磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理
1.
选择题
两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处
磁场强度大小为
（A ）0 （B ）πμ02000T （C ）πμ04000 T （D ）π
μ0400T 答案：A
边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度
（A ）与a 无关 （B ）正比于2
a （C ）正比于a （D ）与a 成反比 答案：D
载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝
（A ）1：1 （B ）π2：1 （C ）π2：4 （D ）π2：8 答案：D
一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。若作一个半径为a R 5=、高l 的圆柱形曲面，轴与载流导线的轴平行且相距a 3，则B
在圆柱侧面S 上积分?
?s d B
为
（A ）
I a πμ520 （B ）I a πμ250 （C ）0 （D ）I a
πμ
50 答案：C
长直导线通有电流I ，将其弯成如图所示形状，则O 点处的磁感应强度大小为
（A ）
R I R I 4200μπμ+ （B ）R I R I 8400μπμ+ （C ）R I R I 8200μπμ+ （D ）R
I
R I 4400μπμ+ 答案：B
如图所示，两根长导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点上，两导线的夹角为α，环的半径R ，将两根导线在很远处与电源相连，从而在导线中形成电流I ，则环中心点的磁感应强度为
（A ）0 （B ）R
I
20μ （C ）
αμsin 20R
I
（D ）
αμcos 20R
I
答案：A
两条长导线交叉于一点O ，这两条导线上通过的电流分别为I 和2I ，则O 点的磁感应强度为
（A ）0 （B ）π
μI 0 （C ）πμI 02 （D ） πμI
04
答案：A
两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向
（A ）竖直向上 （B ）竖直向下 （C ）水平向右 （D ） 水平向左 答案：B
2. 计算题
如图一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系？
解：带电圆盘的转动，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加，某一半径为ρ的圆环的磁场为ρ
μ20di
dB =
而()ρσωρπ
ω
ρπρσd d di =?=22 （2分）
ρσωμρ
ρ
σωρμd d dB 002
1
2=
=
∴ （2分） 正电部分产生的磁感应强度为
r d B r
2
2
00
0σω
μρσω
μ=
=?
+ （2分）
负电部分产生的磁感应强度为
)(2
2
00r R d B R
r
-=
=?
-σω
μρσω
μ （2分）
令-+=B B （2分）
r R 2=∴
一半径为R 的无限长半圆柱形金属薄片，其中通有电流I ，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 的磁感应强度。
解 将截流的无限长圆柱形金属薄片看成由许多无限长的平行直导线组成。如图所示。对应θ到θθd +，宽度为θRd 的无限长直导线的电流
π
θ
πθId I R Rd dI ==
（2分） 它在P 点产生的磁感强度
θπμπμd R
I
R dI dB 20022==
（2分） B d 的方向是在与轴垂直的xy 平面内，与y 轴的夹角为θ。由对称性可知，半圆柱形
电流在P 处的磁感强度在y 方向相互抵消，所以，P 点的磁感强度沿x 轴正向，即
θθπμθd R
I
dB dB x sin 2sin 20=
= （3分） R
I
d R I dB B x 20020sin 2πμθθπμπ===?? （3分）
一个塑料圆盘，半径为R ，带电q ,均匀分布于盘表面上，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴线转动，角速度为w 。试求在圆盘中心处的磁感强度。
解 盘上的电荷密度2
R
q
πσ=
。在圆盘上取一个半径为r 宽为dr 的细环,它所带的电量rdr dq πσ2?=。 （1分）
这转动的带电细环相当于一个圆电流，其电流：
rdr w rdr w
rdr n ndq di σπσπ
πσ=?=
?==222 （3分） 它在盘心处所产生的磁感强度
dr w
rdr w r
r
di
dB σμσμμ2
2200
0=
=
=
（3分）
整个圆盘在盘心的磁感强度
R
wq
R w dr w dB B R
πμσμσ
μ22
2
00
00
=
=
==??
