北京安通学校2011年GCT考试数学系统班讲义[1]

一、算术

【大纲要求】数的概念和性质，数的四则运算及其应用．

一、数的概念

1.自然数、整数

2.分数

3.小数

二、数的整除、分类与运算

1.数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称 a能被b整除或b能整除a。

2.倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。

3.奇数、偶数：整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，k是整数。

4.质数（素数）:除了本身和 1 以外并没有任何其他因子的正整数称为质数（素数）。

合数：除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。

1既不是质数也不是合数。自然数中最小的质数是2。

质数中只有2是偶数。

5.质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

6.公倍数、最小公倍数

7.公约数、最大公约数

8.互质数:公约数只有1的两个数称为互质数。

最简分数

注：分数的约分与通分

例1 设a，b都是自然数，且a×b是偶数，则

A. a与b都是奇数

B. a与b都是偶数

C. a与b一个是奇数，一个是偶数

D.以上答案均不正确.

例2 若 n为任意的自然数,则是

A.偶数

B.奇数

C.素数

D.以上答案均不正确.

例3 若是11的倍数，则是

A.是11的倍数

B.不是11的倍数

C.不都是11的倍数

D.无法确定是否是11的倍数

例4 如果是使是一个完全平方数，则的最小值是

A.是素数

B.是合数

C.不存在

D.不确定

例5 两个非零自然数的最大公约数是6,最小公倍数是180,则满足条件的两个自然数组成的数对共有

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

例6 已知

A．．B．．C．．D．．

例7 已知,则S的整数部分是

A.163

B.164

C.165 C.166

例8 （）

A． B． C． D．

三、算术平均值. 比和比例

1.算术平均值

2.比和比例

（1）比：两个数相除，又称为这两个数的比，即，a称为比的前项，b称为比的后项，相除所得的商称为比值。在实际应用中，常将比值表示成百分数，称为百分比。

比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。

a是b的p%，

a比b大p%，

a比b小p%，

（2）比例：两个比相等时，称为比例，用字母表示为或，其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内项。

当时，称b为a和c的比例中项，显然a，b，c都是正数时，b是a和c的几何平均值。

比例的性质：

①（外项积＝内项积）

②或（互换外项或内项）

③（合比定理）

④（分比定理）

⑤（合分比定理）

（3）正比：若y＝kx（k不为零的常数），则称y与x成正比，k称为比例系数。

（4）反比：若y＝k/x（k不为零的常数），则称y与x成反比，k称为比例系数。

（5）连比：，，则

例9 记不超过10的素数的算术平均值M,则M最接近的整数是

A.2

B.3

C.4

D.5

例10 某班学生40人,其中数学考试成绩统计见表

成绩90-100 80-89 70-79 60-69 -50-59

人数12 18 5 0 5

则该班考试的平均成绩不低于

A.76

B.77

C.78

D.79

例11 五个不同的数,两两之和依次等于3,4,5,6,7,8,11,12,13,15.这五个数的平均值是

A．18.8 B．8.4 C．5.6 D．4.2

分析：本题考察平均值的概念。如图，每个数字出现四次，故

，

故平均值。

例12 某工厂月产值三月份比二月份增加10%,四月份比三月份减少10%,则四月份比二月份产值

例13 已知，，，则

A． B． C． D．

分析：本题考察比例的性质。

注意到，，而，所以，。例14 2005年，我国甲省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%；乙省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是

A. B. C. D.

分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为，乙省人均生产总值为，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是，即正确选项为D。

四、四则运算的应用

例15 计算

A.2008

B.2007

C.1004

D.1003

例16

A.10

B.11

C.12

D.13

例17 的值是

A. B. C. D.

例18

A. B. C. D.

例19 的值是

A. B. C. D.

例20 有8个数，最小的是10，从第二个数起，每个数都比它的前一个数多4，则这8个数的平均数是

A.22

B.23

C.24

D.25.

分析：，

或．

例21 某工程队原计划用6天挖水渠800米,结果前两天就完成了计划的40%,照此进度施工,可提前n天完成,则n为A.5 B.3 C.2 D.1

例22 某条大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两边都栽．求共栽梧桐多少棵？

分析：．

例23 1000米大道两侧从起点到终点每隔50米安装一盏路灯，相邻路灯间安装一面广告牌，这样共需要

A．路灯40盏，广告牌40面．B．路灯42盏，广告牌40面．

C．路灯42盏，广告牌42面．D．路灯40盏，广告牌42面．

分析：共需路灯，共需广告牌．

例24 在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是

A . 50 和40

B . 40 和 50

C . 60 和30

D . 30 和60

分析：40和60的最小公倍数是120，在120米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是30 和60．

