)25(<<-X P ;（6）)11(>-X P ;（7）确定a ，使得)()(a X P a X P <=>.
28. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且二次方程2
40t t X ++=无实根的概率
为
1
2
，求μ的值. 29. 某厂生产的滚珠直径X 服从正态分布)01.0,05.2(N ，合格品的规格规定直径为
2.02±，求滚珠的合格率.
30. 某人上班路上所需的时间)100,30(~N X （单位：min ），已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率.
习题五
11
习题五
1. 二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），11,3?
?- ???
，（2，0），
且取这些组值的概率依次为
12
5
,121,31,61.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X 及关于Y 的边缘分布律.
2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，
3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以Y X ,分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求),(Y X 的分布律及)(Y X P =.
*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X 表示从委员会选出来的数据处理人数，Y 表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X 与Y 的联合分布律；（2）()P X Y ≥.
*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X ={前2次抽中红球数}，Y ={4次共抽中红球数}，求（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律：（2）给定1X =，Y 的条件分布律.
5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.
定义随机变量Y X ,如下：?
??=10X ,,若第一次取出正品,
若第一次取出次品,??
?=10Y ,,若第二次取出正品,若第二次取出次品,分别就下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.
求：（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律; （2）关于X 及关于Y 的边缘分布律;
（3）X 与Y 是否独立，为什么？
6. 设二维随机变量),(Y X
的联合密度函数为01,01,(,)0,x y f x y <<<<=?
其他.
求：（1）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（2）110,022P X Y ??≤≤
≤≤ ???
. 7. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中区域D 为x 轴，y 轴及直线y =2x +1围成的三角形区域.求：（1）),(Y X 的联合密度函数；（2）1
10,04
4P X Y ??-
<<<< ???；
（3）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（4）X 与Y 是否独立，为什么？
8.设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中D 为由直线x +y =1，x +y =-1，
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
12
x -y =1，x -y =-1围成的区域.求：
（1）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；
（2）()P X Y ≤；
（3）X 与Y 是否独立，为什么？
9. 设随机变量X ，Y 是相互独立且分别具有下列分布律：
写出表示),(Y X 的联合分布律.
10．设进入邮局的人数服从参数为λ的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p （0
11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[0,0.2]上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布，求：),(Y X 的联合密度函数及)(Y X P ≥.
12. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为(34)e (,)0x y k f x y -+?=??
,0,0,
x y >>其他,求：（1）系
数k ;（2）)20,10(≤≤≤≤Y X P ;（3）证明X 与Y 相互独立.
13. 已知二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为?
?
?-=0)1(),(y x k y x f ,01,0,
x y x <<<<其他,，
（1）求常数k ;（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？为什么.
14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为：
且5
3
)01(=
==X Y P ，求：（1）常数a ，b 的值；（2）当a ，b 取（1）中的值时，X 与Y 是否独立，为什么？
*15. 对于第2题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律.
习题五
13
*16. 对于第7题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求：（1）11104
42P X Y ??
-
<<<< ???；
（2）当102X x x ??
=-
<< ???
时Y 的条件密度函数()Y X f y x . *17. 设二维连续型随机变量),(Y X ，证明：对任何x ，有
()()()d ,Y P X x P X x Y y f y y +∞
-∞
≤=≤=?
其中()Y f 为Y 的边缘密度函数.
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
14
习题六
1. 设随机变量的分布律为
求出:（1）2+X ;（2）1+-X ;（3）2
X 的分布律.
2. 设随机变量服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量???=1
0Y ,11.X X ≤>若,
若试求随机变
量Y 的分布律.
3. 设随机变量的分布密度为??
?=0
2)(x x f ,01,
,x <<其他,求出以下随机变量的密度函数：
（1）X 2；（2）1+-X ；（3）2
X .
4. 对圆片直径进行测量.测量值服从上的均匀分布，求圆片面积的密度函数.
5. 设随机变量服从正态分布），（10N ，试求随机变量函数2Y X =的密度函数)(y f Y .
6. 设随机变量服从参数1=λ的指数分布，求随机变量函数e X Y ＝的密度函数
)(y f Y .
7. 设随机变量服从，证明：服从，其中为两个常数
且.
8. 设随机变量在区间]2,1[-上服从均匀分布，随机变量
??
?
??-=101Y 0,0,0.X X X >=<，若，若，若试求随机变量函数Y 的分布律.
9. 设二维随机变量的分布律:
X X X X )6,5(Y X X X )1,0(N a X +σ),(2
σa N σ,a 0>σX ),(Y X
习题六
15
求以下随机变量的分布律:（1）;（2）;（3）;（4）. 10. 设随机变量,相互独立，且11,
4X B ?? ??? ，11,4Y B ??
???
， （1）记随机变量，求的分布律；
（2）记随机变量，求的分布律.
从而证实：即使，服从同样的分布，与的分布并不一定相同.
