Z.Y.计划
2010.7.2.1.FANG.ZU.Z.Y
一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知是方程3mx+2y=1的解，则m=_________．
2．（5分）把方程5x﹣6y=7变形可得y=_________，x=_________．
3．（5分）在y=kx+b中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=10，则k=_________，b=_________．
4．（5分）已知（m+1）x|m|+y=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_________．
5．（5分）已知|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数，则（x﹣y）2007=_________．
6．（5分）关于x、y的方程组与有相同的解，则（﹣a）b=_________．7．（5分）在方程3x+2y=7中，若x、y互为相反数，那么x=_________，y=_________．
8．（5分）如果，那么m﹣5n+3=_________．
9．（5分）已知乙的年收入是甲的年收入的，乙的年支出是甲的年支出的，一年内两人的储蓄（收入﹣支出）都是2500元，那么甲的年收入是_________元，乙的年收入是_________元．
10．（5分）（2006?烟台）请你写出一个二元一次方程组，使它的解为，这个方程组是_________（答案不唯一）．
11．（5分）在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，不过，我们可解得出p= _________．
12．（5分）方程组中，x与y的和为2，则k=_________．
13．（4分）若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（）
A．B．C．D．
14．（4分）方程2x﹣3y=5、xy=3、、3x﹣y+2z=0、x2+y=6中是二元一次方程的有（）个．A．1B．2C．3D．4
15．（4分）若方程组的解中x的值比y的值的相反数大1，则k为（）A．3B．一3 C．2D．一2
16．（4分）方程组，消去y后得到的方程是（）
A．3x﹣4x﹣10=0 B．3x﹣4x+5=8 C．3x﹣2（5﹣2x）
D．3x﹣4x+10=8
=8
17．（4分）方程2x+y=8的正整数解的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
18．（4分）如果和都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是（）A．x+2y=﹣3 B．2x﹣y=2 C．x﹣y=3 D．y=3x﹣5
19．（4分）若方程组的解也是方程3x+ky=10的解，则（）
A．k=6 B．k=10 C．k=9 D．
k=
20．（4分）已知3﹣x+2y=0，则3x﹣6y+9的值是（）
A．3B．9C．18 D．27
21．（4分）小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小明付款有几种方式（）
A．2种B．3种C．4种D．5种
22．（4分）某校初一学生共有356人，其中男同学人数为女同学人数的2倍少5人，求男、女同学各有多少人？若设男、女同学分别为x人、y人，则列出方程组是（）
A．B．C．D．
三、解答题（共6小题，满分0分）
23．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
24．在y=kx+b中，当x=2时，y=8；当x=﹣1时，y=﹣7．
（1）求k，b的值；
（2）求当x=﹣2时y的值．
25．甲、乙两人同时解方程组，由于甲看错了方程（1）中的m，得到的解是，乙看错了方程中（2）的n，得到的解是，试求正确m，n的值．
26．已知方程组与有相同的解，求m，n的值
27．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”
问平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
28．（2004?长沙）长沙市某公园的门票价格如下表所示：
购票人数1～50人51～100人100人以上
票价10元/人8元/人5元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？
《第8章二元一次方程组》2010年练习
参考答案与试题解析
一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知是方程3mx+2y=1的解，则m=1．
考点：二元一次方程的解．
专题：方程思想．
分析：知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．
解答：
解：把代入方程3mx+2y=1，得
﹣3m+4=1，
解得m=1．
点评：解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程，再求解．
2．（5分）把方程5x﹣6y=7变形可得y=，x=．
考点：解二元一次方程．
分析：把方程5x﹣6y=7写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后系数化1就可用含x的式子表示y的形式：y=；写成用含y的式子表示
x的形式，需要把含有x的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后系数化1就可用含x的
式子表示y的形式：x=．
解答：解：（1）移项得：6y=5x+7
系数化为1得：y=；
（2）移项得：5x=6y+7
系数化为1得：x=．
点评：本题考查的是方程的基本运算技能，移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后通过合并同类项、系数化1就可用含x的式子表示y的形
式或用含y的式子表示x的形式．
3．（5分）在y=kx+b中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=10，则k=6，b=﹣2．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
专题：待定系数法．
分析：将x、y的对应值分别代入y=kx+b中，解方程组即可．
解答：
解：依题意得：，
解得．
点评：用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．
4．（5分）已知（m+1）x|m|+y=0是关于x，y的二元一次方程，则m=1．
考点：二元一次方程的定义．
分析：根据二元一次方程的定义，可以得到x的次数等于1，且系数不等于0，由此可以得到m的值．解答：解：根据二元一次方程的定义，得
|m|=1且m+1≠0，
解得m=1．
点评：二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
5．（5分）已知|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数，则（x﹣y）2007=1．
考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析：由|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数，可得|2x﹣3y+4|+（x﹣2y+5）2=0，根据非负数的性质可求得x、y的值，再代入求值即可．
解答：解：由题意，得|2x﹣3y+4|+（x﹣2y+5）2=0，
∴2x﹣3y+4=0，x﹣2y+5=0，
∴x=7，y=6，
∴（x﹣y）2007=（7﹣6）2007=1．
