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高等数学下册试题集

高等数学II 期终试卷

一、选择题（每小题3分，共计 15 分）

1、函数?

???=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 B 。

0 0 0

r ； (C )

1cos 2

0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ-??；(D )．

cos sin 0

0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθθθ+??

。

二、填空题（每小题4分，共计24 分）

1、设x y xy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy x y

)ln(1)())ln(1()(2

++- ，

在点)2,1( P 处的梯度=P

grad 。

2、设y

x y x y x f arcsin

)1(),(-+=，则='

)1,(x f x 1 。 3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则

()D

x y dxdy +=

?? 。

序

4、f x xf z y x ,)(222=++可微，求x ?。

5、在经过点)3

1,2(P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。

7、设区域121

≤+≤y x D ，证明：0)ln(22<+??D

y x y x d d 。四、每小题6分，共计12分

1、

设

2222, 0

(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在

),(0 02

；

( 3．设),(y x f 在

()2

:24D x y +-≤上连续，则二重积分D 表示成

极坐标系下的二次积分的形式为 D 。 (A )． 22

0 0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??； (B )． 2

0 0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??；

(C )． 4cos 0

d (cos ,sin )d f r r r r

πθ

θθθ??

；(D )． 4sin 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??

。

4．幂级数0(1)

n a x ∞

=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0

n a x

∞

=∑的收敛半径为

B 。

(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。

二、填空题（每题4分，共20分）

1．设函数y z x =，则函数y

z x =的全微分。

2．函数222

u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP u u u r

方向的方向导数为，其中O

六、（10分）化三重积分(,,)I f x y z dxdydz

=???为柱面坐标及球面坐标系

下的三次积分，其中Ω是由221y x z --≤和2

2y x z +≥，所围成的闭区域。

七、（10分）求

22()()()y

z dydz z x dzdx x y dxdy

∑

-+-+-??，其中∑为锥面

)z z h =≤≤的外侧。

八、（4分）设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()

lim

0x f x x →=，

证明级数 11()n f n ∞

=∑绝对收敛。

e -

；

数

二、填空题（每小题4分，共16分）．

5. 设函数

y x y x f arcsin

)1(),(-+=，则)1,(x f x '= ．

6. 曲面z =被柱面22

1x y +=所割下部分的面积为．

7. 设2

()(01)f x x x =≤≤，而

()sin ()

n n S x b n x x π∞

==-∞<<+∞∑，其中

2()sin 1,2,......,

n b f x n xdx n π==?

则1()2S -= ，

(9)S = ．

8. 幂级数2

1(2)n

n x n ∞

=-∑的收敛域为．

三、解答下列各题（每小题7分，共28分）．

9. 设(,)z z x y =是由方程(,2)0F xy z x -=确定的隐函数，(,)F u v 可微,计算

z z x y

??-．

被

15. 在椭球面222221x y z ++=上求一点，使函数222

(,,)f x y z x y z =++在该

点沿方向(1,1,0)l =-的方向导数最大，并求出最大值．

证明：设{}n U 是单调递增的有界正数列，判断级数1

(1)

n n U U

∞

=+-∑是否收敛，并

证明你的结论．

高等数学II 期中试卷

一、选择题（每小题3分，共计 15 分）

1、下列微分方程中，通解是)sin cos (x C x C e y x

2221+=的方程是。 (A )．032=-'-''y y y ； (B )．052=+'-''y y y ；

(C )．02=-'+''y y y ； (D )．0136=+'+''y y y 。

(B (D )．1

2cos sin 0 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθθθ+?

。

二、填空题（每小题4分，共计24 分）

1、设x

y xy z )(=，则=z d ，在点),(2 1P 处的梯度

=P z grad 。

2、已知x y =1，

x y 1

是微分方程02222

=-'+''y y x y x 的解，则此方程的通

解为。 3、D 由曲线

)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则

()D

x y dxdy +=

?? 。

xyz u =),,( 2 1 5 ),,( 2 1 5 ),,( 14 4 9 56

序

-?123

4 5、在经过点

)

,,( 31 1 2 P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

6、求

d sin

d x

x x y y y ?

?。

7、设区域

121≤+≤y x D :

，证明：0d d 22<+??D y x y x )ln(。

四、每小题6分，共计12分

1、

设

2222, 0

(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在

原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。

)

0y 周期为

的函数

，它在一个周期内的表达式为

()1010x f x x ππ??

