数学建模队员的选拔
摘要
一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。但在对参赛队员进行选拔时，往往会遇到很多难题，以致有时并不能选出真正优秀的队员代表学校参加全国竞赛。本文通过对学生自身具备的与数学建模有关的素质的考察，解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。本文主要采用层次分析法，通过对建模队员的综合能力以及专项能力的考察，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，给出了选拔队员的模型，并最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，建立了最佳的组队方案。
问题一，我们给出了选拔队员时应考察的情况，并针对数学建模应具备的关键素质，给出了相关素质的权重。
问题二，我们全面考察了15名队员的六项指标，并利用层次分析法及matlab 编程求出了各指标的权重，然后根据权重得到15名队员的的综合排名，最后剔除后六名，得到前九名队员，依次是：2S ,1S ,14S ,8S ,11S ,4S 10S ,6S ,13S 。为了组成3个队，使得这3队的整体水平最高，我们建立了求每个队竞赛水平的模型，根据题目要求，为使三名队员的技术水平可以互补，参赛学生最好来自不同专业，我们在多种组合方式下经计算比较后得到最佳组合方案。如下表：
问题三，我们如果只考察计算机而不考察其它能力，选出最佳队员S11和S13,其成绩分别为第五和第九，并非特别拔尖。而且通过对计算机编程能力在关键素质中所占的比例24.9%分析（1/4不到），这种直接录用的选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，而且有失公平，所以不可取。
问题四，我们在前几问的基础上，综合数学建模的关键素质所占的权重分析，给出了对数学建模教练组在选拔队员时的建议。
关键词：最佳组队；层次分析法；matlab 编程，权重
一、问题重述
由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。
数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。
目前选拔队员主要考虑以下几个环节
数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。每个学生的基本条件如下表（见附录）。
现在需要解决以下几个问题：
1．根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？
2．根据上表息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。
3．有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。
4．为数学建模教练组写1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。
二、问题分析
2.1对问题一的分析
每年的全国大学生数学建模竞赛都需要选出优秀的队员组成队伍，以达到最好的、最合理的优化组合参加比赛，提高获奖的几率。这是一个考虑多因素的资源配置问题。根据我们所了解的数学建模知识，一组中需要分别包含数学分析和建模能力较好的同学、计算机编程能力强的同学、语言表达和写作能力较强的同学，通过交流与合作，以达到最好效果。考察素质时一方面可由学生自己的主观因素提供，一方面可根据相关考试等客观事实来判断。
数学知识和计算机能力是建模的关键，组队时我们应该优先考虑这两方面才能的人。数学分析及建模的能力可通过笔试成绩及思维敏捷度来判断，而计算机能力则可通过对机试成绩进行分析，也可由其它情况（如是否学过matlab等）进行附带说明。
2.2对问题二的分析
第二问是要求建立出数学模型，在15名同学中选出9名最优的、合适的同学组成三队参加竞赛。这是一个半定量半定性、多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。我们主要采用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各学生对各指标的权重，然后建立数学模型对每个队员的总成绩进行
排名，剔除掉落后的6名学生。
2.3对问题三的分析
这一问是在第二问的基础上进行假设，假设计算机编程能力是选拔队员的关键因素。选拔出几名计算机能力最强的同学，与前一问的综合排名进行对比。通过对结果的分析来确定这种直接录用而不考虑其他因素的做法是否可取。
2.4对问题四的分析
根据前几问的条件，来判断选拔队员时还缺少了哪些信息、有些信息是否可以忽略，然后对数学建模教练组提供相关选拔队员的建议，以帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。
三、模型假设
假设参赛队员的外部环境都相同，不考虑其他随机因素的影响，在正式比赛中每个队员都可以发挥出各自的正常水平。
2.假设题中给定数据都是客观公正的，且竞赛水平的发挥只取决于题中所给的条件。
3.假设数学建模的笔试成绩，机试成绩，思维敏捷度，知识面宽广度，听课情况已及其他情况（如是否学过matlab等），这六项对学生参加建模竞赛时的影响占主体地位，而且影响程度是依次递减的。
4.假设对每个人的量化指标能充分且准确地反映此人的综合实力。
5.假设组队后各队是相互独立的，即各组之间不会相互影响。
6.假设一队中不能有同专业的学生。
四、符号说明
CI………………………………………………………………一致性指标
RI…………………………………………………………随机一致性指标
CR…………………………………………………………一致性检验指标1
w……………………………………………准则层对目标层的特征向量2
w……………………………………………措施层对准则层的特征向量
w……………………………………………措施层对目标层的特征向量
……………………………………………………………最大特征值
m ax
QBS（Si）…………………………………………学生Si的笔试加权成绩
BS（Si）……………………………………………学生Si的笔试成绩
C1（Si）…………………………………………表示学生Si的笔试权重
QJS（Si）…………………………………………学生Si的机试加权成绩
JS（Si）……………………………………………学生是Si的机试成绩
C2（Si）……………………………………………学生Si的机试权重
S1,S2...S15………………………………………………15名学生的编号
五、模型建立与求解
5.1问题一：
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，因此数学建模要求学生具有一系列的素质，包括较好的数学基础和建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力等。于是我们建议考察学生的下列能力：