故填1．
点评：本题主要考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．由相反数的定义得出两个非负数的和为0是解题的关键．
6．（5分）关于x、y的方程组与有相同的解，则（﹣a）b=﹣8．
考点：同解方程组．
分析：根据两方程组有相同的解，可把四个方程重新组合，求出x、y的值，代入含有a、b的方程组，求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答：解：∵两方程组有相同的解，
∴可将两方程组转化为：
（1），
（2），
解（1）得，代入（2）得
，
解得．
故（﹣a）b=（﹣2）3=﹣8．
点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，解答此题的关键是根据题意得出方程组，求出a、b的值代入所求式子进行计算．
7．（5分）在方程3x+2y=7中，若x、y互为相反数，那么x=7，y=﹣7．
考点：解二元一次方程．
分析：由x、y互为相反数可得，x+y=0，和已知条件联立解方程组，即可求得x、y的值．
解答：
解：由题意可得方程组，
解得．
点评：此题考查了二元一次方程组的解法，由相反数的定义列出方程是解题的关键．
8．（5分）如果，那么m﹣5n+3=4．
考点：解二元一次方程组．
专题：整体思想．
分析：观察方程组和所求代数式的特点可知两方程相减，即可得到所求代数式的值．
解答：解：①﹣②得，2m﹣m﹣3n﹣2n=2﹣1，
即m﹣5n=1．
故m﹣5n+3=4
点评：此题比较简单，再遇到此类题目时要注意观察方程组与所求代数式之间的关系，不要盲目求解，以免引起繁杂的计算．
9．（5分）已知乙的年收入是甲的年收入的，乙的年支出是甲的年支出的，一年内两人的储蓄（收入﹣支出）都是2500元，那么甲的年收入是7500元，乙的年收入是5625元．
考点：二元一次方程组的应用．
分析：
设甲的年收入是x元，乙的年收入是y元，根据乙的年收入是甲的年收入的，可以列出方程y=x，
根据一年内两人的储蓄（收入﹣支出）都是2500元可以列出方程（x﹣2500）=y﹣2500，联立两
个方程组成方程组求解即可解决问题．
解答：解：设甲的年收入是x元，乙的年收入是y元，
依题意得，
∴，
答：甲的年收入是7500元，乙的年收入是5625元．
点评：此题首先要理解关系式储蓄=收入﹣支出，然后利用所设未知数分别表示甲乙的收入和支出，再利用已知条件即可列出方程组解决问题．
10．（5分）（2006?烟台）请你写出一个二元一次方程组，使它的解为，这个方程组是（答案
不唯一）．
考点：二元一次方程组的解．
专题：开放型．
分析：
所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算
式，如1+2=3，1﹣2=﹣1，然后用x，y代换，得等，（答案不唯一）．
解答：
解：等，（答案不唯一）．
点评：本题是开放题，注意方程组的解的定义．围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．
11．（5分）在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，不过，我们可解得出p=
3．
考点：二元一次方程组的解．
分析：根据方程组解的定义，把x=0.5代入x+y=1求出y的值，再将x、y的值代入x+py=2即可求出p 的值．
解答：解：将x=0.5代入x+y=1，得0.5+y=1，
则y=0.5，
将x=0.5，y=0.5代入x+py=2，有0.5+0.5p=2，
解得p=3．
点评：此题考查了对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
12．（5分）方程组中，x与y的和为2，则k=8．
考点：解三元一次方程组．
分析：把k看为已知数，通过消元、移项、系数化为1，把x，y用k表示出来，再根据x与y的和为2，从而求出k值．
解答：
解：已知方程组，，
将方程①×5﹣②×3得，
15x+25y﹣（15x+9y）=5k﹣3k，
解得，y=，
将y值代入①得，
解得，x=，
∵x+y=2，
+=2，
∴k=8，
故答案为8．
点评：此题考查二元一次方程解的定义和解法，解二元一次方程首先要消元，然后再对方程移项、系数化为1，求出x或y，从而求出方程组的解，比较简单．
二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
13．（4分）若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（）
A．B．C．D．
考点：二元一次方程组的解．
分析：
把分别代入各方程组进行检验即可．
解答：
解：A、把代入得，，故错误；
B、把代入得，，故错误；
C、把代入得，，正确；
D、把代入得，，故错误；
故选C．
点评：本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．
14．（4分）方程2x﹣3y=5、xy=3、、3x﹣y+2z=0、x2+y=6中是二元一次方程的有（）个．
考点：二元一次方程的定义．
分析：二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．
解答：解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x﹣3y=5；
xy=3，x2+y=6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；
x+=1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；
3x﹣y+2z=0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；
由上可知是二元一次方程的有1个．
故选A．
点评：主要考查二元一次方程的概念．
要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方
程．
15．（4分）若方程组的解中x的值比y的值的相反数大1，则k为（）A．3B．一3 C．2D．一2
考点：解三元一次方程组．
分析：所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．解出方程组的解，在列出关于两解的等式，求出k．
解答：解：由题意，
解得x=，y=，
∵x的值比y的值的相反数大1，
∴x+y=1，即+=1
解得k=3，
故选A．
点评：本题主要考查解二元一次方程组和它的解，另外涉及代数式求值等问题．
16．（4分）方程组，消去y后得到的方程是（）
D．3x﹣4x+10=8
A．3x﹣4x﹣10=0 B．3x﹣4x+5=8 C．3x﹣2（5﹣2x）
=8
考点：解二元一次方程组．
分析：先把①两边同时乘以2，使两方程中y的系数相等，再使两式相减便可消去y．
解答：解：①×2得，4x﹣2y=10…③，
②﹣③得，3x﹣4x=8﹣10，
即3x﹣4x+10=8．
故选D．
点评：此题比较简单，考查的是用加减消元法解二元一次方程，当方程两边需要同时乘以一个数或式子时不要漏乘常数项，以免误解．
17．（4分）方程2x+y=8的正整数解的个数是（）
考点：解二元一次方程．
分析：由于二元一次方程2x+y=8中y的系数是1，可先用含x的代数式表示y，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数x=1代入，算出对应的y的值，再把x=2代入，再算出对应的y的
值，依此可以求出结果．
解答：解：∵2x+y=8，
∴y=8﹣2x，
∵x、y都是正整数，
∴x=1时，y=6；
x=2时，y=4；
x=3时，y=2．
∴二元一次方程2x+y=8的正整数解共有3对．
故选B．
