同济大学数学系高等数学第6版笔记和课后习题答案

第1章函数与极限

1.1 复习笔记

一、映射与函数

1．集合

（1）集合概念

集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

（2）表示集合的方法通常有以下两种：

①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；

②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。

（3）常见的集合

①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；

②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；

③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；

④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；

⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈

且P与q互质}；

⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。

（4）集合的关系

①包含关系

设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。

②等价关系

若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。

（5）集合的运算

①并、交、差

a．并集

设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即

。

b．交集

由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即

。

c．差集

由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即

。若集合I为全集或基本集，称I＼A为A的余集或补集，记作A C。

②集合的运算法则

设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：

③笛卡尔积

设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B 的笛卡尔积，记为A×B，即

。

（6）区间和邻域

①区间

a．开区间

设a和b都是实数，且a＜b，数集{x|a＜x＜b}称为开区间，记作（a，b），即（a，b）＝{x|a＜x＜b}。其中a和b称为开区间（a，b）的端点，这里，。

b．闭区间

数集称为闭区间，记作[a，b]，即。其中a和b称为闭区间[a，b]的端点，这里a∈[a，b]，b∈[a，b]。c．半开区间

定义，，[a，b）和（a，b]都称为半开区间。前者也称为前闭后开区间，后者也称为前开后闭区间。

d．区间长度

对于有限区间（a，b），数b－a称为区间长度。对于无限区间，引进记号十∞（读作正无穷大）及－∞（读作负无穷大），其区间长度为∞。全体实数的集合R也可记作（－∞，＋∞），它也是无限区间。

②邻域

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。

设δ是任一正数，则开区间就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即，表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。其中点a称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径（图1-1）。

图1-1

点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作,即

这里0＜|x－a|就表示x≠a。为了方便，有时把开区间（a－δ，a）称为a的左δ邻域，开区间（a，a＋δ）称为a的右δ邻域。2．映射

（1）映射概念

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f（x）使得对X中每个元素x，按法则

f（x）在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f（x）为从x 到y的映射，记作f：x→y，其中y称为元素x（在映射f（x）下）的像，并记作f（x），即y＝f（x），而元素x称为元素y （在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f（x）的定义域，记作Df，即Df＝X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f （x）的值域，记作或f（X），即

。

关于映射的定义，需要注意以下几点：

①映射三要素

a．集合X，即定义域D＝X；

b．集合Y，即值域的范围：Y；

c．对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y＝f（x）与之对应。

判断是否为映射时，这三者缺一不可。

②对每个x∈X，元素x的像Y是唯一的；而对每个Y∈，元素Y的原像不一定是唯一的；映射f（x）的值域是Y的一个子集，即Y，不一定有＝Y。

设f是从集合X到集合Y的映射，若＝Y，即Y中任一元素y 都是x中某元素的像，则称f（x）为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f（x1）≠f（x2），则称f为X到Y的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称ｆ为一一映射（或双射）。

（2）逆映射与复合映射

①逆映射

设f是X到Y的单射，则由定义知，对每个y∈R，有唯一的x ∈X，适合f（x）＝y。于是，我们可定义一个从到X的新映射g，即。对每个，规定，x满足f(x)＝y，

这个映射g称为f的逆映射，记作f－1，其定义域，值域。

②复合映射

设有两个映射，其中Y 1Y2。则由映射g和f可以定义出一个从x到z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g（x）]∈Z。显然，这个对应法则确定了一个从x到z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作，即：

。

3．函数

（1）函数概念

定义数集D R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为。其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D，即D＝D。

函数定义中，对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y 与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f（x），即y＝f（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。全体函数值f（x）所构成的集合称为函数f的值域，记作或f（D），即