1.较好的数学基础知识（高等数学、线性代数、微积分和概率论等）
2.必要的数学建模知识（数学建模软件的熟练掌握）
3.计算机编程能力
4.语言表达和写作能力
5.良好的团队合作精神及协调能力
6.思维敏捷度（分析、归纳、总结的能力）
7.对数学建模的兴趣及悟性
8.能否持之以恒的耐性
各能力所占比例如下表所示：
我们认为下列素质是数学建模的关键素质：
1.对数学知识和数学建模知识的熟练掌握
2.计算机编程能力及数学建模软件的掌握和运用
3.较强的语言表达和写作能力
4.分析、归纳、总结的能力及团队协调合作能力
可通过下列方式进行考察：
1.成立以数学建模为主体的协会并开展讲座，看爱好者的活跃程度；
2.看平时考试的数学成绩和举办数学竞赛，来考察数学方面的能力；
3.举办数学建模论文竞赛和模拟答辩等，考察队数学建模知识的了解及论文的写作能力；
4.计算机系的学生可通过对编程成绩的查阅来考察计算机编程能力；
5.组织一次开放性、全校性的数学建模选拔赛来考察数学建模的综合能力，或者具有某方面特长的学生。
5.2.问题二的模型建立及求解
5.2.1参赛队员的选取
该题是一个多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。为了从15名队员中选出9名，我们采用层次分析法计算权重，然后综合总成绩进行排名，即可选出。
题目给出了七项指标，为了方便计算，我们首先应将各指标量化。由于班级排名这一项统计不全，故可以忽略掉此项的影响。在量化时我们遵循以下原则：笔试成绩以10为满分进行计算；思维敏捷、机试和知识面的A 、B 、C 、D 等级分别按4分、3分、2分、1分计；其它情况在1分的基础上加分，如学过matlab 和上过建模选修课、考过程序员加1分，过计算机三级加2
5.2.2用层次分析法
将选拔优秀队员看做一个目标，作为目标层；将六项指标作为准则层；将15名同学作为措施层。如下图：
目标层O ：
准则层C ：
措施层P ：
我们已经假设数学建模的笔试成绩，机试成绩，思维敏捷度，知识面宽广度，听课情况已及其他情况（如是否学过matlab 等），这六项对学生参加
建模竞赛时的影响占主体地位，而且影响程度是依次递减的。这里假设相邻的相差都为一，两两对比可得正互反矩阵为：
????????
?????
??????????????
?=12
13
14
15
1612121314151321213141
432121
3
15432121654321A 我们采用以下方法计算最大特征值：
1.将A 的每一列向量归一化得 )......2,1(1
n j a
a w n
i ij
ij
ij ==∑=
2.将ij w 按行求和，可得 )......2,1(1n j w w n
j ij i ==∑=
3.将i w 归一化，得 ∑==n
i i
i
i w
w w 1
，其中T n w w w w w )......,,(3211= 为近似特征向量
4.计算最大特征值
∑==n i i w Aw n 11max )(1λ
5.判断A 的一致性
由以上式子可以求出最大特征值1232.6max ≈λ 特征向量[]T
w 0434.00655
.01024
.01604
.02488
.03794
.01=
根据一致性指标公式1
max --=
n n
CI λ可得CI=0.0246
由上表可知，RI （1）=1.24
由公式RI
CI
CR =
可求得一致性检验指标1.00199.0<=CR ，因此我们认为正互反矩阵A 具有满意的一致性，通过一致性检验。 上述过程也可由matlab 编程得到（程序见附录）[1]
我们已经假设对每个人的量化指标能充分且准确地反映此人的综合实力，由此可以求出措施层P 对准则层C 的特征向量： 其矩阵为B ，即6...2,1;15...2,1),(===j i b B ij 则其特征矩阵为：6....2,1;15....2,1),(===j i w w ij
7...2,1;15...2,115
1
,
===∑=j i a
a w i ij ij
ij
由于该矩阵已经归一化处理，则必定为一致阵，15max =λ
且所有的0)2(,0)2(,0)2(===CR RI CI 下表为k w 对应的特征向量：
将得到的目标层对准则层的特征向量1w 与准则层对方案层的特征向量2w 进行层次总排序，即进行21w w w ?=，得到的特征向量就是15人对应于目标层的权重。总的一致性指标为0)2()1(=?=CI CI CI ，总的一致性比率为：
0)2()1(=+=CR CR CR 通过一致性检验。
根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S2, S1, S14, S8, S11, S4, S10, S6, S13。5.2.3最佳组队原则对队员分组
先按笔试的加权成绩：
QBS（Si）…………学生Si的笔试加权成绩
BS（Si）…………学生Si的笔试成绩
C1（Si）…………表示学生Si的笔试权重
C
(Si
Si
)
QBS=
Si
BS
(
)
(
1
*
)
由学生的加权笔试成绩QBS（Si）选出前三位分别是：S1，S2,S6
再剩下的六位同学按机试的加权成绩：
QJS（Si）…………学生Si的机试加权成绩
JS（Si）…………学生是Si的机试成绩
C2（Si）…………学生Si的机试权重
Si
C
JS
QJS=
(Si
Si
)
2
(
*
)
(
)
再剩下的六位同学中由加权机试成绩QJS （Si ）选出前三位分别是：S13，S11,S4 剩余的三位同学按照特征向量排列：S14,S8，S10 再将三组数列成下列矩阵
10
814108144111341113621621S S S S S S S S S S S S S S S S S S 再取斜线的三人为一组:
第一组：S1,S11,S4 第二组：S2，S4，S14 第三组: S6,S13,S8
5.3问题三的求解 通过对第二问结果的分析，我们知道学生的编程能力和和必要的数学软件使用熟悉程度指标占了七项考察指标总权重指数的24.9%，在六项指标中位居第二，由此我们可以看出参赛队员的编程能力在整个数学建模竞赛中过程中还是相对比较重要的，它所占的权重可在一定程度上反映一个数学建模参赛队员成功（获奖）的概率。实际上，在整个数学建模竞赛活动的过程中，可以涉及许多人为或非人为的因素，也会涉及到参赛队员自身的很多方面的素质，也许有些素质单独就个人而言，对自己成功与否的影响不是很明显，但是，参加数学建模竞赛是一个团队三个人的相互协作和共同努力的过程，这就需要每个参赛队员在保证能够独立发挥出自己最高真实水平的同时，不影响队员之间的协作和交流，并且还希望能够挖掘出某些队员本人自己不能完成而通过队员的个人素质及相关特殊情况的互补合作后能够实现的团队合作潜能，这样，才能保证一个队在数学建模竞赛中获得更多成功的可能机会。然而，相比涉及在数学建模活动中需要充分考虑到的所有影响因素的权重总和来说，编程仅仅是其中的一个小环节，它仅占总权重的1/4不到，显然，一个人的编程能力强不能代表他就能在数学建模竞赛中表现优秀。