二、代数

【大纲要求】代数式和不等式的变换和计算．包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率等．

一、数和代数式

1．实数

正整数

整数零

负整数

有理数有限小数或无限循环小数。

正分数有理数可以用既约分数表示；

分数（，是整数、互质，）实数负分数整数可以看作分母是1的分数。

正无理数

无理数无限不循环小数。如：，，，。

负无理数

（1）几何意义

实数与数轴的点是一一对应的。

（2）绝对值

显然，是一个非负数。任何数都有绝对值。

意义：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。

（3）实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方）

分数的加减乘除

乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）

乘方：，称为底数，称为指数。规定（）。

自然数

（

，

），

，

开方：如果（是大于1的整数），那么叫做的次方根。求的次方根的运算，叫做把开次方，

简称开方。其中叫做被开方数，叫做根指数。

在实数内，a 的奇次方根只有一个，a<0时不能开偶次方。当a>0时，a 的偶次方根有两个，一正一负，其中正根叫做算术根，

是算术根。

例1 若x 为任意实数,则函数

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．3 例2 已知实数和

满足条件和

，则的值是

A ．

．

．

C ．．

D ．．

分析：根据条件，得

或

解得

或

从而 ．

例3 实数在数轴上的位置如下图表示，

图中O 为原点，则代数式

A ．

B ．

C ．

D ．

分析：因为，所以

．

例4 方程

的解为

A ．

B ．

C ．

D ．

例5 若

且 A ．

B ．

C ．2

D ．－2

b a

O

c

（1）复数的定义（虚数单位、复数、实部、虚部）

形如形式的数称为复数。其中a称为实部，b称为虚部，a，b均为实数。

虚数单位是i，；

性质：，，，。

。

（2）复数的分类

（3）相关概念（模、辐角、共轭复数、复数相等）

复数复平面上点

复数的模长是，

幅角，其中辐角主值。

共轭复数是。

复数相等

（4）基本形式

代数形式:,

三角形式:,

指数形式

（5）复数的运算及其几何意义

1) 设，则；

2) ，则；

3) 设，，则

，

。

4) 表示圆心在点，半径为的圆。

例6 复数，则

A．2 B． C． D．1

例7 复数

A．-1或4 B．4 C．1或4 D．1

例8 已知是一个实数，则实数

A．B． C．D．

例9 复数的模

A．4 B．C．2 D．

分析：因为，所以，即正确选项为C。

练习：是虚数单位,的模等于( C ).

A．64 B． C．8 D．

例10 若复数,.则( )

A． B. 4 C.5 D.

例11

A．B．

C．D．

例12 若,则复数的实部与虚部的和为

A． B． C． D．

例13 若且，则的最小值是

A．B．C．D．

分析：表示复数对应的点在以点为圆心、半径是的圆周上，

最小，是指复数对应的点P到点的距离最短，此最短距离为．

例14 复平面上一等腰三角形的个顶点按逆时针方向依次为（原点）、和，，若对应复数，则对应复数

3．代数式的运算.

（1）整式的运算（单项式、多项式）

加减

乘除

常用公式：

1．和与差的平方；

2．和与差的立方；

3．平方差；

4．立方和；

5．立方差；

除法

带余除法

整除

多项式的因式分解

1）提取公因式法

2）公式法

3）分组分解法

4）十字相乘法

5）求根

6）待定系数法

（2）分式的运算

1）约分与通分

2）加减法

3）乘除法

（3）根式的运算叫做n次根式

1）加减法

2）乘除法

3）有理化

例15已知,求下列各式的值

例16如果整除，则实数

A．0 B．-1 C．2 D． 2或

例17 =

A．260 B．300 C．360 D．400

例18 化简所得的最简分式的分子为A．x的二次式 B．x的二十次式 C．x的198次式D．以上答案均不正确

例19 已知

A．50 B．75 C．100 D．105

例20 当和时，恒成立，则

A． B． C． D．

二、代数方程和简单的超越方程

1．一元一次方程、二元一次方程组

一元一次方程标准型（），解为。

二元一次方程组的标准型是，

解法：（1）加减消元法（2）代入消元法

如：

2．一元二次方程（）

（1）根的几何意义；

（）可以看作，表示曲线与轴的交点的横坐标为和，在交点处有。

二次函数的图像

以为对称轴，为顶点的抛物线。

（2）常用解法；

法一：因式分解法

法二：求根公式法

（3）判别式

时，方程有两个不相等的实根和，

时，方程有两个相等的实根＝，

时，方程没有实根（在实数范围内方程无解）。

（4）根与系数的关系；

若一元二次方程（）的两个根为和，则有

注：和可以是复根。

如：设，若是方程的两个根，求，．分析：根据韦达定理可知，所以

；

；

；．

。

3．分式方程和无理方程

分式方程：去分母化为整式方程，要验根。

4．含有绝对值符号的方程

要化去方程中的绝对值符号

常用方法：

（1）

(2)两边平方去根号。

例1 解下列方程.