。

表示函数的主要方法有三种：①表格法，②图形法，③解析法（公式法）。

（2）函数的几种特性

①有界性

设函数f（x）的定义域为D，数集。如果存在数,使得，对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而称为函数f（x）在X上的一个上界。如果存在数，使得，对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而称为函数f（x）在X上的一个下界。如果存在正数M，使得对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界。如果这样的M 不存在，就称函数f（x）在X上无界，这就是说，如果对于任何正数M，总存在x∈X，使，那么函数f（x）在X上无界。

②单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I D。如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有，则称函数f（x）在区间I上是单调增加的（图1-2）；如果对于区间I上任意两点及，当＜时，恒有

，则称函数f（x）在区间I上是单调减少的（图1-3）。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

图1-2

图1-3

③奇偶性

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，且对于任－x∈D，恒成立，则称f（x）为偶函数；若对于任一x∈D，

恒成立，则称f（x）为奇函数。偶函数的图形关于Y 轴是对称的；奇函数的图形关于原点是对称的。

④周期性

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有（x±l）∈D，且恒成立，则称f（x）为

周期函数。l称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

注意，并非每个周期函数都有最小正周期。例如狄利克雷（Diri chlet）函数：

容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r都是它的周期。因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期。

（3）反函数与复合函数

①反函数

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f－1:f（D）→D，称此映射f－1为函数f的反函数。

②复合函数

设函数y＝f（u）的定义域为，函数u＝g（x）的定义域为，且其值域,则由下式确定的函数

称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为，u称为中间变量，通常记为，即

。与复合映射一样，g与f能构成复合函数f o g 的条件是：函数g的值域必须含在函数f的定义域内，即。否则，不能构成复合函数。

（4）函数的运算

设函数f（x），g（x）的定义域依次为D1，D2，D＝D1∩D2≠φ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：

①和（差）；

②积；

③商。

（5）初等函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数：

①幂函数：；

②指数函数：；

③对数函数：；

④三角函数：等；

⑤反三角函数：等。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。（6）双曲函数

应用上常遇到以e为底的指数函数和所产生的双曲函数以及它们的反函数——反双曲函数。它们的定义如下：

过原点且关于原点对称。在区间（－∞，＋∞）内它是单调增加的，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线

；在第三象限内接近于

关于x轴对称的曲线（图1-4）。

图1-4

双曲余弦的定义域为（－∞，＋∞），它是偶函数，它的图形通过点（0，1）且关于y轴对称。在区间（－∞，0）内它是单调减少的；在区间（0，＋∞）内它是单调增加的。1是这函数的最小值。当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线，在第二象限内接近于曲线（图1-4）。

过原点且关于原点对称。在区间（－∞，＋∞）内它是单调增加的。它的图形夹在水平直线y＝1及y＝－1之间；且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y＝1，而在第三象限内接近于直线y＝－1（图1-5）。

图1-5

二、数列的极限

1．数列极限的概念

（1）定义

设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为或。如果不存在这样的常数a，就说数列{}没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说

不存在。

（2）数列极限的几何解释

将常数a及数列x1,x2,x3，…，x n…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间（a－ε，a＋ε）（图1-6）。

图1-6

所以当n＞N时，所有的点都落在开区间（a－ε，a＋ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外。

注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{}的极限时，重要的是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。

2．收敛数列的性质

（1）唯一性

【定理】如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。

（2）有界性

对于数列{}，如果存在正数M，使得对于一切x都满足不等式，则称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说明数列{}是无界的。

如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。

（3）保号性

①如果lim＝a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N＞0，当n＞N时，都有＞0（或＜0）。

②如果数列{}从某项起有≥0（或≤0），且lim＝a，那么a≥0（或a≤0）。

3．子数列的概念及性质

（1）子数列的定义

在数列{}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}的子数列（或子列）。设在数列{}中，第一次抽取，第二次在后抽取，第三次在后抽取