建模是一个综合实践的过程，它需要考虑到很多因素也能反映出很多因素。因此，针对本问题中老师仅凭一个同学的编程能力强就直接录用该学生，而不再考察他的其它方面的素质，比如影响该学生数学建模能力最大的数学基础知识和数学建模知识（占总体影响权重的37.9%），以及写作能力（16%）、思维敏捷度（10.2%）、听课情况（6.55%）、其它情况（4.3%）等关键素质。我们通过对问题一和问题二的建模和求解结果进行综合分析，认为老师的这种做法是不合理的。
本文中机试成绩最好的两位同学S11和S13（即编程能力相对较强）,其排名分别为第五名和第九名，可知其只是成绩中上的，所以直接录用并不可行。而且凭某一方面的特产就直接录用某人，对其它同学也是很不公平的。
5.4问题四的求解
对数学建模队员选拔机制建议综合报告
开展大学生数学建模竞赛，不仅有助予大学生创新性思维、动手实践能力以及团队精神的培养、有助于学生知识结构的完善，甚至有助于综合性大学的转型。而参加数学建模竞赛得学生不仅需要具有较强的搜集信息、资料和数据的能力而且要善于抽象分析问题，抓住问题主要矛盾，选取合适的变量，并对其进行归纳、联想、类比等；需要学生具有较强的观察力和想象力，同时还必须有很强的计算
机运用能力，因而数学建模能够培养学生多方面的素质和能力。 数学建模竞赛队员选拔是让所有建模老师头疼的一件事。也是让很多有能力但又落选的学生痛心的一件事。这里没有绝对公平的选拔方式，只能说按照比较公平的方式在进行。我们组认为在队员选拔过程中最主要是首先要完成对优秀个人的选拔，然后对以进选的参赛选手进行科学合理组队，以使得团队的整体实力最大化。
以下是我们对建模队员选拔方案的建议。希望对队员的选拔机制将会有一定的作用。
一、优秀个人的选拔
对个人的选拔我们认为，数学知识基础、数学建模知识、计算机编程能力、语言表达能力和写作能力、团队合作精神、思维敏捷活跃程度、对数学建模的兴趣及悟性、是否有持之以恒的耐性等方面非常重要，这些要素是我们对一个人参加数学建模竞赛的个人综合实力选拔过程中一个基本准则，我们通过对数学知识基础、数学建模知识、计算机编程能力、语言表达能力和写作能力、团队合作精神、思维敏捷活跃程度、对数学建模的兴趣及悟性、是否有持之以恒的耐性赋予相对于的权重，对个人综合实力进行评定。
由此我们可以得到权向量：
T w )07.008.01.01.015.02.015.015.0(0、、、、、、、
选拔统计的学生在各素质具体的情况，然后再将统计情况具体量化，根据这些素质在建模过程中的权重计算出综合水平较高的优秀参赛队员。
二、科学合理组队
在选好优秀的个人后，科学的合理的组队也是取得好成绩的一个重要环节，我们可以通过在问题二的处理方式层次分析法进行处理。先考虑整体综合水平的均衡，并对知识结构进行相应的调整。我们考虑综合组队，让整体综合水平较高，且有较良好的知识结构体系。
三、培训过程中的建议
加强交流与合作，拓宽沟通渠道，根据不同的沟通渠道。可划分为学生之间以及师生之间的交流与合作。，加强学生之间的交流。可以考虑定期召开学生学习心得交流活动。集体讨论、分析、解决学习过程中遇到的问题。分享和总结学习经验和教训。
统筹兼顾，建立科学的考核体系，完整参赛选手的信息，以便更好的选拔队员。提高学生的学习积极性。适宜采用多目标的考核指标，把考试与教学过程结合起来，综合评定成绩。一方面考查学生对基础知识的理解及掌握程度，另一方面考查学生的应用能力和动手能力。学生的平均考核成绩与学生对教师的综合评定成绩。两者加权平均(例如比重为6：4)便得到教师的教学考核成绩。将教学考核成绩，纳入教师的各项评定工作，这样既科学地考核了教师的教学工作，又能督促教师不断改革和提高教学方法。
希望这样的选拔机制在对于选拔和组合队员时，从实际出发，以达到既能使每个学生发挥自己的极限水平，又使得整体的综合水平最高！
六、模型的评价与推广
1、模型的优点：
运用了层次分析法，可以很好地解决多因素的决策问题，它能将主观的模糊因素量化来客观反映考察对象的实际情况，对各队员的选拔具有了较高的公平性。在考虑组队的思想上还是加入了权重，建立了刻画各队竞赛技术水平的指标函数，形象的说明了各队的优劣状况。而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，只是在剩余的队员中找最佳组，让问题很明了，思路很清晰，也达到了问题的求解。
2、模型的缺点：
对于问题三上，没有提出一个更好的办法与思想来求解，我们的解法在一定程度上还是不够精确，存在偏差。应该在问题三模型一与二上找到一定的算法，让问题更具有说服力。
3.模型的推广：
本文构造出的层次分析法模型，能使数学建模的队员选拔过程更加客观、准确、系统、有效。该模型还可以应用到类似的选拔决策工作中，应结合各体系的实际情况，尽量选取科学合理的指标及其权数。
在日常生活中经常会遇到各式各样的选拔，比如足球队员的选拔，三好学生的选拔等等，都可以用本模型。类似地还可以推广到人们对于较复杂，较模糊问题的决策上，比如物种的保留，基因的研究，人才的录用，成绩的评定等。在一些科研、教育领域，都可以运用本模型。
七、参考文献
[1].肖利《层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用》,：科技风
期刊，2007，56-60。
[2].启源，《数学模型》（第三版），：高等教育，2003。
[3].中庚，最佳组队方案及模型，数学的实践与认识，1997，27（2）：133-144。
八、附录
2.matlab程序
Clear all
Close all
clc
a=[1 2 3 4 5 6
1/2 1 2 3 4 5
1/3 1/2 1 2 3 4
1/4 1/3 1/2 1 2 3
1/5 1/4 1/3 1/2 1 2
1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 ]; n=6;
%第一步：每一列向量标准化
for i=1:n
for j=1:n
x=0;
for k=1:n
x=x+(a(k,j));
end
b(i,j)=a(i,j)/x;
end
end
b;
%第二步：按行相加
for i=1:n
y=0;
for j=1:n
y=y+b(i,j);
end
c(i,1)=y;
end
c;
%第三步：得到特征向量
for i=1:n
w(i,1)=c(i)/sum(c);
end
w
%第四步：求AW
AW=a*w;
%第五步：计算最大特征值
r=0;
for i=1:n
r=r+1/n*AW(i)/w(i); end
r
%计算一致性指标CI
CI=(r-n)/(n-1)
%计算随机性指标RI
if (n==6)
RI=1.24;
end
RI
%计算一致性检验CR
CR=CI/RI
