第六章 代数系统

第六章代数系统

1、填空题:f就是X上得n元运算得定义就是( )。

2、判断正误,并说明原因:自然数集合N上得减法运算“－”就是个封闭得运算。

3、判断正误,并说明原因:实数集合R上得除法运算“÷”就是个封闭得运算。

4、填空题:代数系统得定义就是:( )。

5、填空题:*就是X上得二元运算,*具有交换性,则它得运算表得特征就是( )。

6、填空题:*就是X上得二元运算,*具有幂等性,则它得运算表得特征就是( )。

7、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是幺元？

8、简答题:*就是X上得二元运算,*具有零元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是零元？

9、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素就是元素x得逆元？

10 令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4:

任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出得运算表。然后判断+4运算就是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素就是否有逆元？如果有上述这些元素,请指出这些元素都就是什么。

11、判断正误,并说明原因:对于整集合I上得减法运算“－”来说, 0就是幺元。

12、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得交运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。

13、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得并运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。

14、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得对称差运算⊕得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( )。它们得逆元分别就是( )。

15、填空题:对于自然数集合N上得加法运算“＋”,13＝( )。

16、填空题:您所知道得满足吸收律得运算有( )。

17、填空题:您所知道得具有零元得运算有( ),其零元就是( )。

18、设★就是X上得二元运算,如果有左幺元e L∈X,也有右幺元e R∈X,则e L= e R =e ,且幺元e 就是唯一得。

19、设★就是X上得二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR =θ,且零元θ就是唯一得。

20、设★就是X上有幺元e且可结合得二元运算,如果x∈X,x得左、右逆元都存在,则x得左、右逆元必相等。且x得逆元就是唯一得。

21、设★就是X上且可结合得二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a就是可消去得,即任取x,y∈X,设有a★x=a★y 则x=y。

22、对于实数集合R,给出运算如下:＋就是加法、—就是减法、?就是乘法、max 就是两个数中取最大得、min就是两个数中取最小得、|x-y|就是x与y差得绝对值。

N”。

x*y=xy－2x－2y＋6

1.验证运算* 就是否满足交换律与结合律。

2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。

3.对任何实数x,就是否有逆元？如果有,求它得逆元,如果没有,说明原因。

24、设★就是X 上有幺元e 且可结合得二元运算,求证如果 x ∈X,都存在左逆元,则x 得左逆元也就是它得右逆元。

25、 、给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算得性质,并用“Y ”表示“有”,用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素就是什么。

27、 什么叫做同态核？

28、请举同构得两个代数系统得例子,并说明它们同构得理由。

29、 给出集合A ＝{0,1,2,3}与A 上得二元运算“*”。集合B ＝{S,R,A,L}与B 上得二元运算“ ”。 它们得运算表如下面所示。验证与同构。

30令S={|X 就是集合,*就是X 上得二元运算},即S 就是所有含有一个二元运算得代数系统构成得集合。就是S 中得代数系统间得同构关系。求证,就是S 中得等价关系。

31、 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法, 问与就是否同构？为什么？

32 已知代数系统与,其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示:

试证明它们同构。 a b c

a b c a b c

b b c

c b c · 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 2

1 2 3

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1

2

3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

* S R A L

S S R A L R R A L S

A A L S R

L L S R A

★

a b c a

b

c a b c b c a c

a b

a)

★ a b c a b c a b c b a c c c c b) ★ a b c a b c a b c a b c a b c c) ★ a b c a b c a b c b b c c c b d)

33给定两个代数系统,:R+就是正实数,×就是R+上得乘法运算;: R就是实数集合,＋就是R上得加法运算。它们就是否同构？对您得回答给予证明或者举反例说明之。

34、已知代数系统与同构,即X Y。并设f:X→Y就是同构映射, 请证明如果运算★可结合,则运算ο也可结合。

35、已知代数系统与同构,即X Y。并设f:X→Y就是同构映射, 请证明如果运算★可交换,则运算ο也可交换。

36、已知代数系统与同构,即X Y。并设f:X→Y就是同构映射, 请证明如果运算★有幺元e★ ,则运算ο也有幺元eο ,且f(e★ )= eο。

37、已知代数系统与同构,即X Y。并设f:X→Y就是同构映射, 请证明如果运算★有零元θ★ ,则运算ο也有零元θο,且f(θ★)=θο。

38 已知代数系统与同构,即X Y。并设f:X→Y就是同构映射, 请证明如果中每个x∈X可逆,即x-1∈X, 则中每个y∈Y也可逆,即y-1∈Y。且如果y=f(x) ,则y-1= (f(x))-1 =f(x-1)。(x映像得逆元=x逆元得映像)

39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也就是同余关系、

40、考察代数系统,定义I上如下关系R就是同余关系？

a)、∈R当且仅当(x<0∧y<0)∨(x≥0∧y≥0)

b)、∈R当且仅当|x-y|<10

c)、∈R当且仅当(x=y=0)∨(x≠0∧y≠0)

d)、∈R当且仅当x≥y

41、填空:★就是A上二元运算,代数就是半群,当且仅当( )。

42、填空:★就是A上二元运算,代数就是独异点,当且仅当( )。

43 列举出5个您所熟悉得就是半群得例子。

44、列举出5个您所熟悉得就是独异点得例子。

45 列举出1个您所熟悉得就是半群但不就是独异点得例子。

46、给定代数系统 ,★就是实数R上二元运算,定义为:?a,b∈R,

a ★ b=a+b+a·b

求证 就是独异点。

47、就是个半群,?a,b∈A,若a≠b则a★b≠b★a,试证:

a) ?a∈A,有a★a=a

b) ?a,b∈A, a★b★a=a

c) ?a,b,c∈A, a★b★c=a★c

48、设就是个半群,且左右消去律都成立,证明S就是交换半群得充要条件就是对任何

a,b∈S,有(a*b)2=a2*b2

49、设就是半群,如果S就是有限集合,则必存在a∈S,使得a★a=a。

50、设A就是有理数集合,在笛卡尔积A×A上,定义二元运算△如下:

任取,∈A×A △= 其中:?就是乘法。+就是加法。

求证就是独异点。

51、、设就是交换独异点,A就是M中所有幂等元构成得集合,证明就是得子独异点。

52、令I:就是整数集合;N:自然数集合,R:实数集合。＋就是加法运算,×就是乘法运算。给定代数系统,, ,,,,< P(E), ?>,。请问哪些代数系统不就是群？只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统就是群？并说明理由。

53、X=R－{0,1}, X上定义六个函数,如下所示:?x∈X,

f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x

f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1

令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6},ο就是F上得复合运算,试证明就是群。

54、令R就是实数,F={f| f(x)=ax+b,a,b,x∈R,a≠o },ο就是F上得函数左复合运算,试证明就是群。

55、设就是半群,e 就是左幺元,且对每个x∈A, ?x’∈A,使得x’★x=e,

a) 证明, ?a,b,c∈A,若a★b=a★c, 则b=c。

b) 证明就是群。

56、、设就是群,且|A|=2n, n就是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。

57、填空:令就是群,其中G={a,b,c},设a就是幺元,则b2=( ),b*c=( ),b与c得阶分别就是( )与( ) 。

58、A就是非空得有限集合,且|A|＝n 。令

F＝｛f| f就是A→A得双射函数｝

1.求|F| 等于多少？

2.令* 就是函数得左复合运算。问就是群吗？如果就是,给予证明。如果不就是,要说明理由。

59、设就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,b与c互为逆元。首先计算c*d (要有计算过程),再分别求元素b与d得阶。

