七年级数学培优班暑期讲义
第一章有理数
§1.有理数的相关概念
整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5
-互为相反数,即2.5是2.5
-的相反数； 2.5
-是2.5的相反数.
在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5
-的点与原点的距离是5,所以5
-的绝对值是5,记作|5|5
-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.
这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.
例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C ,最低气温为4
-C ,那么这天的最高气温比最低气温高（）
A. 4 C
B. 8 C
C. 12 C
D. 16 C
例2.下列说法正确的是（）
A. 一个有理数不是整数就是分数
B. 正整数和负整数统称整数
C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数
D. 0不是有理数
例3．数,,
x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）
A. 0
x y z
>>> B. 0
y x z
>>>
C. 0
y x z
<<< D. 0
x y z
<<<
例4.说出下列各数的相反数：
16,－3,0,
1
2007
-,0.001,m,n
-,m n
-.
例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）
练习一
1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整
数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列说服中正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 正数和负数统称为有理数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 自然数和负数统称为有理数
3. 以下四个判断中不正确的是
A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等
D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等
4. 下面四个命题中,正确的是( ) A. 一切有理数的倒数还是有理数
B. 一切正有理数的相反数必是负有理数
C. 一切有理数的绝对值必是正有理数
D. 一切有理数的平方是正有理数
5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）
A. 1989
B. 1999
C. 2013
D. 2023
6. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.
7. 下列说法中错误的是（ ）
A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.
B. 数轴上原点表示数0.
C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.
D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 有最大的整数
B. 有最小的负数
C. 有最大的正数
D. 有最小的正整数
练习二
1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的
图73
210
x 0－1－2－3－4－5
A. 相反数
B. 倒数
C. 绝对值
D. 平方
2. If we have 0,0<-
a
.and a+6>O,then the points in real number
axis,given by a and b,can be represented as( )
(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)
3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是
A. a+b+c>0
B. c>|a+b|
C. |a-c|=|a|+c
D. |b-c|>|c-a
4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是 A. a,b 是正数,c<0 B. a,c 是正数,b<0 C. b,c 是正数,a<0 D. a,c 是负数,b>0
5. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是 A. 0ab > B. 0ab ≥ C. 0ab < D. 0ab ≤
6. a 为有理数,下列说法中正确的是
A. 21()2007a +
为正数 B. 2
1()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007
a +为正数
7. 若a A. a+b+c+d 一定是正数． B. d+c-a-b 可能是负数． C. d-c-b-a 一定是正数． D. c-d-b-a 一定是正数． 8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值. 9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值. 10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值. §2. 有理数的运算 －、知识提要 1. 整数和分数统称为有理数. 2. 有理数还可以这样定义： 形如p m (其中,m p均为整数,且0 m≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数. 3. 有理数可以用数轴上的点表示. 4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数. 5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数. 6. 有理数的运算法则： (1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数. (2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. (3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0. 乘方：求n个相同因数a的积的运算称为乘方,记为n a. (4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 整数的运算律对有理数的运算也适合. 二、例题与练习 例1. 22 43(43) -?--?=____________. 例2. 13 117(0.125)( 1.2)(1) 3213 -?-÷-?-=____________ . 实践练习： 1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25 ?+÷+?. 2. 计算：78 (0.125)8 -?. 例3.用简便方法计算797997999799997 ++++=__________ . 例4. 314151617181 ()()()()()() 4556677889910 ++++++++++-=_________. 实践练习： 1. 计算：9999999999991999999?+=__________ . 2. 计算：112123 ()()233444++++++ 1234124849 ()()555550505050+++++++++= ________ . 3. 计算：11111 ( 1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000 -----= ________ . 例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( ) (A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数. 例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足1 0a b +=,则必有 ( ) (A)210n n a b ??+= ???. (B)21 210n n a b +?? += ? ?? . (C)3210n n a b ??+= ???. (D)21 2110n n a b ++?? += ? ?? . 实践练习： 1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( ) (A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数. (C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数. 2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2. 