第四讲层次分析法 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。 比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 一、建立系统的递阶层次结构 首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。一个决策系统大体可以分成三个层次： （1） 最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果； （2） 中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则； （3） 最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。 比如旅游景点问题，我们可以得到下面的决策系统： 目标层——选择一个旅游景点 准则层——旅游费用、景色、居住、饮食、交通 方案层——宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山、楠溪江 二、构造成对比较判断矩阵和正互反矩阵 在确定了比较准则以及备选的方案后，需要比较若干个因素对同一目标的影响，从额确定它们在目标中占的比重。如旅游问题中，五个准则对于不同决策者在进行决策是肯定会有不同的重要程度，而不同的方案在相同的准则上也有不同的适合程度表现。层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的
定性研究数据采集 定量研究往往具有足够样本量支持，丰富的统计分析技术，可以得出具有一定代表性的结论，但对于某个问题消费者为何如此回答，其所给解释是否是其真实想法，这样的问题便显得有些束手无策了。相对而言，定性技术对数理性的要求低一些，但对消费者动机的深层挖掘要求却更高，更具针对性，因而 与定量研究形成互补。 常规定性研究的方法主要是个别深度访谈与座谈会访谈。其中深度访谈是深层次地挖掘个体的表现特征与背后的原因，而座谈会是利用几个人一起进行头脑风暴（brainstorming）的优势，相互激发、相互启迪， 从而挖掘出深层次的原因。 座谈会（FDG） 座谈会的成功依赖于两个系统，一个是主持人培训系统，一个是被访者约访系统。华通现代建立起专职主持人与研究员水平主持人两个体系。一方面保持几个专职主持人，以利于他们不断提高公司在座谈会主持方面的技术水平，适应一些难度非常大的主持项目；另一方面又更鼓励一部分研究人员掌握主持技巧， 完成常规项目中必须的座谈会需求。 专职主持人的特点是主持技巧水平较高，缺点是研究设计、分析能力弱。必须要研究人员与主持人的高度配合才能够拿出高水平的研究报告。研究员水平的主持人对于一些特别复杂的技巧没有专职主持人那么强，但由于自己完全参与项目设计、数据分析、报告撰写等过程，容易对消费者有特别深入的理解、对数据的理解也会有独到的方面，比较容易出好的研究报告。 深层访谈（In-depth Interview） 深访是一种无结构的、直接的、一对一的访问，在访问过程中，由掌握高级访谈技巧的调查员对调查对象进行深入的访谈，用以揭示对某一问题的潜在动机、态度和情感，此方法最适合于做探测性调查。深层访谈的优点是更能深入地了解被调查者的内心想法和态度；便于对一些保密性、敏感性问题进行调查；能够自由地交换信息，常常会取得一些意外的资料。缺点是调查的无结构性使得这种方法首调查员自身素
层次分析法 层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。 缺点： （1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。 （2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。 （5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。 1.模型的应用 用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。 （1）公司选拔人员， （2）旅游地点的选取， （3）产品的购买等， （4）船舶投资决策问题（下载文档）， （5）煤矿安全研究， （6）城市灾害应急能力， （7）油库安全性评价， （8）交通安全评价等。 2.步骤 ①建立层次结构模型 首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层 准则层 方案层 目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。 准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。 方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。 注意： （1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系； （2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。 ②构造判断（成对比较）矩阵 以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比 a重要程度的衡量用Santy的1—9较。得到判断矩阵，再求出各元素的权重。 ij 标度方法给出。即
层次分析法在数学建模中的应用 摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是 一个共同的特点是它们通常都涉及到经济 、社会、 人文等方面的因素。在作比较、 判断 、 评价、 决策时，这些因素的重要性 影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起 着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提出 了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结 合的、系统化、层次化的分析方法。以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模 型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。 关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率 一． 问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。 然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty 等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP ），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 二． 层次分析法的基本步骤 1.将决策问题分解为三个层次。最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。 2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。 3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。 三． 构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。 1.成对比较矩阵和权向量 所有因素两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互对比的困难，提高准确度。 假设要比较某一层n 个因素对12,n c c c 上层一个因素O 的影响，每次取两个