60、设就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,且所有元素得逆元都就是它自身。求满足方程式b*x=c*d 中得x 。

61、判断下列各命题得真值,并说明理由。

1.就是个n阶群,则对于任何a,b∈G,有(a*b)-n=(b*a)n。

2.设f就是群到群得满同态映射,则对任何a,b∈G,有f(b*a-1)=(f(a*b-1))-1。

62、设就是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。

63、设就是个群,则对任何a,b∈G, 证明存在唯一元素x∈G, 使得a★x=b 。

64、就是个群,对任何a,b∈G,证明(a★b)-1=b-1★a-1。

65、就是个有限群,证明G中每个元素在★运算表中得每一行必出现且仅出现一次。

66、填空:就是个n阶群,则★运算表有( )特征。

67、什么叫做群得阶？

68、什么叫做群中运算得阶？

69 指出整数集合加法群中,各个元素得阶就是什么？为什么？

70、就是群, a∈G, 如果a得阶为n ,证明a k=e, 当且仅当k=mn (m∈I)(即k 就是n得整数倍)

71、证明群中得元素与其逆元具有相同得阶。

72、设就是有限群,任何a∈G,证明a得阶都就是有限得。

73、设就是群,而a∈G, f:G→G就是映射,

对?x∈G, f(x)=a★x★a-1求证f就是G到G得自同构。

74、设就是个群,而a∈G,如果f就是从G到G得映射,使得对任何x∈G, 都有

f(x)=a-1*x*a

试证明f就是从G到G得自同构、

75、设与都就是群,在A与B得笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下:

任取,∈A×B △=

求证也就是群。

76、设与都就是群,在A与B得笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下:

任取,∈A×B △=

已知也就是群。定义映射f: A×B→A ,对任意∈A×B,

f()=a

求证f就是到得同态映射,并求出f得同态核。

77、 令G ＝{2m 3n |m,n ∈Q,Q 就是有理数},“?”就是G 中乘法运算。

1.证明就是个群。

2.给定映射f :G →G,f 定义为f :2m 3n →2m ,证明f 就是G 到G 得同态映射;并求出f 得同态核。

78、 给出两个群与得运算表如下:证明它们同构。

79、 判断下面命题得真值。并简单说明原因。

1.R 为实数集合,×为乘法运算,则就是个交换群。

2.设就是n 阶群,则对任何a,b ∈G ,有a -n =b n 。

3.设就是群,且对G 中任何元素得逆元都就是它自身,则它就是交换群。

80、 就是交换群,当且仅当 对任何a,b ∈G 有

(a ★b)★(a ★b)=(a ★a)★(b ★b) ( 即(a ★b)2=a 2★b 2 )

81、令G={km|k ∈Z},m 就是某个确定得自然数,Z 就是整数集合,＋就是加法运算。 证明 就是交换群。

82、 设I 就是整数集合,在I 上定义二元运算 如下:

对于任何a,b ∈I a b=a ＋b －2

求证就是个交换群、

83、 已知就是交换群,a ∈G ,在G 上又定义一个二元运算“?”如下:

对于任何x,y ∈G,x ?y=x *a -1*y (其中a -1就是a 对于*运算得逆元)

求证也就是交换群。

84、 令G 就是所有非0实数构成得集合,在G 上定义二元运算 如下:

任何a,b ∈G , a b 。求证就是个交换群。

85、 设I 就是整数集合,在I 上定义二元运算*如下:

对于任何a,b ∈I a b=a ＋b －4

求证就是个交换群。

86 设就是群,?x ∈G,有x ★x=e,证明就是交换群 。

87、 证明任何阶数为1,2,3,4得群都就是交换群,并举一个6阶群,它不就是交换群。

88、 给定集合Ｇ＝{x|x 就是有理数且x ≠－1},在Ｇ上定义二元运算*如下:

对任何a,b ∈Ｇ,a *b=a + b + ab 。

求证<Ｇ,*>就是交换群。

89、 设就是群,?a,b ∈G,有a 3★b 3=(a ★b) 3, a 4★b 4=(a ★b) 4, a5★b 5=(a ★b) 5,证明就是交换群 。

90、 什么叫做循环群？什么叫做循环群得生成元？什么叫做循环群得循环周期？

91、证明循环群都就是交换群。

92、给定群 其中N 4 ={0,1,2,3},+4就是以4为模得加法运算。就是循环群吗？为什么？如果就是循环群请指出它得循环周期。

93、 给定群,它就是循环群吗？为什么？如果就是循环群请指出它得循环周期。

94、填空:设就是个以g 为生成元得有限循环群,|G|=n,则G=( )。

95、 令I 就是整数集合,在I 上定义二元运算 如下:对于I 中任何a 元素, p 1 p 2 p 3 p 4

p 1 p 1 p 2

p 3 p 4 p

2 p 2 p 1 p 4 p

3 p

3 p 3 p

4 p 1 p 2 p 4 p 4 p 3 p 2 p 1

★ q 1 q 2 q 3 q 4 q 1 q 3 q 4 q 1 q 2 q 2 q 4 q 3 q 2 q 1 q 3 q 1 q 2 q 3 q 4

q 4 q 2 q 1 q 4 q 3

a b=a＋b－2

求证就是个循环群

96、设I就是整数集合,在I上定义二元运算 如下:

对于任何a,b∈I a b=a－1＋b

求证就是个循环群、

97、设G={1,2,3,4,5,6}, ×7就是7为模得乘法运算,即

x,y∈G,x×7y=(xy)(mod 7), 例如4×75＝20(mod 7)=6

就是循环群吗？如就是,指出生成元。

98、循环群得任何子群都就是循环群。

99、填空题:设就是以g为生成元得n阶循环群,则元素g得阶为( )。

100 判断题下面命题得真值:循环群得生成元也就是其任何子群得生成元。101、什么叫做子群？

102 名词解释:平凡子群与真子群

103、设就是群, B就是G得有限子集,如果★在B上满足封闭性,则就是得子群。

104、填空:设就是群得子群,a∈G,定义集合:

aH=( )

则称aH为a确定得H在G中得左(右)陪集。

105设H3={0,2,4},就是以6为模得加法运算。验证就是得子群。并分别求左陪集1H3与2H3。

106、设N6={0,1,2,3,4,5},＋6就是N6上以6为模得加法运算。即

任何x,y∈ N6,x＋6 y=(x+y)(mod 6), 例如4＋6 5＝9(mod 6)=3

1.画出< N6,＋6>得运算表。

2.< N6,＋6>就是否为群？为什么？

3.如果就是群,它有几个子群？分别列出子群得运算表。

107、设就是群、?a∈G, 令H={y| y★a=a★y, y∈G}

求证, 就是得子群。

108、设就是个群, R就是G中等价关系,定义为:对于任何a,b,c∈G, 如果有∈R, 则∈R、又定义集合H为

H＝{x| x∈G, 且∈R, e就是G中幺元}

求证就是得子群。

109、设就是得子群, 定义集合A如下:

A={x| x∈G, x★H★x-1=H}

求证就是得子群、

110 p就是个质数, 证明p m阶群中必包含着一个p阶子群、

111、证明25阶群必含有5阶子群。

112、p就是个素数,就是个p阶循环群,则G中有多少个生成元？为什么？113 就是群得子群,任取a,b∈G,则aH=bH得充分且必要条件就是( ) 114、设就是个群,且|G|=11,任取a,b∈G,且a,b不就是幺元,设a,b得阶分别就是m与n, 令A={a1,a2,…a m},B={b1,b2,…b n}。试问A、B以及G三者有什么关系？为什么？

