实数教案

第二讲 实数

2.1认识无理数

【学习目标】 ：

1.了解无理数的概念，会鉴别哪些是有理数哪些是无理数

2.学会对所给的数据进行分类 一、引入概念：

1. 有理数的概念： 和 ，统称为有理数。

2. 数的分类：

正整数 如

整数 零

负整数 如 有理数

正分数 如

分数

负分数 如 也可以这样分类：

如1，21

，2.5

有理数

如-2，-3.5，65

-

练习：把下列各有理数填在相应的大括号里

12，-3，+1，31，-1.5，0，0.2，413 ，

53

4

-

正数： （ ） 负数：（ ） 整数： （ ） 分数：（ ） 正分数：（ ） 负分数：（ ）

二、新课导入：

1.做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？ 画出你的做法：

解：设大正方形的边长为a 分米，a 满足的条件为（ ）

a 是整数吗？（ ），理由：

a 是分数吗？（ ），理由： a 是有理数吗？（ ），理由：

结论1：在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数

2.面积为2的正方形的边长a 是多少？ 分析：由下图可知

面积：1 < 2< 4 边长：( )

面积为1

面积为4

面积为2

1

1

a a

2

2

借助计算器探索a 的整数部分、十分位、百分位……分别是几？

答：假设a 算到某一位时，它的平方恰好等于2，这时a 是一个有限小数，那么它的平方一定也是一个（ ）限小数，而不可能是2，这与假设矛盾，故假设不成立。

所以a 不可能是（ ）限小数。所以还可以继续算下去，而且不循环，即 a 是一个（ ）限（ ）小数，a=1.41421356……

结论2：无限不循环小数叫做（ ），如 π=3.14159265……是一个无限不循环小数，因此π是一个（ ）理数。 三、解读探究

例1.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？

(1)0.4583 (2) 3..

7 (3)π-

(4)71-

(5)18

是有理数， 是无理数

例2.若正方形的面积为6，估计该正方形的边长（精确到十分为）

四、基础练习

1、在实数3.14，-201 ， 0.10110111011110…，π， 中，有（ ）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

2、下列说法中，正确的是（ ）

A ．带根号的数是无理数

B ．无理数都是开不尽方的数

C ．无限小数都是无理数

D ．无限不循环小数是无理数

3．判断（正确的打"√"，错误的打"×"）

①带根号的数是无理数；（ ） ②有理数、无理数统称为实数；（ ）③绝对值最小的无理数数是0；（ ）④平方等于3的数为无理数 ；（ ） 4、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.4583，?

7.3，－π，－7

1

，18.3 5、判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

6、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351，－?

?69.4,3

2，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组

成).

7、设边长为10的正方形的边长为X ，估计该正方形的边长（精确到十分为）

2.2算术平方根

【学习目标】 ：

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 一、情境导入

学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252

dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm ？如果这块画布的面积是2

12dm ？ 二、导入新课：

1.一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2

x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0. 也

就是，在等式2

x =a (x ≥0)中，规定x =a .

2、根据等式：2

12=124说出124的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

3.一个负数有算术平方根吗？即（a ＜0）a = ______ ？

在实数范围内，负数是没有平方根的。在复数范围内，负数有平方根。注：在虚数里规定i 2=-1

三、解读探究

例1.①10000的意义是什么？

10000 = ______;

②81

25

的意义是什么？81

25= ______;

③2)51(的意义是什么？2

)51(=

例2.计算下列数的算数平方根：

36.0 =______; 64=______ ;

12149

=_______;

04.0 =______; 25- =_______

例3. 已知一个正数x 的两个平方根是a+1和a-3，则a 的值是多少？ 解：依题意，得(a+1)+(a-3)=0,∴a=1.

四、基础练习

1.求下列各数的算术平方根： （1）100；(2)1；(3)64

49

；(4)0.0001 2．设76a =

，则下列关于a 的取值范围正确的是（ ）．

A ．8.08.2a <<

B ．8.28.5a <<

C ．8.58.8a <<

D ．8.89.1a <<

3.一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是（ ）

A ．x+1

B ．x2+1

C ．x +1

D ．

2

1x + 4.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ） A ．-3 B ．1 C ．-3或1 D ．-1 5.若m 是n 的算术平方根，则的平方根是（ ）

A.m

B.±m

C.

D.

6.小颖家客厅是面积是64平方米，客厅地面正好由100块大小完全一样的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少米？

2.3平方根

【学习目标】 ：

1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.

2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.

