2019-2020整式找规律专题（含答案）
一、解答题
1．你会求(a?1)(a2018+a2017+a2016+???+a2+a+1)的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
(a?1)(a+1)=a2?1
(a?1)(a2+a+1)=a3?1
(a?1)(a3+a2+a+1)=a4?1
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到(a?1)(a2018+a2017+a2016+???+a2+a+1)=________ 利用上面的结论，求
（2）22018+22017+22016+???+22+2+1的值；
（3）求52018+52017+52016+???+52+4的值.
2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
⑴第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；
⑵第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)
⑶若f(n)=2n?1（如f(?2)=2×(?2)?1，f(3)=2×3?1），求
2017的值．
⑷请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由?
3．观察下列算式：
;;;2121262323123434
==-==-==-???…… （1）通过观察，你得到什么结论？用含n （n 为正整数）的等式表示：________． （2）利用你得出的结论，计算：
(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)
a a a a a a a a +++--------
4．观察以下等式：
第1个等式：11212+
+?=， 第2个等式：
12323++?=， 第3个等式：
13434
++?=， 第4个等式：
14545++?=， 第5个等式：
15656
++?=， ……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.
5．先观察：1﹣12
=1
2
×32
，1﹣13
=2
3
×43
，1﹣14
=3
4
×54
，…
（1）探究规律填空：1﹣1
n2
= ×；
（2）计算：（1﹣1
22）?（1﹣1
32
）?（1﹣1
42
）…（1﹣1
20152
）
6．我们知道13=1=1
4×12×22，13+23=9=1
4
×22×32，13+23+33=36=1
4
×32×42，13+
23+33+43=100=1
4
×42×52……
(1)猜想：13+23+33+…+(n－1) 3+n3=1
4
×( ) 2×( ) 2．
(2)计算：①13+23+33+…+993+1003；
②23+43+63+…+983+1003．
7．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
(2)它的第100个数是多少？
(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
8．已知x1，x2，x3，…x2016都是不等于0的有理数，若y
y1的值．
当x1＞0时，y
；当x1＜0时，y
﹣1，所以y1=±1
（1）若y
12
y2的值
（2）若y
y3的值为；
（3）由以上探究猜想，
y 共有个不同的值，在y2016这些不同的
值中，最大的值和最小的值的差等于
．
9．（1）填空：
（a?b)(a+b）=______ ；
（a?b)(a2+ab+b2）= ______ ；
（a?b)(a3+a2b+ab2+b3）= ______ ；
（2）猜想：
（a-b）（a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1）= ______ （其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：
①29+28+27+…+22+2+1
②210-29+28-…-23+22-2．
10．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题：
例：求122222
++++++的值.
解：令S122222
++++++，
则2S222222
++++++，
所以2S﹣S21
-，即21
-
-
122222
++++++21
仿照以上推理过程，计算下列式子的值：
-+-+-++ 155555
++++++1333333 11．如图所示，用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．
（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？12．观察下列三行数：
0，3， 8，15，24, …
2，5，10，17，26，…
0，6，16，30，48，…
（1）第行数按什么规律排列的，请写出来？
（2）第、行数与第行数分别对比有什么关系？）
（3）取每行的第个数，求这三个数的和
13．观察下列各式：
(x?1)(x+1)=x2?1
(x?1)(x2+x+1)=x3?1
(x?1)(x3+x2+x+1)=x4?1……
由上面的规律：
（1）求25+24+23+22+2+1的值；
（2）求22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字．
（3）你能用其它方法求出1
2+1
22
+1
23
+?+1
22010
+1
22011
的值吗？
14．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．
15．观察下列等式：
第1个等式：
1
(1) 1323
a==-
?
第2个等式：
2
() 35235
a==-
?
第3等式：
3
() 57257
a==-
?
第4个等式：
4
() 79279
a==-
?