?--≤<=≤<,设它的傅里叶级数的和函数为()s x ,

则S(0)= .

微分方程22

20d y dy

y dx dx -+=的通解为 .

二、计算题（每小题8分，共40分）

设

ln tan y z x ?

?=,

???求 dz .

2. 求函数 u x y z =++ 在球面

222

1x y z ++= 上点 ()001,, 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。

3. 交换积分次序

()2

dx f x y dy

-,?

。

最

面面

1x 七、求极限 22(1)201lim t x x y t t t dx e dy t -+→+?? （4分）

高等数学II （A 卷重修）

一、填空题（每小题4分，共20分）

设

4422

4u x y x y =+-,则. ()

0,022x u

??=

0020x z x y ?? ???'.

,=和000

y z x y ?? ???',=是可微函数

()

z z x y =,在点(

)

00x y ,处取得 (充分、必要、充要）条件.

3. 曲线

()22cos 2ln x t y t z t

π=,=,=在对应于2t =点处的切线方程

为:

周期为

2π

的函数

()f x ，它在一个周期内的表达式为

)x ,

最面

100z z y =,=,=，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）

四、计算??，其中

∑

为球面

2222x y z a ++= 的外侧。

（9分）

五、计算曲线积分

(ln)

x dx xdy

，其中L：自点A＝

1,2

??沿曲线

到点B＝

??的一段有向曲线弧（9分）

六、求级数

()1

∞

∑

的收敛域与和函数。（9分）

七、求极限

2(1)

lim t x x y

t t t

dx e dy

→+??（4分）

等数学试卷(下期04)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 每小题4分, 共8分)

1、二重积分(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为

答( ) 2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0

答( )

二、填空题（将正确答案填在横线上）( 本大题15分)

1. 1.设L是|y|=1－x表示的围线的正向，则=

?L xdy

ydx

2___________ 2. 设u=)

f+，),(t s

f可微，du=______________________________. 3.

2≤

≤

=?x

为

设

. I=____________________________. 三、解答下列各题( 本大题8分)

已知曲线积分

[]

x d)

(

)

(

sin?

与路径无关，其中?()x可导，且?π()=1，求?()x

四、解答下列各题( 本大题8分)

设)

z=由方程xyz

+所确定，3

u=,求)1,1,1(x

。

五、解答下列各题 ( 本大题8分 )

函数u xy yz =+23

在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

六、解答下列各题 ( 本大题6分 )

在()-ππ,内把函数

()??????

<<-<<-≤=π

πππx x x x f 2

,2,02

,1展成Fourier 级数。

七、解答下列各题 ( 本大题8分 )

计算其中∑是z =1－x 2－y 2在xoy 面上方的部分

曲面的上侧。

八、解答下列各题 ( 本大题16分 )

1．求微分方程

)1(822x e y y y +=+'-''的通解。 2．设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ，在OAB ?的闭区域D 上，求出点M ，

使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。九、解答下列各题 ( 本大题 8 分 )

求幂级数

()n n n x n n ∑

∞

=-2ln 1

的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。

十、解答下列各题 ( 本大题16分 )

1.设Ω是由z =x 2+2y 2及z =3－2x 2－y 2所围的有界闭区域。试将分

别化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。

2.求正数λ，使曲面λ=xyz 与椭球面1

z b

y a x 在某点有相同的切平面，

并写出切点的坐标(,,)a b c >>>000。

第二学期高等数学试题(一)

一、一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x = 2． 2．设u=xy+y/x ，则u y =

3． 3．函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是

4． 4．设幂级数∑∞

=0n n

的收敛半径是4，则幂级数∑∞

=+01

2n n n

x a

的收敛半径是

5． 5．设Σ是柱面x 2+y 2

=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，

则??