一、情境导入

1.如果一个数的平方等于9，这个数是多少？

讨论：这样的数有两个，它们是3和－3.注意()932

=-中括号的作用．

又如：25

4

2

=x ，则x 等于多少呢？ 二、导入新课：

1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2

x =a ，那么x 叫做a 的平方根．

2.求一个数的平方根的运算，叫做开平方．

例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 符号：正数a 的平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示． 3.一个正数有几个平方根？ 因为：

（1）（+4）2

=_____，（-4）2

=_____，“16”的平方根有_____、_____；

（2）（+83）2=_____，（-83）2

= _____，“ 649

”的平方根有_____ 、_____ ；

（3）（+0.9）2

= _____，（-0.9）2

= ，“0.81”的平方根有_____ 、_____ ；

所以： 正数a 有_____（几个） 平方根，一个是a 的_____________ ，另一个是“__________”，它们互为_______________。这两个平方根合起来可以记作“__________ ”，读作“____________________”。 4.“0”有几个平方根 -0= _____，+0=_____ ，因此“0”有_____（几个）平方根，它是__________;

5.负数有没有平方根,即一个数的平方可能为负数吗？

（+2）2=_____ ，02=_____，（-2）2

= _____，其他的数呢？因此，_____（有或没有）一个数的平方为负数，即负数没有平方根。 三、解读探究

例1.求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）

16

9

（3） 0.25 归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

例2.如果一个正数的平方根是a+3和2a-15，则这个正数是多少？

四、基础练习

1．如果a 是负数，那么2

a 的平方根是（ ）．

A ．a

B ．a -

C ．a ±

D ．

2a 有（ ）．

A ．0个

B ．1个

C ．无数个

D ．以上都不对 3．下列说法中正确的是（ ）．

A ．若0a <0<

B ．x 是实数，且2x a =，则0a >

C 有意义时，0x ≤

D ．0.1的平方根是0.01± 4. 如果-a 有平方根，则a_____0．

5．81的平方根是________． 8．25的算术平方根是_________．

习题巩固（一）

一、选择题

1．（-0.7）2的平方根是（ ）

A ．-0.7 B.±0.7 C.0.7 D.0.49 2.有下列说法: 其中正确的说法的个数是( )

(1) 无理数就是开方开不尽的数. (2) 无理数就是无限不循环小数. (3) 无理数包括正无理数,零,负无理数.(4) 无理数都可以用数轴上的点来表示. A.1 B.2 C.3 D.4 3.若2

a =25,

b =3,则a+b=( )

A.-8

B.±8

C.±2

D. ±8或±2

4. (2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）

A ．1a +

B ．2

1a +

C D 1

5.2=，则2

(2)m +的平方根为（ ）

A 、16

B 、16±

C 、4±

D 、2±

）

A 、4

B 、4±

C 、2

D 、2± 7.下列叙述错误的是（ ）

A 、-4是16的平方根

B 、17是2

(17)-的算术平方根

C 、1

64的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02

二．填空题

1．在，

中14,2

5,0,14.3,161,2,3

,12,2

5--

--π其中_________________是整

数,______________是无理数,____________________是有理数. 2.25-的相反数是____________,绝对值是_________________. 3.在数轴上表示3-的点离原点的距离是________________. 4.若x x -+

E 有意义,则=+1x ___________.

5.若1.1001.102=,则=±0201.1___________.

6．2(4)-的平方根是 ，3

5

±

是 的平方根． 7．在下列各数中0，254

，21a +，31()3--，2(5)--，2

22x x ++，|1|a -，||1a -，16

有平方根的个数是 个．w W w .x K b 1.c o M 8.自由落体公式：2

12

S gt =

（g 是重力加速度，它的值约为29.8/m s ）

，若物体降落的高度300S m =，用计算器算出降落的时间T = s （精确到0.1s ）

． 9．代数式3a b --+的最大值为 ，这是,a b 的关系是 ． 10.（08年广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，

化简 222

()a b a b --- =

三.解答题.

1.求下列各式中的X.

(1) X 2=17 (2) 049

121

2

=-X

2. 写出所有符合下列条件的数

(1) 大于17-小于11的所有整数;

(2) 绝对值小于18的所有整数.

3.已知a b-1是400

4.（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.

2.4立方根

【学习目标】：

1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.

2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.

3、分清一个数的立方根与平方根的区别。

一、情境导入：

1.要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

设这种包装箱的边长为x m,则3x=27这就是求一个数，使它的立方等于27.

因为33=27，所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m

二、导入新课：

1、如果一个数的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a =，那么

x 叫做a 的立方根，记作，读作：“三次根号a ”（其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。）

2、求一个数a 的_______的运算叫做开立方。

3.根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为3

28=，所以8的立方根是（ 2 ）

因为()30.50.125=，所以0.125的立方根是（ 0.5 ）

因为()3

00=，所以8的立方根是（ 0 ）

因为()3

28-=-，所以8的立方根是（ 2- ）

因为3

28327??-=- ???

，所以8的立方根是（ 23- ）

总结归纳： 三、解读探究

例1.求下列各数的立方根：

（1）27 （2）

-27 （3） （4）-0.008 (5) 0

例2.计算.