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：a5＝＝．
（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值．
16．这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行。”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了,结果国王输了．（1）我们知道,国际象棋共有64个格子,则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少?（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?为解决这个问题,我们先来看下面的解题过程：
用分数表示无限循环小数：．
解：设①．等式两边同时乘以10,得②．
将②-①得：则
2
9
x=，∴．
请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）．17．观察下列等式：
第一个等式：a1=2
1+3×2+2×22=1
2+1
?1
22+1
第二个等式：a2=22
1+3×22+2×(22)2=1
22+1
?1
23+1
第三个等式：a3=23
1+3×23+2×(23)2=1
23+1
?1
24+1
第四个等式：a4=24
1+3×24+2×(24)2=1
24+1
?1
25+1
按上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第六个等式：a6=______=______；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n=______=______；
(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6=______(得出最简结果)；
(4)计算：a1+a2+?+a n．
18．我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数.通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：表一表二
（1）仔细观察，表一中a 为大于1的奇数，此时b 、c 的数量关系是_____________， a 、b 、c 之间的数量关系是_________________________；
（2）仔细观察，表二中a 为大于4的偶数，此时b 、c 的数量关系是_____________， a 、b 、c 之间的数量关系是_________________________；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC 中，当a 5=
，b 5
=时，斜边c 的值. 19．观察以下一系列等式：①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21； ③23
﹣22
=8﹣4=22
；④_____：…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：_____；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n 的式子表示第n 个等式：_____； （3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+ (2100)
20．观察下列有规律的数：
2，6，12，20，30，42
…根据规律可知 1第7个数是________，第n 个数是________（n 为正整数）
； ()
2132
是第________个数； 3计算 (261220304220162017)
++
+++++?．
21．观察下列算式，你发现了什么规律？
12=
6；12+22=
6
；12+22+32 =
6
；12+22 +32 + 42 =
6
；…
(1)根据你发现的规律，计算下面算式的值；1238
+++=________；
(2)请用一个含n的算式表示这个规律：123n
+++=_________
22．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④_____________；⑤_____________；….
(2)通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式．
23．把2100个连续的正整数1、2、3、……、2100，按如图方式排列成一个数表，如图用一个正方形框在表中任意框住4个数，设左上角的数为x．
（1）另外三个数用含x的式子表示出来，从小到大排列是___________
（2）被框住4个数的和为416时，x值为多少？
（3）能否框住四个数和为324？若能，求出x值；若不能，说明理由
（4）从左到右，第1至第7列各数之和分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，请直接写出7个数中最大的数与最小的数之差．
24．观察下面的一组分式：b
a
，
2
b
a
-，
3
b
a
，
4
b
a
-，
5
b
a
…
（1）求第10个分式是多少？
（2）列出第n个分式．
25．一张长方形的桌子有6个座位，小刚和小丽分别用长方形桌子设计了一种摆放方式：
（1）小刚按方式一将桌子拼在一起如左图.3张桌子在一起共有______个座位，n张桌子拼在一起共有______个座位。
（2）小丽按方式二将桌子拼在一起如右图.3张桌子在一起共有______个座位，m张桌子拼在一起共有______个座位。
（3）某食堂有A、B两个餐厅，现有300张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子。将a张桌子放在A餐厅，按方式一每6张桌子拼成一张大桌子；将其余桌子都放在B餐厅，按照方式二每4张桌子拼成一张大桌子。若两个餐厅一共有1185个座位，A、B 两个餐厅各有多少个座位？
26．生活与数学
（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是；
（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别
是；
（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是号；
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数的关系是；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；
③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是．
27．我们常用的数是十进制数，如4657410610510710=?+?+?+?，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110121202=?+?+?等于十进制的数6，110101121202=?+?+?120212+?+?+?等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
28．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，如：
831=-，，……因此8、16、24这三个数都是奇特数.
(1)56是奇特数吗？为什么？
(2)2n 1+其中n 取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
29．如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．
（1）表示第9行的最后一个数是 ．
（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，第n 行共有 个数；第n 行各数之和是 ．
30．高斯函数x ，也称为取整函数，即x x . 例如： 2.92=，
1.52-=-.试探索：
（1）5-=_____,=_____； （2）2.7 2.3+= _____；
（3）201732017420175201762017720178111111111111??????????????????
+++++????????????????????????
_____.