高中数学：圆锥曲线的综合问题练习
1．(河北石家庄一模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ,与椭圆交
于A 、B 两点,且A F →
＝2 F B →
,则该椭圆的离心率为( B )
A.32 B ．23 C.22
D ．33
解析：由题可知,直线的方程为y ＝x －c ,与椭圆方程联立得?????
x 2a 2＋y 2b
2＝1，
y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋
2b 2cy －b 4＝0,
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则???
??
y 1＋y 2＝－2b 2c
a 2＋
b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，
又A F →＝2 F B →
,∴(c －x 1,－y 1)＝2(x 2－c ,y 2), ∴－y 1＝2y 2,可得?????
－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，
－2y 2
2＝－b 4
a 2＋
b 2，
∴12＝4c 2a 2＋b 2
,∴e ＝2
3,故选B.
2．(河北七校联考)如图,由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω,过点P (2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点,则|AB |的取值范围为( D )
A ．[2,3]
B ．[3,4]
C ．[4,5]
D ．[5,6]
解析：由题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0),圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2,0),因此点P ,F ,E 三点重合,所以|P A |＝3.
设B (x 0,y 0),则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋2, 由???
y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2
＝9
得(x －2)2＋8x ＝9, 整理得x 2＋4x －5＝0,解得x 1＝1,x 2＝－5(舍去),设圆E 与抛物线交于C ,D 两点,所以x C ＝x D ＝1,
因此0≤x 0≤1,又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5,所以|AB |＝x 0＋5∈[5,6],故选D. 3．已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2＝π
3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )
A.433 B ．233 C ．3
D ．2
解析：解法一：设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0),离心率为e 1,双曲线的方程为x 2a 22－y 2
b 22＝
1(a 2＞0,b 2＞0),离心率为e 2,它们的焦距为2c ,不妨设P 为两曲线在第一象限的交点,F 1,F 2分别为左,右焦点,
则易知??? |PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得???
|PF 1|＝a 1＋a 2，
|PF 2|＝a 1－a 2.
在△F 1PF 2中,由余弦定理得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)cos 60°＝4c 2,
整理得a 21＋3a 22＝4c 2, 所以a 21c 2＋3a 2
2
c 2＝4,即1e 21＋3e 22
＝4.
设a ＝? ????1e 1，3e 2,b ＝? ????
1，33,
∴1e 1
＋1
e 2
＝a ·b ≤|a |·|b |＝
1e 21＋3
e 22×1＋1
3＝4×43＝433,故1e 1＋1e 2的最大值是433,故
选A.
解法二：不妨设P 在第一象限, |PF 1|＝m ,|PF 2|＝n . 在△PF 1F 2中,
由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.
设椭圆的长轴长为2a 1,离心率为e 1,双曲线的实轴长为2a 2,离心率为e 2,它们的焦距为2c ,则 1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n
2c ＝m
c .
∴? ????1e 1＋1e 22＝m
2
c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4? ????n m 2－n
m
＋1, 易知? ????n m 2－n
m ＋1的最小值为34.
故? ??
??
1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4．(贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1,A 2,动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 2－x 1的最小值为( A )
A ．2 2
B ．2
C ．4
D ．3 2
解析：∵直线l 与圆相切, ∴原点到直线的距离d ＝|m |
1＋k 2
＝1, ∴m 2＝1＋k 2.
由???
y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1
得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0, ∴?????
1－k 2≠0，
Δ＝4m 2k 2
＋4(1－k 2
)(m 2
＋1)＝4(m 2
＋1－k 2
)＝8＞0，
x 1x 2
＝1＋m
2
k 2
－1＜0，
∴k 2＜1,∴－1＜k ＜1,由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2,
∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝22
1－k 2
,
∵0≤k 2＜1,∴当k 2＝0时,x 2－x 1 取最小值22,故选A.
5．(河南郑州一模)如图,已知抛物线C 1的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,且过点(2,4),圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0,过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ,Q ,M ,N ,则|PN |＋4|QM |的最小值为( A )
A ．23
B ．42
C ．12
D ．52
解析：由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0),因为抛物线C 1过点(2,4),所以16＝2p ×2,得p ＝4,所以y 2＝8x .圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0,整理得(x －2)2＋y 2＝1,可得圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),当直线l 的斜率不存在时,l ：x ＝2,所以P (2,4),Q (2,－4),所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.