基于层次分析法研究云南烟草品牌竞争力 摘要 与国外知名烟草品牌相比，国内的烟草品牌存在着品牌集中度不够，品牌多、杂、散、小；品牌定位模糊，市场占有率低；品牌形象乱，品牌美誉度低，消费者购买行为习惯化导致忠诚度差等问题，因此，本文采用层次分析法对在中国烟草行业中有着举足轻重地位的云南省烟草品牌竞争力进行了评价研究，分析云南烟草业品牌现状，提出品牌竞争力的影响因素，对提高云南烟草业的品牌竞争力、解决烟草业存在的问题提供一定的帮助。 关键词：烟草品牌云南烟草品牌竞争力层次分析法 一、问题重述 近年来，我国一直推进实施卷烟工业的整合重组、卷烟品牌的淘汰和优化。但是，由于之前的卷烟品牌众多；截止到 2009 年底我国的烟草企业有 30 家，卷烟品牌 138 个，所以目前我国烟草企业之间的竞争非常激烈，行业内有众多势均力敌的竞争对手。当今卷烟产品差异化日渐缩小，消费者购买时会更看重品牌价值和品牌文化，使烟草行业内部面临着激烈的竞争,以具有代表性的云烟为实证，分析云南烟草企业的品牌竞争力及影响品牌竞争力的主要因素，并提出提高云烟品牌竞争力的对策建议。
二、问题分析 （1）云南卷烟近年情况分析 图1为云产卷烟在全国各地区的销量情况，有颜色部分为云南卷烟销量均超过15.58万箱，在全国卷烟销售中占有很大份额。2008 年卷烟品牌为16个，比2003年的36个减少了 20个。作为全国卷烟产销量最大的省份，2009 年云南的产销量达到 3667.9 亿支。在卷烟产量增幅较小的情况下，2008 年云南烟草工业税利为 577 亿元，比2003 年的 330 亿元增加了 247 亿元。因此，分析云南卷烟品牌竞争力有助于对云南卷烟品牌做出适当的规划调整，很大程度上能够促进云南经济的发展。（数据为云南中烟系统中2015年 云产卷烟销量数据） 图1
数学建模期末作业谈层次分析法在就业中 的应用
谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ? ??? ?=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /...... 2/1//2........3/22/21/2/1........3/12/11/1M M M M 通过Matlab 等数学工具，得到特征向量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--= n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标RI 。 平均随机一致性指标RI 数值
-167- 第八章 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如图1的层次结构模型。 图1 层次结构模型
层次分析法 一、分析模型和一般步骤 二、建立层次结构模型 三、构造成对比较矩阵 四、作一致性检验 五、层次总排序及决策 一. 层次分析模型和一般步骤 层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。 层次分析的四个基本步骤： （1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构； （2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵； （3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性； （4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重； 计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。 二. 建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 〔例1〕购物模型 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
例2〕选拔干部模型 对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型 例3〕评选优秀学校 某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）
假期旅游问题 现有三个目的地可供选择（方案）：风光绮丽的杭州（）,迷人的北戴河（）,山水甲 天下的桂林（）。有5个行动方案准则：景色、费用、居住、饮食、旅途情况。 目标层 准则层 方案层 选择旅游地的层次结构 1-9的标度方法 1-9的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们 总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，1-9级的标度是适用的。其次，心理学的实验表 明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在5-9级之间，采用1-9的 标度反映多数人的判断能力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于1 -9的标度。 选择旅游地 J景费居饮旅 色用住食途 C2 C 3 C4 C5 C1 G 『1 1/2 4 3 3、 C2 2 1 7 5 5 A = C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 C4 1/3 1/5 2 1 1 C5 订/3 1/5 3 1 1」
