（一）行列式概念和性质线性代数知识点总结
1 行列式
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1））行列互换（转置），行列式的值不变
（2））两行（列）互换，行列式变号
（3））提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式
（4））拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这
个行列式就等于两个行列式之和。
（5））一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6））两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则
7、n 阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值：
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1））任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2））行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式
乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A|
（2）|AB|=|A| ·|B|
（3）|A T|=|A|
（4）|A -1|=|A| -1
（5）|A*|=|A| n-1
（6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则
（7））若 A 与B 相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1 ）非齐次线性方程组的系数行列式不为0 ，那么方程为唯一解
（2））如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3））若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0 解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵
（一）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1））矩阵乘法要求前列后行一致；
（2））矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）
（3））AB=O不能推出A=O 或B=O。
2、转置的性质（5 条）
（1）（A+B）T=A T+B T
（2）（kA）T=kA T
（3）（AB）T=B T A T
（4）|A| T=|A|
（5）（A T）T=A
（二）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或BA=E成立，称 A 可逆，B 是A 的逆矩阵，记为B=A-1
注：A 可逆的充要条件是|A| ≠0
4、逆的性质：（5 条）
（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0)
（2）（AB）-1=B-1·A-1
（3）|A -1|=|A| -1
（4）（A T）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解
（2）A 为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）
（三）矩阵的初等变换
6、初等行（列）变换定义：
（1））两行（列）互换；
（2））一行（列）乘非零常数c
（3））一行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1））初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2））初等矩阵均为可逆矩阵，且E ij-1=E ij（i，j 两行互换）；
E i-1（c）=E i（1/c）（第i 行（列）乘c）
E ij-1（k）=E ij（-k）（第i 行乘k 加到j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：非零子式的最高阶数
注：（1）r（A）=0 意味着所有元素为0，即A=O
（2）r（A n×n）=n（满秩）←→|A| ≠0←→A 可逆；
r（A）＜n←→|A|=0 ←→A 不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、, 、n-1）←→r 阶子式非零且所有r+1 子式均为0。
10、秩的性质：（7 条）
（1）A 为m×n 阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）
（2）r（A±B）≤r（A）±（B）
（3）r（AB）≤min{r （A），r（B）}
（4）r（kA）=r（A）（k≠0）
（5）r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩阵）
（6）r（A）=r（A T）=r（A T A）=r（AA T）
（7）设A 是m×n 阶矩阵，B 是n×s 矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n
（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；
（2）A 为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：（8 条）
（1）AA*=A*A=|A|E →★A*=|A|A -1
（2）（kA）*=k n-1A*
（3）（AB）*=B*A*
（4）|A*|=|A| n-1
（5）（A T）*=（A* ）T
（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A| -1
（7）（A* ）*=|A| n-2·A
★（8）r（A*）=n（r（A）=n）； r
（A*）=1 （r（A）=n-1）；
r（A*）=0 （r（A）＜n-1）
（六）分块矩阵
13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆：
3 向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα
2、长度定义：|| α||=
3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+, +a n b n=0
4、正交矩阵的定义： A 为n 阶矩阵，AA T=E←→ A-1=A T←→A T A=E→|A|= ±1
（二）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，, ，αs线性表示
(1) ←→非齐次线性方程组（α1，α2，, ，αs）（x1，x2，, ，x s）T=β有解。
★(2)←→r （α1，α2，, ，αs）=r（α1，α2，, ，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：（了解即可）
若α1，α2，, ，αs线性无关，α1，α2，, ，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，, ，αs线性表示。
7、线性表示的求法：（大题第二步）
设α1，α2，, ，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，, ，αs| β）→初等行变换→（行最简形| 系数）
行最简形：每行第一个非0 的数为1，其余元素均为0
（三）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1））α线性相关←→α=0
（2））α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，, ，αs线性相关