∑++dxdy

z y x 222=

二、二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。答（） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4

答（）

已知Σ是z=x 2+y 2上 z ≤1的部分曲面，试计算

∑

+ds

z 41

2、(本小题6分) 计算??∑-+-+-dzdy

z x dxdz x y dxdy y z )()()(，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V 。

六、六、解答下列各题

1、(本小题5分)

判别级数n n n sin

=∞

∑的敛散性。

2、(本小题5分) 级数

Λ+-+-

2227151311是否收敛，是否绝对收敛？

3、(本小题5分)

试求幂级数()()∑∞

=12

!!3k n

x n n 的收敛半径

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x 4)展开为x 的幂级数七、(本大题10分) 已知上半平面内一曲线y=y(x) (x ≥0)过点(0,1)，且曲线上任一点M(x 0,y 0)处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，y 轴，直线x=x 0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

第二学期高等数学重修试题(一)

一、一、计算下列各题(每小题6分，共30分) 1. 设

dt dz

t y t x y x z 求

,sin ,3,322==+=。

2. 设()

x z cos ln =求:d z 。

3. 设

,4x z

z z y x ??=++求。 4. 设

()xx u xyz y x f u 求,5+=。

5．dz xyz e Z

求　,0=-。

二、二、解下列各题 (每小题6分，共24分)

1．更换积分次序：()??--x

x dy

y x f dx 2122

,。

2. 求

xyz z xy u -+=3

在点P （1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上的方向导数。

3. 求曲线

,1,1t z t t y t t x =+=+=

在t = 1处的切线及法平面方程。

4. 求曲面x 2 － 2 y 2 +2z 2 = 1上过点P （1,1,1）的切平面方程。

三、计算下列积分（每小题6分，共30分） 1. y

xydxd D

??D ：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成。 2.

???V

dxdydz

xy V ：1≤x ≤2 , -2≤y ≤1 , 0≤z ≤1/2 .

3. ?+)

2,1()0,0(ydy

xdx 。

??∑

xyz ∑：x+y+z = 1 第一卦限部分。

5. ??∑

++ydzdx

xdydz zdxdy ∑：是柱面x 2 + y 2

= 1被平面z=0,z=3所截得的在第

一卦限的部分的前侧。

四、（8分）求微分方程y y y x ln ='的通解。

五、（8分）求微分方程()()100,60;034='==+'-''y y y y y 的特解。

2001—2002学年高等数学第二学期试题

一、一、填空（每题4分）

),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中

)3n

分

3．3．计算

dxdy

z dzdx y dydz x 3

++??∑

，其中∑为球面12

22=++z y x 的外侧。

4．4．求微分方程x

e x y y y ++=-'-''1332的一个特解。

三、（8分）设曲面为),,(,z y x M xe z x

=是此曲面上一点，试证曲面在点M 处

的法线与向径OM 垂直。

四、（10分）修建一座容积为V 的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁

每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。

五、（8分）函数),(y x z z =由方程1),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 具有一

阶连续偏导数，求dz 。

六、（8分）设Ω是由22y x z +=及22y x z +=所围的有界闭区域。试计算

)展

1．函数

?=+.0022y x （）。

（A ）处处连续（B ）处处有极限，但不连续（C ）仅在（0，0）点连续（D ）除（0，0）点外处处连续

2．设∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分，则=++??∑ds y x z )342(（）

（A ）

-2

)

21(30

4x dy dx （B ）??-?20)21(30

4361x

dy dx

（C ）??-?)13(20304361y

dy dx （D ）???2030

4361

dy dx

2．1．若122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f ，则).(),(2

='x x f

（A ）1222

++x x （B ）

x x x 21322+

直线??

?=+=+030

2z y y x

四、四、解答下列各题（8分）

设),(y x f 为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r 后积?的二次积分。

???

----+0

112

),(),(x

x dy

y x f dx dy y x f dx

五、五、解答下列各题（8分）

设空间Ω区域由曲面2

22y x a z --=和平面0=z 所围，∑为Ω的表面外侧，

求

dxdy

xyz z dzdx z xy dydz yz x

)1(2222

++-??∑

六、六、解答下列各题（8分）

求微分方程x

xe y y y 223=+'-''的通解。

七、七、解答下列各题（10分）

在圆12

2=+y x 的0,0≥≥y x 部分上找点P ，使其到点M (2,1)的距离为最小。

八、八、解答下列各题（8分）

试求幂函数

∑∞

-+--1

)12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数。

九、九、解答下列各题（9分）

1．1．设

)

1()1)((222222≠+++++=???

