚度:
K
oz =
9M
z
9a
3
=
92J
j=1
2I
i=1
(Q
ij
sin B
ij
x
ij
-Q
ij
cos B
ij
y
ij
)
9a
3
(25)
4结论
本静刚度模型是在充分考虑了影响滚动直线导轨副静刚度的因素,如预压、滚珠与滚道的接触方式及其它因素对滚动直线导轨副静刚度的影响,利用滚动直线导轨副在承受外载荷的时导轨副内载荷分析及变形协调,建立起来的滚动直线导轨副的静刚度模型。本静刚度模型的理论知识更完善、影响因素更全面并建立了滚动直线导轨副静刚度的最终形式。
参考文献
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(上接第269页)
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第4期张静等:平面连杆机构的模糊优化设计