点评：由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的正整数解，即此方程中两个未知数的值都是正整数，这是解答本题的关键．
注意最小的正整数是1．
18．（4分）如果和都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是（）A．x+2y=﹣3 B．2x﹣y=2 C．x﹣y=3 D．y=3x﹣5
考点：二元一次方程的解．
分析：此题只需把两个解代入下列各个方程，都能够使方程成立的即为所求作的方程．
解答：
解：A、不适合方程，故该选项错误；
B、不适合方程，故该选项错误；
C、两个解都适合方程，故该选项正确；
D、不适合方程，故该选项错误．
故选C．
点评：此题只需根据方程的解的定义，运用代入排除法即可解答．
19．（4分）若方程组的解也是方程3x+ky=10的解，则（）
A．k=6 B．k=10 C．k=9 D．
k=
考点：解三元一次方程组．
分析：解关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入3x+ky=10中，求得k的值．
解答：
解：根据题意得，
（1）×2﹣（2）得：
代入3x+ky=10得：k=10．
故选B．
点评：本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．
20．（4分）已知3﹣x+2y=0，则3x﹣6y+9的值是（）
A．3B．9C．18 D．27
考点：代数式求值；解一元一次方程．
专题：整体思想．
分析：因为3﹣x+2y=0，所以求得x﹣2y=3，进而求出3x﹣6y=9，将3x﹣6y作为一个整体代入代数式求解即可．
解答：解：∵3﹣x+2y=0，
∴3x﹣6y=9，
∴3x﹣6y+9=18，
故选C．
点评：本题主要考查二元一次方程的解，不过本题要用整体代入法．
21．（4分）小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小
明付款有几种方式（）
A．2种B．3种C．4种D．5种
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设小明付款时2元和5元的纸币分别有x、y张，由于小明去超市买东西花20元，由此得到方程2x+5y=20，然后根据x、y都是自然数即可确定x、y的值．
解答：解：设小明付款时2元和5元的纸币分别有x、y张，
∵小明去超市买东西花20元，
∴2x+5y=20，
∴2x=20﹣5y
而x≥0，y≥0，且x、y是整数，
∴y必须是偶数，
∴y=2，4或0，x=5，0或10．
∴小明付款有三种方式．
故选B．
点评：此题首先要正确理解题意，根据题意找出题目的隐含条件，然后利用这些条件列出方程或不等式解决问题．
22．（4分）某校初一学生共有356人，其中男同学人数为女同学人数的2倍少5人，求男、女同学各有多少人？若
设男、女同学分别为x人、y人，则列出方程组是（）
A．B．C．D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析：本题的等量关系有：（1）初一学生共有356人，（2）男同学人数为女同学人数的2倍少5人，
由这两个等量关系列出方程组．
解答：解：设男、女同学分别为x人、y人，
由题意知，．
故选B．
点评：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．找到两个等量关系是解决本题的关键．
三、解答题（共6小题，满分0分）
23．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
考点：解二元一次方程组．
分析：（1）先用（2）×3，再减去（1）即可求出x的值，把x的值代入方程即可求出y的值．（2）先由（2）×3，再减去（1）即可求出x的值，然后代入方程即可求出y的值．
（3）先把两方程化简变形，再用x表示y，代入方程即可求出x、y的值．
解答：
解：（1）
由（1）×2得：2x﹣6y=10（3），
由（3）﹣（2）得：y=﹣，
把它代入（1）得：x=，
∴方程组的解为．
（2）
由（2）×3﹣（1）得：7x=21，
∴x=3，
把它代入（1）得：y=2，
∴方程组的解为．
（3）方程二可变形为3（x+y）+（x﹣y）=6，
整理得：2x+y=3③，
由3（x+y）﹣4（x﹣y）=4变形得：7y﹣x=4，
∴x=7y﹣4④，
把④代入③得：y=，
把它代入④得：x=，
∴．
点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．
24．在y=kx+b中，当x=2时，y=8；当x=﹣1时，y=﹣7．
（1）求k，b的值；
（2）求当x=﹣2时y的值．
考点：解二元一次方程组．
分析：（1）把当x=2时，y=8；当x=﹣1时，y=﹣7代入y=kx+b中求出k、b的值；
（2）根据（1）中k、b的值得出关于x、y的方程，把x=﹣2代入此方程即可求出y的值．
解答：
解：（1）把当x=2时，y=8；当x=﹣1时，y=﹣7代入方程y=kx+b得，，
解得k=5，b=﹣2；
（2）由（1）可知，k=5，b=﹣2，把k、b的值代入y=kx+b得，原方程为y=5x﹣2，
把x=﹣2代入得，5×（﹣2）﹣2=﹣12．
故当x=﹣2时y=﹣12．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意得出关于k、b的方程组，求出k、b的值及关于x、y 的方程，再把x=﹣2代入原方程求解即可．
25．甲、乙两人同时解方程组，由于甲看错了方程（1）中的m，得到的解是，乙看错了方程中（2）的n，得到的解是，试求正确m，n的值．
考点：二元一次方程组的解．
分析：用代入法把甲乙的解分别代入方程即可得到关于m、n的方程组，然后解方程组即可．
解答：
解：甲看错了方程（1）中的m，得到的解是，所以4m﹣2n=5，
乙看错了方程（2）中的n，得到的解是，所以2m+5n=﹣8，
解方程组，得．
点评：本题解题的关键是把x、y的值代入方程，然后得到关于m、n的方程组，再解方程组．
26．已知方程组与有相同的解，求m，n的值
考点：同解方程组．
分析：
根据两个方程组解相同，可先由求出x、y的值，再将x和y的值代入
得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n．
解答：
解：∵方程组与有相同的解，
∴与原两方程组同解．
由5y﹣x=3可得：x=5y﹣3，
将x=5y﹣3代入3x﹣2y=4，则y=1．
再将y=1代入x=5y﹣3，则x=2．
将代入得：
，
将（1）×2﹣（2）得：n=﹣1，
将n=﹣1代入（1）得：m=4．
点评：运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键．
27．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”
问平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是x、y元，根据60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元可以列出方程x=y+200，根据租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，
一天的租金共计5000元可以列出方程4x+2y=5000，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出
平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金．
解答：解：设平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是x、y元，
依题意得，
解之得，
答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元、700元．