115 就是群,定义G上关系R如下;

R= {| ?z∈G,使得y=z★x★z-1 }

116设就是个群,与就是其子群, 在G上定义关系R为: 任意a,b∈G, aRb?存在h∈H, k∈K 使得b=h*a*k

证明R就是G上等价关系、

117、设 就是群得子群, R就是G上关系, 定义如下:

aRb 当且仅当a-1*b∈H, a,b∈G

1.求证R就是G上等价关系、

2.e就是G中幺元,由e确定得相对R得等价类[e],求证[e]=H。

118、设f与g都就是群到得同态,证明就是得一个子群,其中

C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}

119、设f就是从群到得同态映射, 则f为入射,当且仅当Ker (f)={e1}, 其中e1就是G1中得幺元。

120、、G就是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群。

121 设就是群, S就是G得非空子集,如果任何a,b∈S 有a★b-1∈S, 则就是得子群。

122已知与 就是群 得子群,求证 就是、与得子群。

123 设就是个群,与就是其子群,且已知|H|＝6,|K|＝35,试求H?K。并对您得回答说明原因。

124、设就是群得子群,且H?G,|G|=15,则就是交换群。此说法正确否？为什么？

125、填空: 设就是个群,且已知|G|＝n,如果元素a∈G,a得阶为m,则m与n 得关系就是( )

126、填空:设f就是从群到得同态映射, x1,x2∈X,且y1＝f(x1) ,y2＝f(x2),

则f((x1-1★ x2) -1) =( )。

127、设f就是从群到得同态映射,K为f得同态核,即ker(f)=K。求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K得同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。

128、填空:代数系统就是个环,当且仅当就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。

129、填空:代数系统就是个交换环,当且仅当就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。

130、填空:代数系统就是个含幺环,当且仅当就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。

131 填空:代数系统就是个整环,当且仅当就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )与( )。

132 填空:代数系统就是个域,当且仅当( )就是个交换群,( )就是个交换群,并且还满足条件( )。

133 填空:代数系统就是个域,当且仅当 就是( ),就是( ),并且还满足条件( )。

134、令N就是自然数集合,I就是整数集合,R就是实数集合,+与·分别就是加法与乘法, ,, 中哪些不就是环吗？为什么？如果就是环,那些不就是整环？为什么？哪些不就是域？为什么？

135、判断, , 就是否为环？为什么？

136、试证就是有幺元得交换环,其中⊕与ο得

定义为:对任何a,b∈I,

a⊕b=a+b-1 a ο b=a+b-ab

137、、设就是一个环, 并且对于任何a∈A ,有a?a=a , 证明

a)、对于任何a∈A, 都有a+a=θ,其中θ就是+得幺元、

b)、就是一个交换环、

138、下面得说法就是否正确？说明理由

、设就是个域,对任何a,b∈F,如果a*b=0,则必有a=0或b=0

1、答案:( f:X n→Y )。

2、答案:错误。举反例:1－2＝-1,-1不就是自然数。所以不封闭。

3、答案:错误。0不能做除数。例如1÷0没有定义,所以“÷”不就是R上得运算。

4、答案:代数系统定义:X就是非空集合,X上有m个运算f1, f2, f3,…, f m, 则称为一个代数系统。

5、答案:(它得运算表就是个与主对角线为对称得表)

6、答案:(运算表得主对角线上各个元素均与表头元素对应相同)

7、答案:

从运算表找左幺元e L : e L 所在行得各元素均与上表头元素相同。

从运算表找右幺元e R : e R 所在列得各元素均与左表头元素相同。

e L = e R =e e 就是幺元。

8、答案:

从运算表找左零元θL :θL 所在行得各元素均与左表头元素相同。

从运算表找右零元θR :θR 所在列得各元素均与上表头元素相同。

θL ＝θR =θ、 θ就是零元。

9、答案:

从运算表找x 得左逆元 x L -1 :在x 列向下找到e 后,再向左到左表头元素即就是x L -1 。

从运算表找x 得右逆元 x R -1: 在x 行向右找到e 后,再向上到上表头元素即就是x R -1 。

10、答案:得运算表如下:

由运算表瞧出:此运算满足交换性。有幺元0,没有零元,0得逆元就是0,1得逆元就是3,2得逆元就是2,3得逆元就是1。

11、答案:错误。尽管 x －0＝x ,这说明0就是右幺元。但它不就是左幺元,如0－x ＝-x ≠x 。

12、答案:运算?得幺元就是(E )。零元就是(Φ)。有逆元得元素就是(E ),它们得逆元分别就是( E )。

13、答案:运算?得幺元就是(Φ )。零元就是(E)。有逆元得元素就是(Φ),它们得逆元分别就是( Φ )。

14、答案:运算⊕得幺元就是(Φ )。零元就是(无)。有逆元得元素就是(所有元素X ∈P(E)),它们得逆元分别就是(X 自身 )。

15、答案:13＝( 3 )

16、答案:( 合取∧与析取∨ 或者 集合得交?与并? )

17、答案:(乘法×,零元就是0;合取∧,零元就是F;析取∨,零元就是T; 集合得交?,零元就是Φ;并?,零元就是全集E 。)(写出一个运算即可)

18、答案:证明:因为 e L 就是左幺元,又e R ∈X,所以 e L ★e R =e R

因为e R 就是右幺元,又 e L ∈X,所以 e L ★e R = e L

于就是 e L = e R =e 。

下面证明幺元得唯一性。假设有两个幺元e 1、e 2,

因为e 1就是幺元,又e 2∈X,所以 e 1★e 2=e 2

因为e 2就是幺元,又 e 1∈X,所以 e 1★e 2= e 1

则 e 1= e 2 =e 。所以幺元就是唯一得。

19、答案:证明:因为 θL 就是左零元,又θR ∈X,所以 θL ★θR =θR

因为θR 就是右零元,又 θL ∈X,所以 θL ★θR = θL

于就是 θL = θR =θ。

下面证明零元得唯一性。假设有两个零元θ1、θ2,

因为θ1就是零元,又θ2∈X,所以 θ1★θ2=θ2

因为θ2就是零元,又 θ1∈X,所以 θ1★θ2=θ1

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1

2

3 0

2 2

3 0 1

3 3 0 1 2 +4

则θ1= θ2 =θ。所以零元就是唯一得。

20、答案:证明:设x L-1、x R-1分别就是x得左、右逆元,于就是有x L-1★x = x★ x R-1 =e x R-1 =e★ x R-1 =( x L-1★x)★ x R-1 = x L-1★(x★ x R-1)= x L-1★e= x L-1

假设x有两个逆元x1、x2, 所以x1★x= e = x★ x2

x2= e★ x2 =( x1★x)★ x2= x1★( x★ x2)= x1★ e = x1

所以x得逆元就是唯一得。

21、答案:证明、如a∈X,且a-1∈X,任取x,y∈X,设有a★x=a★y 则

a-1★(a★x)= a-1★(a★y) (a-1★a)★x= (a-1★a)★y 所以

e★x=e★y x=y ∴a相对★就是可消去得。

1、(1)验证*可交换:任取x,y∈R,

x*y=xy-2x-2y+6＝yx-2y-2x+6=y*x

(2) 验证*可结合:任取x,y,z∈R,

(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6＝xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6

= xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6

x*(y*z)=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6＝xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6

