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有效数字及其运算规则

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有效数字及其运算

有效数字及其运算


Hale Waihona Puke


. 将28.175和28.165处理成4位有效数字，则分 别为28.18和28.16。 b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数 字加1，例如28.2645处理成3为有效数字时，其 被舍去的第一位数字为6，大于5，则有效数字 应为28.3。 c. 若被舍其的第一位数字等于5，而其后数字全 部为零时，则是被保留末位数字为奇数或偶数 （零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时 进1，末位数为偶数时还进1，例如28.350、 28.250、28.050处理成3位有效数字时，分别为 28.4、28.2、28.0。 d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并 非全部为零时，则进1，例如28.2501，只取3位 有效数字时，成为28.3。 e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该 数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次 处理。如2.154546 ，只取3位有效数字时，应 为2.15,二不得按下法连续修约为2.16： 2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16
有效数字运算规则


a. 加减法：在加减法运算中，保 留有效数字的以小数点后位数最 小的为准，即以绝对误差最大的 为准，例如： 0.0121+25.64+1.05782=? 0.01+25.64+1.06=26.71
0.0121*25.64*1.05782=?


b. 乘除法：乘除运算中，保留有效数字的位 数以位数最少的数为准。 在这个计算中3个数的相对误差分别为： E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8 E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04 E%=（±0.00001） /1.05782×100=±0.0009 显然第一个数的相对误差最大（有效数字为 3位），应以它为准，将其他数字根据有效 数字修约原则，保留3位有效数字，然后相 乘即可。 0.0121×25.6×1.06=0.328
有效数字及运算法则

有效数字及运算法则


★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确 定的。它一方面反映了数量的大小,同时也 反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数 字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而 第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的， 但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位 位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100
有效数字及运算规则培训

有效数字及运算规则培训


2)有关有效数字的几项规定
① 一个量值只能有一位不确定数字 ② 非零数字前0不计,非零数后计入 : 0.02450 ③ 数字后的0含义不清楚时, 用指数形式表示 : 1000 ( 1.0×103 ，
1.00×103 ,1.000 ×103 )
④自然无限多位数，
如，将下列数字修约成4位有效数字：
0.52666
10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
2) 在修约有效数字时，只能一次修约到所需位数。
如将0.1749修约成2为有效数字，应为0.17。 3)与“四舍五入”比较, 该规则的优点：避免数据偏向一边的缺点，避免引入 系统的舍入误差。
滴定管(量至0.01mL):26.32mL(4), 3.97mL(3) 容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4) 移液管:25.00mL(4); 量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用： （1）作普通数字用，如 0.5180 4位有效数字 5.18010－1 （2）作定位用：如 0.0518 3位有效数字 5.1810－2
②计算过程中，有时可以暂时多保留一位，最后结果再舍去。
③组分含量及误差有效数字位数的保留方法。 高含量组分＞10%，四位 中含量组分1~10%，三位 低含量组分＜1%，二位
表示误差或偏差时，一般只保留一位，最多二位。
④. 报告结果: 与方法精度一致, 由误差最大的一步确定
如 称样0.0320g, 则w(NaCl)=99.2%; 称样0. 3200g, 则w(NaCl)=99.24%;
有效数字的运算规则乘除法

