对数与对数函数
一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）
1、对数与对数的运算性质
（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。
（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：
（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N
（5）、对数的运算性质：
如果，M>0,N>0 ，那么
=+
=
=n（n）
换底公式：=
对数恒等式：=N
2、对数函数与对数函数的性质
（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。
（2）、对数函数的图象及性质
图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线
图象分a1 与a<1两种情况。
3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。原函数的定义域是反函数的值域，原函数的
值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。【关于反函数注意大纲的要求】
二、题型探究
探究一：对数的运算
例1：（15年安徽文科）=
-
+-1)
2
1
(
2
lg
2
2
5
lg。
【答案】-1
【解析】
试题分析：原式＝1
2
1
2
2
lg
5
lg
2
lg
2
2
lg
5
lg-
=
-
=
-
+
=
-
+
-
考点：对数运算.
例2：【2014辽宁高考】已知
1
3
2
a-
=，
21
2
11
log,log
33
b c
==，则（）
A．a b c
>>B．a c b
>>C．c a b
>>D．c b a
>>
例3：【2015高考浙江】若
4
log3
a=，则22
a a
-
+=．
【答案】3
3
4
.
【考点定位】对数的计算
探究二：对数函数及其性质
例4：【2014江西高考】函数)
ln(
)
(2x
x
x
f-
=的定义域为（）
A.)1,0(
B. ]1,0[
C. )
,1(
)0,
(+∞
-∞ D. )
,1[
]0,
(+∞
-∞
例5：下列关系 中，成立的是
（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>
探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||
()
21()x
m f x m 为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a
f 2b
(log 5),c
(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b c a
(B) b c a (C) b a c (D) b c a
【答案】B 【解析】
试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.
例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a
==则x =________.
三、方法提升：
1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；
2、 在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。 四、反思感悟
五、 课时作业 对数与对数函数
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．【2014浙江高考】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a
log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）
答案：Ｄ 解析：函数()0a
y x
x =≥，与()log 0a y x x =>，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ()0a y x x =≥中1a >，
()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案Ｃ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，
不符合，答案Ｄ()0a
y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选Ｄ
考点：函数图像.
2．（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)
()1
x f x x +=
-的定义域是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．[1,)-+∞
C ．(1,1)
(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞
【答案】C
3．函数y ＝log 12
(2x 2
－3x ＋1)的递减区间为( )
A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：由2x 2
－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12
，
易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞1或x ＜12在(1，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12
(2x 2
－3x ＋1)的底数12＜1，且12＞
0，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．答案：A
4．【2014陕西高考】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）
()12
f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（D ）()3x f x =
5．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－1
2，则( )
A ．a
B ．b C ．c D ．c 解析：a ＝log 32＝ln2ln3 1 2＝15<12 ，a ＝log 32>log 33＝12，因此c 6．（2013年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．函数y ＝log 0.5(4x 2 －3x )的定义域是________． 解析：由题意知，log 0.5(4x 2 －3x )≥0＝log 0.51，由于0<0.5<1，所以⎩ ⎪⎨⎪⎧ 4x 2 －3x >0，4x 2 －3x ≤1. 从而可得函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦ ⎥⎤34，1. 8．函数f (x )＝ln 1＋ax 1＋2x (a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________． 解析：依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax 1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2 ，解 得a 2 ＝4，但a ≠2，故a ＝－2. 9．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28 )的值等于________． 解析：∵f (3x )＝4x log 23＋233＝4log 23x ＋233， ∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28 )＝4(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008. 10．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12lg(ax 2－x ＋1)的值域是(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令t ＝lg(ax 2－x ＋1)，则y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12t 的值域是(0，＋∞)，∴t 应取到每一个实数，即函数t ＝lg(ax 2 －x ＋1)的值域为R . 当a ＝0时，t ＝lg(－x ＋1)的值域为R ，适合题意， 当a ≠0时，应有⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a >0，1－4a ≥0. ⇒0 4 . 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2 )， (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时的x 的值． 解：(1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3) (2)因为μ＝－(x －1)2 ＋4≤4，所以y ＝log 4μ≤log 44＝1， 所以当x ＝1时，f (x )取最大值1. 评析：在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确． 12．已知a >0，a ≠1，f (log a x )＝a (x 2－1) x (a 2－1) .试判断f (x )在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数 还是减函数？若不是，请说明理由． 解：用换元法求出f (x )的解析式，由于其中含有字母，故需讨论． 设t ＝log a x ，则x ＝a t ， ∵f (t )＝a a 2－1·a 2t －1a t 即f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )．∴f (x )＝a a 2－1 (a x －a －x )． f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，设x 1 f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1[(ax 1－a －x 1)－(ax 2－a －x 2)]＝a a 2－1·(ax 1－ax 2)(1＋ax 1ax 2) ax 1ax 2 . ∵a >0，a ≠1，∴ax 1ax 2>0,1＋ax 1ax 2>0.若0ax 2，ax 1－ax 2>0. 此时 a a 2 －1 <0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) 综上所述，当a >0且a ≠1时，f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，是单调增函数． 评析：对于y ＝a x ，由于其单调性与a 的取值有关，故需分01两种情况讨论． 专题09 对数与对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2 的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质 a >1 0 高三数学一轮复习学案：对数与对数函数 一、考试要求： 1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。（2）理解对数函数的概念，了解对数函数的单调性。（3）知道指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数 二、知识梳理：1.对数的概念：如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么幂指数b 叫做以a 为底数的对数，记作 _____________，其中a 叫做底数，N 叫做____________. 2.积、商、幂、方根的对数 （N M ,都是正数，,0>a 且)0,1≠≠n a （1）=?)(log N M a __________（2）=M N a log ___________（3）=n a M log ________ 3.对数的换底公式及对数的恒等式（供选用） （1）=N a a log _____（对数恒等式）（2）=n a a log ______ 3）a N N b b a log log log = （换底公式） （4）a b b a log 1log = （5）n a a N N n log log = 1、设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=??? ??，c c 2log 21=??? ??.则（ ） A.c b a << B. a b c << C. b a c << D. c a b << 2、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12 ，则a = A ．2 C ．．4 3、已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数,则实数a 的取值范围( ) 第三节 对数及对数函数 一、复习目标： 1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。 学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。 （二）、知识梳理整合，方法定位。（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评） 1、对数的概念 如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0） 。 2、对数的运算性质：()log log log MN M N a a b =+。 ()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。 3、对数换底公式：log N b log log N b a a =（a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 4、对数函数的图像及性质： ①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下 ②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。 5、对数函数与指数函数的关系 对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。 6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展 （Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较 若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a 若0 )(,0)(,10>>< 对数与对数函数 一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页） 1、对数与对数的运算性质 （1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。 （2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系： （4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N （5）、对数的运算性质： 如果，M>0,N>0 ，那么 =+ = =n（n） 换底公式：= 对数恒等式：=N 2、对数函数与对数函数的性质 （1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。 （2）、对数函数的图象及性质 图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分a1 与a<1两种情况。 3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。原函数的定义域是反函数的值域，原函数的 值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。【关于反函数注意大纲的要求】 二、题型探究 探究一：对数的运算 例1：（15年安徽文科）= - +-1) 2 1 ( 2 lg 2 2 5 lg。 【答案】-1 【解析】 试题分析：原式＝1 2 1 2 2 lg 5 lg 2 lg 2 2 lg 5 lg- = - = - + = - + - 考点：对数运算. 例2：【2014辽宁高考】已知 1 3 2 a- =， 21 2 11 log,log 33 b c ==，则（） A．a b c >>B．a c b >>C．c a b >>D．c b a >> 例3：【2015高考浙江】若 4 log3 a=，则22 a a - +=． 【答案】3 3 4 . 【考点定位】对数的计算 探究二：对数函数及其性质 例4：【2014江西高考】函数) ln( ) (2x x x f- =的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ) ,1( )0, (+∞ -∞ D. ) ,1[ ]0, (+∞ -∞ 第6讲对数与对数函数 1．对数 概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化： a x＝N?log a N＝x 负数和零没有对数 1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N 运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1， M>0， N>0 log a M N ＝log a M－log a N log a M n＝n log a M(n∈R) 换底公式 公式：log a b＝ log c b log c a (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝ n m log a b；log a b＝ 1 log b a a>10 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示． 作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆． 4．反函数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，? ?? ??1a ，－1， 函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2 lg 3＝4. 答案：4 2．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 2.8 对数与对数函数 ●知识梳理 1.对数 （1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N = b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基 1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是 解析：f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<<-≥.10,log , 1,log 22x x x x 答案：A 2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1 （x ）的值域为___________________. 