课时16．二次函数及其图像
【课前热身】
1．（2014?新疆）对于二次函数y =（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） ． 顶点坐标是
D 2、（2012四川重庆）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ． a >0
B ． b ＜0
C ． c ＜0
D ． a ＋b ＋c >0
3、（14四川） 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．
4（10沈阳）二次函数2
2(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1,3）
B.（－1,3）
C.（1,－3）
D.（－1,－3）
5. 二次函数y ax bx c =++2
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. a b c ><>000，，
B. a b c <<>000，，
C. a b c <><000，，
D. a b c <>>000，，
6、（10日照）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其
与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 .
7、抛物线y=9x 2
-(m+6)x+m-2的顶点在x 轴上，则m=_____________. 【考点链接】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： 。
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） 3、二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质
a ＞0
4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.
：①抛物线开口由 定，上正下负；②对称轴位置 定， 同 异，b 为0
时是y 轴；③与y 轴的交点由 定，上正下负，c 为0时过 。 【典例精析】
如图，抛物线y=﹣x 2
+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =8，求点B 的坐标．
【强化训练】
1、（2009临沂）．矩形ABCD 中，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点以2cm/s 的速度运动，动点F 从点C 同时
8cm 6cm AD AB ==，B A D F
C
E
H B
（第1题图）
出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动
时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y(单位：
)，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
2、（2008临沂）(如图，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函的图象大致是（ ）
4．（2006临沂）若A （－
134，y 1）、B （－1，y 2）、C （53
，y 3）为二次函数2
45y x x =--+的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
5、（2012?临沂）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以
1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：
s ），四边形PBDQ 的面积为y （单位：cm 2
），则y 与x （0≤x ≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、（2014山东临沂）在平面直角坐标系中，函数y=x 2
﹣2x （x ≥0）的图象为C 1，C 1关于
2
cm
第2题图
F A
G
E
B C A ． B ． C ． D ．
7、（2014·浙江金华）如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【 】
A ．1x 3-≤≤
B ．x 1≤-
C ．x 1≥
D ．x 1≤-或
8、（2014?甘肃兰州）把抛物线y=﹣2x 2
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位
9(2014东营)若函数y=mx 2
+（m+2）x+m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为 A ．0
B ． 0或2
C ． 2或﹣2
D ． 0，2或﹣2
10、（2012山东日照）如图，是二次函数 y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2
+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
11、（2011甘肃兰州）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得
出了下面四条信息：（1）；（2）c >1；（3）2a －b <0；（ 4）a +b +c <0。你认
为其中错误．．
的有 A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．1个
12（2014浙江杭州）设抛物线y=ax 2
+bx+c （a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．
13、( 2014年河南)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点．若点A 的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x =2．则线段AB 的长为 .
2
y ax bx c =++2
40b ac ->x
y -1 1
O
1
丹东市第二十四中学 2.1二次函数 主备：曹玉辉 副备：孙芬 李春贺 审核： 时间：2015年1月24日 一、学习准备： 1、函数的表示方法有：_______________，_______________,_____________________ 2、一次函数的表达式：______ ____（__ ______），当 时，是正比例函数。 回顾一次函数和正比例函数的性质：a 、经过的象限；b 、增减性；c 、与x 、y 轴交点坐标。 3、反比例函数的表达式：______ _ ___（__ ______）。 回顾反比例函数的性质:a 、经过的象限；b 、增减性； 4、一正方体的棱长为2x ，则它的面积y 与x 之间的关系是_______________________ 5、圆的面积为s ，半径是x ，则圆的面积s 与x 之间的关系是_________________________ 二、学习目标： 1.理解并掌握二次函数的定义,能正确识别二次函数。 2.会用二次函数的定义解决一些简单的计算问题。 三、自学提示： （一）自主学习： 活动一：仔细观察下列函数的特征，结合课本回答下例问题： 2y x = 24y x = 2s r π= 224y x =+ 232y x x =- 2521y x x =-+ 250100+50y x x =+ 以上函数中，含有________个变量，自变量x 的最高次数是_______次。 我们把形如y=____________ _____（其中 ）的函数通称二次函数。 其中:a 叫做___________,b 叫做______________,c 叫做_________________ 注意：2 (0)y ax bx c a =++≠中，若a=0，则函数变为________________，即为___________ 练一练：下列函数中,(x,t 是自变量),哪些是二次函数？ (1)y=21- +3x 2 ,(2) y=2 1 x 2+x 3+25, (3) y=22+2x, (4) s=1+t+5t 2 (二)合作探究： 1.下列函数中，二次函数有_______________________________________.（填序号） ① x y 322 += ②2 5x y -= ③ 2521 32+--=x x y ④2 62x x y -= ⑤2 51t t s ++= ⑥ 1)1(32+-=x y ⑦ 21 x y = ⑧2r v π=⑨ 2321 x y +- = 2、圆的半径是1cm ，假设半径增加x cm 时，圆的面积增加y cm 2 。 （1）y 与x 之间的关系表达式为__________________________。 （2）当圆的半径增加2cm 时，圆的面积增加______________cm 2 。
二次函数k h x a y +-=2)（的图象与性质 学习目标： 1、知识和技能： 1.会用描点法画出k h x a y +-=2)（的图象； 2.掌握二次函数k h x a y +-=2)（的性质； 3.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系； 4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 2、过程和方法：用描点法画二次函数k h x a y +-=2)（的图像，归纳出抛物线k h x a y +-=2)（的特点。 3、情感、态度、价值观：继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用。 学习重点：二次函数的k h x a y +-=2)（图象和性质。 学习难点：理解抛物线之间的位置关系，能将实际问题转化为函数问题。 导学方法： 课 时： 导学过程 一、课前预习： 阅读 22.1.3（3） 二次函数k h x a y +-=2)（的图象与性质内容解决<<导学案>>自主测评内容。 二、课堂导学： 1、情境导入：请你从开口，顶点，对称轴方面叙述抛物线2)(h x a y -=的性质。 2、出示任务、自主学习： 1.会用描点法画出k h x a y +-=2)（的图象； 2.掌握二次函数k h x a y +-=2)（的性质； 3.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系； 4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 3、合作探究： 1、画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性． 2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2 形状___ ________，位置________ ________． 3、抛物线y ＝ax 2先向上平移｜k ｜（k>0）个单位，再向右平移｜h ｜（h>0）个单位可得抛物 线 。 展示反馈 1．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 2．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ） A ．y ＝12 (x －2)2＋3 B ．y ＝12 (x ＋2)2－3 C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3 D ．y ＝－12 (x ＋2)2＋3 3．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________． 4．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为 _______________________． 四、学习小结： 五、达标检测： 1．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 2．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示