有效数字的运算规则乘除法

有效数字的运算规则乘除法一、有效数字乘除法运算规则概述有效数字是在分析工作中实际能够测量到的数字。

在进行乘除法运算时，有效数字的运算规则有着特殊的要求和意义。

这一规则确保了计算结果的准确性在合理的科学范围内，并且遵循了数据测量精度的原则。

二、乘除法运算中有效数字的确定1. 对于乘法运算当两个数相乘时，结果的有效数字位数取决于参与运算的有效数字位数最少的那个数。

例如，2.1（两位有效数字）乘以 3.14159（六位有效数字），结果应该保留两位有效数字。

2.1×3.14159 = 6.597339，按照规则，结果应取 6.6。

这是因为 2.1的有效数字位数较少，它的精度限制了整个计算结果的精度。

如果有多个数相乘，也是同样的道理。

比如 1.2（两位有效数字）×2.54（三位有效数字）×3.0（两位有效数字），这里有效数字位数最少的是 1.2和 3.0，都是两位有效数字。

先计算1.2×2.54×3.0 = 9.144，最后结果应取9.1。

2. 对于除法运算在除法运算中，商的有效数字位数同样取决于被除数和除数中有效数字位数最少的那个数。

例如，5.67（三位有效数字）÷2.1（两位有效数字），5.67÷2.1 = 2.7，结果保留两位有效数字，因为除数2.1是两位有效数字。

再如，10.0（三位有效数字）÷3.333（四位有效数字），10.0÷3.333 = 3.0003，结果应取3.0，因为被除数10.0是三位有效数字。

三、特殊情况的处理1. 当数字中包含确切数字（如倍数、分数中的分子分母等）时确切数字不影响有效数字的位数确定。

例如，在计算圆的面积S = πr²时，如果半径r = 2.0（两位有效数字），这里的2是确切数字，而π通常取3.14（三位有效数字），按照乘法运算规则，结果S = 3.14×2.0² = 12.56，应取13（两位有效数字）。

有效数字及其运算规则PPT.

有效数字及其运算规则PPT.


1. 实验过程中遇到的两类数字
（1）非测量值 如测定次数；倍数；系数；分数；常数(π)
有效数字位数可看作无限多位。 （2）测量值或计算值 实际测量得到的数字和按照一定计量关系计算
得到的数字 （3）可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常
为估计值，不够准确，故称为可疑值。
2. 有关有效数字的讨论
（1）正确记录实验数据
0.1000 mol/L d. pH = 4.34，小数点后的数字位数为有效数字位
数；对数值，lgX = 2.38；lg(2.4 102)
（6）运算数字中首位数字≥8，有效数字可
多记一位。
1. 为什么要进行修约？
数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。
2. 修约规则：“四舍六入五留双”
（1）当多余尾数≤4时舍去尾数，≥6时进位。 （2）尾数正好是5时分两种情况：
a. 若5后数字不为0，一律进位，0.1067534 b. 5后无数或为0，采用5前是奇数则将5进位，5前是偶 数则把5舍弃，简称“奇进偶舍”。0.43715; 0.43725
数据修约规则可参阅GB8170-87。
3.示例与讨论
（1）示例：保留四位有效数字，修约： 14.2442 → 14.24 26.4863 → 26.49 15.0250 → 15.02 15.0150 → 15.02 15.0251 → 15.03
用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。
（2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且
要正确地反映测量的精确程度。
（3）一般有效数字的最后一位数字有±1个单位的
误差。
结果
绝对偏差
相对偏差 有效数字位数
0.51800
±0.00001
有效数字及运算法则

有效数字及运算法则

指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同

有效数字的运算法则

有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。

5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。

— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。

7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。

8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。

— 2 —。

第三节有效数字及其运算规则案例


准确数字
可疑数字 绝对误差 相对误差ห้องสมุดไป่ตู้
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数 字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位 有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
说明: 以有效数字位数最少的数为准 把其他数据修约为相同位数
小测
1.一个分析工作者获得3个极接近的平行测 定的结果，问可能得出下面什么结论： （1）偶然误差很低 （2）系统误差很低 （3）所用试剂很纯 （4）平均值是准确的
2.若分析结果的精密度很好，准确度很差， 可能是下面哪几种原因造成的： （1）操作中未发生机械损失（如溶液溅出） （2）使用为校正的砝码 （3）称样量记录有差错 （4）使用试剂不纯
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％） 为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分 析结果的平均偏差，标准偏差和变异系 数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数 字位数大于两位的请修约为两位 （1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和 最后一位可疑数字构成
例 ： 滴 定 读 数 20.30mL ， 四 位 有 效 数 字 , 其 中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,