解析：f －1 （x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1 （x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞） 3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 2 1（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 2 1（3－x ）≤1⇒log 2 11≤log 2 1（3－x ）≤log 2 1 2 1 ⇒ 21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤2 5. 2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案 教学内容 学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。 2、理解对数函数的概念和性质。并能利用对数函数的图像研究性质。 3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。 【学习重点】对数函数的图形和性质。x 【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。 【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数 (1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ， 记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数 自然对数 以 为底的对数 常用对数 以 为底的对数 （3）对数的运算性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝ ②n m a log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④n m b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数 图像 1>a 10< 3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测： 1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1 ⑤() y a x a y x a log log log =-⑥()y x a y x a -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭ ⎫ ⎝⎛b 则 ( D ) A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3已知1112 2 2 log log log b a c <<,则 ( A ) A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 4、()232 1log -= x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛1， 32 【自主合作探究】 例1、计算： （1）22 2(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1 （2）32 1 lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066 ++++. =1 例2、已知函数1()log 1a x f x x +=-(0,1)a a >≠ 2.6 对数与对数函数 考纲要求 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 3(1)对数的运算性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________； ②log a M N ＝__________； ③log a M n ＝______(n ∈R )． (2)换底公式 log a b ＝______________________. 4．对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义 一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． _________ 过定点______时，y ＝______ 单调性：在(0，＋∞)上是单调性：在(0，＋∞)上是x ＜1时，y ∈______＜1时，y ∈______；当 5．指数函数与对数函数的关系 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数． 1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N * ，则下列各式：_ ①(log a x )n ＝n log a x ； ②(log a x )n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1 x ； ④n log a x ＝1n log a x ； ⑤log a x n ＝log a n x ； ⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y . 其中正确的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．函数y ＝2－x lg x 的定义域是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤2} D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2} 3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞1 4．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．2 D ．4 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________． 一、对数式的化简与求值 【例1－1】若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝__________. 【例1－2】(2012北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2 )＝__________. 方法提炼 对数式化简求值的基本思路： (1)利用换底公式及log m n a N ＝n m log a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； (3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 请做演练巩固提升1 二、对数函数的图象与性质 【例2－1】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2 ，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为__________． 【例2－2】已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性． 2.6 对数与对数函数 ★ 知识要点 1．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）。 ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 1）1log log =⋅a b b a ；2）b m n b a n a m log log =。 2. 对数函数： ①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数。 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）； 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。 ③函数值的变化特征： 四．典例解析 ★ 经典例题 例1．计算 （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅。 例2．设a 、b 、c 为正数，且满足2 2 2 a b c +=. （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 例3．（1）函数2log 2-= x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为（ ） 10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< 对数与对数函数 1．对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式 基本公式：log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)． (3)对数的运算法则： 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a M N ＝log a M －log a N ， ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质 a >1 01时，y >0； 当0 1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试] 1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________． 1．对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点 (1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当00，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练] 1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________． 2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________． 