D 单元 数列
D1 数列的概念与简单表示法
17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *
)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n
＋1b n ＝0.
(1)令c n ＝a n b n
，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3
n －1
，求数列{a n }的前n 项和S n .
17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *
)，所以
a n ＋1
b n ＋1－a n
b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.
(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32
＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32
＋…
＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n
，
所以S n ＝(n －1)3n
＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．
17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.
(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.
若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；
{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明?
?????
a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜3
2
.
17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3?
?
???a n ＋12.
又a 1＋12＝32，所以?
?????a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3
n
2，因此数列{a n }的通项公
式为a n ＝3n
－1
2
.
(2)证明：由(1)知1a n ＝2
3n －1.
因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1
，
所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n
－1≤13
n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32? ?
???1－13n <32
.
所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32
.
22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2
n －2a n ＋2＋b (n ∈N *
)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．
(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n 成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2 ＋1. 从而{(a n －1)2 }是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N * )． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1. 可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则 a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N * )． (2)方法一：设f (x )＝（x －1）2 ＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2 ＋1－1，解得c ＝14 . 下面用数学归纳法证明命题 a 2n 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<1 4 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c ) 故c 综上，存在 c ＝14使a 2n 成立． 方法二：设f (x )＝（x －1）2 ＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N * )． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1. 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n )． ② 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1) 这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N * 成立． 由②得a 2n 2n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2 2n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <1 4 . ③ 又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1>a 2 2n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14 . ④ 综上，由②③④知存在c ＝14 使a 2n 成立． D2 等差数列及等差数列前n 项和 12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1. 12．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．8 [解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大． 3．[2014·福建卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×2 2d ＝12， 解得d ＝2， 则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12. 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2 ＝2(2＋4d )， 化简得d 2 －4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2. 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2 ＝2n 2 . 令2n 2>60n ＋800，即n 2 －30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N * . (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值； (2)若p ＝1 2 ，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1. 又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2 －p ＝0，解得p ＝13 或p ＝0. 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝1 3 . (2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 因为122n <1 2 2n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝? ?? ??122n －1＝（－1）2n 22n －1 .③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－? ?? ??122n ＝（－1）2n ＋122n .④ 由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1） n ＋1 2 n . 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1） n 2n －1 ＝1＋12·1－? ?? ??－12n －1 1＋12 ＝4 3 ＋13·（－1） n 2 n －1 . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n 2 n －1 . 8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 8．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋1 2a 1a n ＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1， 所得a 1d <0. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52 ， 因此d ＝－3. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13? ????110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13? ????17－110＋? ?? ??14－17＋…＋? ????110－3n －113－3n ＝13? ??? ?110－3n －110＝ n 10（10－3n ） . 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1. 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1) n －1 4n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1 2 ×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋ 4×3 2 ×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2 ＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －1 4n a n a n ＋1 ＝(－1)n －1 4n （2n －1）（2n ＋1） ＝(－1) n －1 ? ????12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时， T n ＝? ? ??? 1＋13－? ???? 13＋15＋…＋? ?1 2n －3＋ ???12n －1－? ?? ?? 12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1 ＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ???? 1＋13－? ????13＋15＋…－? ???? 1 2n －3＋12n －1＋? ?? ? ? 12n －1＋12n ＋1 ＝1＋1 2n ＋1 ＝2n ＋2 2n ＋1 . 所以T n ＝?????2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数. ? ?? ??或T n ＝2n ＋1＋（－1） n －1 2n ＋1 16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2 ＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1 2 ， 当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为1 2 . 11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________． 