相对于旅途 R P 2 F 3 P 「1 1 1/4、 B 5 =R 2 1 1 1/4 讥4 4 1」 程序： A=[1 1/2 4 3 3; 2 1 7 5 5; 1/4 1/7 1 1/2 1/3; 1/3 1/5 2 1 1; 1/3 1/5 3 1 1]; [x,y]=eig(A); eige nvalue=diag(y); m=max(eige nvalue); lamda=m n=fin d(m==eige nvalue); y_lamda=x(:,n); s=sum(y_lamda); W2=y_lamda./s B1=[ 1 2 5; 1/2 1 2; 相对于景色 P P 2 R P 1 f 1 2 5 B 1 =P 2 1/2 1 2 P 3 <1/5 1/2 '1 相对于费用 R P 2 P 3 R (1 1/3 1/8 B 2 =F2 3 1 1/3 叭 3 '1 ; B 3 R 『1 3 4 、 B 4 =P 2 1/3 11 F 3 '^1/4 1 '1』
谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ?????=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /......2/1//2........3/22/21/2/1........3/12 /11/1 通 过 Matlab 等 数 学 工 具 ， 得 到 特 征 向 量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--=n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标 RI 。 平均随机一致性指标RI 数值 通过比较，最后得出一致性检验通过。 关键词：大学生择业, 层次分析法，适用性。
层次分析法 层次分析法就是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序,比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。 缺点: (1)层次分析法的主观性太强,模型的搭建,判断矩阵的输入都就是决策者的主观判断,往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。 (2)层次分析法模型的内部结构太过理想化,完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。 (5)层次分析法只能从给定的决策方案中去选择,而不能给出新的、更优的策略。 1、模型的应用 用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。 (1)公司选拔人员, (2)旅游地点的选取, (3)产品的购买等, (4)船舶投资决策问题(下载文档), (5)煤矿安全研究, (6)城市灾害应急能力, (7)油库安全性评价, (8)交通安全评价等。 2、步骤 ①建立层次结构模型 首先明确决策目标,再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型,模型如下图所示。
准则层 目标层 方案层 目标层:表示解决问题的目的,即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。 准则层:表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。 方案层:表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。 注意: (1)任一元素属于且仅属于一个层次;任一元素仅受相邻的上层元素的支配,并不就是任一元素与下层元素都有联系; (2)虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制,但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。这就是因为,心理学研究表明,只有一组事物在 9 个以内,普通人对其属性进行判别时才较为清楚。当同一层次元素数多于 9 个时,决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大,此时可以通过增加层数,来减少同一层的元素数。 ②构造判断(成对比较)矩阵 以任意一个上一层的元素为准则,对其支配的下层各因素之间进行两两比较。得到判断矩阵,再求出各元素的权重。ij a 重要程度的衡量用Santy 的1—9标度方法给出。即 设各元素C 1,C 2,… , C n 对目标O 两两比较后的重要性 ,(),ij i j ij n n a C A a ?==0,1ij ji ij a a a >=,则得到比较矩阵
用层次分析法评选优秀学生 一．实验目的 运用层次分析法，建立指标评价体系，得到学生的层次结构模型，然后构造判断矩阵，求得各项子指标的权重，最后给出大学生综合评价得分计算公式并进行实证分析，为优秀大学生的评选提出客观公正，科学合理的评价方法。 二．实验内容 4.用层次分析法解决一两个实际问题； （1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。 解：层次分析发法基本步骤：建立一套客观公正、科学合理的素质评价体系，对于优秀大学生的评选是至关重要的。在此我们运用层次分析法(AHP)，以德、智、体三个方面作为大学生综合评价的一级评价指标，每个指标给出相应的二级子指标以及三级指标，然后构造判断矩阵，得到各个子指标的权重，结合现行的大学生评分准则，算出各项子指标的得分，将这些得分进行加权求和得到大学生综合评价得分，根据分配名额按总分排序即可选出优秀大学生。大学生各项素质的指标体系。如下表所示：
符号说明 设评价指标共有n 个，为1x ,2x ..... n x 。它们对最高层的权系数分别为1w ,2w , ... n w , 于是建立综合评价模型为： = y ∑=n i i i x w 1 解决此类问题关键就是确定权系数，层次分析法给出了确定它们的量化过程，其步骤具体如下： 确定评价指标集 P=（1P ，2P ，3 P ) 1P =（11P ，12P ） 2P =（21P ，22P ） 2P =（31P ，32P ）