练习三 1. 计算：211(455)365455211545545365?-+?-?+?=________ . 2. 计算：200120082008200820012000?-?=_________ . 3. 计算：374841 (0.625)()8(1)54 -???-. 4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______. 5. 20(0.300.310.320.69)÷++++ 的值的整数部分是_______ . 6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ . 7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个. 8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从 1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少? §3. 有理数的巧算 知识要点： 整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质. 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性． 四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数. 有理数计算中常用到的一些等式如下： （1） 11m n mn m n +=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11 m n n m n n m =-++ （4）()()2 2 a b a b a b +=+-；（5）() 11232 n n n +++++= ； （6）()() 22221211236 n n n n ++++++= 例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷?-?+?-????? 实践练习： 1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255?? ?÷÷?? ??? 2、计算：()()()4318 8431 2.524242641515??????----÷+?-÷-?? ????????? 3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050?? +- ???? ??÷+ ????? ?-- ??? 例2.（1）计算： 111112233419992000 ++++???? （2）计算： 1111 13243519982000 ++++???? 实践练习： 1、计算：1111599131317101105 ++++???? 2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56 15 3、计算： 2222222271911119917191111991 ++++++++---- 例3.计算：2222222123499100101-+-++-+ 实践练习： 1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+ 2、计算：222222222468101298100-+-+-++- 3、计算： ()() 2 22222222 4610013599123891098321 ++++-++++++++++++++++ 练习四 1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118 ?-?-÷+?+÷ 2、计算：137153163127255 248163264128256 +++++++ 3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56 15 4、计算：3112122911532140.25534335???? -++-++ ? ????? 5、计算：11111111 1357911131517612203042567290 ++++++++ 6、计算：2222222213579114951-+-+-++- 7、计算： 11111661111165156 ++++???? 8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的1 4,…,依此类推,一直减去余下的1 1999 ,那么最后剩下的数是多少? 第二章 整式 §1．单项式： 1.单项式的概念 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5. 判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5. 2.单项式系数和次数 单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式3 1 a 2h,2 πr,a bc,－m 的系数和次数. 例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数. ①x ＋1； ②x 1； ③πr 2； ④－23a 2 b. 例2.下面各题的判断是否正确? ①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是3 1. 注意： ①圆周率π是常数； ②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关. §2．多项式 1．列代数式： (1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长 是 ； (2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______； (3)图中阴影部分的面积为_________； (4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只. 2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b . 几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式 5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项. 一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式. 单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意： (1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号. 例1.判断： ①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1. 例2.指出下列多项式的项和次数： (1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2. 例3.指出下列多项式是几次几项式. (1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2. 例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件. 课堂练习： ①填空：－45a 2b －3 4 a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 . ②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件. §3．多项式的升(降)幂排列 请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐? 1．升幂排列与降幂排列： 有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列. 例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列. 若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列. 例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如： 按x 降幂排列： 例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列. 例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列. (1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列. 想一想： 观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点? 例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列. 