（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，, ，αs）（x1，x2，, ，x s）T=0 有非零解；
★（3）←→r（α1，α2，, ，αs）＜s 即秩小于个数
特别地，n 个n 维列向量α1，α2，, ，αn线性相关
（1）←→r（α1，α2，, ，αn）＜n
（2）←→| α1，α2，, ，αn|=0
（3）←→（α1，α2，, ，αn）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1））向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2））部分相关，则整体相关
（3））高维相关，则低维相关
（4））以少表多，多必相关
★推论：n+1 个n 维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，, ，αs线性无关
（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，, ，αs）（x1，x2，, ，x s）T=0 只有零解
（3）←→r（α1，α2，, ，αs）=s
特别地，n 个n 维向量α1，α2，, ，αn线性无关
←→r（α1，α2，, ，αn）=n ←→| α1，α2，, ，αn | ≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：
（1））整体无关，部分无关
（2））低维无关，高维无关
（3））正交的非零向量组线性无关
（4））不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
（1））定义法
★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满
秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2））若n 维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。
←→r（β1，β2，β3）=3 ←→r（C）=3 ←→|C| ≠0
（四）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数
★注:向量组α1，α2，, ，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，, ，αs）的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
（1））α1，α2，, ，αs为抽象的：定义法
（2））α1，α2，, ，αs为数字的：
（α1，α2，, ，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（五）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若α1，α2，, ，αn与β1，β2，, ，βn是n 维向量空间V 的两组基，则基变换公式为（β1，β2，, ，βn）=（α1，α2，, ，αn）C n×n
其中，C是从基α1，α2，, ，αn到β1，β2，, ，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，, ，αn）-1（β1，β2，, ，βn）
18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，, ，αn与基β1，β2，, ，βn的坐标分别为x=（x1，x2，, ，x n）T，y=（y1，y2，, ，y n）T，，即γ=x1 α1 + x2α2 + , +x nαn =y1β1 + y2β2 + , +y nβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，, ，αn到β1，β2，, ，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，, ，αn）-1（β1，β2，, ，βn）（六）Schmidt正交化
19、Schmidt 正交化
设α1，α2，α3线性无关
（1）正交化
令β1=α1
（2）单位化
4 线性方程组
（一）方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
(1)一般形式
(2) 矩阵形式：Ax=b；
(3)向量形式：A=（α1，α2，, ，αn）
2、解的定义：
若η=（c1，c2，, ，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b 的一个解（向量）
（二）解的判定与性质
3、齐次方程组：
（1））只有零解←→r（A）=n（n 为A 的列数或是未知数x 的个数）
（2））有非零解←→r
（A）＜n 4、非齐次方程组：
（1）无解←→r（A）＜r（A|b ）←→r（A）=r（A）-1
（2））唯一解←→r（A）=r（A|b ）=n
（3））无穷多解←→r（A）=r（A|b ）
＜n 5、解的性质：
（1））若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0 的解
（2））若ξ是Ax=0 的解，η是Ax=b 的解，则ξ+η是Ax=b 的解
（3））若η1，η2是Ax=b 的解，则η1-η2是Ax=0 的解
【推广】
（1））设η1，η2，, ，ηs是Ax=b 的解，则k1η1+k2η2+, +k sηs为
Ax=b 的解（当Σk i=1）
Ax=0的解（当Σk i=0）
（2））设η1，η2，, ，ηs是Ax=b 的s 个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，, ，ηs-η1为Ax=0 的s-1 个线性无关的解。
变式：① η1-η2，η3-η2，, ，ηs-η2
②η2-η1，η3-η2，, ，ηs-ηs-1
（三）基础解系
6、基础解系定义：
（1））ξ1，ξ2，, ，ξs是Ax=0 的解
（2））ξ1，ξ2，, ，ξs线性相关
（3））Ax=0 的所有解均可由其线性表示
→基础解系即所有解的极大无关组
注：基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论：（证明也很重要）
设A 施m×n 阶矩阵， B 是n×s 阶矩阵，AB=O
（1）B 的列向量均为方程Ax=0 的解
（2）r（A）+r（B）≤n（第2 章，秩）
8、总结：基础解系的求法
（1）A 为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解
（2）A 为数字的：A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）
9、齐次线性方程组的通解（所有解）
设r（A）=r，ξ1，ξ2，, ，ξn-r为Ax=0 的基础解系，
则Ax=0 的通解为k1η1+k2η2+, +k n-rηn-r（其中k1，k2，, ，k n-r为任意常数）
10、非齐次线性方程组的通解
设r（A）=r，ξ1，ξ2，, ，ξn-r为Ax=0 的基础解系，η为Ax=b 的特解，
则Ax=b 的通解为η+ k1η1+k2η2+, +k n-rηn-r（其中k1，k2，, ，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解
11、公共解定义：
如果α既是方程组Ax=0 的解，又是方程组Bx=0 的解，则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组Ax=0 与Bx=0有非零公共解
←→有非零解←→
13、重要结论（需要掌握证明）
（1））设A 是m×n 阶矩阵，则齐次方程A TAx=0与Ax=0 同解，r（ATA）=r（A）（2））设A 是m×n 阶矩阵，r（A）=n，B 是n×s 阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）
5 特征值与特征向量
