第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y x
=为同一函数的是（）
2
.A y=
.B y=
ln
.x
C y e
=.ln x
D y e
=
解：ln ln
x
y e x e x
===
，且定义域
()
,
-∞+∞，∴选D
2．已知?是f的反函数，则()2
f x的反函
数是（）
()
1
.
2
A y x
?
=()
.2
B y x
?
=
()
1
.2
2
C y x
?
=()
.22
D y x
?
=
解:令()
2,
y f x
=反解出x：()
1
,
2
x y
=?互
换x，y位置得反函数()
1
2
y x
=?，选A
3．设()
f x在()
,
-∞+∞有定义，则下列函数
为奇函数的是（）
()()
.A y f x f x
=+-
()()
.B y x f x f x
=--
??
??
()
32
.C y x f x
=
()()
.D y f x f x
=-?
解：()
32
y x f x
=
的定义域()
,
-∞+∞且
()()()()()
3232
y x x f x x f x y x
-=-=-=-
∴选C
4．下列函数在()
,
-∞+∞内无界的是（）
2
1
.
1
A y
x
=
+
.arctan
B y x
=
.sin cos
C y x x
=+.sin
D y x x
=
解: 排除法：A
2
1
122
x
x
x x
≤=
+
有界，
B arctan
2
x
π
<有界，
C sin cos
x x
+≤
故选D
5．数列{}n x有界是lim n
n
x
→∞
存在的（）
A 必要条件
B 充分条件
C 充分必要条件
D 无关条件
解： {}n x收敛时，数列n x有界（即
n
x M
≤），反之不成立，（如()
{}11n--有界，
但不收敛，
选A
6．当n→∞时，2
1
sin
n
与
1
k
n
为等价无穷小，
则k= （）
A
1
2
B 1
C 2
D -2
解：
2
2
11
sin
lim lim1
11
n n
k k
n n
n n
→∞→∞
==，2
k=选C
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．设()
1
1
f x
x
=
+
，则()
f f x
??
??的定义域
为
解：∵()
f f x
??
??()
11
1
11
1
f x
x
==
++
+
1
12x x
x
≠-+=
+ ∴()f f x ????定义域为
(,2)(2,1)(1,)-∞-?--?-+∞
8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=
解：（1）令()2
2,45x t f t t t +==-+
()245f x x x =-+
（2）()2
2
1(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+
9
．函数44log log 2y =的反函数是
解：（1
）4log y =，反解出x ：21
4y x -=
（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10
．n =
解
：原式
3
2
n =有理化
11．若10
5lim 1,kn
n e n --→∞??
+=
???
则k =
解：左式=5lim ()
510n kn k n
e e e →∞---==
故
2k =
12．2352
lim
sin 53n n n n
→∞++= 解： 当n →∞时，2sin
n ～2
n
∴原式=2532lim 53n n n n →∞+?+= 6
5
三、计算题（每小题8分，共64分）
13
．求函数21
arcsin
x y -=
解：{
21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->?????
? 或
∴函数的定义域为[](
3,1)1,4--? 14．设sin
1cos 2x f x ?
?
=+ ???
求()f x 解：22sin 2cos
21sin 222x x x f
????==- ? ??
?
?
?
()()
2
21f
??∴=-??
故()()
2
21f x x =-
15．设()f x ln x =，()g x 的反函数
()()
1211
x g x x -+=
-，求()()f g x
解: （1） 求22():1
x g x y x +=- ∴反
解出x ：22xy y x -=+22
x y y =
+-
互换,x y 位置得()22
g x x x =+-
(2)()()ln ln 22
f g x g x x x ==????
+-
16．判别()f
x (ln x =的奇偶性。 解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称
(
)(ln x x f -=-+
=
(
1
ln ln(x x -=+=-+
()f x =-
(
)ln(f x x ∴=为奇函数
解法（2）：()()f x f x +-
(ln(ln x x =++-+
)
ln (ln10x x ??=+==???
?
()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数
17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，
且()()1
1
f x
g x x +=
-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()1
1x =
?1- 1
()()1
f x
g x x -+-=-- 即有
1
()()1
f x
g x x --=
+()2? ()()2∴1+得()11211
f x x x =
--+ 故 21
()1
f x x =-
()()21-得()11
211g x x x =+-+
故2()1x
g x x =-
18．设3
2lim 8n n n a n a →∞
+??
=
?-??，求a 的值。 解： 3
3
23lim lim 1n n
n n n a a n a n a →∞→∞
+???
?=+
? ?--????
lim
,n na a n a e
e →∞-==8a e ∴=
故ln83ln 2a ==
19．求()111
lim 12231n
n n n →∞??++?+ ? ???+?
? 解：（1）拆项，
11(1)(1)k k
k k k k
+-=++
11
1,2,,1
k n k k =
-=?+ ()
111
12231n n ++?+??+ 1111112231n n ??????=-+-+?- ? ? ?+?????? 111
n =-
+ （2）原式=lim 11
111lim n n
n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+??