11P =（1x ，2x ） 12P =（3x ，4x ） 21P =（5x ，6x ，7x ） 22P =（8x ，9x ，10x ） 31P =（11x ，12x ） 31P =（13x ，14x ） 建立两两比较的逆对称判断矩阵 从1x ,2x .....n x 中任取i x 与 j x ，令 =ij a i x /j x ，比较它们对上一层某个因素的重要性时。 若=ij a 1，认为 i x 与 j x 对上一层因素的重要性相同； 若=ij a =3，认为i x 比 j x 对上一层因素的重要性略大； 若=ij a 5，认为i x 比j x 对上一层因素的重要性大； 若=ij a 7，认为i x 比 j x 对上一层因素的重要性大很多； 若=ij a 9，认为 i x 对上一层因素的重要性远远大于 j x ； 若 = ij a 2n ，n=1,2,3,4，元素 i x 与 j x 的重要性介于 = ij a 2n ? 1与 = ij a 2n + 1之间； 用已知所有的 i x /j x ，i ，j =1,2 ... n ，建立n 阶方阵P=n m j i x x ?) /（，矩阵P 的第i 行与 第j 列元素为i x /j x ，而矩阵P 的第j 行与第i 列元素为j x /i x ，它们是互为倒数的，而对 角线元素是1。 判断矩阵 ???? ???????? =11/51/4P 51341/31P P P 321 321P P P 0858.3max =λ 0740.0CI = 0359.6max =λ 0758.0=CI max λ=6.2255 CI =0.0364 max λ=6.0359 CI =0.0758 max λ=15.1382 CI =0.0558 max λ=14.2080 CI =0.0102 max λ=14.3564 CI =0.0175 max λ=15.1972 CI =0.0758 max λ=14.1043 CI =0.0051 max λ=14.2017 CI =0.0099 利用加法迭代计算权重 即取判断矩阵ne 个列向量的归一化的算术平均值近似作为权重向量
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲0616 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 8 月20 日
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
对学生建模论文的综合评价分析 摘要 本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。最后,依据所得权重大小对论文排序。 针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。依据数学建模竞赛论文评分基本原则，首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。最后，结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。 针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。在用模糊综合评判方法时，确定评估数据（评判矩阵）和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时，我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重；对于评判矩阵，我们通过对五篇论文进行评阅打分（用平均分数作为每项得分），用每一项得分占五篇论文该项得分的比重（商值法），建立评价矩阵。 最终，我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4，论文2，论文1，论文5，论文3。并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。 关键词：层次分析法；模糊综合评判；统计分析：matlab编程；论文评价
数学建模5-（离散模型）层次分析法 层次分析法的基本步骤如下： 层次结构分析模型实例：（选择旅游地） 每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）
由成对比较阵求权向量的特征根法： （原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n 一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。 若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。 （实现方法）——和法 例子： 一致性检验： 一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重） 随机一致性指标：
一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。 组合权向量的计算 组合一致性检验： 关于层次分析法的一些问题： 1.不完全层次结构中组合权向量的计算： 例：
如何得到合理结果？ 用支配因素的数量对权向量进行加权修正 2.成对比较阵残缺时的处理： 设Θ表示残缺； 3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层 次自上而下，逐层传递的支配关系） 对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。 附：层次分析法的简单MATLAB实现 clc; clear; A=[1 1.2 1.5 1.5; 0.833 1 1.2 1.2; 0.667 0.833 1 1.2; 0.667 0.833 0.833 1]; %因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A [m,n]=size(A); %获取指标个数 RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; R=rank(A); %求判断矩阵的秩 [V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量； tz=max(D); B=max(tz); %最大特征值 [row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置 C=V(:,col); %对应特征向量 CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CI CR=CI/RI(1,n); if CR<0.10 disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：'); Q=zeros(n,1); for i=1:n Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化 end end Q
数学建模层次分析法Document number : WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
实验报告 实验报告课程名称：数学模型与实验 课题名称：层次分析法 专业：信息与计算科学姓名：班级： 完成日期：2016年6月22日姓名评分