点评：数学来源于生活，又服务于生活，本题就是数学服务于生活的实例．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
28．（2004?长沙）长沙市某公园的门票价格如下表所示：
购票人数1～50人51～100人100人以上
票价10元/人8元/人5元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？
考点：二元一次方程组的应用．
专题：图表型．
分析：本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10=920；（甲班人数+乙班人数）×5=515，据此可列方程组求解．
解答：解：设甲班有x人，乙班有y人．
由题意得：
解得：．
答：甲班55人，乙班48人．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题按购票人数分为三类门票价格．
§7 怎样运用理想气体状态方程解题 理想气体处在平衡状态时，描写状态的各个参量（压强P 、体积V 和温度T ）之间关系式，叫理想气体状态方程，其数学表达式为： (1)M PV RT μ= 此式的适用条件是：①理想气体；②平衡态。 上式中： M －气体的质量； μ－－摩尔质量； M μ－是气体的摩尔数。 对于一定质量， 一定种类的理想气体，在热平衡下，状态方程可写为： 112212PV PV M R const T T μ==== 此式表明：一定质量、一定种类的理想气体，几个平衡状态的各参量之间的关系。 对于种类相同的两部分气体的状态参量分别为1P 、1V 、1T 、2P 、2V 、2T ，现将其混合。其状态参量为P 、V 、T ，则状态参量间具有下列关系式： 112212 PV PV PV T T T =+ 此式实质上说明了质量守恒：12M M M =+（1M 、2M 与M 分别表示混合前后的质量），按照质量守恒与状态方程是否可以得知：式（3）对不同气体也照样适合？请思考。 一、关于气体恒量R 的单位选择问题： 一摩尔质量的理想气体，要标准状况下，即01P atm =，0273.15T K =，022.4V L =，故有000 PV R T =。 在国际单位制() 23P /,a N m m -压强体积用作单位中，R 的量值选8.31J/mol K ?。
因为：32331.01310/22.410/8.31/273.15N m m mol R J mol K K ???==?； 在压强用大气压、体积用3m 时，R 的量值取3 8.2110/atm m mol K -???，因为： 335122.410/8.2110/273.15atm m mol R atm m mol K K -??==??? 在压强用大气压作单位、体积用升作单位时，R 的量值选0.082/atm l mol K ??，因为： 122.4/0.082/273.15atm l mol R atm l mol K K ?==?? 应用M PV RT μ=计算时，压强、体积单位的选取必须与R 一致在同时温度必须用热力 学温标。 二、怎样用状态方程来解题呢？ 1、根据问题的要求和解题的方便，倒塌选取研究对象。研究对象选择得合理，解题就会很方便，否则会造成很多麻烦。选择对象时，容易受容器的限制。事实上，有时一摆脱容器的束缚，就能巧选研究对象。选择时应注意：在独立方程的个数等于未知量的个数的前提下，研究对象的数目应尽可能地少。最好是，研究对象的数目恰好等于待求的未知量的数目，此时，中间未知量一个也没出现。 2、描写研究对象的初、未平衡状态，即确定平衡状态下的P 、V 、T ； 3、根据过程的特征，选用规律列出方程，并求解。选择研究对象与选用规律，其根据都是过程的特征，因此，这两者往往紧密联系。列方程时，一般用状态方程的式子多，而用状态变化方程时式子较少，故能用状态变化方程时应尽可能优先考虑。 气体的混合（如充气、贮气等）和分离（如抽气、漏气等）有关的习题不少。对于这类习题，可从不同角度出发去列方程：①从质量守恒定律或推广到不同种类的分子气体时总摩尔数不变来考虑；②从同温、同压下的折合的加和减来考虑。由于气体体积是温度、压强的函数，所以，在利用利用“气体折合体积的加和性”时必须注意，只有统一折算成相同温度
理想气体状态方程实验 【目的和要求】 验证理想气体状态方程;学习使用气压计测量大气压强。 【仪器和器材】 气体定律实验器(J2261型)，钩码(J2106型)，测力计(J2104型)，方座支架(J1102型)，温度计(0-100℃)，烧杯，刻度尺，热水，气压计(全班共用)。 【实验方法】 1.记录实验室内气压计的大气压强p0。用刻度尺测出气筒全部刻度的长度，用测得的长度除气筒的容积得活塞的横截面积S，还可以进一步算出活塞的直径d(也可用游标卡尺测出活塞的直径d求得S)。 2.将仪器如图 3.4-1安装好。调整气体定律实验器使它成竖直状态。 3.先将硅油注入活塞内腔做润滑油。取下橡皮帽，把活塞拉出一半左右，使气筒内存留一定质量的空气，最后用橡皮帽会在出气嘴上，把气筒内的空气封闭住。 4.向烧杯内加入冷水，直到水完全浸设气体定律实验器的空气柱为止。 5.大约2分钟后，待气体体积大小稳定，读出温度计的度数，和气体的体积(以气柱长度表示)。 6.在气体定律实验器的挂钩上加挂钩码并记下钩码的质
量，用测力计提拉活塞记下活塞重G0，改变被封闭的空气柱的压强。用公式P=P0±(F/S)计算出空气柱的压强。同时读出水的温度、气体的体积。 7.给烧杯内换上热水，实验一次。 8.改变加挂的钩码数(或弹簧秤的示数)，再分别做四次上面的实验。 9.将前面得到的数据填入上表，并算出每次实验得到的PV/T的值。 【注意事项】 1.力求气筒内的气体温度与水温一致，同时P、V、T的值尽量在同一时刻测定。一般先读出水的温度紧接着读气体的体积，因为气体的体积是随水的温度变化的。 2.要密封好气筒内的空气，不能漏气，并且气体的体积约占气筒总容积的一半，效果较好。 3.给活塞加挂钩码时，一定要使两边质量相同，使两边保持平衡，挂钩码要缓慢进行。 4.在公式P=P0±(F/S)中压力F是指活塞、硅油及活塞上的一些配件所受的重力G0和对活塞施加的拉力或压力。 5.计算压强时，应把各个量换算成统一单位后再运算，温度计读出的温度应折算成热力学温度。 6.空气柱一定要完全浸入水中，否则气体的温度就测不准
练习题（一） 1.计算： ( ) 1 02 1211381 21-?? ? ??+-+ ++ 2. 16的平方根是 3.分式1 12+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数11 2 ++= x x y 的定义域是 ，若1 1 3)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 1 1 11.方程3815162 2 =?? ? ??++??? ? ?+ x x x x 设y x x =+1 原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程 011 12=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2 221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3 x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.上海市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，0 45=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ， 那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222 =-x x 代简求值 24.解方程：3 10 66=+++x x x x ()()()()()133312 --+-++-x x x x x
