2019-2020年初中数学竞赛初赛试题（一，含详解）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．要使方程组???=+=+2
3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）
（A ）334<a （D ）3
43<>a a 或
2．一块含有?30AB ＝8cm, 里面空心DEF ?的各边与ABC ?的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,
那么DEF ?的周长是（ ） (A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+
3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )
(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种
4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )
(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y
(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y
5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )
(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 6
1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方
向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个
顶点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程
中，棋子不可能分为两停到的顶点是( ) (A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.
7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )
(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根
8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54?个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )
(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64
二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)
9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.
10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分
比是
11．ABC ?中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知
232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是
等于 。
12．设直线1-+=k kx y 和直线k x )k (y ++=1(k 是正整数)
及x 轴围成的三角形面积为k s ，则2006321s ...s s s +++的值是 。
13．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且
点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，则MF
的长为 。
14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为21:的
两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积
是 。
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）
15．(12分)已知c ,b ,a 都是整数，且42=-b a ,012
=-+c ab ,求c b a ++的值。
16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两
种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A 款式服装35件，B 款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？
17. 如图所示，⊙O 沿着凸n 边形A 1A 2A 3…A n-1A n 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周
回到原来的位置。
（1）当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；
（2）当⊙O 的周长是，凸n 边形的周长是时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数。
18. 已知二次函数1122
+-++=m x )m (x y 。
（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求
出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1122+-++=m x )m (x y 图象的顶点P ，求
此时m 的值。
全国初中数学竞赛初赛试题（一）参考答案
一、选择题
1．答案D 解：解方程组，得???
????-=-=526,543a y a x 要使方程组的解是一对异号的数， 只需334026043026043>-??
?>-<-a a a a a a 或即或 2．答案B
解：连结BE ，分别过E ，F 作AC 的平行线 BC 于点M 和N ，则
EM=1，BM=3，MN=33134-=--
∴小三角形的周长是MN+2MN+3MN=6cm
3．答案C
解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种
4．答案：D
解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2+2
5．答案：A
解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是
3
264=
6．答案：A
解：经实验或按下 方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到
设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k=
)1(21+k k ，应停在第p k k 7)1(2
1-+格，这是P 是整数，且使0≤p k k 7)1(21-+≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，p k k 7)1(21-+=1
，
3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7 177)1(21 ++=-+t t m p k k ，由此可知，停棋的情形与k=t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到。 7．答案B 解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k+1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D 8．答案C 解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图形案个数是12× 4=48 二、填空题 9．答案：5 12 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h ），则5h=3×4,512= h 10．答案：35%或65%（答对一个给3分） 解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65% 11．答案：10 解：不难验证，a 2=b 2+c 2 ，所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边。 bsinB+csinC=102 22===+=?+?a a a a b c a c c a b b 12．答案：2007 1003 解：方程组???-=-=???++=-+=1 1)1(1y x k x k y k kx y 的解为直线的交点是（-1，-1） 直线??? ??-++=-+=0,1)1(,1k k x k x k y k kx y 轴的交点分别是与、 1 1121111210,1+-=+---?-?=??? ??+-k k k k k k Sk k k ，所以 ?? ? ??-++-+-+-=++++200712006141313121211212006321 S S S S 2007 100320071121=??? ??-?= 13．答案：2 2 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ， ∴FN=1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的高，所 以FM=2 2 14．答案： 463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得 ??? ????==???????==???????=+=+???????=+=+3343532222;222n y n x n y n x n y x n x x n y x n x x 或解得或 ∵3 5322n n 34n y n x 其中n 是3的倍数 三角形的面积222236633663634321n S n n n n S =?=?? ? ??-??? ????=?对于 当n ≥0时，S △随着n 的增大而增大，故当n=3时，36 63= ?S 取最小 三、解答题 15．解：将a=4+2b 代入ab+c 2-1=0，得2b 2+4b+c 2-1=0， ∴2 2622 c b -±-= ∵b ，c 都是整数，∴只能取???-=-=???=-=???-==?? ?==1 2,12,10,1044332211c b c b c b c b 相对应a 1=4,a 2=4,a 3=0,a 4=0 故所求a+b+c 的值有4个：5，3，-1，-3 16．解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件（x 取整数，且5≤x ≤30），则分配给甲店铺B 款装（30-x ）件，分配给乙店铺A 款服装（35-x ）件，分配给乙店铺B 款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润（设为y 总）为： Y 总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965 乙店铺的毛利润（设为y 乙）应满足： Y 乙=27(35-x)+36(x-5)≥950，得x ≥9 520 对于y 总=-x+1965,y 随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520 ,故取x=21，即分配给甲店铺A 、B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， 最大的总毛利润为y 总最大=－21+1965=1944（元） 17．解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到 另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周 长），因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚 动经过该端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等 于n 边形在这个顶点的一个外角。 如图所示，设∠A 2A 1A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，⊙ O 滚动经过端点A 1后到⊙O ’的位置，此时A 1A 2是⊙O ’的 切线，因此OA ⊥A n A 1，O ’A 1⊥A 1A 2，当⊙O 转动至⊙O ’时，则∠γ就是⊙O 自身转动的角 。 ∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O 滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况） ∵凸n 边形的外角和为360° ∴⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动一圈 ∴⊙O 自身转动的圈数是)1(+a b 圈 18．解：（1）该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下： 利用配方，得y=(x+m+1)2-m 2-3m ，顶点坐标是P （-m-1,-m 2-3m ） 方法一：分别取m=0,-1,1，得到三个顶点坐标是P 1(-1,0)、P 2(0,2)、P 3(-2,-4)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x 2+x+2 将顶点坐标P(-m-1,-m 2-3m)代入y=-x 2+x+2的左右两边，左边=-m 2-3m,右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m 2-3m ，∴左边=右边，即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y=-x 2+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x 2+x+2（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分） 方法二：令-m-1=x ，将m=-x-1代入-m 2-3m ，得 -(-x-1)2-3(-x-1)=-x 2+x+2 即所求抛物线的函数表达式是y=-x 2+x+2上 （2）如果顶点P(-m-1,-m2-3m)在直线y=x+1上，则-m 2-3m=-m-1+1， 即m 2=-2m ∴m=0或m=-2 ∴当直线y=x+1经过二次函数y=x 2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P 时，m 的值是-2或0 全国初中数学竞赛预赛（二） 一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1．