模型二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 ２）,
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
图⑴ 图⑵
【例 1】 如
图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．
三角形等高模型与鸟头模型
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△,设8ADE S =△份，则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理:共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .
【巩固】如图,三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，
AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?
E
D
C
B
A
A
B
C
D E
【解析】 连接BE .
∵3EC AE =
∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷,∴1515ABC ADE S S ==．
【巩固】如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D
C
B
A
A
B
C
D
E
甲
乙
【解析】 连接AD ．
∵3BE =,6AE =
∴3AB BE =,3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==,
∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =,5S S =乙甲.
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,
:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△,设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，
12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米，ABC
△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 3】 如图所示,在平行四边形中，E 为的中点,2AF CF =，三角形(图中阴影部
分)的面积为８平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？
【解析】 连接．三角形面积是三角形面积的２倍,而三角形面积是三角形面积的
2倍,所以三角形面积是三角形面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形面积的２倍，所以平行四边形的面积是三角形面积的326?=（）倍.因此,平行四边形的面积为8648?=(平方厘米）．
【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，
求ABC △的面积. F
E
D C
B
A
【解析】
:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =??=??=△△，
:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米
【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为
3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =,
三角形BDE 的面积是多少?
A
B E
C
D
D
C E
B A
【解析】 由于180ABC DBE ?∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份，则
5BE =份,
325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =??=??=△△，设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5?=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米
【例 6】 (20０7
年”走美”五年级初赛试题）如图所示,正方形ABCD 边长为6
厘米,13
AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为平方厘米
.
A
【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23
CE AC =．根据”共角定理”可得，
():():()12:(33)2:9
CEF ABC S S CF CE CB AC =??=??=△△;而
66218
ABC S =?÷=△;所以
4CEF S =△；同理得,:2:3CDE ACD S S =△△；,183212CDE S =÷?=△，6CDF S =△
故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).
【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =；延长BC 至E ，使
2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B
A
A
B C
D
E
F
【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.
连接AE 、CD ． ∵11
ABC DBC
S S
=,1ABC S =，
∴S 1DBC =．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=.
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428
ABC FCE
S AC BC S
FC CE ??===??.
又1ABC S =，所以8FCE S =. 同理可得6ADF S =，3BDE S =．
所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=．
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =,3GD DC =，4HA AD =，平行四
边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,
∴11113
3
ABC FBE
S AB BC S BE BF
??===??△△.
又1ABC S =△,所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△.
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以2136
18
ABCD EFGH
S S ==.
【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =，CB BF =,DC CG =，HD DA =,
求四边形ABCD 的面积．
H G
F
E
D C
B A A B C
D
E
F
G
H
【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =??=△△,即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形
连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形
所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米
【例 10】
如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为５,则四边形EFGH 的面积是 ．
A B C
D E F G
H
A B C
D E
F G
H
【解析】 连接AC 、BD .
由于2BE AB =,2BF BC =，于是4BEF ABC S S ??=，同理4HDG ADC S S ??=.
于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ????+=+=.
再由于3AE AB =,3AH AD =，于是9AEH ABD S S ??=，同理9CFG CBD S S ??=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ????+=+=．
那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ????=+++-=+-==．
【例 11】
如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =,延长BC 至E ,使12
CE BC =，
F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少？
A B
C
D
E
F
【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，
∴224
111
ABC
FCE
S AC BC S FC CE ??=
==??△△. 又2ABC S =,所以0.5FCE S =． 同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.
所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△
【例 12】
如图，1ABC S =△,5BC BD =，4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGS S .
S
G
F E D
C
B
A
【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既
可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况． 最后求得FGS S △的面积为43211154322
10
FGS S =????=△．
【例 13】
如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
B
C D
E
F G
A
B
C
D
E
F G
【解析】 连接AF 、EG ．
因为218164
BCF CDE S S ==?=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
8AEF S =，8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFC S =，32ABFE S =，24ABF S =,所以12ABG S =平方厘米.
【例 14】
四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.
【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ?与CEH ?都是正三角
形．
假设正六边形的边长为为a ,则AGF ?与CEH ?的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217?-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的4９倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496
.
由于4FA a =，3FB a =,所以AFB ?与三角形DEF 的面积之比为431277
49
?=．
同理可知BDC ?、AEC ?与三角形DEF 的面积之比都为12
49
,所以ABC ?的面
积占三角形DEF 面积的12131349
49
-?=，所以ABC ?的面积的面积为
491313
6496
?=．
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .
B D
C
E
A
【解析】 从图中可以看出,虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一
半，也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16
,所以虚线外图形的面积等于1113236
3
?+?=,所以
五边形的面积是12103633
-=.