例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列. (1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： . 小结： 对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意: (1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上； (2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列. §4.同类项 创设问题情境 ⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊 = ⑶、5个人+8只羊= 观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2, 8 3, 9a , －3 2 xy , 0, 0.4mn 2, 9 5,2xy 2 我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－ 3 2xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一 类,还有83 、0与9 5也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－3 2 xy 也只有系数不 同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2. 像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项 (simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83 、0与9 5也是同类项. 例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( ) (3)3x 2y 与－3 1yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2 c 是同类项. ( ) (5)23与32是同类项. ( ) 例2.指出下列多项式中的同类项： (1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋3 1xy 2－23 yx 2. 例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项? 例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)31(s ＋t)－5 1(s －t)－43(s ＋t)＋61 (s －t)； (2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t. 课堂练习： 1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗? 2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______ §5.整式的加减 为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问： ①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔? ②若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元? 可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x＋25y)元. 由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则： 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变. 例1.找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项,并合并同类项. 例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正. (1)2x2＋3x2=5x4；(2)3x＋2y=5xy；(3)7x2－3x2=4；(4)9a2b－9b a2=0. 例3.合并下列多项式中的同类项： (1) 2a2b－3a2b＋0.5a2b；(2)a3－a2b＋a b2＋a2b－a b2＋b3； (3)5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4. 例4.求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值,其中x=－3. 试一试：把x＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便? 例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a－b）；（2）（5a－3b）－3（a2－2b）． (2)计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．[5xy2] 小结 去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项． 学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号. 不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为： （１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差. 练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式. 例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3). 例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3. 复习题 1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式. 3 z y x ++,4xy,a 1,22 n m ,x 2+x+x 1,0, x x 212-,m,―2.01×105 2.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,5 3xy 5,3 5 3z y x -. 3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么? 4.化简,并将结果按x 的降幂排列： (1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+2 1)］―(x ―1)； (3)―3(2 1x 2―2xy+y 2)+ 2 1 (2x 2―xy ―2y 2). 5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+21a b)］―5a b 2,其中a =21,b=―3 2 . 6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=― 2 1,y=2 1时,这个多项式的值. 7．如果关于x 的两个多项式42142 ax x +- 与35b x x +的次数相同,求3 212342 b b b -+-的值. 第三章 一元一次方程 §1.一元一次方程 1. 定义： 方程：含有未知数的等式称为方程. 一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=. 解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解. 2. 等式的性质： 性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±. 性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a b c c =. 3. 同解方程和方程的同解原理： (1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程. (2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ?=与()0f x =或()0g x =是同解方程. 4. 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数. 解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解. 5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解b x a = ； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解. 