化简22y x x 8)x y x 4y x x 2(-÷--+得 （ ） 4 y x 3.D 4y x 3.C 4y 3x .B 4y 3x .A ++-+- + 2．满足不等式组?????--≥+--+<2x 35x 131x 231x 35x 的所有整数的个数为( ) A.1 B.2 C.21 D.22 3．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ） 2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则 的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________. 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明：考试时间：60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=－2（x －1）2 －2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）。 A. （0，0） B. (1,－2) C. (0,－1) D.(－2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A ．(ab 4)4=ab 8； B.(－3pq)2 =－6p 2 q 2 C. x 2 － 21x ＋41=( x －2 1)2；D.3(a 2)3－6a 6=－3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3，直角三角形ABC 面积是S ，则它们之间的关系为（ ）. A. S= S 1＋S 2＋S 3 B. S 1= S 2＋S 3 C. S= S 1＋S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出，加出速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）. (A) 时间 速度 (B) 时间 速度 (C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分 的面积，验证了一个等式是（ ）. A. a 2 －b 2 =（a+b ）（a-b ） B. （a+b ）2 = a 2 +2ab+ b 2 C. （a-b ）2 = a 2 -2ab+ b 2 D.（a+2b ）（a-b ）= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k （k ﹤0）在同一坐标系中的图象是（ ）. 2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值. A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是 20XX 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：20XX 年3月2日上午9:00--11:00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++= 20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?， 则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图） 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B）2（C）2 （D） 22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b <<，那么 1121 a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 2019初中数学竞赛初赛试题 A级基础题 1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把 它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出1个小球，其标号大于2的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写 在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取1张，那么取 到字母e的概率为____________. 3.(2013年湖北宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮 的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是( ) A.科比罚球投篮2次，一定全部命中 B.科比罚球投篮2次，不一定全 部命中 C.科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次，不命 中的可能性较小 4.(2013年福建福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上 的区别.从袋中随机地取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么 袋中白球的个数可能是( ) A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上 5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片 正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________. 6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，它们除了 颜色之外没有其他区别. (1)随机地从盒中提出一子，则提出白子的概率是多少? (2)随机地从盒中提出一子，不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率. B级中等题 7.(2013年重庆)从3,0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 ________. 8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________. 9.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球，小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x>y时，小明获胜，否则小强获胜. (1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率; (2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由. 10.(2012年江西)如图723，大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置在地板上[可表示为(A1，A2)，(B1，B2)]. (1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率; (2)若从这四只拖鞋中随机地取出两 初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。 解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 各艇追上④号艇的时间为 对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。 解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则 由①②得，代入③得： ∴，故n的最小整数值为23。 答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台 解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得 由①得：，即 由②得：，即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。 答：一层有客房10间。 解：设劳动竞赛前每人一天做个零件 由题意 解得 ∵是整数∴＝16 （16＋37）÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。 初中数学竞赛专项训练（2） （方程应用） 一、选择题： 答：D。 解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程： ，化简得，解得不合题意舍去）。应选D。 答：C。 解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。 答：C。 解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为， 则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。 答：B。 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项 是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里） （1）已知7x x +=（01x <<）的值为（ ）． （A ） （B ） （C （D （2）若关于x 的方程2230x x m -+=的一个根大于2-且小于1-，另一个根大于2且小 于3，则m 的取值范围是（ ）． （A ）98m < （B ）9 148 m -<< （C ）95m -<<- （D ）142m -<<- （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为1v ，2v ，3v ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ ）． （A ）1233v v v ++ （B ）123 111 3v v v ++ （C ） 1231111v v v ++ （D ）123 3 111v v v ++ （4）已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿 （C ） A B C E →→→运动，设点P 经过的路程为x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的 函数的图象大致为（ ）． （5）已知矩形ABCD 中，AB = 72，AD = 56，若将AB 边72等分，过每个分点分别作 AD 的平行线；将AD 边56等分，过每个分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的两个点）共有（ ）． （A ）130个 （B ）129个 （C ）121个 （D ）120个 二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分．把答案填在题中横线上） （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则由x ，y 所确定的点(,)M x y 在双曲线6 y x = 上的概率等于 . （7（2n ≥的整数）的值等于 . （8）若p 是质数，且3p +整除5p ，则2009p 的末位数字是 . （9）如图，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?， 45ABC ADC ∠= ∠=?，若2AB =，则CD 的长为 . （10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3， 4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两 个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加， 若使这个和最大，则此最大值为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （第（10）题） （第（9）题） D C B A １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++=20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?，则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图） 初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）． 【答】A．解：因为△BOC ∽△ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）． （A）（B）（C）（D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）． （A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时． 全国初中数学竞赛初赛试题汇编 （1998-2018） 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103) 2018 年初中数学联赛试题 (105) 1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、 b ）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点， 点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 A B C E F历年全国初中数学竞赛试题及参考答案
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