（一）矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A 为n 阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵
A 属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
| λE-A|称为矩阵A 的特征多项式（λ的n 次多项式）。
| λE-A |=0 称为矩阵A 的特征方程（λ的n 次方程）。
注:特征方程可以写为|A- λE|=0
3、重要结论：
（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A 特征值λ=0 的特征向量
（2）A 的各行元素和为k，则(1，1，, ，1)T为特征值为k 的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
A
A
P AP （相
-1
A
f （A ）
T
-1
A*
似）
λ
λ
f （λ） λ -1
|A| λ
-1
λ
α
α
/
α
α
P -1
α
△4、总结：特征值与特征向量的求法
（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑 （ 2） A 为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：
（1）
）解特征方程 | λE-A|=0，得矩阵 A 的 n 个特征值 λ 1，λ 2，, ， λn
注： n 次方程必须有 n 个根(可有多重根，写作 λ1=λ2=, =λ s =实数，不能省略 )
（2）
）解齐次方程（ λi E-A ）=0，得属于特征值 λi 的线性无关的特征向量，即
其基础解系（共 n-r （λ i E-A ）个解） 6、性质：
（ 1）不同特征值的特征向量线性无关
（ 2） k 重特征值最多 k 个线性无关的特征向量
1≤n-r （λi E-A ）≤ k i
（3） ）设 A 的特征值为 λ1，λ2，, ， λn ，则|A|= Πλi ， Σλi =Σ a ii
（4）
）当 r （A ）=1，即 A=αβT ，其中α，β均为 n 维非零列向量，则 A 的特
征值为λ1=Σ a ii =α T β=βT α，λ 2=,
=λn =0
（5）
）设α是矩阵 A 属于特征值 λ的特征向量，则
（二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义：
设 A 、B 均为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P 使得 B=P -1AP ，称 A 与 B 相似，记作 A~B
8、相似矩阵的性质
（1） ）若 A 与 B 相似，则 f （A ）与 f （ B ）相似 （2）
）若 A 与 B 相似， B 与 C 相似，则 A 与 C 相似
（3））相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹
（即主对角线元素之和）
【推广】
（4））若A 与B 相似，则AB 与BA 相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A* 与B* 也相似
（三）矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义：
如果A 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ= ，
称A 可相似对角化。
注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P 可逆），故P 的每一列均为矩阵 A 的特征值λi 的特征向量
10、相似对角化的充要条件
（1）A 有n 个线性无关的特征向量
（2）A 的k 重特征值有k 个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
（1）A 有n 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）
（2）A 为实对称矩阵
12、重要结论：
（1））若A 可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值
的个数
（2））若A 不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数
（四）实对称矩阵
13、性质
（1））特征值全为实数
（2））不同特征值的特征向量正交
（3）A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P 使得P-1AP=Λ
（4）A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQΛ=
6 二次型
（一）二次型及其标准形
1、二次型：
（1））一般形式
（2））矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，, ，x n）=d x 2+d2x22+, +d n x n2
1 1
这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
（1））配方法：
通过可逆线性变换x=Cy（C 可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换
及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：
通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y 2+, +λn y n2
2
其中，λ1，λ2，, ，λn是A 的n 个特征值，Q 为A 的正交矩阵
注:正交矩阵Q 不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形
4、定义：
正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
规范形：f=z12+, z2-z 2-, -z 2 称为二次型的规范形。
p p+1 p+q
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2））p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵
6、定义：
A、B 均为n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A 与B 合同
△7、总结：n 阶实对称矩阵A、B 的关系
（1））A、B 相似（B=P-1AP）←→相同的特征值
（2））A、B 合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数
（3））A、B 等价（B=PAQ）←→r（A）=r
（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价
（四）正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵
A 是正定矩阵。
9、n 元二次型x T Ax 正定充要条件：
（1）A 的正惯性指数为n
（2）A 与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E
（3）A 的特征值均大于0
（4）A 的顺序主子式均大于0（k 阶顺序主子式为前k 行前k 列的行列式）10、n 元二次型x T Ax 正定必要条件：
（1）a ii＞0
（2）|A| ＞0
11、总结：二次型x T Ax 正定判定（大题）
（1）A 为数字：顺序主子式均大于0
（2）A 为抽象：①证 A 为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定
12、重要结论：
（1））若A 是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A* 正定
（2））若A、B 均为正定矩阵，则A+B 正定
线性代数行列式经典例题
例 1 计算元素为 a ij = | i －j| 的 n 阶行列式 .