例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x - =； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352 a --=. 例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =. 实践练习： 1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31 342 x x -=+. 2. 解方程：200712233420072008 x x x x ++++=???? . 列简易方程解决问题 例3. 根据下列条件列方程 （1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的2 3 比它的相反数小5. 实践练习： 1. 根据下列问题,列出方程,不必求解. （1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生? （2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少? 练习一 1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.251 0.0240.0180.012 x x x --+=-. 2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值. 3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值. 4. 若关于x 的方程332 x a x -=+的解是4,求22a a -的值. 5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月. 此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程. 6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗? 例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD多少台? 例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆? 实践练习： 1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人? 2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元? 例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数. 实践练习： 1. 已知::2:3:4a b c =,27a b c ++=,求22a b c --的值. 2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数. 例7. 甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米? 实践练习： 1. 一轮船在A,B 两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少? 例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻? 实践练习： 1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺? 2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树? 练习二 1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米, 七年级数学经典练习（1） 绝对值专题练习 1、同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|= _________ ． （2）设x是数轴上一点对应的数，则|x+1|表示_______ 与_ __ 之差的绝对值。（3）若x为整数，且|x+5|+|x﹣2|=7，则所有满足条件的x为____ ___ __ 。 2、小刚在学习绝对值的时候发现：|3﹣1|可表示数轴上3和1这两点间的距离；而|3+1|即|3﹣（﹣1）|则表示3和﹣1这两点间的距离．根据上面的发现，小刚将|x﹣2|看成x 与2这两点在数轴上的距离；那么|x+3|可看成x与_________ 在数轴上的距离。请你借助数轴解决下列问题 （1）当|x﹣2|+|x+3|=5时，x可取整数_________ （写出一个符合条件的整数即可）；（2）若A=|x+1|+|x﹣5|，那么A的最小值是_________ ； （3）若B=|x+2|+|x|+|x﹣1|，那么B的最小值是_________ ，此时x为_________ ；（4）写出|x+5|+|x+3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值． 3、试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值． 4、若ab＜0，试化简++． 5、化简：|3x+1|+|2x-1| 6、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x满足的条件及此常数的值。 7、如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( ) A． 30 B． 0 C． 15 D．一个与p有关的代数式 8．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3z的最大值和最小值. 9．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数. 七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4 7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q 七年级培优题 1、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 度。 2.。. 221x x x ++-+-的最小值是_______ 3、已知0132 =+-x x , 则 =++1 3242 x x x 。 4,一个长方体的长、宽、高分别为9cm, 6cm, 5cm ，先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3. 5、如图，三角形ABC 的面积为1，BD ∶DC=2∶1，E 为AC 的中点，AD 与BE 相交于P ，那四边形PDCE 的面积为 。 6、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，EF=10，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则BC －AD ＝________ 7、如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点， Q 为AD 上的点，且△APQ 的周长为2， 则∠PCQ=_______ 8、在长方形内画一些直线，已知边上 有三块面积分别为13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，则图中的阴影部分的 面积为 。 9、如图，设O 是等边三角形ABC 内一点， 已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以 OA ，OB ，OC 为边所构成的三角形的各内 角的度数分别为 。 10、已知a 、b 、c 都不等于零，且c c b b a a m ||||||++= ，| |abc abc n =，那么n m +=_______ 11如果a 、b 、c 满足a +2b +3c =12，且a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ，则代数式a +b 2+c 3=_______ 12.如图，在长方形ABCD 中，已知AD=12、AB=5、BD=AC=13，P 是AD 上任意一点，PE ⊥BD 、PF ⊥AC ，那么PE+PF=_______ 【提示 长方形的对角线相等且互相平分】 13.在⊿ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB+BD=DC ，求证 ∠B=2∠C 14、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系； （2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C E G 图2 F A E 图3 D 最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－ 22 7 ，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数， － 22 7是分数，0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组 】 01．