(1)

(2)

(3)

例2 若方程

A.0

B.1

C.-1

D.2

例3 方程,所有根的积为

A. B. C.4 D.0

例4两个不等的实数a与b,均满足方程，则的值等于

A.－18

B.18

C.－36

D.36.

例5已知方程有三个根,其中则=

A. B. C. D..

例6 已知的两个实根,则的最小值是

A.3

B.0

C.-1

D.以上答案均不正确.

例7 对任意有理数,方程有有理根,则

A.0

B.1

C.-1

D.2

例8方程的实根个数为:

A.0

B.1

C.2 C.4

A．B．C．D．

分析：根据，可以推出可能有．

或根据：，推出可能有．

三、初数中的应用题——用方程解题

一、追及相遇问题：路程之比等于时间之比

解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。

计算公式：速度＝路程÷时间

这种题的类型有：

类型一：

A B

甲乙

（直线型）

A的路程＋B的路程＝甲、乙两地的距离

类型二同向（时间相同）

（圆圈型）每相遇一次，甲比乙多跑一圈

类型三逆向

每相遇一次，甲乙路程之和为一圈

例1 甲、乙两地相距千米，A,B两辆卡车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过小时相遇．已知A 卡车每小时行千米，问B卡车每小时行多少千米？

分析：根据，及便得．

例2 运场的跑道周长400米，甲、乙两名运动员从起跑点同时同向出发．甲每分钟跑390米，乙每分钟跑310米．求多少分钟后甲超过乙一圈？

分析：所求时间为．

并立即返回队尾．已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？

分析：设队伍长度为，则

，

解得．

例4 假设地球有两颗卫星A、B在各自固定的轨道上绕地球运行,卫星A绕地球一周用小时,每经过144小时,卫星A比卫星B多绕地球35周,卫星B绕地球一周用( )

A． B． C． D．

分析：本题是速度与路程的问题。

设地球一周为单位1，由已知有

，求得。

例5 在一条公路上,汽车A，B，C分别以每小时80,70,50公里的速度匀速行驶,A从甲站开往乙站,同时B,C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇,两小时后,才与C相遇,则甲乙两站的距离是

A.2010公里

B.2005公里

C.1690公里

D.1950公里

分析：设甲乙两站相距公里，则，解得．

例6 甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30分钟，乙需用40分钟，如果乙比甲早出发5分钟去B区，则甲出发后经（）分钟可以追上乙。

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

例7 A.B两地相距45km,甲乙两人同时从A地出发去B地,甲骑自行车每小时行15km,乙步行每小时行5km,甲到B 地后停留2小时后再返回A地,途中与乙相遇,相遇时乙走了:

A.30

B.32

C.35 D40

例8 一辆汽车从甲地出发以某速度匀速行驶,可在给定时间到达乙地,但在距乙地180公里处受阻30分钟,为了准时到达乙地,在继续行驶时需要每小时增加5公里,则汽车后半的速度是每小时

A.40公里

B.45公里

C.55公里

D.50公里.

例9 一卡车从甲地驶向乙地，每小时行60千米，另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行55千米．两车同时出发，在离中点10千米处相遇，求甲乙两地之间的距离．

分析：行驶时间为，甲乙两地之间的距离为．

例10 甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出,甲车的速度是50千米/时,乙车的速递是40千米/时,当甲车驶到

A,B两地路程的,再前行50千米时与乙车相遇.A,B两地的路程是( )千米.

A．225 B.220 C. 215 D. 210

分析：设AB两地的路程为，则

，解得。

二、顺流而下与逆流而上问题

例1 两个码头相距144千米，一艘汽艇顺水行完全程需要6小时．已知这条河的水流速为每小时3千米，求这艘汽艇逆水行完全程需要的时间．

分析：根据得，所求时间为．

例2 两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求这条河的水流速度．

分析：因为，所以

解得．

三、列车过桥与通过隧道问题

例1 一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒．求这条隧道的长．

分析：设隧道长为，则，所以．

四、酒精问题：根据溶质守恒

解题提示：根据溶质守恒来分析。

例1 把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为浓度为30%的酒精溶液,需要加水( )千克.