，……，这样无休止地抽取下去，得到一个数列这个数列{}就是数列{}的一个子数列。

注意在子数列{}中，一般项是第k项，而在原数列{}中却是第nk项，显然,nk≥k。

（2）子数列与数列间的关系

如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

上述说法的逆否命题为：若数列{}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{}是发散的。

三、函数的极限

1．函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限。

这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。数列极限看作函数f（n）当n→∞时的极限，这里自变量的变化过程是n→∞。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f（x）的极限，主要研究两种情形：

（1）自变量x任意地接近于有限值或者说趋于有限值（记作x→）时，对应的函数值f（x）的变化情形：

①具体表述

现在考虑自变量x的变化过程为x→。如果在x→的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当x→时的极限。当然，这里我们首先假定函数f （x）在点的某个去心邻域内是有定义的。

【定义】设函数f（x）在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0＜|x－|＜δ时，对应的函数值f （x）都满足不等式，那么常数A就称为函数f（x）当x→时的极限，记作。

注意定义中0＜|x－|表示x≠,所以x→时f（x）有没有极限与f（x）在点是否有定义并无关系。

②几何解释

任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y＝A＋ε和y＝A －ε，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定

的ε，存在着点的一个δ邻域（－δ，＋δ），当y＝f（x）在图形上的点的横坐标x在邻域（－δ，＋δ）内，但x≠时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式，亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图1-7）。

图1-7

（2）自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数值f（x）的变化情形：

①具体表述

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式，那么常数A就称为函数f（x）当x→∞时的极限，记作。

②几何解释

从几何上来说，的意义是：作直线y＝A－ε和y＝A ＋ε，则总有一个正数X存在，使得当x＜－X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两直线之间（图1-8）。这时，直线y ＝A是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线。

图1-8

2．函数极限的性质

（1）唯一性

函数的唯一性是指，若limf（x）存在，那么这极限唯一。（2）有界性

如果，那么存在常数M＞0和，使得当时，有。

（3）局部保号性

①如果，且A＞0（或A＜0）那么存在常数，使得当时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。

②如果，那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。

③如果在的某去心邻域内，而且，那么。

3．函数极限与数列极限的关系

如果极限存在，为函数f（x）的定义域内任一收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数值数列必收敛，且。

四、无穷小与无穷大

1．无穷小

（1）无穷小的定义

如果函数f（x）当x→（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→（或x→∞）时的无穷小。特别地，以零为极限的数列{}称为x→∞时的无穷小。

注意不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在x→（或x→∞）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数ε，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数ε，例如取ε等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的ε。零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果f（x）≡0，那么对于任意给定的ε＞0总有|f （x）|＜ε。

（2）无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）＝A＋，其中是无穷小。

2．无穷大

（1）无穷大的定义

设函数f（x）在的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0＜|x－|＜δ（或|x|＞X），对应的函数值f（x）总满足不等式，则称函数f(x)为当x→（或x→∞）时的无穷大。

当x→（或x→∞）时的无穷大的函数f（x），按函数极限定义来说，极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一状态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作

。

如果在无穷大的定义中，把|f（x）|＞M换成f（x）＞M（或f （x）＜一M），就记作

。

必须注意，无穷大∞不是数，不可与很大的数（如一千万、一亿等）混为一谈。

（2）无穷大与无穷小之间的关系

在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则1/f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则1/f （x）为无穷大。

五、极限运算法则

1．基本性质

（1）有限个无穷小的和也是无穷小。

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

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9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学同济课后答案

总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-1

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案9-1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q . 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分 ??=D d y x Q σμ),(. 2. 设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2}; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)??=D d σσ (其中σ为D 的面积);

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 证明 由二重积分的定义可知, ??∑=→?=D n i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以, σσσσλλ==?=→=→??∑0 10lim lim D n i i d . (2)????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数); 证明 ∑??∑=→=→?=?=n i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ??∑=?==→D n i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)??????+=2 1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 ∑∑∑===?+?=?2 222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有 ∑=→?n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→?+?=2222221111111 010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转 是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=) ()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 000000t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内, 温度的改变量为 ?T =T (t +?t )-T (t ), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??) ()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )() ()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义. 解 f (x +?x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x .