11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1－1)2 ＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12 . 22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2 n －2a n ＋2＋b (n ∈N * )． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式． (2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n 成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2 ＋1. 从而{(a n －1)2 }是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N * )． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1. 可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则 a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N * )． (2)方法一：设f (x )＝（x －1）2 ＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2 ＋1－1，解得c ＝14 . 下面用数学归纳法证明命题 a 2n 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<1 4 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c ) 故c 综上，存在 c ＝14 使a 2n 成立． 方法二：设f (x )＝（x －1）2 ＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N * )． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1. 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n )． ② 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1) 这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N * 成立． 由②得a 2n 2n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2 2n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <1 4 . ③ 又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1>a 2 2n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14 . ④ 综上，由②③④知存在c ＝14 使a 2n 成立． D3 等比数列及等比数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列 2．D [解析] 因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列． 12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1. 13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5 ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5 ， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5 ， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50 ＝50. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 10．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，? ????a 1q 3 ＝2， a 1q 4 ＝5，解得? ????a 1＝16125，q ＝52 ，所以a n ＝a 1q n －1 ＝16125×? ????52n －1＝2×? ?? ??52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2 －1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ? ?? ??4×52＝4. 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2 ＝2(2＋4d )， 化简得d 2 －4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2. 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2 ＝2n 2 . 令2n 2>60n ＋800，即n 2 －30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明? ????? a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜3 2 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以? ?????a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3 n 2，因此数列{a n }的通项公 式为a n ＝3n －1 2 . (2)证明：由(1)知1a n ＝2 3n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1 ， 所以13n －1≤12×3n －1 ，即1a n ＝23n －1≤13n －1 . 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32? ? ???1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1) n －1 4n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1 2 ×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋ 4×3 2 ×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2 ＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －1 4n a n a n ＋1 ＝(－1)n －1 4n （2n －1）（2n ＋1） ＝(－1) n －1 ? ?? ??12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时， T n ＝? ???? 1＋13－? ?? ??13＋15＋…＋? ?1 2n －3＋ ???12n －1－? ?? ?? 12n －1＋12n ＋1 ＝1－1 2n ＋1 ＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ???? 1＋13－? ????13＋15＋…－? ???? 1 2n －3＋12n －1 ＋? ?? ?? 12n －1＋12n ＋1 ＝1＋1 2n ＋1 ＝2n ＋2 2n ＋1 . 所以T n ＝?????2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数. ? ?? ??或T n ＝2n ＋1＋（－1） n －1 2n ＋1 16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2 ＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1 2 ， 当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为1 2 . 11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________． 11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1－1)2 ＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12 . 19．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1 ，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A . (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1 ，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n 19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22 ，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1 ，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1 ≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1 ＝ （q －1）（1－q n －1 ）1－q －q n －1 ＝－1<0， 所以s D4 数列求和 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N * )满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3 n －1 ，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N * )，所以 a n ＋1 b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32 ＋… ＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52 ， 因此d ＝－3. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13? ????110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13? ????17－110＋? ?? ??14－17＋…＋? ????110－3n －113－3n ＝13? ??? ?110－3n －110＝ n 10（10－3n ） . 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1) n －1 4n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1 2 ×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋ 4×3 2 ×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2 ＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －1 4n a n a n ＋1 ＝(－1)n －1 4n （2n －1）（2n ＋1） ＝(－1) n －1 ? ?? ??12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时， T n ＝? ???? 1＋13－? ?? ??13＋15＋…＋? ?1 2n －3＋ ???12n －1－? ?? ?? 12n －1＋12n ＋1 ＝1－1 2n ＋1 ＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ???? 1＋13－? ????13＋15＋…－? ???? 