芯衣州星海市涌泉学校三仓中学2021届高三数学对数与对数函数专题复习教案 导学目的： ①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或者者常用对数；理解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④理解指数函数 x a y= 与对数函数 x y a log = 的互相关系 ()1 ,0≠ >a a . 自主梳理 1.对数的概念 〔1〕对数的定义 假设___________，那么就称 b是以a为底N的对数，记作____________，其中______叫做对数的底数，_________叫做真数. 〔2〕几种常见对数 常用对数，底数为；自然对数，底数为。 对数的性质与运算法那么 〔1〕对数的性质： ① log a N a=______；②log N a a =________ (01) a a >≠ 且 . 〔2〕对数的重要公式： ①换底公式： log log log a b a N N b = 〔 ,a b 均大于零且不等于1〕；② 1 log log a b b a = . (3)对数的运算法那么：〔 01,0,0 a a M N >≠>> 且 〕 ① log ()a MN =_____________;② log a M N =_______________; ③ log n a M =____________(n R ∈);④ log log m n a a n M M m = . 3.对数函数的图象与性质 1a > 01a << 图象 性质 〔1〕定义域：___________ 〔2〕值域：____________ 〔3〕过点_____，即x =____时，y =____ 〔4〕当x ＞1时，________ 当0＜x ＜1时，__________ 〔4〕当x ＞1时，_________ 当0＜x ＜1时，__________ 〔5〕是〔0，+∞〕上的______ 〔5〕是〔0，+∞〕上的______ 自我检测 1． =125log 5；=+2lg 5lg ； 29log 2log 3 3+。 2．m b a ==53，且211=+ b a ，那么=m 。 3．函数 2()log (1),f x x =+假设()1,f α=α=______． 4． ()lg(2)f x x =-的定义域是；2 log x y a =的定义域是； x y 2 1log =的定义域是。 5．函数 )1,0(log )(≠>=a a x x f a ，假设)3()2(f f <，那么实数a 的取值范围是_____ 6．假设 0.452log 0.3log 4log 0.8 a b c ===,,,用小于号“<〞将 ,,a b c 连结起来. 7．〔课本改编题〕函数 ) 1,0(,1)3(log )(≠>-+=a a x x f a 的图象恒过定点A ，假设点A 在直线 01=++ny mx 上〔其中)0>mn ，那么n m 2 1+ 的最小值为。 10 对数与对数函数 高考要求： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数 函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 知识梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形 式，例如：与 这两个式子表达是同一关系，因此，有关 系式 ②“ ”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求 指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前 面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a (a >0且a ≠1) log a N 常用对数 底数为__10____ lg_N 自然对数 底数为__e __ ln_N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①＝__ N __； ②＝__0__； ③ ＝_ N ___； ④ ＝_1___. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝____log a N log a b ______(a ，b 均大于零且不等于1)； 第6讲对数与对数函数 [考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点) 3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型． y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现. 1．对数 2．对数函数的图象与性质 续表 3．反函数 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□ 01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□ 02y ＝x 对称． 1．概念辨析 (1)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 答案 B 解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x 的图象知01，矛盾，故排除D.故选B. (2)设a ＝log 21 3，b ＝e － 12 ，c ＝ln π，则( ) A ．c 1，所以a 高三数学一轮复习 对数与对数函数2（教师）导学案 新人教版 一、学习目标：（1）对数函数性质及其应用。（2）与对数函数有关的复合函数的性质 二、自主学习： 1. 函数()lg()(10)x x f x a b a b =->>>，则()0f x >的解集为{|1}x x >的充要条件是（ C ） A ．1a b >+ B ．1a b <+ C ．1a b =+ D ．1b a =+ 2. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为 12 ，则a=（ D ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 3. 已知0log log ,10<<< 一、 对数式概念： 例1、把下列指数式改写成对数式： （1）823= （2）24335= (3) 641 43 =- (4) 27 18143 =- 例2、求2log 2，2log 1，2log 16，21 log 2 ，10lg ， 10000lg ， 510lg -， 0001.0lg 二、 对数恒等式： 例1、求下列各式的值 （1）8 log 22 （2）7log 33 （3） 9log 33 （4）5 log 22 （4）3 log 2 2 （5）5 1log 5 log 3 33 3 + 三、对数运算法则： 例1、 用log a x ，log a y ，log a z ，)(log y x a +，)(log y x a -表示下列各式： （1）log a xy z （2）35log ()a x y （3）log a yz （4）log a （5）)(log 22y x a - （6）])[(log z y x a + 例2、计算： （1） （2）752log (42)⨯ （3）3log 6log 22- （4）3 1 log 3log 55+ （5）100lg 3 700 lg 7300lg ++ （6）lg4+lg25 （7）（lg2）2+lg20 ⨯lg5 四、换底公式及常用结论： 例1、求827log 9log 32⋅的值。 例2、 求证log log log x y x y z z ⋅=。 例3 、 已知m =2lg ，n =3lg ，求5log 12的值（用 n m , 表示） 例4、若,12log ,40log ,24log ===m m m xyz y x 求m z log 的值。 课堂达标练习： 1求值：（1）2ln e （2）πln e （3）5log 4log 85∙ （4）125log 3log 272∙ （5） 9 1log 81log 251log 532 ∙∙ (6)x z y z y x log log log ∙∙ 2、（1）已知b a ==4log ,3log 55，求证：)(2 1 12log 25b a += （2）已知14log 7a =，145b =，求35log 28。 3、设3436x y ==，求21x y +的值 第6讲 对数函数 一、知识梳理 1．对数函数的图象与性质 a >1 01时，y >0 当0 解析：要使函数有意义，故满足⎩ ⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log （4x －3）≥0，解得3 4 第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究 1 对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1) ①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N ；③log b N ＝log a N log a b ；④log am b n ＝n m log a b ； ⑤log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0) ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a n M ＝1 n log a M . 3 对数函数的图象及性质 a >1 01 01时，y >0 当0 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误. 1．思维辨析 (1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5 (3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( ) (6)若log a m 高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数教学案 文-人教版高三全册数学教学案
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