一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -????=--????-??，233x ??
??=??
????
，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求
解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：
并估计误差。（10分）
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
1I dx x
=+?
。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
12325610413191963630x x x -??????
??????-=??????
??????----??????
（10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231
23202324
812231530
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? 的迭代格式，并判断
其是否收敛？（10分）
八．就初值问题0(0)y y
y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
《数值分析》（A ）卷标准答案
（2009－2010－1）
一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵 A ，从21i
ii ik
k a l ==
∑
可知对任意k ≤ i
有||ik l ≤ L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若()*
*x
x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分）
（2）()x ?必须满足下列三个条件，
才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点：
1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分）
2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分） 3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限ε，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< ε，计算，输出mk,uk ；否则，转6； 步6：若k （2）()()()()()()2 4311234! R x f x x x ξ= --- （2分） 四．解：应用梯形公式得()()11 012 I I f f ≈=+???? （2分） 0.75= （1分） 应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ???? ≈= ++ ??????? （2分） 0.69444444= （1分） 应用科特斯公式得： ()()41113703212327190424I I f f f f f ? ??? ?? ?? ≈= ++++ ? ? ??????????? （2分） 0.6931746= （2分） 五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0, )2 π 内有根。 （2分） 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n n n n x x x x n x +-=-=+ （4分） 取04 x π = 得， 12340.73936133;0.739085178 0.7390851330.739085133 x x x x ==== （3分） [][]1max ;k k r i i n v v ≤≤= 故取* 40.739085133x x ≈= （1分） 六．解：对系数矩阵做三角分解： 1112 1321222331323325610041319106361u u u l u u l l u -?????? ??????-=????????????---?????? （2分） 125621373414A LU -???? ????=-=???? ????-???? （4分） 若Ly b =，则12310,1,4y y y ==-=； （2分） 若Ux y =，则(3,2,1)T x =。 （2分） 七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 00.50.51010.50.50B -?? ??=--?????? （2分） 其特征多项式为()2 det() 1.25I B λλ λ -=+，且特征值为 1230,,λλλ=== （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -????=--????-?? （2分） 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 1. 证：该问题的精确解为0()x y x y e λ= （2分） 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ （2分） 对任意固定的i x x ih ==， 有/1/00(1)[(1)]i i x h x h i y y h y h λλλλ=+=+， （2分） 则0()i x i y e y x λ= （1分） 2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2, 66n n n x a x n x += + = （3分） 因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a x x ?'=+ 又*x =， （2分） 则 () 3 5 1 06 2 3 a ?' =+= ≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）
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