1664)4(;

27

10

2)3(;027.0)2(;

8

27)1(33

33

+----

四、基础练习 1.求下列各式的值：

（1）364； （2）27-； （3）327

102

（4）31000

1

-； （5）64±； （6）64

2．6427

-

是________的立方根．

3．

=-3

)3(________． 4．3)3(-的立方根是________

5．53

-

是________的立方根．

6．若a 与b 互为相反数，则它们的立方根的和是________． 7．0的立方根是________． 8．36的平方根的绝对值是________．

9．当x 为________时，33

3

-+x x 有意义；当x 为________时，3

85+-x x 有意义．

习题巩固（二）

1、a 的立方根是 ，-a 的立方根是 ；若x 3=a , 则x=

3

3

a

= ；3

3

)

(a -= ；-3

3

a

= ；)

(3

3

a =

2、每一个数a 都只有 个立方根；即正数只有 个立方根；负数只有 个立方根；零只有 个立方根，就是 本身。

3、2的立方等于 ，8的立方根是 ；（-3）3= ，-27的立方根是 .。

4、0.064的立方根是 ； 的立方根是-4； 的立方根是3

2

。 5、计算：

3

125.0= ；3

3

5= ；)13(33

= ；)13(

3

3

-=

3

3

)

3(-= ；-

3

64

1= ；-38-= ；31

-=

3

27

= ；

3

27

8= ；-3001

.0= ；3

3

)

2(-=

答案： 1、

3

a ；3a -；3a 。 2、1；1；1；1；0 。 3、8；2；-27；-3 。

4、0.4；-64；

278 。 5、0.5；5；14；-14；-3；4

1

-；2；-1 。 二、判断下列说法是否正确：

1、5是125的立方根 。 （ ）

2、±4是64的立方根 。 （ ）

3、-2.5是-15.625的立方根。 （ ）

4、（-4）3 的立方根是-4。 （ ） 答案：

1、√

2、×

3、√

4、√

1.求下列各数的立方根：

(1) 27； (2)－38； (3)1； (4) 0.

2.求下列各式的值：

(1) 3

1000

(2)；

3

729

1000

； (3) 3

64

125

-；(4) 31；

3.计算4

3

3

2

3

81)2

1()4()4()2(--?-+-?-．新|课 | 标|第 |一| 网

4.如果球的半径是r ，则球的体积用公式3

π3

4r V =

来计算．当体积500=V 立方厘米，半径r 是多少厘米？（π 取3.14，r 精确到0.01厘米） 答案：

1.(1) 3 (2) 338- (3)1； (4) 0.

2.(1) 10 (2) 910 (3) 4

5

- (4) 1. 3、（1）2

3

（2）3

4

2.5实数

【学习目标】 ：

1.了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 一、知识回顾：

1、有理数包括 和 。

2、任何一个有理数都可以写成 或者 小数的形式。

3、任何有限小数或循环小数都是 。

4、有理数的分类：（1）按定义分类:

（2）按大小分类：

5、无理数：无限不循环小数叫做 .无理数的小数位数是 ，而且是不 。 二、导入新课：

1、实数：有理数和无理数统称为实数

???

???????

→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数

2.像有理数一样，无理数也有正负之分。

π

是正无理数，

，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

???

????

????????

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 3、a 是一个实数，它的相反数为_________，绝对值为_________；如果a ≠0,那么它的倒数为_________.

4.直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 三、解读探究

四、基础练习

1.求下列各数的相反数和绝对值：

2.5，－7，5

π

-，0，32，π－3

（2）一个数的绝对值是3，求这个数。

2.下列说法中正确的有（填序号）_________________.

（1）无限小数都是无理数; （2）无理数都是无限小数;

（3）有理数都是有限小数. （4）带根号的数都是无理数.

（5）不带根号的数都是有理数. （6）无理数就是开方开不尽的数.

（7）开方开不尽的数是无理数. （8）数轴上所有的点都表示实数;

（9）0的相反数,倒数,绝对值都是0; （10）0是最小的实数;

（11）0与 都是无理数. （12）实数包括有限小数和无限小数.

实数的运算

【学习目标】：

1、学会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。

一、知识回顾

1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律

2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律

3、平方差公式、完全平方公式

4、有理数的混合运算顺序

二、导入新课

1.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

三、解读探究

例1.下列各式错在哪里？ （1）、2

1

33993393

-?÷?=?÷= （2）

1= （3）

=

（4）

、当x =22

02

x x -=-

例

2、计算下列各式的值：

⑴

⑵

例3.计算：（结果精确到0.01）

(1π （）

(

2

（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用

相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算．）

解：⑴

0==

=

⑵

(

32=+=

四、基础练习

1.3-2的相反数是 ，绝对值是 。

2.|x-1|=2,则x= .

3.已知a 、b 是实数，且12+a +（3b-2)2=0.求实数a+b 2

的相反数的倒数的值。

实数（练习课）

一、填空题

1. 请任意写出你喜欢的三个无理数： ．

2. 下列各数

22

7

π中，无理数共有 个.

3. 的点表示的数是 ．

4.

平方根是 ．算术平方根是 ．

5. 一个数的立方根等于它本身，这个数是 ．

6. ， 3

2

-.

7. 比大的负整数的和为 ．比的实数是 ．

8.

2与的大小关系为 ． 9. 已知一个数的平方根为3a +与215a -，则这个数是 ．

10.

a a =-____a

14. 已知实数x ，y 满足()21310x x y -++-=,的值是 ． 12. 请你观察思考下列计算过程．

211121=∵ 11= 211112321=∵ 111=

______=．