全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一

与角平分线有关的辅助线作法大全

一、角平分线类辅助线作法

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种：

1.角平分线上点向角两边作垂线构全等：

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；

2.截取构全等

利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；

3.延长垂线段

题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

图一图二

图三图四

典型例题精讲

【例1】 如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。求证：BE CF =

【例2】 已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．

【例3】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。

【例4】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．

a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

【例5】 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．

D C

B A A B C

D E

D

C

B

A

F C

D A B E

第6题图

求证：OE ＝OF ．

【例6】 如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2，在ABC ?中，ACB ∠是直角，?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、

CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图3，在ABC ?中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

N

M

P O

F

E

D C

B

A

A

B C

D E

F

图1 图2 图3

【例7】 已知MAN ∠，AC 平分MAN ∠．

（1）在图1中，若?=∠120MAN ，?=∠=∠90ADC ABC ．求证：AC AD AB =+． （2）图2中，若?=∠120MAN ，?=∠+∠180ADC ABC ，则（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

O

F

E

C

B

A

【例8】如图所示，在ABC

?中，3

ABC C

∠=∠，AD是BAC

∠的平分线，BE AD

⊥于F。求证：

1

()

2

BE AC AB

=-

【例9】如图，在ABC

?中，90

C

∠=o，CA CB

=，AD平分BAC

∠，BE AD

⊥于点E。

求证：2

AD BE

=。

【例10】如图所示，D是△ABC的一个外角平分线上的一点，求证：AB+AC

图2

N

M

D

A

C

B

图1

M

D

C

A B N

2

1

F

E

D C

B

A

【例11】 在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。

（1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=o

，G 是EF 的中点（如图2），直接写出BDG ∠的度数；

（3）若120ABC ∠=o

，FG ∥CE ，FG CE =，分别连接DB 、DG （如图4），求BDG ∠的

度数。

【例12】 已知：如图，BAD CAD ∠=∠，AB AC >，CD AD ⊥于点D ，H 是BC 中点.

求证：

()1

2DH AB AC =

-.

图1

E

F

B

C

D

A

图2

G

E F

B C

D

A 32

1图4

E

F B

C

A

D

G

D

H

A

C

【例13】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥， DB 是ADC ∠的平分线，过点A 作AE BD ∥，交CD 的

延长线于点E ，且2C E ∠=∠。求证：梯形ABCD 是等腰梯形。

【例14】 如图示，

CE BF ，分别是锐角ABC ?的ACB ∠，ABC ∠的平分线，AF BF ⊥于F ，AE CE ⊥于E 。试说明： （1）EF BC ∥； （2）1

()2

EF AB AC BC =

+-．

【例15】 如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC

交延长线于G ，求证：BF=CG 。

课后复习

【作业1】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=?．

C

D

B

A

【作业2】 已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥。

【作业3】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求证：BC AB DC =+．

D

E

C B

A

【作业4】 如图，已知在△ABC 内，60BAC ∠=?，40C ∠=?，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分

别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．

Q

P

C

B

A