在7，0，15，－ 1 2 ，－301，31.25，－ 1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－ 1 9 ， 2 15 ，－ 13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1， 1 2 ，－ 1 3 ， 1 4 ，－ 1 5 ， 1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 1 2007 . 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋ m 2 的相反数是－3，则m的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反 七年级数学训练题5 姓名： 一、选择题 1、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). 个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ). B. 2 C. 6 或6 3、下列说法正确的是 （ ） A.两点之间的距离是两点间的线段； B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； D.与同一条直线垂直的两条直线也垂直. 4、方程20082009 20083221=?++?+?x x x Λ的解是( ) 5、已知代数式2346x x -+的值为9-，那么2463 x x -+的值为（ ） A.1- D.3- 6、下列属平移现象的是（ ） A.山水倒映。 B.时钟的时针运转。 C.扩充照片的底片为不同尺寸的照片。 D ．人乘电梯上楼。 7、对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：a b c d =ad-bc ，已知24 1x x -=18，则x=（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. -1 8.同时都含有字母a 、b 、c ，且系数为1的7次单项式共有（ ）个 （A ）4 （B ）12 （C ）15 （D ）25 9.若单项式x x b a 52-和x b a -3223的次数相同，则x 的整数值等于（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）1± （D ）1±以外的数 10. 乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 ----L 等于（ ） A ．125 B.21 2011.10 7 二、填空题 1.钟表上7点20分，时针与分针的夹角为 . 2.如右图，已知AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，∠EOC=280，则∠AOD= °. 3.某商场经销一种商品，由于进货价格比原来预计的价格降低了%，使得销售利润增加了8个百分点，那么原来预计的利润率是 . 4.=++==c b b a b c a b 则若,3,2 . 5. 图中的□、△、○各代表一个数字，且满足以下三个等式： 2014新人教版七年级数学下册提高培优题 1、已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证： ED 4、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AD ∥BE 。 证明：∵AB ∥CD （已知） ∴∠4=∠ （ ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD ∥BE （ ） 5、已知△ABC 中，点A （-1，2），B （-3，-2），C （3，-3）①在直角坐标系中，画出△ABC ②求△ABC 的面积 6、在平面直角坐标系中，用线段顺次连接点A （，0），B （0，3），C （3，3）， D （4，0）． （1）这是一个什么图形；（2）求出它的面积；（3）求出它的周长． 7、在平面直角坐标系中描出下列各点A （5，1），B （5，0），C （2，1），D （2，3），并顺次连接，且将所得图形向下平移4个单位，写出对应点A ＇、B ＇、C ＇、D ＇的坐标。 8、已知 ,求 的平方根. 9、已知关于x ，y 的方程组 与 的解相同，求a ，b 的值． 10、A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时相向而行，两小时后在途中相遇．然后甲返回A地，乙继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的速度． 11、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同。 （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租 车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用。 12、若，求的平方根. 13、已知＋|2x－3y－18|＝0，求x－6y的立方根．14、若不等式组的解是，求不等式的解集。 15、解不等式组并把解集在数轴表示出来.(5分) 16、某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg ，计划用这两种原料生产两种产品50 件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？ （2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 17、李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？ （2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利． 七年级数学 上册 培优训练 第一讲 有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求 || abc abc 的值。 七年级初一数学培优补差工作计划 一、基本情况分析： 本学期担任七年级三班数学教学工作，全班有学生61人。通过第一次月考，呈现出学生数学成绩很不平衡，高分低分落差很大，优生吃不饱，差生吃不了的现象较严重，因此只有对优生和差生进行分层教学，才能避免成绩参差不齐，仅靠课堂教学是不够的，必须进行培优补差工作。 二、指导思想： 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，提高数学计算能力。培优计划要落到实处，发掘并培养一批数学尖子，挖掘他们的潜能，从培养解题能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和计算能力，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的数学素养和数学成绩。 三、指导目标： 在这个学期的培优辅差活动中，培优对象能按照计划提高数学计算和知识的运用能力，成绩稳定在100分以上，并协助老师实施辅差工作，帮助差生取得进步。辅差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是计算这一基本的能力。 四、指导内容： 培优主要是继续提高学生的解题能力和知识灵活运用能力。介绍或推荐适量课外习题，让优生扩大知识面，摄取更多课外知识，多给他们一定的指导，定时安排一定难度的练习任务要求他们完成，全面提高数学能力。辅差的内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他 们掌握，简单计算至少能做正确，可先布置他们每天适量练习。独立完成，保证每个差生有题可做。训练差生的计算能力，堂上创造情境，让差生尝试说、敢于写、进而争取善于做题。 五、培优对象： 方成李明钰余悦王建刚占艳华夏佳乐涂俊超胡佩玲等 六、辅差对象： 胡成龙付绍杰易子琪童博王雅琴张磊王灿贺付明锐 秦可妮张子君江亮童静涵方倩林仟王彬等等 七、主要措施： l.利用课余时间课外辅导。 2.采用一优生带一差生的一帮一行动。 3.请优生介绍学习经验，差生加以学习。 4.课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。 5.对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，并安排课外练习，不断提高做题和数学能力。 6.采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和 初中数学七年级上培优 练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学练习册七年级（上）人教版 目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 有理数 第一章有理数一、全章知识结构 2 3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； （4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数.. 