方向垂直盘面。 （3分） 如图，宽为l 的薄长金属板，处于y x 0平面内，与y 轴平行，设板上电流强度为I ，试求：（1）x 轴上点P 的磁感应强度的大小和方向；（2）当l d >>时，结果又如何？
解：（1）取坐标如图所示，在距原点O 为x 处取宽为dx 的细长直导线带，所载电流为
dx l
I
dI =
（1分）
则在P 点产生的磁感应强度方向垂直图面向里，大小为 )
(20x l d dI
dB -+=
πμ （2分）
整个薄长金属板在P 点产生的磁感强度大小为 )1ln(22000d
l
l I x l d dx l I dB B l l
+=-+=
=??
πμπμ （3分） 方向垂直图面向里。 （1分） （2）将对数函数做幂级数展开，即 +-=+2)(21)1ln(d
l
d l d l 当l d >>时略去高次项，得 d
I
d l l I B πμπμ2200=?≈
（3分） 结果表明在与薄长金属板距离足够远处的磁场近似于长直电流的磁场。 r
dI
dB 20μ=
毕奥-萨伐尔定律验证实验 实验目的 1. 测定直导体和圆形导体环路激发的磁感应强度与导体电流 的关系 2. 测定直导体激发的磁感应强度与距导体轴线距离的关系 3. 测定圆形导体环路激发的磁感应强度与环路半径以及距环路距离的关系 实验原理 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元在I d l 空间某点r 处产生磁感应强度d B 的大小：与I d l 的大小成正比，与电流元到该点的距离r 的平方成反比，与I d l 和r 之间小于π的夹角α的正弦成正比，比例系数为πμ4/0，即 02 d sin d 4I l B r μα π= （1） 式中0μ称为真空磁导率，其值为A /m T 10470??=-πμ。d B 的方向垂直于I d l 与r 构成的平面，用右手螺旋法则确定。毕奥-萨伐尔定律的矢量表达式为 02 d d 4r I r μπ?= l e B （2） 式中e r 是r 方向上的单位矢量。对于确定几何形状的导体，利用公式（1）对d B 积分，就得到该载流导体产生的总磁感应强度B 。例如：一根无限长导体，在距轴线r 的位置产生的磁场大小为： 00 2I B r μπ= （3） 而半径为R 的圆形导体回路在圆环轴线上距圆心x 处产生的磁场大小为：
() 2 2 0032 3 2 222IR IR B r R x μμ= = + （4） 本实验中，将分别利用轴向以及切向磁感应强度探测器来测量上述导体产生的磁场。 实验仪器： 毕-萨实验仪，探头（黑点朝上），电流源，待测圆环（其半径分别为20mm 、40mm 、60mm ），待测直导线，槽式导轨及支架。 实验步骤： 一、 直导体激发的磁场 1. 将直导线插入支座上； 2. 将恒流源上红、黑两导线对应接到直导体两端； 3. 将磁感应强度探测器与毕-萨实验仪连接，方向切换为垂直方向，并调零； 4. 将磁感应强度探测器与直导体中心对准； 5. 开始时使带电直导线和探测器在同一平面内，相互接触且互相垂直，此时可以近似认为距离0cm x =； 6. 打开恒流源电源。从0开始，逐渐增加电流强度I ，每次增加1A ，直至10A ，逐次记录测量到的磁感应强度值； 7. 保持10A I =，逐步向右移动磁感应强度探测器，测量磁感应强度B 与距离x 的关系，开始时使带电直导线和探测器在同一平面内，相互接触且互相垂直，此时可以近似认为距离0cm x =，然后缓慢移动探测器，每次移动1cm ，直至10cm ，逐次记录测量到的磁感应强度值。 二、 圆形导体环路激发的磁场 1. 将直导体换为20cm R =的圆环导体，连接到支架上； 2. 恒流源上红、黑两导线对应连接到支架的底座上；
毕奥—萨伐尔定律 1.选择题 1． 两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为：（ ） （A ）0 （B ）πμ02000 （C ）πμ04000 （D ）π μ0400 2．通有电流J 的无限长直导线弯成如图所示的3种形状，则P 、Q 、O 各点磁感应强度的大小关系为( ) A ．P B ＞Q B ＞O B B ．Q B ＞P B ＞O B C ． Q B ＞O B ＞P B D ．O B ＞Q B ＞P B 3．在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。问那个区域中有些点的磁感应强度可能为零：（ ） A ．仅在象限1 B ．仅在象限2 C ．仅在象限1、3 D ．仅在象限2、4