=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6

可见(x*y)*z= x*(y*z)。

2、(1) 设幺元为e,则对任何x∈R,有

e*x=ex-2e-2x+6=x,于就是e(x-2)=3x-6=3(x-2) 所以e=3

3*x=3x－2×3－2x＋6＝x 由于*可交换x*e＝x,所以3就是幺元。

(2) 设零元为θ,则对任何x∈R,有

θ*x=θx-2θ-2x+6=θ,于就是θ(x-3)=2x-6=2(x-3) 所以θ=2 。

2*x=2x－2×2－2x+6=2 由于*可交换x*2＝2,所以2就是零元。

3.任取x∈R, x≠2 (因为零元不可逆),设x得逆元为x-1,于就是有

x*x-1=x x-1-2x-2x-1+6=3,(x-2) x-1=2x-3,于就是x-1＝(2x-3)/(x-2)

由于*可交换x* x-1＝3,所以x (x≠2)得逆元就是(2x-3)/(x-2)。

24、答案:证明:任取a∈X,?b∈X,b★a=e, 即b就是a得左逆元。?c∈X, c★b=e, 即c就是b得左逆元。于就是有

a★b=e★(a★b)=(c★b)★(a★b)=c★(b★a)★b=c★e★b=c★b=e 所以b也就是a得右逆元。

答案:设,就是两个代数系统,★与ο都就是二元运算,如果存在映射f:X→Y,使得对任何x1 ,x2∈X,有

f(x1★x2)=f(x1)οf(x2) --------此式叫同态(同构)关系式

则称f就是从到得同态映射,简称这两个代数系统同态。记作X ~Y。

如果f 就是满射得,称此同态f 就是满同态映射。

如果f 就是入射得,称此同态f 就是单一同态映射。

如果f 就是双射得,称与同构,记作X Y 。

f 就是到 得同构,称之为自同构。

27、答案:设,就是两个代数系统,★与 ο 都就是二元运算,如果存在映射f:X →Y 就是从到得同态映射,即X ~Y 。设e ο就是Y 中幺元。则集合

Ker(f)={x| x ∈X,f(x)＝e ο}

称此集合为f 得同态核。

28、答案:设R +就是正实数,×就是R +上得乘法运算构成代数系统; R 就是实数集合,＋就是R 上得加法运算,构成代数系统。与同构。

构造映射 f:R +→R

任何x ∈R +, f(x)=lgx (就是双射)

任何x,y ∈R +, f(x ×y)=lg(x ×y)=lgx+lgy=f(x)+f(y)

所以与同构。

29、答案:构造映射 f:A →B 如下, 显然f 就是双射。

下面验证 f 就是同构映射。 f(1*2)=f(3)=L f(1)οf(2)=R οA=L ∴ f(1*2)=f(1)οf(2)

f(1*3)=f(0)=S f(1)οf(3)=R οL=S ∴ f(1*3)=f(1)ο f(3)

f(2*3)=f(1)=R f(2)οf(3)=A οL=R ∴ f(2*3)=f(2)οf(3)

f(2*2)=f(0)=S f(2)οf(2)=A οA=S ∴ f(2*2)=f(2)οf(2)

其余类似可验证。 ∴A B

30、答案:

1、 有自反性:任何代数系统 , 有XX 。

证明: 因为有双射 I X :X →X, 任取x 1 ,x 2∈X,有

I X (x 1★x 2)= x 1★x 2 =I X (x 1)★I X (x 2) 所以 XX 。所以有自反性。

2、 有对称性:任何代数系统 , 如果有 X Y ,则必有Y X 。 证明:因有X Y,∴有双射 f:X →Y , 任取x 1 ,x 2∈X,有

f(x 1★x 2)= f(x 1) *f(x 2)

因 f 就是双射,∴有 f -1:Y →X, 任取y 1 ,y 2∈Y

因 f :X →Y 就是满射,?x 1 ,x 2∈X, 使得 y 1=f(x 1), y 2=f(x 2)

∴ x 1=f -1 (y 1) , x 2=f -1 (y 2)

f -1(y 1* y 2)=f -1 (f(x 1) * f(x 2))= f -1 (f(x 1★x 2))= f -1οf(x 1★ x 2)

= I X (x 1★x 2)=x 1★x 2 =f -1 (y 1)★f -1 (y 2) ∴Y X, 所以有对称性。

3、 有传递性:任何代数系统 , 如果有X Y 与 Y Z,则必有 X Z 。

证明:因有X Y,∴有双射 f:X →Y , 任取x 1 ,x 2∈X,有

f(x 1 ★x 2)= f(x 1)* f(x 2)

因有Y Z ,∴有双射 g:Y →Z, 任取y 1 ,y 2∈Y,有

g(y 1* y 2)= g(y 1)?g(y 2)

又已知双射 g οf:X →Z, 任取x 1 ,x 2∈X, 令h=g οf

S L

A → B

1

2

3 f R

A

h(x 1★x 2)=g οf(x 1★x 2)=g(f(x 1★x 2))=g(f(x 1) * f(x 2) )

=g(f(x 1))? g(f(x 2))= g οf(x 1)? g οf(x 2)=h(x 1)?h(x 2) ∴ X Z 。所以有传递性。 最后得就是个等价关系。

31、答案:与同构。

、 因为 B={1,2,4,8,16,…}＝{20, 21, 22, 23, 24,…、、}。

构造双射f:A →B 。任何i ∈A, f(i)= 2i ,显然f 就是双射。

验证f 满足同构关系式。任取i,j ∈A

f(i+j)=2i+j =2i *2j =f(i)*f(j)。 所以与同构。

32、答案:证明:构造双射f:S →P 如下:

f(a *b)=f(b)=2 f(a)·f(b)=3·2=2 f(a *b)=f(a)·f(b)

f(b *c)=f(c)=1 f(b)·f(c)=2·1=1 f(b **c)=f(b)·f(c)

f(a *c)=f(c)=1 f(a)·f(c)=3·1=1 f(a *c)=f(a)·f(c)

f(c *c)=f(c)=1 f(c)·f(c)=1·1=1 f(c *c)=f(c)·f(c)

可以验证对任何x,y ∈S, 有 f(x *y)=f(x)·f(y)。 所以与同构。

33、答案:与同构。

证明:构造映射 f:R +→R

任何x ∈R +, f(x)=lgx (就是双射)

任何x,y ∈R +, f(x ×y)=lg(x ×y)=lgx+lgy=f(x)+f(y)

所以与同构。

34、答案:证明:任取y 1 ,y 2 , y 3 ∈Y, 因 f :X →Y 就是满射,?x 1 ,x 2 , x 3∈X, 使得 y 1=f(x 1) , y 2 =f(x 2) , y 3 =f(x 3) 。

y 1ο (y 2 ο y 3) = f(x 1) ο (f(x 2) ο f(x 3)) = f(x 1) ο f(x 2★ x 3)

=f(x 1★( x 2★ x 3)) =f((x 1★ x 2)★ x 3) (因★可结合)

= f(x 1★ x 2) ο f(x 3) = (f(x 1) οf(x 2)) ο f(x 3)= (y 1 ο y 2 ) ο y 3

∴ ο也可结合。

35、答案:证明:任取y 1 ,y 2∈Y, 因 f :X →Y 就是满射,?x 1 ,x 2∈X, 使得 y 1=f(x 1) , y 2 =f(x 2) 。

y 1ο y 2 = f(x 1)ο f(x 2) =f(x 1★ x 2) = f(x 2★ x 1) (因★可交换)