第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平分线 在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4 第7题图 第8题图 第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB ∥CD 的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠3＝∠4 C ．∠BA D ＋∠ABC ＝180° D ．∠ABC ＝∠ADC ，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（ ） A ．邻补角的平分线所在直线 B ．平行线的同旁内角平分线所在直线 C ．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线 D ．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE ⊥AB ，∠1＝∠2，∠AGH ＝∠B ，则下列结论： ①GH ∥BC ；②∠D ＝∠HGM ；③DE ∥FG ；④FG ⊥A B ．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （2）观察图②，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （3）观察图③，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （4）若有n 条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角． H M 最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是 数学培优强化训练（九） 1．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案， （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售进获利最多，你会选择哪种进货方案？ （3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案． 2．防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？ 3．某人沿公路匀速前进，每隔4min 就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6min 就有一辆公共汽车从背后超过他．假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m ，求某人前进的速度和公共汽车的速度，汽车每隔几分钟开出一辆？ 4．某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG ” 改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的20 3，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的5 2．问： （1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改 装前的燃料费下降了百分之多少？ （2）若公司一次性全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成 本？ 七年级数学上册培优强化训练7新人教 版 1.一个角的余角是它的补角的52,这个角的补角是 （ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.一份数学试卷有20道选择题,规定答对一道得5分,不做或做错一题扣1分,结果某学生得分为76分,则他做对题数为 （ ）道 A.16 B.17 C.18 D.19 3.∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1＝63°，∠3＝________. 4.已知轮船在逆水中前进的速度为m 千米/时，水流的速度为2千米/时，则这轮船在顺水中航行的速度是 千米/时 5.金佰客超市举办迎新春送大礼的促销活动,全场商品一律打8折,宋老师花了992元买了热水器,那么该商品的原售价为_ ___元. 6.假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行 请问第2007个棋子是黑的还是白的？答：_ ___. 7.若∠AOB＝∠COD＝6 1∠AO D ，已知∠COB＝80°，求∠AOB﹨∠AOD 的度数. 3.已知关于x 的方程（m+3）x |m|-2+6m=0…①与nx －5＝x(3-n) …②的解相同，其中方程① 是一元一次方程，求代数式（m+x ）2000·（－m 2n ＋xn 2）＋1的值. 4.某一家服装厂接受一批校服订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套，就比订货任务少生产100套，如果每天平均生产23套，就可超过订货任务20套，问这批服装订货任务是多少套？原计划多少天完成？ …… 数学培优强化训练（七）（答案） 1.一个角的余角是它的补角的52,这个角的补角是 （D ） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.一份数学试卷有20道选择题,规定答对一道得5分,不做或做错一题扣1分,结果某学生得分为76分,则他做对题数为 （ A ）道 A.16 B.17 C.18 D.19 3.∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1＝63°，∠3＝__153°______. 4.已知轮船在逆水中前进的速度为m 千米/时，水流的速度为2千米/时，则这轮船在顺水中航行的速度是_（m+4）千米/时______ 5.金佰客超市举办迎新春送大礼的促销活动,全场商品一律打8折,宋老师花了992元买了热水器,那么该商品的原售价为_1240___元. 6.假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行 请问第2007个棋子是黑的还是白的？答：_白____. 7.若∠AOB＝∠COD＝6 1∠AOD，已知∠COB＝80°，求∠AOB﹨∠AOD 的度数. ∠AOB ＝20°，∠AOD ＝120° 3.已知关于x 的方程（m+3）x |m|-2+6m=0…①与nx －5＝x(3-n) …②的解相同，其中方程① 是一元一次方程，求代数式（m+x ）2000·（－m 2n ＋xn 2）＋1的值. 1 4.某一家服装厂接受一批校服订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套，就比订货任务少生产100套，如果每天平均生产23套，就可超过订货任务20套，问这批服装订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 900套40天 …… 第1 讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠ AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ， PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据， 也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°， OF ⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系. A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E D 1 4 A B O l 2 l 1 F B A O C D E C D B A E O B A C D O 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc七年级数学培优练习汇总
(完整版)七年级数学(下)培优试题
北师大七年级数学培优题
(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
七年级下册数学培优训练题5
新人教版七年级数学下册提高培优题
人教版七年级数学上册培优资料(精华)
七年级初一数学培优补差工作计划
初中数学七年级上培优练习册全集(人教版)
人教版七年级下册数学培优讲义(附答案)
最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
七年级数学下册培优强化训练及答案
七年级数学上册培优强化训练7新人教版
七年级数学下册培优辅导(人教版)
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学资料培优汇总(精华)
相关主题
文本预览