4．边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度( ) A ．与a 无关 B ．正比于2 a C ．正比于a D ．与a 成反比 5．边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为（ ） A ．01= B ，02=B B ．01=B ，l I B πμ0222= C ．l I B πμ0122= ，02=B D ．l I B πμ0122=， l I B πμ0222= 6．载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝（ ） A ．1：1 B ．π2：1 C ．π2：4 D ．π2：8 7．如图所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流A I 11=，方向垂宜纸面向外；电流A I 22=，方向垂直纸面向内。则P 点磁感应强度B 的方向与X 抽的夹角为( ) 8．四条相互平行的载流长直导线电流强度均为I ，方向如图所示。设正方形的边 长为2a ，则正方形中心的磁感应强度为( )。 A ．I a πμ02 B ．I a πμ220 C ．0 D ．I a πμ0 9． 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。若作一个半径为a R 5=、
毕奥-萨伐尔定律是怎样建立的 摘要：通过论述小磁针所做的简谐振动，掌握磁针所受的力与小磁针震动周期之间的关系，并通过测量小磁针运动周期的方法来间接测量小磁针的受力情况从而推理出毕奥-萨伐尔定律的内容，通过学习建立毕奥-萨伐尔定律的两个典型实验，揭示并论证建立毕奥-萨伐尔定律的研究方法和物理思想。 关键词：毕奥-萨伐尔定律；电流元；奥斯特实验；电流磁效应 Abstract:Through discussing the harmonic vibration made by the small needle to grasp the relationship between force and vibration cycles of the magnetic needle. Indirectly measuring force of the small magnetic needle by means of measuring the movement cycle of the small needle, and then to reason out the content of the Biot-savart law. Learning to build two typical experiments of Biot-savart law to reveal and demonstrate research methods and physical ideas of Biot-savart law. Key words:Biot-savart law;Current element; Oersted's experiment;Magnetic effect of electric current. 0引言 很早以前，人们就对电磁现象有了一些初步的认识，并且尝试着通过各种努力，试图了解其中的原理。直达1820年丹麦物理学家奥斯特提出了相关的假设，他猜测：“如果电流能够产生磁效应的话，这种效应就不可能在电流的方向上发生，这种作用很可能是横向的”。正是因为这样的假设，奥斯特做了有关的实验，并于1820年7月21日发现了电流的磁效应。随后实验物理学家毕奥和萨伐尔根据奥斯特的发现提出了自己的想法，并通过两个相关的实验验证了他们有关电流磁效应的假设。拉普拉斯通过毕奥和萨伐尔的结论，将电流载体转换为电流元的情况，并得出了毕奥-萨伐尔定律的数学表达式。这个定律的建立为以后的物理学发展起到了相当大的作用，也在现实生活中起到了很大的作用。 1 毕奥-萨伐尔定律建立的背景 1820年秋，阿拉果带着奥斯特发现电流磁效应的重要新闻回到法国，9月11日，他便在法国科学院报告了奥斯特的重要发现并演示其实验。阿拉果的报告使法国科学家迅速做出强烈反应。对法国科学家而言，他们受库仑的影响太深，此前一直相信电和磁之间没有联系并且对电和磁分别进行研究。阿拉果报告之后，法国科学家立即对电和磁的相互关系进行探索。一周后，安培就取得了重要的研究成果,1820年9月18日、9月25日和10月9日，安培在科学院会议上宣读了3篇论文，并且用实验表演
毕奥—萨伐尔定律 一. 选择题 1. 关于试验线圈,以下说法正确的是 (A) 试验线圈是电流极小的线圈. (B) 试验线圈是线圈所围面积极小的线圈. (C) 试验线圈是电流足够小,以至于它不影响产生原磁场的电流分布,从而不影响原磁场;同时线圈所围面积足够小,以至于它所处的位置真正代表一点的线圈. (D) 试验线圈是电流极小,线圈所围面积极小的线圈. 2. 关于平面线圈的磁矩,以下说法错误的是 (A) 平面线圈的磁矩是一标量,其大小为P m =IS ; (B) 平面线圈的磁矩P m =Is n . 其中I 为线圈的电流, S 为线圈的所围面积, n .为线圈平面的法向单位矢量,它与电流I 成右手螺旋; (C) 平面线圈的磁矩P m 是一个矢量, 其大小为P m =IS , 其方向与电流I 成右手螺旋; (D) 单匝平面线圈的磁矩为P m =Is n ,N 匝面积相同且紧缠在一起的平面线圈的磁矩为P m =NIS n ; 3. 用试验线圈在磁场中所受磁力矩定义磁感应强度B 时, 得空间某处磁感应强度大小的定义式为B=M max /p m ,其中p m 为试验线圈的磁矩, M max 为试验线圈在该处所受的最大磁力矩.