A．60 B．70 C．85 D．105

设需要加水千克，则，故解得。

例2 一桶纯酒精倒出8升后，用清水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时测得酒精与水之比为18：7，则此桶水的容积是（）

A． 28升 B． 30升 C． 40升 D． 48升

练习：一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a 升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49％，则每次的倒出量a为（）升。

A． 2.25 B． 3 C． 2.45 D． 4

五、工程（放水）问题：根据工程量（放水量）＝1

解题提示：遇到此问题，通常将整个工程量（放水量）看成单位1，然后根据题干条件按比例求解。

计算公式：工作效率＝完成的工作量÷工作时间

总量＝部分量÷部分量所占的比例

例1 一项工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成,甲,乙合做8天后,由丙单独做6天完成,则丙单独做完全部工程需要:

A.12

B.13

C.14

D.15

例2 一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天．问甲、乙两人各做了多少天？

分析：设甲、乙两人分别做了天和天．根据题意得

解得．

例3 修整一条水渠，原计划由人修，每天工作小时，6天可以完成任务．由于特殊原因，现要求天完成，为此又增加了人，求每天要工作几小时？

分析：设每天要工作小时，则

，

所以．

例4 搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车15天可以完成，实际搬运6天后，有两辆卡车被调走．求余下的渣土还需要几天才能运完？

分析：设要运完余下的渣土还需要天，则

，

所以．

例5 某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（）。

A.18

B.35

C.40

D.60

分析：设完成剩余的工程还需要的天数是，则，故，即正确选项为C。

六、打折问题

解题提示：要选对基准量，注意折扣的变化与利润的关系。

计算公式：利润率＝（售价－进价）÷售价

售价＝成本＋利润

例1 某商店商品按原价提高50％后，7折优惠，每售一套盈利625元，其成本2000元，问按优惠价售出与按原价售出是多赚钱还是少赚钱？

解：售价：2000＋625＝2625

原价： 2625÷70％÷（1＋50％）＝2500

所以多赚2625－2500＝125（元）。

例2 以成本价为标准量，若以600元一件的售价，卖出两件仿古工艺品，其一盈利20％，而另一件亏损12％，则总账盈亏是（ A ）

A 约赚18元 B约亏18元 C约赚20元 D约亏20元

例3 一款手表，连续两次降价后，现在售价是元，求这款手表的原价．

分析：设手表的原价为，则，所以．

七、比和比例应用题

例1 甲、乙两个仓库共存有抗洪物资810吨，从两个仓库各调出150吨物资后，甲、乙两仓库所剩的物资比是，原来甲、乙两仓库各存有物资多少吨？

分析：设原来甲、乙两仓库所存的物资分别为，所以

即解得．

例2 甲、乙两种茶叶以x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10 % 后，成品茶的收入恰好仍保持不变，则等于（）. （04）

A . 1 : 1

B . 5 : 4

C . 4 : 5

D . 5 : 6

分析：由于，所以．

例3 某厂生产的一批产品经产品检验，优等品与二等品的比是5：2，二等品与次品的比是5：1，则该批产品的合格率（合格品包括优等品与二等品）为

A 92％

B 92.3％

C 94.6％

D 96％

例4 一公司向银行借款34万元，欲按的比例分配给下属甲、乙、丙三车间进行技术改造，则甲车间应得 A 4万元 B 8万元 C 12万元 D 18万元

八、平均分问题

例1 车间共有40人，某技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工成绩为83分，女工成绩为78分，该车间有女工

A 16人

B 18人

C 20人

D 24人

例2 甲乙两组射手打靶，乙组平均成绩为171.6环，比甲组平均成绩高出30％，而甲组人数比乙组人数多20％，则甲乙两组射手的总平均成绩是

A 140分

B 145.5分

C 150分

D 158.5分

九、年龄问题

例1 父亲今年43岁，儿子今年13岁．问几年以前，父亲的年龄是儿子的4倍？

分析：设年，则，所以．

练习：父亲今年38岁，儿子今年10岁．问几年以后，父亲的年龄是儿子的3倍？

分析：设年，则，所以．

例2 小明今年一家四口人，全家年龄之和为69岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为54岁，则父亲今年多少岁？

A．28 B．29 C．30 D．31

十、其它类型

例1 有东西两个粮库，如果从东库取出放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的．已知东库原来存粮5000吨，求西库原来的存粮数．

分析：设西库原来的存粮数为，则

，

所以．

练习：某机床厂今年每月生产机床100台，比去年平均月产量的2倍少40台，求去年的平均月产量．

分析：设去年的平均月产量为，则，所以．

三、不等式

1．基础知识

（1）不等式的基本性质

1、对称性：若，则，若，则。

2、传递性：若，，则。

3、移项性：若，则。

4、变号性：若，，则；

※若，，则（变号）。

5、若，，则。

6、若,,则

7、若，，则。

8、若，则（）。

9、若，则（）。

（2）比较实数大小的常用方法

。

（3）重要不等式

1）若，则。