Ωp dv z y x z y x x

I R

R ，其中Ω是第一

卦限满足2

2222

1R z y x R ≤++≤的有界闭区域)1(>R 。试讨论当+∞

→R 时R I 的极限及当极限存在时的极限值。

若数列{}n nu 收敛，级数∑∞

=--1

(n n n u u n 收敛，则级数

∑∞

n n

收敛。

高等数学试卷

第二学期 10T

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

( 本大题3分 )

设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分

的积分次序后的结果为

答 ( ) 二、解答下列各题

(本大题共15小题，总计90分)

1、(本小题3分)

设z ax bx y cxy dy =+++3223

，求

????z x z y ,。 2、(本小题3分) 设函数

z y

x =

，求x y x y ====-2101

02,,.,.??时的全微分。 3、(本小题3分)

求函数z xy x y =--()1的驻点。

4、(本小题3分) 计算二重积分其中D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2.

5、(本小题4分)

6、(本小题5分)

求微分方程

20''+'-=y y y 的通解。 7、(本小题6分)

设z z x y =(,)由方程zy xz 23

2-=所确定，求

????z x z y ,。 8、(本小题7分)

计算y

z z x z x x y y x y z d d )(d d )(d d )(-+-+-??∑

，其中光滑曲

面∑围成的Ω的体积为V 。 9、(本小题7分)

求数量场u (x ,y ,z )=ln (x 2+2y 2+3z 2)的梯度。 10、(本小题7分)

求微分方程xy y y '-=2

满足初始条件y

x ==1

1的解。

11、(本小题7分)

求(ln )d (ln )d y x x x y x x x y -++-=0的通解。

12、(本小题7分) 计算

，其中Ω:1≤x ≤2,1≤y ≤2,1≤z ≤2.

13、(本小题7分)

计算积分

式中L 是从点O (0，0)沿曲线

y =sin x 到点A (π，0)的弧段。 14、(本小题9分)

求曲面2223

y xyz yz +-=在点(,,)--214处的切平面和法线方程。 15、(本小题12分) Ω是由x =0,y =0,z =0,

及z 2=cos x ·cos y 所围z ≥0部分的区域。试计算I =

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学试题及答案

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《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章测验题一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

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高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学下册试题及答案解析

高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为。二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;

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高等数学下册试题库一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

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高等数学试题库第一章极限与连续一．判断题 1-1-1 函数y=1/ln(x+1)的定义域是(-1, ∞)．( ) 1-1-2 函数y=lg((1-x)/(1+x))是奇函数．( ) 1-1-3 函数y=x 2+1的反函数是y=(x+1)1/2．( ) 1-1-4 y=arctgx+1010是有界函数．( ) 1-1-5 若()lim x f x →=2 3，则f(2)=3．( ) 1-1-6 若()lim x f x →=23，则f(x)在x=2处连续．( ) 1-1-7 若f(x)在x 0无定义，则lim x x →0 f(x)必不存在．( ) 1-1-8 lim sin lim limsin x x x x x x x →→→=?=0100 10．( ) 1-1-9 lim x →1 (1/(1-x)－1/(1-x 3))= lim x →11/(1-x)－lim x →11/(1-x 3)=∞- ∞=0．( ) 1-1-10 lim x →1x/(x-1)= lim x →1x/lim x →1(x-1)= ∞．( ) 1-1-11 lim n →∞(1/n 2+2/n 2+3/n 2+…+n/n 2)=0+0+0+…+0=0．( ) 1-1-12 若f(x 0-0)=f(x 0+0)，则f(x)在x 0连续．( ) 1-1-13 方程x ·2x =1至少有一个小于1的正数根．( ) 1-1-14 若f(x)在闭区间[a ，b]上不连续，则f(x)在闭区间[a ，b]上必无最大值和最小值．( ) 二．填空题 1-2-1 lim x →4 (x 2-5x+4)/(x-4)=________． 1-2-2 lim x x x →+--42134 =________． 1-2-3 lim n →∞ (1+2+3+…+n)/n 2=________． 1-2-4 lim x →0x 2/(1-cosx)=________． 1-2-5 lim n →∞ n[ln(1+n)-ln(n)]=________． 1-2-6 设f(x)= sin ,, x x x 222+≠=???ππ ，则lim x →πf(x)=________． 1-2-7 当a=________时，函数f(x)= a x x x x x x ++≤>???21030,sin , ，在x=0处连续． 1-2-8 函数 f(x)= (x-1)/(x 2+x-2) 的间断点是＿＿＿＿． 1-2-9 已知极限lim x →3 (x 2-2x+k)/(x-3) 存在(k 为实数)，则此极限值是________．

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一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

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《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日星期三考试时间： 120 分钟一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的（） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（） A 必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C

高等数学下册试题及答案解析

高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续；（B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（）（A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；（B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；

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