故可以说 (A) 空间某处磁感应强度的大小只与试验线圈在该处所受最大磁力矩M max 成正比. M max 越大,该处磁感应强度B 越大. (B) 空间某处磁感应强度的大小只与试验线圈的磁矩p m 成反比. p m 越大,该处磁感应强度B 越小. (C) 空间某处磁感应强度的大小既与试验线圈在该处所受的最大磁力矩M max 成正比,又与试验线圈的磁矩p m 成反比. (D) 空间某处磁感应强度时磁场本身所固有的,不以试验线圈的磁矩p m 和试验线圈在该处所受最大磁力矩M max 为转移. 4. 两无限长载流导线，如图9.1放置，则坐标原点的磁感应强度的大小和方向分别为： (A)2μ0 I / (2 π a ) ,在yz 面内，与y 成45?角. (B)2μ0 I / (2 π a ) ,在yz 面内，与y 成135?角. (C)2μ0 I / (2 π a ) ,在xy 面内，与x 成45?角. (D)2μ0 I / (2 π a ) ,在zx 面内，与z 成45?角. 5. 用试验线圈在磁场中所受磁力矩定义磁感应强度B 时, 空间某处磁感应强度的方向为 (A) 试验线圈磁矩P m 的方向. (B) 试验线圈在该处所受最大磁力矩M max 时,磁力矩M 的方向. (A) 试验线圈在该处所受最大磁力矩M max 时,试验线圈磁矩P m 的方向. (D) 试验线圈在该处所受磁力矩为零时,试验线圈磁矩P m 的方向. (E) 试验线圈在该处所受磁力矩为零且处于稳定平衡时,试验线圈磁矩P m 的方向. 二.填空题 1. 对于位于坐标原点,方向沿x 轴正向的电流元Idl ,它 图9.2 图9.1
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例 一、毕奥-萨伐尔定律 1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。微分形式为： 整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。 磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例 两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。 例1.载流长直导线的磁场 解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直
进入纸面。所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得： 讨论：（1）无限长直通电导线的磁场： （2）半无限长直通电导线的磁场： （3）其他例子 例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。 解：建立坐标系如图，
任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。 将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：， 所以有:，因为： ,r=常量， 所以：，又因为： 所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。 （2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。例3：设有一密绕直螺线管。半径为 R ，通电流 I。总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为： 。 因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为： 因为： 代入上式得： 所以： 讨论： （1）管内轴线上中点的磁场: （2）当 L>>R时，为无限长螺线管。此时,，管内磁场。即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。 （3）半无限长螺线管左端面（或右端面），此时:
磁感应强度，毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理 1. 选择题 1． 两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为：（ ） （A ）0 （B ）πμ02000 （C ）πμ04000 （D ）π μ0400 答案：（A ） 2．通有电流J 的无限长直导线弯成如图所示的3种形状，则P 、Q 、O 各点磁感应强度的大小关系为( ) A ．P B ＞Q B ＞O B B ．Q B ＞P B ＞O B C ． Q B ＞O B ＞P B D ．O B ＞Q B ＞P B 答案：D 3．在一个平面，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。问那个区域中有些点的磁感应强度可能为零：（ ） A ．仅在象限1 B ．仅在象限2 C ．仅在象限1、3 D ．仅在象限2、4