当直线l 的斜率存在且不为零时,可设l 的方程为y ＝k (x －2),联立???
y ＝k (x －2)，
y 2＝8x ，可得k 2(x
－2)2＝8x ,整理得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0,Δ＞0,则x 1x 2＝4,故x 2＝4
x 1
,所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋
4|QC 2|＋5＝x 1＋p 2＋4x 2＋4×p 2＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16
x 1＋15≥2
x 1×16
x 1
＋15＝8＋15＝
23? ????
当且仅当x 1＝16x 1
，即x 1＝4时取“＝”.因为23＜25,所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A. 6．(2018·浙江卷)已知点P (0,1),椭圆x 24＋y 2
＝m (m >1)上两点A ,B 满足AP →＝2PB →
,则当m ＝ 5 时,点B 横坐标的绝对值最大．
解析：本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值．
设B (t ,u ),由A P →＝2 P B →
,易得A (－2t,3－2u )．
∵点A ,B 都在椭圆上,∴?????
t 24＋u 2
＝m ，
4t 24
＋(3－2u )2
＝m ，
从而有3t 24＋3u 2
－12u ＋9＝0,即t 24＋u 2＝4u －3. 即有4u －3＝m ?u ＝m ＋34,∴t 24＋(m ＋3)2
16＝m , ∴t 2
＝－14m 2＋52m －94＝－1
4(m －5)2＋4.
∴当m ＝5时,(t 2)max ＝4,即|t |max ＝2, 即当m ＝5时,点B 横坐标的绝对值最大．
7．(合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2
8＝1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一
点,则O P →·F P →
的最小值为 6 .
解析：点P 为椭圆x 29＋y 2
8＝1上的任意一点,设P (x ,y )(－3≤x ≤3,－22≤y ≤22),依题意得左焦点F (－1,0),
∴O P →＝(x ,y ),F P →
＝(x ＋1,y ),
∴O P →·F P →
＝x (x ＋1)＋y 2
＝x 2
＋x ＋72－8x 2
9
＝19? ??
??x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3,∴32≤x ＋92≤152, ∴94≤? ????x ＋922≤2254,
∴14≤19? ????x ＋922≤22536,
∴6≤19? ??
??x ＋922＋23
4≤12,
即6≤O P →·F P →
≤12,故最小值为6.
8．(河北百校联盟联考)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ,准线为l 1,直线l 2与抛物线C 相切于点P ,记点P 到直线l 1的距离为d 1,点F 到直线l 2的距离为d 2,则d 2d 1＋2
的最大值为 1
2 .
解析：依题意,得点F (0,2),因为y ＝x 28,所以y ′＝x
4,
设P (x 0,y 0),则直线l 2：y －y 0＝x 04(x －x 0),即x 0
4x －y －y 0＝0,故点F 到直线l 2的距离d 2＝
|－2－y 0|x 20
16＋1＝
2＋y 0y 0
2＋1
＝2·y 0＋2,又点P 到直线l 1的距离d 1＝|PF |＝y 0＋2,所以d 2
d 1＋2＝2×y 0＋2y 0＋4＝2
×
1y 0＋2＋
2
y 0＋2
≤2×
12
y 0＋2·
2y 0＋2
＝1
2,当且仅当y 0＋2＝
2
y 0＋2
,即y 0＝0时,取等号,所以
d 2d 1＋2
的最大值为1
2. 9．(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点,QM →＝λQO →,QN →＝μQO →
,求证：1λ＋1
μ为定值．
解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2),所以2p ＝4,即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x , 由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)． 由???
y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0, 解得k ＜0或0＜k ＜1.
又P A ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,－2)． 从而k ≠－3.
所以直线l 斜率的取值范围是 (－∞,－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2,x 1x 2＝1
k 2. 直线P A 的方程为y －2＝
y 1－2
x 1－1
(x －1)． 令x ＝0,得点M 的纵坐标为 y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.
同理得点N 的纵坐标为y N ＝
－kx 2＋1
x 2－1
＋2. 由QM →＝λ Q O →,Q N →＝μ Q O →
得λ＝1－y M ,μ＝1－y N .
所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1
·2k 2
＋2k －4k 2
1k 2＝2.
所以1λ＋1
μ为定值．
10．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 2
3＝1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA .
(1)当t＝4,|AM|＝|AN|时,求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时,求k的取值范围．解：(1)设M(x1,y1),则由题意知y1＞0.
当t＝4时,E的方程为x2
4＋
y2
3＝1,A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π
4. 由此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入x2
4＋
y2
3＝1得7y
2－12y＝0.
解得y＝0或y＝12
7,所以y1＝
12
7.