列．
j 解方法 1 由题设知，
a 11 =0， a 12 1 ， , a 1n
n 1, ，故
1
1 0
n n 1 2 r i r i 1 D n
0 1
1 1
n 1 1 i n, n 1, ,2
n 1 n 2
1 1
1
n 1
c j c n 0
n 2
n 1 1
j 1,
,n 1
( 1)n 12
n 2
( n 1)
2 0
1
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第
n 0
1
1 0
n n 1 2 r i r i 1 方法 2
D n
1 1
1 1
1 1 i 1,2, ,n 1
n 1 n 2
n 1 n 2
1
1
0 2
0 c j c 1 0 2, ,n
= (
1)n 12
n 2
(n 1)
n 1 2n 3
n 1
例 2. 设 a ,
b ,
c 是互异的实数 , 证明
: 的充要条件是 a + b + c =0.
证明 : 考察范德蒙行列式 :
2
1 n 1
n n 1 n 1 3 n 1
=
行列式
即为 y 前的系数 . 于是
=
所以
的充要条件是 a + b + c = 0.
x
1 0
1 0
例 计算 D n =
a n
a n 1 a n 2
x a 1
解：方法 1 递推法按第 1 列展开，有
1
D n = x D n x
1 1 +（－ 1）
a n
x
1
= x D n 1 +a n
x
1 n 1
x
1 2
由于 D 1 = x + a 1 ， D 2
a 2
x a 1
，于是 D n = x D n 1 +a n =x （ xD n 2 +a n 1 ）+ a n =x D n 2 +a
x + a =
=x n D 1 +a 2 x 2 +
+a x + a = x
n
a x n 1
a n 1 x a n
方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x 2 倍， ，第 n 列的 x n 1 倍分别加到第 1 列上
1 0 0 c 1 xc 2
x
x 1 0 D n
0 0
x 0 a n
xa n 1 a n 1
a n 2
x a 1
0 x
n 2
1 1
a a 2n
1 n n
2
1
0 0 0
c 1 x 2 c 3
x 1 0 0 0
x 1 0
a
a
x a n n 1
1 n
2 n 1
n 2 n 3 1
1
x
1
按r n 展开
=
=
1
x 1 ( 1)
n 1
f
x
=
x
n
a x n 1
f
x
a x a
x
1 n 1
1
n 1
n
方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
x 1 c 2 c 1
0 0
0 x 0 x 0 0 c 1c 3 x
2
0 x 0
D n
c 1 c n x
n 1
a a
a
a
a
n a
n 1
n k
按c n 展开
n
n 1
n 1
n x
1
a n n 2
2
n
x
x
a n 1
a 2 x
k n =x
(
n 1
x
+
n 2 +
+
x
x
+a 1 +x)
= a n
a x a x n 1
x
n
1 0 0 0
方法 4 按r n 展开
D n
( 1)
n 1
x 1 0 0
+
x
0 0 0 x
1 x
1 0 0 ( 1)
n
a
n 1
1
0 0
+
+ (
1)
2n 1
0 x 0 0
0 0
x 1 0
1
x 1
0 0
0 x 0 0 + (
1) (a 1 x)
0 x
n =（－ 1）
（－ 1）
n 1
n a n +（－ 1）
2
n （－ ）
2
a n 1 x
1
2
0 0 x
3
a xa x 2
a
a
2 1
1 1
n 1 1 b
+
+（－ 1）
2 n 1 （－ 1 ）a x n 2 +（－ 1） 2 n (a +x)x n 1
= a n
a x a x n 1
x
n
例 4． 计算 n 阶行列式：
a 1
b 1
a 1 D n
a 2 a 2
b 2
a n a n (
b 1b 2
b n
0)
a 1
a 2
a n
b n
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素
a 1 , a 2 , , a n ，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
1
a 1 a 2 a n 1
a 1 a 2
a n 0 a
b a 升阶
a n r 2 r 1
r 3 r 1 1 b 1 0 0 D n
0 a 1 a 2
b 2
a n 1 0
b 2 0 r n 1 r 1
a 1 a 2