第二章第二节有效数字及运算法则

1) 2)
前面的“ 只起定位作用 只起定位作用——故无效 “1”前面的“0”只起定位作用 前面的 故无效 0.1080g中，夹在数字中间的“0”和数字后面的 中 夹在数字中间的“ 和数字后面的 “0”，都是有数值意义的 ，都是有数值意义的——故有效 故有效
这样的数字， （2）像3600这样的数字，有效数字位数比较含 ） 这样的数字 应根据实际的有效数字位数，分别写成： 位 糊，应根据实际的有效数字位数，分别写成：2位 有效数字、 位有效数字和 位有效数字分别为： 位有效数字和4位有效数字分别为 有效数字、3位有效数字和 位有效数字分别为：
H + = 6.3 × 10 −12 mol/L
6
注意： 注意： 改变单位， 改变单位，不改变有效数字的位数 如： 24.01mL
3 24.01× 24.01×10－ L
台秤(称至 台秤 称至0.1g):12.8g(3位), 0.5g(1位), 1.0g(2位) 称至 位 位 位 分析天平(称至 分析天平 称至0.1mg):12.8218g(6位), 称至 位 0.5024g(4位), 0.0500g(3位) 位 位 ★滴定管(量至 量至0.01mL):26.32mL(4位), 3.97mL(3位) 滴定管 量至 位 位 量至0.01mL): 25.00mL(4位); ★移液管(量至 移液管 量至 位 吸量管(量至 吸量管 量至0.01mL): 5.00mL（3位） 量至 （ 位 ★容量瓶:100.0mL(4位),250.0mL (4位)，50.00mL（4位） 容量瓶 位 位， （ 位 量筒(量至 量至1mL或0.1mL):26mL(2位), 4.0mL(2位) ☆ 量筒 量至 或 位 位 标准溶液的浓度， 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L 位有效数字表示:

有效数字运算规则是什么

有效数字运算规则是什么
有效数字是在整个计算过程中⼤致维持重要性的近似规则。

下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“有效数字运算规则是什么”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。

有效数字
具体地说，是指在分析⼯作中实际能够测量到的数字。

能够测量到的是包括最后⼀位估计的，不确定的数字。

我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。

把测量结果中能够反映被测量⼤⼩的带有⼀位存疑数字的全部数字叫有效数字。

数据记录时，我们记录的数据和实验结果真值⼀致的数据位便是有效数字。

规定有效数字是为了体现测量值和计算结果实际达到的准确度。

有效数字运算规则
1.加减法：先按⼩数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进⾏加减计算，计算结果也使⼩数点后保留相同的位数。

2.乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进⾏乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

有效数字的舍⼊规则
1、当保留n位有效数字，若后⾯的数字⼩于第n位单位数字的0.5就舍掉。

2、当保留n位有效数字，若后⾯的数字⼤于第n位单位数字的0.5 ，则第位数字进1。

3、当保留n位有效数字，若后⾯的数字恰为第n位单位数字的0.5 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后⾯的数字，若第n位数字为奇数加1。

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第二节有效数字及其运算规则
学习目标：掌握有效数字的运算规则。

课前学习
一、复习回顾：
两把刻度尺的读数分别是厘米和。

读数为何不同？哪一把的更准确？
第一把刻度尺的准确数值是；第二把的是。

二、课堂学习
（一）有效数字
（阅读课本P25倒数第二段，完成下列问题）
１有效数字是。

2．有效数字由两部分组成，它们分别是和。

即：。

3．有效数字的位数是怎样确定的？。

例如：分析天平小数点后要保留位有效数字；托盘天平小数点后要保留位有效数字；
10ml量筒小数点后要保留位有效数字；滴定管小数点后要保留位有效数字；
4．有效数字中“0”的作用：
①在具体数字前面时，
②在数字中间时
③在数值后面时，
例如：3700分别可以有位、位、位有效数字，应分别记作、和。