1 2n －3＋12n －1 ＋? ?? ?? 12n －1＋12n ＋1 ＝1＋1 2n ＋1 ＝2n ＋2 2n ＋1 . 所以T n ＝?????2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数. ? ?? ??或T n ＝ 2n ＋1＋（－1） n －1 2n ＋1 D5 单元综合 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N * . (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值； (2)若p ＝1 2 ，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2 ＋p ＋1. 又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2 －p ＝0，解得p ＝13 或p ＝0. 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝1 3 . (2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 因为122n <1 2 2n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝? ?? ??122n －1＝（－1）2n 22n －1 .③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－? ?? ??122n ＝（－1）2n ＋122n .④ 由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1） n ＋1 2 n . 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1 ＝1＋12·1－? ?? ??－12n －11＋12 ＝43 ＋13·（－1）n 2 n －1 . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1） n 2 n －1 . 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N * . (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1 p . 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下． ①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2 >1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2 >1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立． 综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1 p . ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1 p 成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时，不等式a k >c 1 p 成立． 由a n ＋1＝ p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N * . 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝ 1＋1p ? ?? ??c a k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ? ?? ??c a p k －1<0. 由(1)中的结论得? ????a k ＋1a k p ＝???? ??1＋1p ? ????c a p k －1p >1＋p · 1p ? ????c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p ， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1 p 也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1 p 均成立． 再由 a n ＋1a n ＝1＋1p ? ????c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p ，n ∈N * . 方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1 p ，则x p ≥c ， 所以f ′(x )＝ p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ? ?? ??1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1 p . ①当n ＝1时，由a 1>c 1p >0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1???? ??1＋1p ? ????c a 1－1c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1 p 成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )， 即有a k ＋1>a k ＋2>c 1 p ， 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1 p 均成立． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2 ＝2(2＋4d )， 化简得d 2 －4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2. 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2 ＝2n 2 . 令2n 2>60n ＋800，即n 2 －30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N * )满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3 n －1 ，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N * )，所以 a n ＋1 b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32 ＋… ＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明? ?????a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜3 2 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以? ?????a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3 n 2，因此数列{a n }的通项公 式为a n ＝3n －1 2 . (2)证明：由(1)知1a n ＝2 3n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1 ， 所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n －1≤13 n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32? ? ???1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32 . 19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N * )． (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2，求数列???? ??a n b n 的前n 项 和T n . 19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋ n （n －1） 2 d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－ 1ln 2 . 由题意有a 2－1ln 2＝2－1 ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n 2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2 n －1， 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝ 2n ＋1 －n －2 2 n . 所以，T n ＝ 2 n ＋1 －n －2 2 n . 19．[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N * )．若{a n }为等比数列，且a 1 ＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n . (2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N * )．记数列{c n }的前n 项和为S n . (i)求S n ； (ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n . 19．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8. 又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N * )． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2 ＝(2)n (n ＋1)． 故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N * )． (2)(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －? ?? ??1n －1n ＋1(n ∈N * )． 所以S n ＝1n ＋1－12 n (n ∈N * )． (ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）???? ??n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1 >0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25 <1， 所以，当n ≥5时，c n <0. 综上，若对任意n ∈N * 恒有S k ≥S n ，则k ＝4. 3．[2014·闽南四校期末] 若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1 3 ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝－2n －1 B ．a n ＝(－2)n －1 C ．a n ＝(－2)n D ．a n ＝－2n 3．B [解析] 由a n ＝S n －S n －1(n≥2)，得a n ＝23a n －23 a n －1.∴a n ＝－2a n －1.又a 1＝1，∴a n ＝(－2) n － 1(n≥2)．又a 1＝(－2)1－1＝1，∴a n ＝(－2)n －1. 6．[2014·南昌联考] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ a n a n ＋2(n ∈N * )．若b n ＋1＝(n －λ)? ?? ??1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A ．λ＜2 B ．λ＞3 C ．λ＞2 D ．λ＜3 6．A [解析] 易知1a n ＋1＝2a n ＋1，∴1a n ＋1＋1＝21 a n ＋1. 又a 1＝1，∴1a n ＋1＝1a 1 ＋12n －1＝2n ，∴b n ＋1＝(n －λ)2n ， ∴b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n －λ＋1)2n －1>0，∴n－λ＋1＞0.