实验报告 一、实验名称 层次分析法 二、实验目的 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。 在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就n个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异 层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。 三、实验原理 运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤： 1?建立问题的递阶层次结构； (1)将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案
层，中间是准则 层或指标层； (2)通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重； (3)将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重匚 2.构造成对比较矩阵； 3?层次单排序及一致性检验； 判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1)计算一致性指标.: (2)查找平均随机一致性指标.； (3)计算一致性比例.: 当.V时.一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 4?层次总排序及其一致性检验。 当CR＜时，认为层次总排序通过一致性检验。到此’根据最下层(决策层)的层次总排序做出最后决策。 —、旅游问题 (1)建模
课程设计报告书 题目谈层次分析法在就业中的应用 系数理信息学院专业数学081 班学生孙徐炜余再星马燕燕 指导教师胡金杰 日期2011年7月15日
谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ? ????=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /......2/1//2........3/22/21/2/1........3/12 /11/1M M M M 通 过 Matlab 等 数 学 工 具 ， 得 到 特 征 向 量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--=n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标 RI 。 平均随机一致性指标RI 数值 通过比较，最后得出一致性检验通过。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。 聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（ 指标）。 系统聚类方法步骤： 计算n个样本两两之间的距离 构成n个类，每类只包含一个样品 合并距离最近的两类为一个新类 计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转3 画聚类图 决定类的个数和类。 判别分析：在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。 距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离） Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别 Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体
数学建模期末作业题目：根据层次分析法选择旅游目的地
、问题提出 假设有杭州、成都、北京、桂林、西安、重庆、武汉、青岛、三亚、厦门、上海、天津、广州、苏州、南京、深圳、洛阳、大连、内蒙古、拉萨共20 个地方供你选择，你会根据景色、费用、居住、饮食、旅游等一些条件，去选择一个城市旅游。根据层次分析法，如何选择？ 二、层次分析法基本简介 层次分析法(The analytic hierarchy process) 简称AHP ，在20 世纪70 年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T.L.Saaty) 正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70 年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时， 应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方
法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W ，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
数学建模实验报告 一、实验要求 柴静的纪录片《穹顶之下》从独立媒体人的角度调查了席卷全国多个省份的雾霾的成因，提出解决的方法有：关停重污染的钢铁厂、提高汽柴油品质、淘汰排放不达标汽车、提高洗煤率等，请仔细观看该纪录片，根据雾霾的成因，选择你认为治理雾霾确实可行的几个方案，并用AHP方法给出这几个主要方案的重要性排序。 二、前期准备 1、理解层次分析法（AHP）的原理、作用，掌握其使用方法。 2、观看两遍柴静所拍摄的纪录片《穹顶之下》，选出我认为可较为有效地治理雾霾的几个 方法，初步确定各方法的有效性（即权重）。 3、初步拟定三个方案，每个方案中各个治理方法的权重不同。 三、思路&分析 1、根据纪录片《穹顶之下》和个人的经验判断给出各个记录雾霾的方法对于治理雾霾的 判断矩阵，以及三个不同方案对于五大措施的判断矩阵。 2、了解了AHP的原理后，不难发现MATLAB在其中的作用主要是将判断矩阵转化为因素 的权重矩阵。当然矩阵要通过一致性检验，得到的权重才足够可靠。 3、分别得到准则层对目标层、方案层对准则层的权重之后，进行层次总排序及一致性检 验。得到组合权向量（方案层对目标层）即可确定适用方案。 四、实验过程 1、确定层次结构
2、构造判断矩阵 （1）五大措施对于治理雾霾（准则层对目标层）的判断矩阵 （2）三个方案对于五大措施（方案层对准则层）的判断矩阵
3、层次单排序及一致性检验 该部分在MATLAB中实现，每次进行一致性检验和权向量计算时，步骤相同，输入、输出参数一致。（虽然输入的矩阵阶数可能不同，但可以不把矩阵阶数作为参数输入，而通过[n,n]=size（A）来算得阶数。）因此考虑将这个部分定义为一个函数judge,输入一个矩阵A,打印一致性检验结果和权向量计算结果，并返回权向量、一致性指标CI、平均随机一致性指标RI。将此脚本存为judge.m，在另一脚本ahp.m中调用。 代码如下：
-96- 第八章 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层O 选择旅游地 准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途 措施层P 1P 2P 3P