a n
b n 1 0
b n
1
a 1 a 1 a
a
a
1
2
n
1 b 1
b 1
c 1
c j
j 1
0 b 1
0 0 a 1 a n = b 1b 2 b n (1
)
j 2, ,n 1
0 0 b 2 0 b 1
b n
这个题的特殊情形是
0 0
0 b n
a 1
x
a 2 a 1 a 2 D n
a 1
a 2
a n x
a n
a n
= x
n
x
1
( x
n
a i )
i 1
可作为公式记下来．
例 5． 计算 n 阶“三对角”行列式
D n =
2
0 0 1
0 0 0
1
＋ 0
1
2
2
1
n
n n
2 解方法 1 递推法．
0 0 0
按c 1展开
D n
(
) D n 1 — 1 0
1
( n 1)
按r 1展开
(
) D n
1 －
D n 2
即有递推关系式
D n = (
) D n 1 －
D n
2
(n 3)
故 D n
D n 1 ＝ (D n 1
D n 2 )
递推得到 D n
D n 1 ＝
( D n 1
D n 2 ) ＝
(D n 2
D n 3 )
＝
＝
n
2
(D D )
而 D 1 ( ) ， D 2 ＝
α+ β αβ 2
2
＝
，代入得
D n
D n 1
1
α+ β
由递推公式得
D n
D n
1
（ 2.1）
D n
D n 1
＝
( D n 2
n 1
)
n
＝ α 2
D ＋
n 1
n
＝
βn 1－ αn 1
n n 1
n 1
n
，当α β时 ＝
＋
＋ ＋
＝ β－α
(n 1)αn
1 ，当α
＝ β时
方法 2 把 D n 按第 1 列拆成 2 个 n 阶行列式
0 0
1
0 0 0
1
1
上式右端第一个行列式等于
α D n 1 ，而第二个行列式
n
0 0 1
0 0 D n = 0
1
＋ 0
＋
1
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式
||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:
(1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、
精心整理 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2 x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合： {}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 忽视空集的特殊性
集合测试题 （测试时间：40分钟总分：100分） 学生姓名 _______________ 成绩 ___________________________________________________ 一、选择题 1.下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； (2)集合y 1 y x 2 1 与集合x, y | y C.空集是任何集合的真子集 D 6.下列表述中错误的是（ ） A.若 A B,则A B A B. 若 A B B ，则 A B C. (A B)2A W(A B) D. C U A B C U A C U B 二、填空题 1 .用适当的符号填空 (1)^3 ________ x | x 2 , 1,2 _____ x, y | y x 1 A 0 个 B .1个 C . 2 个 D .3个 2.若集合 A { 1,1}, B {x| mx 1｝，且 A B A ，则 m 的值 为（ A. 1 B . 1 C .1 或 1 D .1或 1或 3.若集合 M (x, y) x y 0 , N (x, y) 2 x 2 y 0,x R,y R ，则有 A M UN M B . MUN N C M I N M D . M I N x y 1 的解集是（ 4.方程组 2 2 ) x y 9 （4）集合 x, y | xy 0, x, y R 是指第二和第四象限内的点集。 A 5,4 B . 5, 4 C x 2 1是同一个集合; (3) 3 6 2,4 1 ,0.5这些数组成的集合有 2 5个元素; 5?下列式子中，正确的是（ ) .Z x | x 0, x Z 子曰：学而不思则罔， 思 而不学则殆。 5,4 D . 5, 4
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} {220x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数a ，b 的值。