因此△AMN的面积S
△AMN ＝2×
1
2×
12
7×
12
7＝
144
49.
(2)由题意知,t＞3,k＞0,A(－t,0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2
t＋
y2
3＝1得(3＋tk
2)x2
＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－t)＝t2k2－3t
3＋tk2
得x1＝
t(3－tk2)
3＋tk2
,
故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t(1＋k2) 3＋tk2
.
由题设知,直线AN的方程为y＝－1
k(x＋t),故同理可得|AN|＝
6k t(1＋k2)
3k2＋t
.
由2|AM＝|AN|得
2
3＋tk2
＝
k
3k2＋t
,
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝3
2时上式不成立,
因此t＝3k(2k－1) k3－2
.
t＞3等价于k3－2k2＋k－2
k3－2
＝
(k－2)(k2＋1)
k3－2
＜0,
即k－2
k3－2
＜0.
由此得??? k －2＞0，k 3－2＜0或???
k －2＜0，k 3－2＞0，
解得3
2＜k ＜2.
因此k 的取值范围是(3
2,2)．
11．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .
(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(2)若l 过点? ????
m 3，m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？若能,
求此时l 的斜率；若不能,说明理由．
解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0, 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb
k 2＋9,
y M ＝kx M ＋b ＝
9b
k 2＋9
. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M
＝－9
k ,即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点? ??
??m 3，m ,
所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9
k x . 设点P 的横坐标为x p .
由?????
y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2， 得
x 2p ＝
k 2m 29k 2＋81,即x p ＝±km
3k 2＋9
.
将点? ????
m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3,因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9)
.
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x p ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9),
解得k 1＝4－7,k 2＝4＋7.
因为k i ＞0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4－7或4＋7时,四边形OAPB 为平行四边形． 12．(潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1,F 2的距离之和为4,当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时,直线PF 1恰与以原点O 为圆心,以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ,若P A ,PB 交直线x ＝6于不同的两点M ,N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是,请求出该定点的坐标；若不是,请说明理由．
解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4,a ＝2,
若点P 运动到椭圆的左、右顶点时,直线PF 1与圆一定相交,故点P 只能在椭圆的上、下顶点,不妨设点P 为上顶点(0,b ),F 1为左焦点(－c,0),
则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0,由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ,所以
bc b 2＋c 2＝c
a
, 所以c 2＝3b 2,又a 2＝b 2＋c 2, 所以b ＝1,
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)由题意知直线P A ,PB 的斜率存在且都不为0. 设k P A ＝k ,点P (x 0,y 0),x 0≠±2, 又A (－2,0),B (2,0),
所以k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 2
0x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14,得k PB ＝－1
4k ,
直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2), 令x ＝6,得y ＝8k ,故M (6,8k )； 直线PB 的方程为y ＝－1
4k (x －2), 令x ＝6,得y ＝－1k ,故N (6,－1
k )．
因为y M ·y N ＝8k ·(－1
k )＝－8<0,所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点,设为G ,H ,并设
MN 与x 轴的交点为K ,在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得,
|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·|－1
k |＝8, 因为|GK |＝|HK |, 所以|GK |＝|HK |＝22,
从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22,0),H (6＋22,0)．
13．已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点,C 1与
C 2的公共弦的长为2 6.
(1)求C 2的方程；
(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且A C →
与B D →
同向．
(ⅰ)若|AC |＝|BD |,求直线l 的斜率；
(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明：直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形．
解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①
又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2＝4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为? ?
?
??±6，32,所以94a 2＋6b 2＝1.②
联立①,②得a 2＝9,b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8＝1.
(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)．
(ⅰ)因A C →与B D →同向,且|AC |＝|BD |,所以A C →＝B D →
,从而x 3－x 1＝x 4－x 2,即x 1－x 2＝x 3－x 4,于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k , 则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由???
y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝－4.④ 由????
?
y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9
＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3,x 4是这个方程的两根,
所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2,x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤
将④,⑤代入③,
得16(k 2＋1)＝162k
2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2,
即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)
(9＋8k 2)2
,
所以(9＋8k 2)2＝16×9,解得k ＝±64,即直线l 的斜率为±6
4.
(ⅱ)由x 2
＝4y 得y ′＝x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1),即y ＝x 1x 2－x 21
4.
令y ＝0,得x ＝x 12,即M ? ??
??
x 12，0,
所以FM →
＝? ??
??
x 12，－1.
而F A →＝(x 1,y 1－1),于是F A →·FM →
＝x 212－y 1＋1＝x 21
4＋1＞0, 因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形．