= f(x 2)οf(x 1) = y 2 ο y 1 ∴ ο也可交换。

36、答案:证明:任取y ∈Y 因 f :X →Y 就是满射,?x ∈X, 使得 y=f(x)

y ο f(e ★)= f(x) ο f(e ★)=f(x ★e ★) =f(x)=y

f(e ★) ο y=f(e ★) ο f(x)=f(e ★★x) =f(x)=y

所以f(e ★ )就是相对ο得幺元。即f(e ★)= e ο 。

37、答案:证明:任取y ∈Y 因 f :X →Y 就是满射,?x ∈X, 使得 y=f(x)

y ο f(θ★) = f(x) ο f(θ★)=f(x ★θ★) = f(θ★)

f(θ★) ο y= f(θ★) ο f(x)=f(θ★★x) = f(θ★)

所以f(θ★) 就是相对ο得零元。即f(θ★) =θο

38、答案:证明:任取y ∈Y 因 f :X →Y 就是满射,?x ∈X, 使得 y=f(x)

设运算★得幺元e ★ ,运算 得幺元e ο 。∴ f(e ★)= e ο 。

y ο f(x -1)= f(x) ο f(x -1)=f(x ★x -1) =f(e ★)= e ο

f(x -1) ο y=f(x -1)

ο f (x)=f(x -1★x) =f(e ★)= e ο

所以 y -1= (f(x)) -1 =f(x -1)。

39、答案:证明:设R 与S 相对代数系统就是同余关系,

a)、已经证明过R ∩S 也就是A 上等价关系。 a

b

c

1 2 3 f:S → P

b)、下面证明R∩S相对满足代换性质:

任取x1,x2,y1,y2∈A,设有x1R∩Sx2∧ y1R∩Sy2 ,( 推出( x1★y1)R∩S( x2★y2) )

由题设得:

(x1Rx2∧ x1Sx2) ∧ (y1Ry2∧ y1Sy2 ) ? (x1Rx2∧ y1Ry2 ) ∧(x1Sx2∧ y1Sy2)

?( x1★y1)R( x2★y2) ∧( x1★y1)S( x2★y2)(因R与S相对★满足代换性质)

? ( x1★y1)R∩S( x2★y2) 所以R∩S相对满足代换性质。

故R∩S就是同余关系、

40、答案:解、

a) 、不就是同余关系,因为不满足代换性质。例如<-1,-2>∈R∧<1,1>∈R,而

<<-1+1>,<-2+1>>?R。

b)、不就是同余关系,因为R不传递,不就是等价关系。

<1,10>∈R∧<10,19>∈R, 而<1,19>?R、

c)、不就是同余关系,因为不满足代换性质。例如

<-1,2>∈R∧<1,1>∈R,而<<-1+1>,<2+1>>?R。

d)、不就是同余关系,因为R不对称,不就是等价关系。(R就是偏序。)

41、答案:就是半群,当且仅当( ★在A上满足封闭性与可结合性。)。

42、答案:就是独异点,当且仅当( ★在A上满足封闭性、可结合性与有幺元。)。

43、答案:就是半群:I:就是整数集合, N:自然数集合,R:实数集合,,,, ,

,,,< P(E), ?>,< P(E), ⊕>

44、答案:就是独异点:I:就是整数集合, N:自然数集合,R:实数集合,,, ,

,,,< P(E), ?>,< P(E), ⊕>

45、答案:就是半群但不就是独异点:如N={1,2,3,4,……、}时, 。

46、答案: 证明:

⑴证明★封闭,任取a,b∈R,由于实数R对+与·封闭,所以a+b+a·b∈R,故a★b ∈R。

⑵证明★可结合,任取a,b,c∈R,

a★(b★c) =a+(b★c)+a·(b★c) =a+(b+c+b·c)+a·(b+c+b·c)

=a+b+c+b·c+(a·b+a·c+a·b·c)=(a+b+a·b)+c+(a·c+b·c+a·b·c)

=(a+b+a·b)+c+(a+b+a·b)·c=(a★b)+c+(a★b)·c =(a★b)★c

⑶证明有幺元0,任取a∈R,

a★0=a+0+a·0=a 0★a=0+a+0·a=a 所以对★,0就是幺元。

最后得 就是独异点。

47、答案:证明:将已知条件“若a≠b则a★b≠b★a,”等价变换成:

“若a★b=b★a, 则a=b ”。(根据?Q→?P ? P→Q )

a) ?a∈A, 由可结合得(a★a)★a=a★(a★a) , 由已知条件得a★a=a 。

b) ?a,b∈A, (a★b★a)★a=a★b★(a★a)=a★b★a

=(a★a)★b★a=a★(a★b★a) 由已知条件得a★b★a=a。

c) ?a,b,c∈A, (a★b★c)★(a★c)=(a★b)★(c★a★c)

=(a★b)★c=a★(b★c)=(a★c★a)★(b★c)

=(a★c)★(a★b★c) 由已知条件得a★b★c=a★c

48、答案:证明:

充分性:已知对任何a,b∈S,有(a*b)2=a2*b2 。

(a*b)2=a2*b2,即

(a*b)* (a*b)=(a*a)* (b*b)

a* (b*a)*b=a* (a*b)*b

因为左右消去律都成立,所以左边消去a,右边消去b得

(b*a)=(a*b),所以S就是交换群。

必要性:可知S就是交换群,任何a,b∈S,

(a*b)2 =(a*b)* (a*b)＝a* (b*a)*b＝a* (a*b)*b= (a*a)* (b*b)= a2* b2。

49、答案:证明:因就是有限半群,★在S上封闭,所以任何b∈S,对任何i≥1有b i∈S,因i可以取无穷多个值,所以必存在正整数i,j(i

b i = b j = b p+i = b p★b i即b i = b p★b i

b i★b = b p★b i★b ∴b i+1 = b p★b i+1

b i+1★b = b p★b i+1 ★b ∴b i+2 = b p ★b i+2……、

于就是对所有大于i得正整数q有: b q = b p★b q

因p≥1,∴总可以找到k≥1,使得kp≥i,于就是有

b kp = b p ★ b kp

= b p★(b p ★ b kp) = (b p★ b p ) ★ b kp = b2p ★ b kp

= b2p★(bp ★ b kp) = b3p ★ b kp=…= = b kp★ b kp

令b kp=a, 于就是有a★a=a

50、答案:

1、证明封闭性:任取,∈A×A,△=

因为a,b,c,d∈A,即它们都就是有理数。所以a?c与a?d+b都就是有理数。所以

∈A×A。即△∈A×A,故△在A×A中满足封闭性。

2、证明可结合性:任取,,∈A×A,

(△)△ =△=<(a?c) ?e, (a?c) ?f+ (a?d+b)>

===<△ =△(△) 故△在A×A中就是可结合得。

3 证明有幺元:因为对?有幺元1,对＋有幺元0, <1,0>∈A×A,

任取∈A×B,

△<1,0>＝＝

<1,0>△＝<1? a,1?b+0>＝

所以<1,0>就是A×A中运算△得幺元。

所以A×A,△>就是独异点。

51、答案:证明:

⑴先证幺元e∈A。因为e★e=e 所以e就是幂等元。因此e∈A。

⑵再证★在A上封闭。任取a,b∈A, 即a★a=a, b★b=b

(a★b)★(a★b)=a★(b★a)★b=a★(a★b)★b (∵★可交换)