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

同济版 高等数学 课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

同济版高数课后习题答案.doc

习题 1 9 1. 求函数 f ( x) x3 3x 2 x 3 的连续区间 , 并求极限 lim f ( x) , lim f ( x) 及 lim f (x) . x2 x 6 x 0 x 3 x 2 解 f ( x) x 3 3x 2 x 3 (x 3)( x 1)( x 1) 函数在 ( , ) 内除点x 2 和x3 x 2 x 6 ( x 3)( x 2) , 外是连续的 , 所以函数 f ( x)的连续区间为( , 3) 、( 3, 2) 、 (2, ). 在函数的连续点x 0 处, lim f ( x) f (0) 1 . x 0 2 在函数的间断点x 2 和x 3 处, lim f (x) lim (x 3)( x 1)( x 1) , lim f ( x) lim ( x 1)( x 1) 8 . x 2 x 2 ( x 3)(x 2) x 3 x 3 x 2 5 2.设函数 f ( x)与 g( x)在点 x0连续,证明函数 ( x) max{f ( x),g( x)},( x) min{ f ( x),g( x)} 在点 x0也连续. 证明已知 lim f ( x) f ( x0 ) , lim g (x) g( x0 ) . x x0 x x0 可以验证 ( x) ( x) 1 [ f ( x) 2 1 [ f (x) 2 g( x) | f (x)g( x) |] , g( x) | f (x)g ( x)|] . 因此( x0 ) 1 [ f ( x0 ) g (x0 ) 2 ( x ) 1 [ f ( x ) g (x ) 0 0 2 因为| f ( x0 )g (x0 ) | ] , | f ( x ) g (x )|] . lim ( x) lim 1 [ f (x) g( x) | f (x) g (x)| ] x x0 x x0 2 1 f ( x) lim g( x) | lim f ( x) lim g (x)|] [ lim 2 x x0 x x0 x x0 x x0 1 [ f ( x0 ) g ( x0 ) | f ( x0 ) g ( x0 )| ] 0 2 ( x ), 所以( x) 在点x0也连续 . 同理可证明( x) 在点x0也连续 . 3.求下列极限 : (1) lim x 2 2x 5 ; x 0

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

微积分习题答案上海同济大学数学

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 2 00000()12()lim lim lim .2t t t t s t t t t t v v g v gt t t t ?→?→?→???+?==-=-??? (2)由 00t v v gt =-=有0;v t g = (3)由0t v v gt =-有01(2).2 T v g t v ==。 3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。 解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。 5．解：(1) 220000(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00 -+-+→→---'''====?=--x x x x y y y x x (2)11000000(0)lim lim ,(0)lim lim ,00 αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x x x y x y x x x 因此，只有当α为有理数且2α≠n m 时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。 6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此 (1) 00(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+?=x x x f f x a a 即 (2) 111sin(1)11(1)(1),lim lim 1.11 - +-+→→--+-''==?=--x x x b x f f b x x 即 7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim 1x f x x →-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？ 解：由于得f (x )在x =0点连续，则0 lim ()(0).→=x f x f 由0()1lim 1x f x x →-=-有： (1) []00000()1()1lim lim lim 0lim ()10lim ()1→→→→→--?=?=?-=?=x x x x x f x f x x x f x f x x x ，即f (0)=1; (2) 00()1()(0)lim lim 1(0) 1.0 →→--'==?=-x x f x f x f f x x 8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。 因此 000()(0)()sin (0)sin0()sin (0)lim lim lim (0).0→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x f g x x x 9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求 (1)00cos ()(cos 1)(()1)lim lim →→----=x x x f x x f x x x

同济版高等数学新编课后习题解析完整版

同济版高等数学新编课 后习题解析 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 2 11)1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 1 2 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。