全国中考数学压轴题精选(六) 51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ （08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG · 1分 所以, B GCE G BFE ∠=∠∠=∠ 所以BEF CEG △∽△ ··············································································· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ···················································· 4分 理由一： 过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ， 因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ················································································ 6分 理由二： 由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有： 4343 ,,,5555 EF BE BF BE GE EC GC CE ====， 所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125 CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··································· 6分 （3）设BE ＝x ，则43 ,(10)55 EF x GC x = =- 图10 M B D C E F G x A A M x H G F E D C B
对一道课本习题的变式、推广与思考 波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。” 题目：已知ABC ?两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于9 4-，求顶点C 的轨迹方程。（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66 ,621-≠≠-= +=x x x y k x y k ， 根据题意，9 4 21- =?k k ，所以 9 4 362 2-=-x y ，化简，得()6,6116362 2 -≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ?的一个顶点，C B A ,,不能共线。 （2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。 （3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 二、引进参数，化静为动 变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。 分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是 a x y k a x y k -=+= 21,，()a x + - ≠，根据题意，m k k =?2 1 ， 所以m a x y =-2 22，化简，得动点C 的轨迹方程122 22=-ma y a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时 （1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉 与x 轴的两个交点； （2）当01 m -时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点； （3）当1- m 时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆去掉左右顶点。 评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点 c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，
中考数学专题训练函数基础训练题(1) 1.函数y= x - 3 1 的自变量x的取值范围是；函数y=1 + x的自变量x的取值范 围是；抛物线y x =-+ 312 2 ()的顶点坐标是____________； 2.抛物线y＝3x2-1的顶点坐标为对称轴是； 3.设有反比例函数y k x = +1 ，(,) x y 11 、(,) x y 22 为其图象上的两点，若x x 12 <<时， y y 12 >，则k的取值范围是___________； 4.如果函数x x x f- + =15 ) (，那么= ) 12 (f________. 5.已知实数m满足m2－m－2=0，当m=_______，函数y=x m+（m+1）x+m+1的图象与x 轴无交点。 6.函数 3 1 - - = x x y的定义域是___________.若直线y=2x+b过点（2，1），则b= ； 7.如果反比例函数的图象经过点)3 ,2(- A，那么这个函数的解析式为___________. 8.已知m为方程x2＋x-6＝0的根，那么对于一次函数y＝mx＋m：①图象一定经过一、 二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一 定经过点（－l，0）；⑤y一定随着x的增大而增大；⑤y一定随着x的增大而减小。以 上六个判断中，正确结论的序号是（多填、少填均不得分） 9.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4； 乙：与X轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与Y轴交点的纵坐标也都是整数，且以 这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析 式：； 10.已知二次函数()0 2 1 ≠ + + =a c bx ax y与一次函 ()0 2 ≠ + =k m kx y的图象相交于点A（-2，4），B（8，2） （如图所示），则能使 1 y＞ 2 y成立的x的取值范围 是. 11.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 12.二次函数y=x2－2x+3的最小值为（）A、4 B、2 C、1 D、－1 13.有意义，则x的取值范围是( ) （A）x≤3 （B）x≠3 （C）x＞3 （D）x≥3 14.二次函数y＝x2＋10x－5的最小值为( ) （A）－35 （B）－30（C）－5 （D）20 15.已知甲，乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg) 之间的函数解析式分别为y=k1x＋a1和y＝k2x＋a2, 图 象如右，设所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1 , 乙弹簧长为y2则y1与y2的大小关系为( ) （A）y l＞y2（B）y1＝y2（C）y1＜y2(D)不能确定 16.函数y= 4 1 - x 中自变量x的取值范围是（） A．x4 - ≤ B. 4 - ≥ X C. x>-4 D. 4 - ≠ x 17.点P（－1，3）关于y轴对称的点是（） A. (－1，－3) B. （1，－3） C. （1，3） D. （－3，1） 18.