= (a★a)★(b★b)= a★b

所以a★b也就是幂等元∴a★b∈A。

(3) 可结合不必证明,自然继承下来。

所以也就是独异点,

52、答案:不就是群得有:,,,,< P(E), ?>。

因为与:除1以外都不可逆。

:0不可逆。

,< P(E), ?>:除幺元外,都不可逆。

就是群得有:,, 。

因为与:都满足封闭性、结合性、0就是幺元,任何x得逆元都就是-x。

:都满足封闭性、结合性、Φ就是幺元,任何X得逆元都就是X自身。

53、答案:

例如 f 2οf 3234f 5οf 6(x)= f 5( f 6(x))=((x(x-1) -1) -1)(x(x-1) -1) -1 =x -1= f 2(x)

由此表可以瞧出ο满足:封闭性,有幺元 f 1 ,

每个函数都有逆元: f 1-1 =f 1 , f 2-1 =f 2, f 3-1 =f 3, f 4-1 =f 5, f 5-1=f 4, f 6-1=f 6

另外已经知道函数复合ο就是可结合得。所以就是群。

54、答案:证明

1)证明封闭性 任取F 中得两个函数 f 、g,设x ∈R f(x)=a 1x+b 1, g(x)=a 2x+b 2,

a 1≠o, a 2≠o

g οf(x)=g(f(x))= a 2(a 1x+b 1)+b 2,= (a 2a 1x+ a 2b 1)+b 2 = a 2a 1x+(a 2b 1+b 2), 因为a 1≠o, a 2≠o ,所以a 2a 1≠0,且 (a 2b 1+b 2)∈R, 所以g οf ∈F 。

运算ο满足封闭性。

2) 又知道函数复合运算ο就是可结合得。

3)有幺元I R :R →R,x ∈R , I R (x)= x, 对任何f ∈F,有f οI R ＝I R οf ＝f,所以I R 就是ο得幺元。

4)证明可逆性:对任何f ∈F,f(x)=ax+b,a,b,x ∈R,a ≠o,有f 得逆函数f -1,

f -1 (x)=,使得f -1οf(x)=(ax+b)－＝x, 所以 f -1οf ＝I R 。

f ο f -1 (x)= a ()+b ＝x, 所以 f οf -1＝I R 。

所以f 得逆元就是f -1。

综上所述就是群。

55、答案:证明:

a) ?a,b,c ∈A,设有 a ★b=a ★c,

由已知条件得?a’∈A,使得a’★a=e,

a’★(a ★b)= a’★(a ★c), (a’★a)★b=(a’★a)★c , e ★b=e ★c, 所以 b=c

b) 先证明e 也就是右幺元: 任取x ∈A, (证出x ★e=x)

由已知得 ?x’∈A,使得x’★x=e,

x’★(x ★e) =(x’★x)★e=e ★e =e=x’★x

由a)得结论得: x ★e=x , 所以e 也就是右幺元。 所以 e 就是幺元。

再证x’就是x 得右逆元: (因为由x’★x=e, 得x’就是x 得左幺元)

x’★(x ★x’)=(x’★x)★x’=e ★x’=x’=x’★e,由a)得结论得x ★x’=e ,所以x’也就是x 得右逆元。所以x’就是x 得逆元。

综上所述得 就是群、

56、答案:证明: 因为a *a=e,则意味着a -1=a 。

任取x ∈A, 分两种情况讨论x 得逆元:

a)、若x -1≠x, 这样得元素成对出现,故这样元素有偶数个。

b)、若 x -1=x, 因|A|就是偶数,所以这样得元素也有偶数个。其中幺元e -1=e, 所以至少还有一个元素a,使得a -1=a,即 a *a =e 。

57、答案:得运算表如下: 从此表瞧出:b 2

=( c ),b *c=( a ),

b 3= b 2*b=

c *b=a c 3= c 2*c=b *c=a, 所以b 与c 得阶分别就是( 3 )与( 3 ) 。

58、答案:

1.|A|＝n,A 上有双射个数为n ！。即 |F|=n! 。 *

a b c

a b c

c a b

b c a a b c

2.就是群。证明如下:

1)证明封闭性 任取F 中得两个双射函数 f:A →A,g:A →A,

根据函数得复合性质,得f*g 也就是从A 到A 得双射。所以f *g ∈F 。所以*满足封闭性。

2) 又知道函数复合运算*就是可结合得。

3)有幺元I A :A →A,对任何f ∈F,有f *I A ＝I A *f ＝f,所以I A 就是*得幺元。

4)证明可逆性:对任何f ∈F,有f 得逆函数f -1,使得f *f -1=f *f -1＝I A 。

所以就是群。

59、答案:

证明方法1、 根据有限群运算表特征写出如下运算表如下,从表中可见c *d ＝b;

而d *d=a,所以d 得阶就是2;

b *b=d,所以b *b *b *b=a,b 得阶就是4。

证明方法2、: 如果c *d ＝a 则说明c 与d 互逆,有矛盾。

如果c *d ＝c , 则说明d 就是幺元,有矛盾。

如果c *d ＝d 则说明c 就是幺元, 有矛盾。而c *d ∈G , 所以c *d ＝b 。

60、答案:根据题意得运算表如下:

b *x ＝

c *

d ＝b 所以x ＝a

61、答案:

1.命题真值为真。

因为n 阶群中,任何元素a ∈G ,有a n ＝e 。

(a *b)∈G , - (b *a)∈G,所以(a *b)n =e=(b *a)n 。即(a *b)n =(b *a)n 。

2.命题真值为真。

因为,对任何a,b ∈G,有(b *a -1)=(a *b -1)-1 又根据代数系统同态性质 f(x -1)=(f(x)) -1。得:f(b *a -1)= f(a *b -1) -1=(f(a *b -1))-1。

62、答案:证明、 假设有a ∈G 就是幂等元,即

a ★a=a 又a -1∈G , 于就是有

a -1★(a ★a)= a -1★a

(a -1★a)★a=e

e ★a=e

所以 a=e

63、答案: 证明

先证明方程式有解

因就是个群,对任何a,b ∈G,有a -1∈G , ∴ a -1★b ∈G , 用 a -1★b 代入方程式中得x 得:

a ★x= a ★(a -1★b)= (a ★a -1)★b= e ★b=b

所以x=a -1★b 就是方程式得解。

再证明方程式得解得唯一性

设方程式有两个解x 1, x 2∈G, 于就是有 a b c d

a a

b

c

d b b a d c

c c

d a b

d d c b a

*

a★x1=b a★x2=b 所以a★x1= a★x2,由可消去性得x1=x2

64、答案:验证b-1★a-1就是a★b得逆元,

(a★b)★(b-1★a-1)=a★(b★b-1)★a-1=a★e★a-1=a★a-1=e

(b-1★a-1)★(a★b)=b-1★(a-1★a)★b=b-1★e★b=b-1★b=e

所以b-1★a-1就是a★b得逆元,即(a★b)-1=b-1★a-1。

65、答案:证明、令G={a1,a2,a3,、、、,a n},★得运算表如下图:

任取a j∈G,证明a j在任意a i∈G行必出现且仅出现一次。

由群方程可解性得存在唯一元素a k∈G, 使得a i★a k=a j这说明a j在a i行出现(即a j在第i行第k列出现)。

假设a j在a i行出现两次,设在第t列也出现,则有

a i★a k=a j 与a i★a t=a j所以a i★a k=a i★a t 由可消去性得a t=a k

所以G中每个元素在★运算表中得每一行必出现且仅出现一次。

66、答案:(G中每个元素在★运算表中得每一行(列)必出现且仅出现一次。)