*11. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，给定X k =，Y 的条件分布为参数为k ，p 的二项分布（0
P Y y P Y y X k P X k y +∞
===
====∑ ）
12. 设二维随机变量X ，Y 的联合分布律为:
求:（1）max(,)U X Y =的分布律； （2）),min(Y X V =的分布律； （3）(,)U V 的联合分布律.
13. 设二维随机变量()Y X ,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线0,0==y x ，
2,2==y x 所围成的区域，求X Y -的分布函数及密度函数.
*14. 设随机变量X ，Y 相互独立，且有相同的分布(0,1)N ，U X Y =-，V X Y =-，
求:（1）U 的密度函数；（2）V 的密度函数.
15. 设二维随机变量,X Y 的分布密度为),(y x f ，用函数f 表达随机变量Y X +的密度函数.
16. 设随机变量2~(,)X N a σ，2~(,)Y N b τ，且X ，Y 相互独立，Z X Y =+，求
Z X x =的条件分布密度函数.
17. 用于计算机接线柱上的保险丝寿命服从参数2.0=λ的指数分布.每个接线柱要求
两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X 与Y .（1）其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命Z ＝X +Y 的密度函数.（2）若这两个保险丝同时
Y X +Y X -X 2XY X Y Y X Z +=Z X U 2=U X Y Y X +X 2
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
16
独立使用，则求有效寿命max(,)U X Y =的密度函数.
18. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，记Z 是以X ，Y 为边长的矩形的面积，求Z 的密度函数.
*19. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求X Z Y
=的密度函数.
（提示：使用1
()()()()d ()d Z Y F z P Z z P Z z Y y f y y P X yz y =≤=≤==≤??，其中用到
X 与Y 的独立性.）
习题七
17
习题七
1. 设随机变量的分布律为
求：（1）()E X ;（2）)1(+-X E ;（3）)(2X E ;（4）()D X .
2. 设随机变量服从参数为λ的泊松分布（0>λ），且已知((2)(3))2E X X --=，求λ的值.
3. 设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求2
X 的数学期望2()E X .
4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量.它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望()E X 和方差()D X .
6. 设随机变量X 有分布律:
1()(1,2,),k k p P X k pq k -====
其中01,1p q p <<=-，称X 服从具有参数p 的几何分布，求()E X 和()D X .（提示：
由幂级数逐项求导的性质可知211011k k k k kq q q ∞
∞
-=='????
== ? ?-????
∑∑,
2
1
(1)k k k k q
∞
-=-=
∑3012)11k k q q q q ∞
=''''??????= ?
? ?--??????∑ 7. 设随机变量的密度函数为1()e 2x f x -=，求:（1）()E X ;（2）)(2
X E 的值.
8. 某商店经销商品的利润率的密度函数为2(1)0,x -?=??,01,
x <<其他,求()E X ，
()D X .
9. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求1
(1)E X -+.
X X X X X X X )(x f
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
18
10. 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，0M >为整数，max(,)Y X M =，
求()E Y . *11. 设随机变量X 有分布律：
(),0,1,2,,k M N M k n k p P X k k n M N n -????
???-????====∧?? ???
，其中min(,)n M n M ∧=. 12(1):.12(1)n n n n n n m m m m m m ?--???????-== ? ? ? ?---???????
?提示使用
*12. 将已写好n 封信的信纸随机地装入已写好的n 个收信人的对应地址的信封，若有
一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X 为n 封已随机装好的信的配对数，求(),()E X D X .
111111,:(1,2,,),,(),()0,cov(,),()=()2cov(,).n i i i i j i n n n i j i j i=1i j j i X i n X X E X E X X X X D X D X X X =-==+??=== ? ??
?
+?
?
∑∑∑∑ 第封信配对,
提示记有先求其他及使用公式 13. 设随机变量的概率密度为1e ,0,
()0,0,x x f x x -?>=?≤?求()E X ，)2(X E ，2(e )X E X -+，
()D X .
14. 设随机向量的联合分布律为:
求,(),(),(2),(3),(),(),cov(,),.X Y E X E Y E X Y E XY D X D Y X Y ρ-
15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X ，Y 分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X 与Y 之间的相关系数Y X ,ρ.
16. 设随机变量相互独立，它们的密度函数分别为22e ()0x X f x -?=?
?,0,
,0,x x >≤44e ()0y Y f y -?=??
,0,
,0,y y >≤求)(Y X D +.
*17. 设随机变量1,,n X X 独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令1min ,
i i n
Y X ≤≤=求(),()E Y D Y .
X ),(Y X Y X ,
习题七
19
*18. 设随机变量X 有密度函数1e ,0,()()0,x
x x f x ααλλα--?>?
=Γ???其他λα>>（0，0为常数），
则称X 服从具有参数αλ（，）的伽玛分布，记为~X αλΓ（，），其中10
()e d y y y αα∞
--Γ?
=
.
有性质：对任意实数x ，有(1)()x x x Γ+=Γ，特别对正整数n 有(1)!n n Γ+=.今设
1~(,)Y αλΓ，2~(,)Z αλΓ，且Y 与Z 相互独立，Z
W Y
=
，求()E W 1:()().Z E W E E Z E Y Y ?