5、对于含有对数的PH、lgK等的有效数字的位数取决于，例如：
PH = 8.32,,有个有效数字。

6.在计算中遇到分数、倍数的关系时，应视为多位有效数字。

[课堂练习]
1、分析工作中实际能够测量到的数字称为（）
A.精密数字
B.准确数字
C.可靠数字
D.有效数字
2、下面数值中，有效数字不是四位的是（）
A. ω(CaO)=25.30%
B.pH=11.50
C.π=3.141
D.1000
3、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）
A.[H+]=0.0003mol/L
B. pH=10.42
C. ω(MgO)=19.96%
D.4000
4、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）
A. pH=11.25
B.C(Cl-)=0.0002 mol/L
C. ω(Fe)=0.040
D. ω(CaO)=38.56%
5、下列数值中有几位有效数字？
1、1.057
2、1500
3、5.24×10-10
4、0.0037
5、0.0230
6、pH=5.30
7、1.502 8、0.0234 9、0.00300
10、10.030 11、8.7×10-612、pH=2.0
13、114.0 14、40.02% 15、0.50%
16、0.0007% 17、pK=7.12 18、95.500
（二）、有效数字的修约规则
（阅读课本P25-P26,完成下列问题）
1、有效数字的修约规则可概括为：
具体解释为：
2、修约有效数字时应注意哪些问题？
【及时练习】
将下列数据修约为2位有效数字：
3.5497 2.66 0.1050
4.55 8.251
（三）有效数字的运算规则：
（阅读课本P26-P27,完成下列问题）
1、几个数据相加或相减时，它们的和或差的有效数字的保留，应以
为依据，将各数据多余的数字修约后再进行加减运算。

2、几个数据相乘或相除时，它们的积或商的有效数字的保留应以
为依据，将各数据多余的数字修约后再进行乘除运算。

3、有效数字运算时的注意事项：
①若数据的第一位数字大于8时，
②有关化学平衡的计算，应保留
③通常对于组分含量在10%以上，一般要求分析结果有效数字位，含量在1%--10%时，低于1%时，一般要求
位有效数字。

④以误差或偏差表示分析结果的准确度时，。

⑤用计算器连续运算得出的结果，应
[课堂练习]
1、在有效数字的运算规则中，几个数据相乘除时，它们的积或商的有效数字位数的保留应以（）
A.小数点后位数最少的数据为准
B.相对误差最大的数据为准
C.有效数字位数最少的数据为准
D.绝对误差最大的数据为准
2、当有效数字位数确定后，对其多余数字进行修约时，如果被修约的数字为5，正确的修约方法是（）
A.5后非零时舍弃
B.5后非零时进位
C.5后为零时舍弃
D.5后为零时进位
3、下列数据中具有三位有效数字的是（）
A.0.35
B.0.102
C.9090
D.pKa=4.74
4、算式（30.582-7.43）+（1.6-0.54）+2.4963中，绝对误差最大的数据是（）
A.30.582
B.7.43
C.1.6
D.0.54
5、下列数据均保留两位有效数字，修约结果错误的是（）
A.1.25→1.3
B.1.35→1.4
C. 1.454→1.5
D. 1.7456→1.7
6、下列四个数据修约为四位有效数字后为0.7314的是（）
A.0.73146
B.0.731349
C.0.73145
D.0.731451
7、用分析天平准确称量某试样重，下列记录正确的是（）
A.1.45g
B. 1.450g
C. 1.4500g
D. 1.45000g
8、下列数据中具有三位有效数字的是（）
A.0.030
B.1.020
C.8.00×103
D.pH=4.74
9、下列数据修约为两位有效数字，修约结果错误的是（）
A.1.24→1.2
B. 3.452→3.5
C. 0.289→0.29
D. 8.65002→8.6
10、算式
±1的绝对误差，哪个数据在计算结
果中引入的相对误差最大（）
A.2.034
B.0.5106
C.603.8
D.0.3512
11、由计算器算得0.000255937，按有效数字运算规则应将结果修约为（）
A.0.002 D.0.0002559
12、由计算器算得（2.236×1.1124）÷（1.036×0.200）的结果为12.004471，按有效数字运算规则应将结果
修约为（）
A.12
B.12.0
C.12.00
D.12.004
三、判断
1、将3.1424、3.2156、5.6235和4.6245处理成四位有效数字时，则分别为3.14
2、3.216、5.624和4.624
（）
2、将7.63350修约为四位有效数字的结果是7.634。

（）。