又n∈N * ，∴λ<2. 4．[2014·广州调研] 已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1 ，n ∈N * . (1)求证：数列???? ?? 1a n －1为等比数列． (2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由． 4．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋2 3 ， 所以1a n ＋1－1＝131a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝2 3， 所以数列 ???? ??1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． (2)由(1)知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3 n 3n ＋2 . 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件， 则有?????m ＋t ＝2s ，（a s －1）2 ＝（a m －1）（a t －1）. 由a n ＝3n 3n ＋2与(a s －1)2 ＝(a m －1)(a t －1)， 得3s 3s ＋2－12 ＝3m 3m ＋2－13t 3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s . 又3m ＋3t ≥2 3m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾， 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件． 2．[2014·景德镇质检] 已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12 (a 2 n ＋n )． (1)求a 1及数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝???? ?a n ＋1，n 为奇数，a n －1 ·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n . 2．解：(1)当n ＝1时，a 1＝12 (a 2 1＋1)，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12 (a 2 n －1＋n －1)， a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1 2 (a 2n ＋n )， 所以a n ＝12(a 2n －a 2 n －1＋1)， 即(a n －1)2－a 2 n －1＝0， 所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)． 又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n . (2)由c n ＝???? ?a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数， 得c n ＝? ????n ＋1，n 为奇数，（n －1）2n －1 ＋1，n 为偶数， 则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23 ＋…＋ (2n －1)×22n －1 ]＋n . 记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1 ，① 则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1 .② 由①－②，得 －3S n ＝2＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1 ， ＝22＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1 －2， 所以－3S n ＝4（1－4n ）1－4－(2n －1)22n ＋1 －2， 所以S n ＝4（1－4n ）9＋（2n －1）22n ＋1 3＋2 3 ， 即S n ＝（6n －5）22n ＋1 9＋109 ， 故T 2n ＝（6n －5）22n ＋1 9＋n 2 ＋2n ＋109 . 7．[2014·福建闽南四校期末] 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 7．A [解析] ∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 2 2＝a 1·a 5， ∴a 2 2＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3. 10．[2014·郑州质检] 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 2 7＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 10．D [解析] 由已知，得2a 2 7＝a 4＋3a 8＝a 1＋3d ＋3a 1＋21d ＝4a 1＋24d ＝4(a 1＋6d )＝4a 7，∴a 7＝2或a 7＝0(舍去)， ∴b 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31q 18＝(b 1q 6)3＝b 3 7＝8. 17．[2014·温州十校联考] 已知二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx 的图像过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *， 数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′? ?? ??1a n ，且a 1＝4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 17．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b . 由题意知f ′(0)＝b ＝2n ，16n 2 a －4n b ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12 x 2＋2nx ，n ∈N * . 又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′1 a n ，f ′(x )＝x ＋2n ， ∴1a n ＋1＝1 a n ＋2n ， ∴ 1 a n ＋1－1 a n ＝2n . 由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2 －n ，化简可得a n ＝4（2n －1） 2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝4（2n －1） 2(n ∈N * )． (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4（2n －1）（2n ＋1）＝212n －1－1 2n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ 21－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝21－12n ＋1＝4n 2n ＋1. 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 07-13年广东高考数学理科数列真题(含答 案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 5.已知数列{a n }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 21.（本小题满分14分） 已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11() 1,(1,2,)() n n n n f a a a a n f a +==- =', (1)求αβ、的值； (2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>; (3)记ln (1,2,)n n n a b n a β α -==-,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11 2 a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 21．（本小题满分12分） 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =， 22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，， …）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1 4 q = ，求{}n x 的前n 项和n S ． ４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2, n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -++ +=（ ） Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 21．（本小题满分14分） 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为 (0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -??? ?< < 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 高考数学——数列 17年全国I卷17、设为等比数列的前项和,已知 , (1)求的通项公式 (2)求，并判断是否成等差数列 17年全国II卷17题、已知等差数列的前n项和为，等比数列 的前n项和为， (1)若，求的通项公式 (2)若求 17年全国III卷17题、设数列满足 (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和 16年全国I卷17题、已知是公差3为的等差数列，数列满足, (1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 16年全国II卷17题、等差数列中， (1) 求的通项公式 (2设，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如 16年全国III卷17题、已知各项都为正数的数列满足 (1)求 (2) 求的通项公式 15年全国I卷7题、已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则 12 15年全国I卷13题、在数列中，为的前n项和.若（） 15年全国II卷5题、设为等差数列的前n项和，若 ,则 11 15年全国II卷9题、已知等比数列满足 则 14年全国I卷17题、已知是递增的等差数列，是方程 的根 (1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 14年全国II卷5题、等差数列的公差为2，若成等差数列，则的前n项和 14年全国II卷16题、数列满足 13年全国I卷6题、设首项为1，公比为的等比数列的前n项 和，则 13年全国I卷17题、已知等差数列的前n项和满足 (1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 13年全国II卷17题、已知等差数列的公差不为零，且成等比数列 (1) 求的通项公式 (2)求 欢迎您的下载， 资料仅供参考！ 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等 打造全网一站式需求 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D历年高考数学试题分类汇编
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