第二十六章二次函数 课题：26.1 二次函数 执教人（备课人）：虞福中。第01课时 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： （1）面积y (cm2)与圆的半径x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x 两年后王先生共得本息y元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为x (cm), 种植面积为y (m2)
（一） 教师组织合作学习活动： 1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 x y = (2) 2 1x y - = (3) 122 --=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732 -+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2 )1(2为二次函数，则m 的值为 。 三、例题示范，了解规律 例1、已知二次函数 q px x y ++=2 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一 x
二次函数 第1课时 审核人：雷昌秀 编写人：王利 时间：2014年7月3日 一、自选目标 1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系； 2．知道什么是二次函数； 3．能根据实际问题确定自变量的取值范围． 二、自主预习（28-29页） 1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 2. 如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是__________. 3. 下列函数中哪些是二次函数，并指出其中的a ,b ,c 的值？ （1）v=10r 2 (2)s=3-2t 2 （3） y=(x+3)2-x 2 （4） y=(x-1)2-2 4.二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 5.一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 三、自由探究 例题： 1．函数y ＝(m+2)x 2＋(m －2)x －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 2．一块长工100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路， 这时草地面积为y(m 2 )，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 四、自我展示 1.谈谈你本节课的收获 2.完成教材29页练习1-2题，41页习题22.1第1-2题，并展示。 五、自我测评 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-⑤31 2+- =x x y ；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。 （只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
《二次函数复习》教学案 班级：初三 18 班年级：九设计者：李玲时间： 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题． 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性． 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点教学难点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备 （教具、活制作课件 动准备等） 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像，通过一个具体二次函数， 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识．同学们之间可以自我构建 相互补充，体现团结协作精 神．同时发展了学生的探究意 识，培养了学生思维的广阔 性． 二次函数是生活中最常 见的一类函数，它有着自己固 有的性质，反映的是轴对称性 和增减性； 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标，我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式；基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况，我们可以把一 般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的 性质，我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性，而数又能细致刻画函数图
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：
第1课时二次函数的概念 【学习目标:] 1 ?经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描 述变量之间的数量关系； 2?探索并归纳二次函数的定义； 3 ?能够表示简单变量之间的二次函数关系 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 、学习准备 1 .函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们 称 ________是_________ 的函数，其中 __________ 是自变量， _________ 是因变量。 2 ?一次函数的关系式为 y= （ 其中k 、b 是常数，且kN ）；正比例函数的关系式为 y = （ 其中 k 是 _________________ 的常数）；反比例函数的关系式为 y= （k 是 ________________________________________ 的常数）。 二、解读教材一一数学知识源于生活 3 ?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结 600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么y= _________________________________ 。 4?如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x , —年到期后，银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存。那么你能写岀两年后的本息和 y （元）的表达式（不考虑利息税）吗？ ________________________________________ 5 ?能否根据刚才推导出的式子 y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如 y = ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数, 理解并熟记几遍。 例1下列函数中，哪些是二次函数？ 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ 2 1 2 （1） y x （2） y x 2 子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子, 1 2 1 (1) y — 3x (2) y 2 2 x ⑶ y 22 2x (4) s 1 t (5) y (x 3)2 x 2 (6) s 10 r ⑷ y 3( x 1)2 1 (5) 2 y ax c (6)
26.1二次函数 §26.1.1《二次函数》导学案 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 【活动一】知识链接（5分钟） 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________ y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④ 32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函 数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________. 3.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式 为 . 【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1.二次函数2 ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）. （1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小. 2. 已知二次函数22y x =. （1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值. （3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交二次函数的图象于A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABC 的面积S △ABC .