函数y＝ 2 1 － x 中，自变量x的取值范围是（） A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. x≠－2 19.抛物线y＝x2－2x－1的顶点坐标是（） A.（1，－1） B.（－1，2） C.（－1，－2） D.（1，－2） 20.抛物线6 3 2- - =x x y的对称轴是直线（） 2 3 ) (= x A 2 3 ) (- = x B3 ) (= x C3 ) (- = x D 21.给出下列函数：(1)y=2x; (2)y=-2x+1; (3)y= x 2 (x>0) (4)y=x2(x<-1)其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A、（1）、（2）. B、（1）、（3）. C、(2)、(4). D 、（2）、（3）、（4） 22.如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图 象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快 者的速度比慢者的速度每秒快（） 23.A 2.5米Ｂ２米Ｃ１.5米 D 1米 24.当K＜0时，反比例函数y＝ x k 和一次函数y＝kx＋2的图象在致是图中的（）
2016年中考数学压轴题70题精选（含答案） 【001】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4 5。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公 共点，求m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在， 求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。 （1）判断△ABM 的形状，并说明理由。 （2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。
如何对几何习题拓展变式 “变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。 在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。 通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。 通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。 通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。 “变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。 对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行： 一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法…… 1、一题多解，培养思维的发散性 一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，
又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。 例如：已知：点O是等边△ABC内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC的度数。 练习：把此题适当变式: 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC的度数。 变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135° 试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为 边的三角形是一个直角三角形? 2、一题多变，培养思维的灵活性 一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的 B C A B C O A B C O
六年级数学基础题训练 毕业模拟测试题一 一、 填空题。 1、（ ）15 = 6∶（ ）= 3 ÷ 5 = 15 （ ） = ( )% = ( ) (填小数)。 2、9 4的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 3、把85m 的长的钢管平均锯成5段，每段是这根钢管的（ ）（ ），每段长（ ） （ ）m. 4、有10个零件，其中1个轻一点为次品，外观一样，用天枰至少称（ ）次。 能保证找出这个次品。 5、A 和B 是两个自然数，A 除以B 的商正好是5，那个A 和B 的最大公因数是（ ），最小公因数是（ ）。 6、一个袋子里有5个白球4个红球3个黑球，摸出黑球的可能性是（ ）。 7、3 9+a 是一个假分数，a 是自然数，a 的取值可能有（ ）种。 8、在某夏令营活动中，38位学生参观科普展览，售票处规定，门票一人券10元，十人券共70元，他们购买门票至少要（ ）元 。 二、 判 断 题。（对的打“√”错的打“×” ） 1、一种商品原价50元，先降价10%后，再提价10%,现价仍是50元。 （ ） 2、桃树的棵树是梨树的20%,那么桃树与梨树的比是5:1. （ ） 3、一个三角形三个内角度数的比是3:4:3，这个三角形是等腰三角形。 （ ） 4、一个自然数补是偶数就是奇数；不是质数就是合数。 （ ） 5、在367个七岁儿童中，至少有两个儿童是同月同日出生的。 （ ） 三、选 择 题。 1、1,3,5都是45的（ ）。 A.质因数 B.因数 C.公因数 2、在一幅地图上，3㎝的长度表示实际距离150km ，这幅图的比例尺（ ） A.1:50 B.1:5000 C.1:500000 D.1:5000000 3、小丽有3件不同的上衣和4条不同的裤子，若上衣和裤子搭配着穿，一共有（ ）种 不同的穿法。 A.4种 B.7种 C.12种 4、甲数是a,比乙数的5倍多b ，表示乙数的式子是（ ）。 A.(a ＋b)÷5 B.( a －b)÷5 C.a ÷5－b 5、x k 5+=y ，且x 和y 都不为0，当k 一定时，x 和y （ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 毕业模拟测试题二 一、 填 空 题 1、在－9,3,100，0，－6,7中，（ ）是正数，（ ）是负数，（ ）是自然数。 2、3080平方分米=（ ）平方米，4小时15分=（ ）小时（填小数）。 3、线段有（ ）个端点，射线有（ ）端点，直线有（ ）端点。 4、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积半径相等，它们的高之比是5:6，它们的体积比是（ ）。 5、甲乙两地相距42千米，画在一幅地图上的长度是7cm ，这幅地图的比例尺是（ ）。 6、一辆公共汽车上有乘客a 人，行驶都宫里站时，有b 人下车，c 人上车，现在车上共有 乘客（ ）人。 7、六（一）班美术组有14人，那么至少有（ ）人同时一个月过生日。
2012中考数学压轴题及答案 1.（2011年四川省宜宾市） 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ? ?--a b ac a b 44,22 ） 2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所 示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围； (3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.