67、答案:就是群,如果K[G]=n, 则称群得阶就是n,如果K[G]就是无限得, 则称群 得阶就是无限得。

68、答案:设就是个群,a∈G,如果存在最小得正整数n,使得a n=e, 则称a得阶就是n。否则就称a得阶就是无限得。

69、答案:只有幺元0得阶就是1,其余元素得阶都就是无限得。因为任何a∈I,a≠0,则i 0时,有a i不等于0。

70、答案:证明:

⑴充分性,已知k=mn (m∈I) 因为a得阶为n,所以a n=e,

a k= a mn=(a n)m= e m =e

⑵必要性,已知a k=e , a得阶为n,即a n=e ,

假设k不就是n得整数倍,令k=mn+t m,t∈I, 0

a t= a k-mn= a k★a-mn= e★(a n)-m =e-m = e

由于a t=e,而t

所以k就是n得整数倍。即k=mn (m∈I)。

71、答案:证明: 设就是群, 任取a∈G,

⑴如果a得阶就是有限得,设阶为n, a n=e ,则

(a-1)n=a-n= (a n)-1 =e-1 = e

如果还有m

a m=((a-1)-1)m= (a-1)-m=((a-1)m)-1= e-1 = e

因为m

⑵如果a得阶为无限得,而a-1得阶就是有限得,设a-1得阶就是n,即(a-1)n=e,

a n=((a-1) -1)n= (a-1)-n=((a-1)n) -1= e-1= e

这与a得阶为无限得矛盾。∴a-1得阶也为无限得。

所以a与a-1具有相同得阶。

72、答案:证明:设|G|=n,因为就是群,★在G上封闭,所以任何a∈G,对任意i ≥1有a i∈G, 因i可以取无穷多个值, 即这样得元素有无限个,而G中只有n个元素, 所以必存在正整数i,j (i

即a-i∈G, 于就是

a j-i =a j ★ a-i= a i ★ a-i= e

而j-i就是个有限得正整数,且a j-i =e, a得阶就是j-i得因子,∴a得阶就是有限得。

73、答案:证明:

a) 证明f就是满射:任取y∈G,因a∈G a-1∈G

∴a-1★y★a∈G , 令x= a-1★y★a , 则

f(x)=a★x★a-1=a★(a-1★y★a)★a-1=(a★a-1)★y★(a★a-1) =y 所以f就是满射得。b) 证明f 就是入射得:任取x1,x2∈G,设f(x1)=f(x2) 即

a★x1★a-1=a★x2★a-1由群可消去性得x1=x2 ∴f就是入射得。

所以f就是双射得

c) 再证f满足同构等式:任取x1,x2∈G,

f(x1★x2) = a★(x1★x2)★a-1 = a★(x1★e★x2)★a-1=a★(x1★(a-1★a)★x2)★a-1

= (a★x1★a-1)★(a★x2★a-1 )= f(x1)★f(x2)

所以f就是G到G得自同构。

74、答案:证明:

a) 证明f就是满射:任取y∈G,因a∈G a-1∈G

∴a★y★a-1∈G , 令x= a★y★a-1 , 则

f(x)=a-1★x★a=a-1★(a★y★a-1)★a=(a-1★a)★y★(a-1★a) =y 所以f就是满射得。b) 证明f 就是入射得:任取x1,x2∈G,设f(x1)=f(x2)即

a-1★x1★a=a-1★x2★a,由群可消去性得x1=x2∴f就是入射得。

所以f就是双射得

c) 再证f满足同构等式:任取x1,x2∈G,

f(x1★x2) = a-1★(x1★x2)★a = a-1★(x1★e★x2)★a=a-1★(x1★(a★a-1)★x2)★a

= (a-1★x1★a)★(a-1★x2★a )= f(x1)★f(x2)

所以f就是G到G得自同构。

75、答案:

1) 证明封闭性:任取,∈A×B,△=,因为与都就是群,a1*a2∈A,b1οb2∈B,所以>∈A×B。故△在A×B中封闭。

2) 证明可结合性:任取,,∈A×B,

(△)△=△=<(a1*a2 )*a3,( b1οb2)οb3>

= (因为*与ο就是可结合得)

=△＝△()△)

故△在A×B中就是可结合得。

3) 证明有幺元:因为与都就是群,都有幺元,不妨设e A,e B分别就是它们得幺元。

任取∈A×B,∈A×B,

△＝＝

△＝< e A* a, e Bοb>＝

所以就是A×B中幺元。

4) 证明可逆性:任取∈A×B,因为与都就是群,a-1∈A,b-1∈B,所

以∈∈A×B,△==

△=< a-1*a , b-1οb >=

所以就是得逆元。

所以就是群。

76、答案:证明:

任取,∈A×B,

f(△)=f(= a1*a2 =f(a1)*f(a2)

所以f就是到得同态映射。

求同态核ker (f):

e A,就是得幺元,根据f得定义得,对任何b∈B,都有f()= e A。

所以同态核ker (f)＝{| b∈B }

77、答案:证明:

(1) ? 满足封闭性

任取2m13n1,2m23n2∈G,

2m13n1?2m23n2＝2m1+m23n1+n2因为m1+m2,n1+n2∈Q,

所以2m1+m23n1+n2∈G ,即2m13n1?2m23n2∈G,?满足封闭性。

(2)证明? 满足结合性。

任取2m13n1,2m23n2,2m33n3∈G,

(2m13n1?2m23n2) ?2m33n3=2m1+m23n1+n2?2m33n3=2m1+m2+n33n1+n2+n3,而

2m13n1?(2m23n2?2m33n3)=2m13n1?2 m 2m33 n2n3=2m1+m2+n33n1+n2+n3,

所以(2m13n1?2m23n2) ?2m33n3=2m13n1?(2m23n2?2m33n3),所以?满足结合性。

(3)证明? 有幺元2030∈G,任取2m3n∈G,

2m3n?2030＝2m+03n+0＝2m3n

2030?2m3n＝20+m30+n＝2m3n

所以有幺元2030。

(4)证明可逆性,任取2m3n∈G,存在2-m3-n∈G,使得

2m3n?2-m3-n＝2 m+-m3 n+-n=2030

2-m3-n? 2m3n＝2–m+ m3–n+ n=2030

所以2m3n得逆元就就是2-m3-n。

综上所述,就是个群。

2.证明,任取2m13n1,2m23n2∈G,

f(2m13n1?2m23n2)=f(2m1+m23n1+n2)= 2m1+m2

f(2m13n1)?f(2m23n2)= 2m1?2m2=2m1+m2

所以f(2m13n1?2m23n2)= f(2m13n1)?f(2m23n2)

所以f就是G到G 得同态映射。

Ker(f)={203n| n∈Q}

78、答案:确定同构映射f:

下面验证f 满足同构等式:

f(p2★ p3)=f(p4)= q2 f(p2) ο f(p3)= q4 ο q1 = q2 可见f(p2★ p3)= f(p2) ο f(p3)

f(p3 ★ p4)=f(p2)= q4 f(p3) ο f(p4)= q1 ο q2 = q4 可见f(p3 ★ p4)= f(p3) ο f(p4)

f(p4 ★ p2)=f(p3)= q1 f(p4) ο f(p2)= q2 ο q4 = q1可见f(p4 ★ p2)= f(p4) ο f(p2)

其余可类似验证,所以ＧＳ

79、答案:

1.真值为假。因为0不可逆。

2.真值为真。因为n阶群,任何a,b∈G,有a n=e 。a-n= (a n) -1 =e, b n=e,所以有a-n=b n。

3.真值为真。因为任何a,b∈G,有a -1=a , b -1=b 。而a*b∈G,于就是

a*b＝(a*b) -1=b -1*a -1=b*a, 所以就是

80、答案:证明:

充分性,任取a,b∈G 设有(a★b)2=a2★b2 由于a-1,b-1∈G

a-1★(a★b)★(a★b)★b-1 = a-1★(a★a)★(b★b)★b-1

(a-1★a)★b★a★(b★b-1 ) = (a-1★a)★a★b★(b★b-1 )

b★a= a★b 所以就是交换群、

必要性;设就是交换群,任取a,b∈G

(a★b)★(a★b)=a★(b★a)★b=a★(a★b)★b=(a★a)★(b★b)

81、答案:证明:

1)证明封闭性:任取k1m,k2m∈G,

k1m+k2m＝(k1+k2)m,因为k1＋k2∈Z,所以(k1+k2)m∈G,故＋在G中封闭。

2)证明可结合性:任取k1m,k2m,k3m∈G,

(k1m+k2m)+k3m＝(k1+k2)m+k3m＝((k1+k2)+k3)m＝(k1+(k2+k3))m＝(k1m+(k2+k3)m)

＝k1m+(k2m+k3m) ,所以＋在G中就是可结合得。

3)证明有幺元: 0m∈G,对任何km∈G,有

0m+km= (0+k)m=km, km+0m= (k+0)m=km,所以0m就是幺元。

4)证明可逆性: 任取km∈G,有-km∈G, 使得

km+(-km)= (k-k)m=0m, (-km)+ km= (-k+k)m=0m,所以km得逆元就是-km。

综上所述就是群。

5)证明交换性:k1m,k2m∈G,

k1m+k2m＝(k1+k2)m＝(k2+k1)m＝k2m+k1m,故＋可交换。

综上所述, 就是交换群。

82、答案:证明:

1) 证封闭性:任取a,b∈I, 因为a b=a+b-2∈I,所以a b∈I,所以 在I上封闭。

2)、证可结合性、任取a,b,c∈I,

a (

b c)=a+(b c)-2=a+(b+c-2)-2=(a+b-2)+c-2 =(a b)

c 所以 可结合。

3) 证 可交换、任取a,b∈I,a b=a+b-2=b+a-2=b a 所以 *可交换。

4) 证有幺元2、任取a∈I, a 2=a+2-2=a 2 a=2+a-2=a

5) 证可逆性、任取a∈I,4-a∈I,使得

a (4-a)=a+4-a-2=2 (4-a) a=4-a+a-2=a ∴a-1=4-a

所以就是交换群。

83、答案:证明:

1、证?满足封闭性:

任取x,y∈G,x?y=x*a-1*y,因为*在G上封闭,即x*a-1*y∈G,所以x ?y∈G,所以运算?

在G中满足封闭性。

2、证?满足交换性:

任取x,y∈G,x?y=x*a-1*y＝y *a-1* x (因为*可交换)

＝y?x

所以?满足交换性。

3、证明?满足结合性

任取x,y,z∈G,x?(y?z)=x*a-1*(y*a-1*z)＝(x*a-1*y)*a-1*z (因为*可结合) ＝(x?y)?z

所以?满足结合性。

4、证明a就是?运算得幺元。设e就是*运算得幺元。

任取x∈G, x?a=x*a-1*a= x*e＝x,因为?可交换,所以a?x=x, 所以a就是运算?得幺元。

5、证明?满足可逆性

任取x∈G, 令x’就是x相对运算?得逆元。

因为a, x-1∈G , 所以a* x-1*a∈G ,

x?(a* x-1*a)=x*a-1*(a* x-1*a)= x*(a-1*a)* x-1*a

= x* x-1*a=(x* x-1)*a=a

因为?可交换,所以(a* x-1*a)?x=a,

所以(a* x-1*a)就是x相对运算?得逆元。

综上所述也就是交换群。

84、答案:

1、证明封闭姓:任取a,b∈G 因为a b＝∈G , a*b∈G。所以*满足封闭性。

2、证明交换性:任取a,b∈G, 因为a*bb*a ,所以*满足交换性。

3、证明结合性, a,b,c∈G, 因为

(a*b)*c=a*(b*c)。所以*满足结合性。

4、证明2就是幺元, 任取a,∈G, 因为a*2= 同理2*a=a, 所以2就是幺元。

5、证明有逆元, 任取a∈G, a≠0,所以∈G, 因为

a *=2 , 又*可交换 * a=2 。 所以就是a 得逆元。

综上所述 就是个交换群。

85、答案:

1、证明封闭姓:任取a,b ∈I 因为a ＋b —4 ∈I , a *b ∈I 、 所以*满足封闭性、。

2、证明交换性:任取a,b ∈I, 因为a *b=a+b-4=b+a-4=b *a 、 所以*满足交换性。

3、证明结合性, a,b,c ∈I, 因为

(a *b)*c =(a+b-4)+c-4=a+b-4+c-4=a+(b+c-4)-4=a *(b *c)、 所以*满足结合性。、

4、证明4就是幺元, 任取a,∈I, 因为a *4=a+4-4=a 4*a=4+a-4=a,所以4就是幺元。

5、证明有逆元, 任取a,∈I, 8-a ∈I , 因为

a *(8-a)= a+(8-a)-4=4

(8-a)*a=(8-a)+a-4=4 所以8-a 就是a 得逆元。

综上所述 就是个交换群。

86、答案:证明:因为 ?x ∈G , x ★x=e,∴x= x -1 ,

任取x,y ∈G , x ★y ∈G

∴ x ★y=(x ★y) -1= y -1★x -1 =y ★x 所以就是交换群 。

证明2、任取x,y ∈G, 由已知得x ★x=e, y ★y=e,因x ★y ∈G,于就是

x ★y= x ★e ★y= x ★((x ★y)★(x ★y))★y

= (x ★x)★y ★x ★(y ★y) =e ★y ★x ★e= y ★x 故G 就是交换群。

87、答案:证明:1,2,3阶群得运算表如下:从这些表瞧出就是对称表,可见它们都就是交换群。

1)、 1阶群与2阶群 显然就是交换群。

2)、 G 就是3阶群:任取a,b ∈G,

如果其中有一个就是幺元,则必有a ★b=b ★a 。

如果a,b 都不就是幺元:必有a ★b=e 。

因为 若 a ★b=a , 则 由可消去性得 b=e , 产生矛盾;

若 a ★b=b, 则 由可消去性得 a=e, 产生矛盾。

于就是,a 与b 互为逆元素,所以 a ★b=e=b ★a 。所以G 就是交换群。

3) 下面讨论4阶群得运算表:令G={a,b,c,d},a 就是幺元,分两种情况:

a)、G 中有两个元素互为逆元,设b 与c 互逆。见表a 、

b)、G 中所有元素得逆元都就是自身。见表b 称之为 Klein 四阶群。

由这两个表瞧出,它们都就是交换群。4阶群得运算表只有这么两种结构,所以4阶群都就是交换群。

4) 6阶非交换群:如下面得由6个函数构成得复合群。

X=R-{0,1}, X 上定义六个函数,如下:?x ∈X, a ★ a

a ★ a b

a b a b b a ★ a b c a b c

a b c b c a

c a b