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
30.1 二次函数 【学习目标】 了解二次函数的有关概念；会确定二次函数关系式中各项的系数；确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习重点】二次函数的表达式. 【学习难点】二次函数的判断. 【读书思考】阅读课本第内容，思考:1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不为0. 2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式. 【学习过程】（类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。） 一、知识链接: 1、若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2、形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。 二、自主学习： 1、如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 的函数关系式为 。 2、二次函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数关系式有什么不同？ 3、归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 4、思考：二次函数y= ， （1）二次项系数a 为什么不等于 0？ 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 三、典题解析 例１.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x 例２．已知y=(m －4)x m2-3m-2+2x －３是二次函数，求m 的值 四、巩固练习 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
第二十二章二次函数教案 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1 节二次函数…………………………7 课时 22．2 用函数的观点看一元二次方程…………………2课时 22．3 实际问题与二次函数…………………3 课时 教学活动小结及测试…………………3 课时（三）、本章教学目标分析 （1 ）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。 ②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。 ③经历二次函数图象平移的过程。 ④了解y=ax2，y=a（x＋m）2，y=a（x＋m）2＋n三类二次函数图象之间的关系。 ⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。 ⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。 ⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
二次函数应用 【教学重难点】 1、抛物线y=a （x-h ）2+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为 . 2、总销售利润=单件销售利润×销售总量 =（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】 针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。 【随堂练习】 1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求 与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求 与之间的函数关系式，并写 出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时， 的值最大？最大值是多少？ 3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调 查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1 ,而其 每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定 的值； 400 300 y (件)
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 活动1知识准备 1.y＝3x－1是函数；y＝1 2x既是一次函数，又是函数. 2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数. 活动2教材导学 二次函数的概念 （1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数. （2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是. （3）以上两个函数有什么共同特点？ ?知识点一二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的, 和. ?知识点二用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是. 在实际问题中，自变量的取值要使有意义. 探究问题一二次函数的判别 例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ （1）y＝9x2－x；（2）y＝－1 3x 2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1 x2＋x 2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1. [归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式. 探究问题二用二次函数表示变量之间的关系 例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次. （1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数； （2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？
二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值．
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
第1课时 二次函数的概念 【学习目标】 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y (3) x y 222+= (4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y (4) 1132--=）（x y (5)c ax y -=2 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用
26．1二次函数教案及练习答案（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的 关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 26．1二次函数（二） 一．学习目标： 1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象，理解抛物线的有关概念。 2、经历、探索二次函数y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思 m m 2 21)x (m y --=
新人教版九年级数学第二十二章导学案 22.1.1 二次函数 1. 函数 __________________________________________________ 2. 正比例函数的一般形式 _______________________________________ 一次函数的一般形式 _______________________________________ 3. 一元二次方程的一般形式 _______________________________________ 二、自主学习： 看引言中正方体的表面积的问题 正方形的六个面是全等的正方形， 设正方体的棱长为x ，表面积为y ,显然 对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，他们的具体关系可 以表示为 ___________ . ______ 问题1. n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？ 问题2. 某种产品现在的年产量是 20t,计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年 1. 2. 3. 学习重点： 了解二次函数的有关概念. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，确定函数的关系 式。 理解二次函数的定义。 学习难点： 确定实际问题中二次函数的关系式。 学法指导： 利用小组合作、交流、探究，类比一次函数来学习二次函数，注意 知识结构的建立。 主备人：刘春友 审核人：梅耀发 审批人：李春山 执教人：刘春友 使用时间：2016.09 班级：九年一班 课题：22.1.1二次函数 课时：第一课时 课型：新授课 学习目标： 导学过 程: 课前测评