3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使P Q R △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
一道几何旋转变换题的变式训练 如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。 求证：BG=CE 变式一：条件不变、增加探究结论 （2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。 （3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？ 变式二：图形旋转，探究原结论 （4）正方形AEDB绕点A逆时针方向旋转，使AE与AG重合时，如图（1）上述两个结论是否成立？（5）继续旋转到如图（2）位置，上述两个结论是否成立？
变式三：图形旋转，探究新结论 （6）如图（2），连结DF ，求CE :BG :DF 的值. 变式四：添加条件，探索新结论 如图，AB ＝11，AC ＝7，连结EG ，求2 2 BC EG +的值 变式五：改变图形，探究原结论 把“正方形AEDB 和正方形ACFG ”改为“矩形AEDB 、ACFG （长宽不等）”且AG AC AE AB =， 线段CE 、BG 有怎样的关系呢？
如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为一边向外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连结CD 、BE 。 （1）求证：BE =DC （2）求直线CD 与直线BE 的所夹锐角 变式七：根据结论，探究条件 如图，在△ABC 中，分别以AB ,AC ,BC 为边在BC 的同侧作等边三角形ABD ,ACE ,BCF （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形； （2）探究下列问题 ①当△ABC 满足什么条件时，四边形DAEF 是矩形？ ②当△ABC 满足什么条件时，四边形DAEF 是菱形？ ③当△ABC 满足什么条件时，以D ,A ,E ,F 为顶点的四边形不存在？
高考基础试题强化训练（二） 1．复数 1 1+2i (i 是虚数单位)的实部是（ ） A ．15 B ．25- C ．25 D ．15 - 2．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为1 2 -，则tan θ的值为（ ） A ．．1± C ．．± 3．已知椭圆的方程为 22 1916 y x +=，则此椭圆的长轴长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ． 2 B C ．2- D ． 5.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） Ａ． 3 Ｂ．3 7.若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）x = 62k ππ- (k ∈Z) （B ）x=62ππ+k (k ∈Z) （C ）x= 122 k ππ - (k ∈Z) （D ）x =12 2k ππ+ (k ∈Z) 8．有6本相同的数学书和3本不相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( ) A.C 3 9 B.A 39 C. A 69 D. A 39?A 3 3
9.若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所截 得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2 B C D 10．已知(3)4,1, ()log ,1,a a x a x f x x x --
年全国中考数学压轴题集锦
1、（2006 浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于 A(3,0),B(0, 3 )两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动点,过点 C 作 CD⊥ x 轴
于点 D. (1)求直线 AB 的解析式;
(2)若 S 梯形 OBCD＝ 4 3 ,求点 C 的坐标; 3
(3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线 AB 解析式为：y=
3
x+
3．
3
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，
3
x+
3 ），那么 OD＝x，CD＝
3
x+
3．
3
3
∴
S 梯形OBCD
＝
OB
CD
2
CD
＝
3 x2 6
3．
由题意： 3 x 2 6
3
＝
43 3
，解得
x1
2, x2
4 （舍去）
∴ Ｃ（２， 3 ） 3
方法二：∵
S AOB
1 OA OB 2
3
3 2
,
S 梯形OBCD
＝
43 3
，∴ S ACD
3． 6
由 OA= 3 OB，得∠BAO＝30°，AD= 3 CD．
∴
S ACD
＝
1 2
CD×AD＝
3 CD 2 ＝ 2
3 ．可得 CD＝ 6
3． 3
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２， 3 ）． 3
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP= 3 OB=3，
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一道解析几何题的研究与思考 发表时间：2019-07-19T11:45:05.693Z 来源：《中国教师》2019年9月刊作者：李开成 [导读] 解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。李开成浦江职业技术学校 322200 【摘要】解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。【关键词】思维品质；一题多解；一题多变 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2019）09-188-02 数学教学大纲在教学目的中提出，数学教学要“注意培养学生良好的思维品质”。怎样更好地实现这个目标呢？我在教学中发现，采用一题多解和一题多变的教学方式是比较有效的途径。所谓一题多解就是对同一问题从不同角度去分析、寻找不同的解题途径。通过一题多解可以沟通各种知识的内在联系，使已学知识形成系统，同时，学生也学会从不同角度去观察思考问题，遇到问题时，能多向联想、随机应变，提高学生的应变能力和思维能力。所谓一题多变，就是不断变换所提供的材料或问题呈现的形式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变。通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。 下面我以一个典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。 题目：在椭圆上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。 解法1（向量法）设点，由题设知 为. ∵， 即（1） 又点P在椭圆上，∴（2） 联立（1）、（2），解得点P的坐标为（3，±4），（－3，±4）. 解法2（交轨法）设点， ∵，∴P点在以F1F2为直径的圆上，即，以下同解法1. 解法3（应用斜率）设， ∴，∴， 即.以下同解法1. 解法4（应用焦半径公式）设，∵， 则，. ∵，∴， ∴.