答案：D 4．边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度( ) A ．与a 无关 B ．正比于2 a C ．正比于a D ．与a 成反比 答案：D 5．边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为（ ） A ．01= B ，02=B B ．01=B ，l I B πμ0222= C ．l I B πμ0122= ，02=B D ．l I B πμ0122=， l I B πμ0222= 答案：C 6．载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝（ ） A ．1：1 B ．π2：1 C ．π2：4 D ．π2：8 答案：D 7．如图所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流A I 11=，方向垂宜纸面向外；电流A I 22=，方向垂直纸面向。则P 点磁感应强度B 的方向与X 抽的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．210°
309-磁感应强度： 毕奥—萨伐尔定律、 磁感应强度叠加原理 1. 选择题 1. 两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为[ ] （A ）0 （B ）π μ02000 T （C ）π μ04000 T （D ）π μ0400 T 答案：A 2. 在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。问哪个区域中有些点的磁感应强度可能为零[ ] (A)仅在象限1 (B)仅在象限2 (C)仅在象限1、3 (D)仅在象限2、4 答案：D 3. 两条长导线交叉于一点O ，这两条导线上通过的电流分别为I 和2I ，则O 点的磁感应强度为[ ] （A ）0 （B ） π μI 0 （C ） π μI 02 （D ） π μI 04 答案：A 4. 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为[ ] （A ）01 =B ，02=B （B ）01=B ，l I B πμ0222= （C ）l I B πμ01 22=，02 =B （D ）l I B πμ0122= ， l I B πμ02 22= 答案：C 5. 四条相互平行的载流长直导线电流强度均为I ，方向如图所示。设正方形的边长为2a ，则正方形中心的磁感应强度为[ ] （A ） I a πμ02 （B ）I a πμ220 （C ）0 （D ）I a πμ0 答案：C
6. 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。若作一个半径为 a R 5=、高l 的圆柱形曲面，轴与载流导线的轴平行且相距a 3，则B 在圆柱侧面S 上积分? ?s d B 为[ ] (A) I a πμ520 (B)I a πμ 250 (C)0 (D) I a πμ50 答案：C 7. 如图所示，一条长导线折成钝角 α，导 线中通有电流I ，则O 点的磁感应强度为[ ] (A)0 (B) απμcos 20I (C)απμsin 20I (D)απ μsin 0I 答案：A 8. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两 条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向[ ] （A ）竖直向上 （B ）竖直向下 （C ）水平向右 （D ） 水平向左 答案：D 9. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导 线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度为[ ] （A ）0 （B ） a I πμ220 （C ） a I πμ02 （D ） a I πμ0 答案：B 10. 边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度[ ] （A ）与a 无关 （B ）正比于2 a （C ）正比于a （D ）与a 成反比 答案：D 11.两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导 线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向[ ] (A)竖直向上 (B)竖直向下 (C)水平向右 (D) 水平向左 答案：B 12. 电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线2返回电源，如图。已知直导线上的电流强度为I ，圆环的半径为R ， ?=∠30aOb 。设长直导线1、2和圆环中的电流分别在O 点产生的磁感应强度为1B 、2B 、3B ， 则O 点的磁感应强度大小 [ ]