?????=
= ? ?
???????
提示使用独立性,有 *19.设随机变量X 服从参数为（a ，b ）的贝搭分布，即有密度
1
1()(1),01,()()
()0,a b a b x x x a b f x --Γ+?-<
ΓΓ=???
其他,求(),()E X D X .[提示：已知贝搭函数1110:(,)(1)d ,.t t t αβαββαββαβαβ--??ΓΓ=- ?Γ??
?()()提示已知贝搭函数有关系式(,)=(+) 20. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式()(,)d d E X xf x y y x +∞
+∞
-∞
-∞
=??
及按
公式()()d E X xf x x +∞-∞
=?算得的()E X 值相等.这里，),(y x f ,)(x f 依次表示X Y X ),,(的分
布密度，即
证明：()(,)d d E X xf x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=
??
()d xf x x +∞
-∞
=?
21. 设二维随机变量服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线x +y +1=0所围成的区域，求：（1）()E X ;（2）)23(Y X E +-;（3）)(XY E 的值.
22. 设随机变量的联合密度函数为212,01,(,)0,
y y x f x y ?≤≤≤=??其他.求()E X ，()E Y ，
()E XY ，22()E X Y +，()D X ，()D Y .
23. 设随机变量相互独立，且()()1E X E Y ==
，()2D X =，()3D Y =.求：（1）22
(),()E X E Y ；（2）)(XY D .
24. 袋中有2n
个外形完全相同的球，其中n k ??
???
个标有数字k （k =0，1，…，n ），从中不放回抽取m 次（每次取1个），以X 表示取到的m 个球上的数字之和，求E （X ）.
),(Y X ),(Y X Y X ,
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
20
（提示：记i X =第i 次抽到的球上的数字，则1
1
,()().m m
i
i
i i X X E X E X ===
=∑∑）
25. 设()25D X =，()36D Y =，4.0),(=Y X ρ，求：（1）)(Y X D +;（2）)(Y X D -. 26. 设随机变量相互独立，且，，求
.
27.设随机变量的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计(()7.5)P X E X -≥的值. 28. 设随机变量和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计(6)P X Y +≥的值.
29. 在次品率为
1
6
的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在40与60之间的概率.
30. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3m.现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3m 的钢材不超过30根的概率.
31. 有3000个同龄的人参加某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1％，参加保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.
32. 某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命服从均值为10h 的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1200h 的概率.
33. 设随机变量的概率密度为12
0,
x ?+?
=???,01,x <<其他,
求的中位数.
Y X ,)1,1(~N X )1,2(~-N Y )2(),2(Y X D Y X E ++X X X )(x f X
李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
第二章_概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤
求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为
概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、习题详解： 3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0, (,)0, x y x y x y F x y ----?--+≥≥=??其他 求}{ 12,35 P X Y <≤<≤. 解：因为 25 7(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F 5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤< == +--=----745672 3 22220.0234 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1) 且 0)1,2(===Y X P ，6.053 )2,2(4 52 223=====C C C Y X P 4.052 )1,3(4 5 1 233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 81)2 1()3,0(3 = ===Y X P ，8 3)21()21()1,1(2 113====C Y X P 83)21()21()1,2(1 223====C Y X P ，8 1)21()3,3(3====Y X P
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
概率论习题及答案习题详解
222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.
223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
大学概率论习题五详解(1)
正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为，请利用切比雪 夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与之间的偏差不小于的概率不超过 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与的偏差不小于的概率不超过。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070 ≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成 绩为∑==n i i X n X 11，又8011==∑=n i i EX n X E , n DX n X D 251==
概率论课后习题答案
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
概率统计第一章答案
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑
球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y
概率论习题答案
第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质
随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
概率论一二章习题详解
习题一 （A ） 1. 用三个事件,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生； （2）,,A B C 中只有A 发生； （3）,,A B C 中恰好有两个发生； （4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生； （6）,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1 {| 1},2 A x x =<≤ 13 {| }42 B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1）{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）? （3）{|014121x x x ≤<<≤或 3. 已知()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C .
解：0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()() P C AB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB . 解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =, ()()()0.250.150 P B A P B P AB -=-=-=, ()()1()() ()P A B P A B P A P B P A B ==--+ 10.40.250.150.5=--+= 5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：2322248 13!13! p ????= = 6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解：12 5453 5099 392 C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率. 解： 12 12312 p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =，
概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件：
概率论第一章答案
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
概率论练习题与解析
概率论练习题与解析
十、概率论与数理统计 一、填空题 1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为 p 。现进行n 次独立试验，则A 至少发生一 次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一 次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。 2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1 个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球， 第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地 取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出 的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 解：用i A 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用 B 代表“取出的球是白球”。由全概率公式 ?=?+?+?=++=120 53853163315131) |()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式
?=?==5320120 536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P 3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率 相等。若已知A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 解：设事件A 在一次试验中出现的概率为 )10(<
概率论与数理统计1_8课后习题答案
第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y
概率论课后答案
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