以下同解法1. 解法5（面积法）设点，则.由椭圆定义知，∴ =180，又，∴， ∴. ∴，，以下同解法1. 解法6（几何法）如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，以下同解法2. 比较上述六中解法，笔者认为第六种解法最直观，简洁，易懂，让学生能够很清楚地看到点P在什么位置时是直角，锐角，或者钝角,在下面的变式题目中也有很好的启示作用。对本题的思考还没有结束，接着我们对它尝试着做如下的变式训练： 变式1：椭圆的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。 分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是。 变式2：双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。 分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以|F1F2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为，故所求距离为。 变式3：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（） A. B.3 C. D. 分析：该题是将原题中∠为直角改为△为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠=90°时，只要找以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F1F2|为直径的圆的方程与椭圆无交点，故此种情况无解；当∠=90°或∠=90°时，易求点P到x轴的距离为，故选D。 变式4：已知F1、F2是椭圆C：的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_____。 分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以|F1F2|为直径的圆方程为，与椭圆C：相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。 变式5：设椭圆的两个焦点是F1（－c，0），F2（c，0），c>0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使
小学五年级数学下册基础知识训练题简算题（本大题共18小题; 共72.0分．） 1.(4.0分) 用简便方法计算 5/16＋2/15＋11/16 2.(4.0分) 用简便方法计算 2/5＋11/20＋3/5＋3/20 3.( 4.0分) 用简便方法计算 10―13/27―14/27 4.(4.0分) 用简便方法计算 1－1/3－2/3 5.(4.0分) 用简便方法计算 7/12－5/17－1＋5/12 6.(4.0分) 用简便方法计算 1/6＋3/5＋2/5-5/6 7.(4.0分) 用简便方法计算 5/8＋1/3＋3/8 8.(4.0分) 用简便方法计算 4/5＋3/8＋1/5＋5/8 9.(4.0分) 用简便方法计算 10－5/12-7/12 10.(3.0分) 用简便方法计算 7/10＋7/9＋3/10＋2/9 11.(4.0分) 计算，能简算的要简算
12.(4.0分) 计算，能简算的要简算 5.54＋2.9＋4.46 13.(4.0分) 用简便方法计算 7.2×6.8＋7.2×3.2 14.(4.0分) 用简便方法计算 7/8＋(125－7/8) 15.(4.0分) 用简便方法计算 1－5/28－7/28－16/28 16.(4.0分) 计算，能简算的要简算 3/4－1/6＋1/4－5/6 17.(4.0分) 计算，能简算的要简算 55×6.6＋4.5×66 18.(5.0分) 用简便方法计算．(要写出主要的简算过程) 1/8＋5/6＋3/4＋1/6 二、文字叙述题（本大题共20小题; 共96.0分．） 19.(5.0分) 列式计算 从5/8里减去1/4，所得的差与5/16的差是多少？20.(5.0分) 列式计算 从4/5里减去2/15与1/3的和，差是多少？ 21.(5.0分) 列式计算 什么数加上4/5的和等于2/3加上3/4的和． 22.(5.0分) 列式计算 从4/5里减去2/15与1/30的和，差是多少？
数学变式习题的设计 习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要想不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。 一、利用变式来改变题目的条件或结论，培养学生转化、推理、归纳、探索的思维能力。 （一）、一题多问，通过变式培养学生的创新意识和探究、概括能力 牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。 例题1．如图（1）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证：△ABD∽△AEC 此题是很简单的证明题，将图形变式，添加切线BF，则可变为： [变式训练]1. 如图（2）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线与F点. 求证：CE:BC=BF:CF 本题需证△BEF∽△CBF,若将条件进一步发展，延长AD交BF于N，则有： 2. 如图（3）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和 E.过B作⊙O的切线交CE延长线于F点,交AE延长线于N点. 求证：BN·DE=BD·EN 本题需证BE平分∠FBC和△ABD∽△CDE，并借助中间比推证，若再将F为BF、CE交点改为F是由C点作切线BN垂线的垂足，则又变为： 3. 如图（4）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和 E.过B作⊙O的切线交AE延长线于N点,作EF⊥BN. 求证：BN·DE=BD·EN
第1章第零定律与物态方程 一、基本要点公式及其适用条件 1.系统的状态和状态函数及其性质 系统的状态—就是系统物理性质和化学性质的综合表现，它采用系统的宏观性质来描述系统的状态，系统的宏观性质，也称为系统的"状态函数"。 系统的宏观性质（状态函数）—就是由大量（摩尔级）的分子、原子、离子等微观粒子组成的宏观集合体所表现出的集团行为，简称"热力学性质"或“热力学函数”如p、V、T、U、H、S、A、G等。 Z=f(x,y)表示一定量、组成不变的均相系统，其任意宏观性质(Z)是另两个独立宏观性质(x,y)的函数。状态函数Z具有五个数学特征： (1)，状态函数改变量只决定于始终态，与变化过程途径无关。 (2)，状态函数循环积分为零，这是判断Z是否状态函数的准则之一。 (3)，系Z的全微分表达式 (4)，系Z的 Euler 规则，即微分次序不影响微分结果。 (5)，系Z、x、y满足循环式，亦称循环规则。 2.热力学第零定律即热平衡定律： 当两个物态A和B分别与第三个物体C处于热平衡，则A和B之间也必定彼此处于热平衡。T =t+273.15，T是理想气体绝对温标，以"K"为单位。t是理想气体摄氏温标，以"℃"为单位。 绝对温标与摄氏温标在每一度大小是一样的，只是绝对温标的零度取在摄氏温标的 -273.15℃处，可以看出，有了绝对温标的概念后，只需确定一个固定参考点(pV)0p=0，依国际计量大会决定，这个参考点选取在纯水三相点，并人为规定其温度正好等于 273.16K。 3.理想气态方程及其衍生式为: ；式中p、V、T、n单位分别为 Pa、m3、K、mol；R=8.314J·mol-1·K-1，V m为气体摩尔体积，单位为 m3·mol-1，ρ为密度单位kg·m-3，M 为