20．设()()0,1,x f x a a a =>≠ 求()()()2
1lim
ln 12n f f f n n →∞?????? 解： 原式=()122
ln 1lim
n
n a a a n →∞??
[]2ln 2ln ln 1
lim n a a n a n
→∞=++?+ 2
ln 12lim
n a n
n →∞?+=?++
2(1)ln 2
lim
n n n
a n →∞+=??
()ln 0,11
2
a a a =
>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x
()3f x =
(){}
f f f x ????并讨论()3f x 的奇偶性与有
界性。
解：（1）求()3f x
(
)()
2f x f x =
()(
)
32f x f x f f x ==
=
????（2）讨论()3f x
的奇偶性
()()33f x f x -=
=-
()3f x ∴为奇函数
（3）讨论()3f x 的有界性
(
)3f x =
<
=
()3f x ∴有界
22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角?的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=2
1
3
r h π
h r R π=
=? 22
24R r h π2?∴==
故22
34R V ππ2
?=? =（2）函数的定义域
()
2
22240,2ππ-?>?<
()0π∴<
?<2
故)0V π=
证：(1) ()()()
2
f x f x f x +-=
()()2
f x f x --+
(2)令()()()
()2
f x f x
g x x +-=
-∞<<+∞
()()()
()2
f x f x
g x g x -+-=
=
()g x ∴为偶函数
(3)令()()()
()2f x f x x x --?=-∞<<+∞
()()()
()2
f x f x x x --?-=
=-?
()x ∴?为奇函数
（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ?奇函数
24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ??
???
=
1
x
，证明()f x 为奇函数。 证：（1）()()11
21f x f x x ??+=?? ???
令()1
1,2t f f t t x
t ??
=+= ??? 函数与自变量的记号无关
()()122f f x x x ??
∴+=?? ???
（2）消去1f x ?? ???
，求出()f x ()()()()2
221:4f x f x x x
-?-=-
()()22
223,3x x f x f x x x
---==
（3）()f x 的定义域()(),00,-∞?+∞
又()()2
23x f x f x x
--=
=-- ()f x ∴为奇函数
＊选做题
1已知222(1)(21)
126
n n n n ++++?+=
，
求22233312lim 12n n n n n n →∞??
++?+ ?+++?
? 解: 222312n n n
++?++
2222233311211
n n n n n n ++?+≤+?+≤+++
且222312lim n n n n →∞++?++ ()()
31(21)1
lim
3
6n n n n n n →∞
++==+ 222312lim 1n n n →∞++?++3(1)(21)1
lim
6(1)3
n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知，原式13
=
2 若对于任意的,x y ，函数满足：
()()()f x y f x f y +=+，证明()f y 为奇
函数。
解 (1)求()0f ：令
()()()0,0,02000x y f f f ===→=
(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-
()f y ∴为奇函数
第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x →∞= B ． sin lim sin x x x
x x
→∞-+不存
在
C ． 1lim sin 1x x x →∞=
D ． lim arctan 2
x x π→∞=
解：011sin lim sin lim x t t x t
x x t
→∞→= ∴选C
注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 10
1x x x
x x A B x x x
→∞→∞-
-===++
2． 下列极限正确的是（ ）
A ． 10
lim 0x x e -
→= B ． 10
lim 0x
x e +→= C ． sec 0
lim(1cos )
x
x x e →+=
D ． 1
l i m (1)x
x x e →∞
+
=
解：1
1
lim 0x
x e e e -
-∞
∞
→==
= ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞
3． 若()0
lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则
下列正确的是 （ ） A ． ()()0
l i m x x f x g x →+=∞????
B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞????
C ． ()()
1
l i m
x x f x g x →=+ D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠
解：()()0
lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞
∞
∴选D
4．若()
2lim
2x f x x
→=， 则()
lim
3x x
f x →= （ ）
A ．3
B ．
13 C ．2 D ．12
解：()()002323lim lim 32x t t
x x t f x f t →→= ()021211lim 23323
t f t t
→=
=?= ∴选B
5．设()1
sin (0)0(0)
1sin (0)x x x x f x x a x x ?
=?=??+>???
且()0
lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0
sin lim 1,x x
x
→=
= 01lim sin x x a o a x +→??
??+=+ ??????
? 1a ∴= 选C
6．当0x +
→时，(
)1f x =是比x
高阶无穷小，则 （ ）
A ．1a >
B ．0a >
C ．a 为任意实数
D ．1a <
解：00112lim lim 01a x x x
a a x ++→→>=∴> 故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
7．lim 1x
x x x →∞??= ?+??
解：原式
lim 1111lim 11x x
x
x x e e x →∞-∞
-+→∞
?
?-== ?+??
8．211
2lim 11x x x →??-= ?--?
?
解：原式
()
()()
112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 1
11
lim
12
x x →==+
9．()()()
3
100213297lim 31x x x x →∞
-+=+ 解：原式
397
2132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞??
?∞??
-+????? ? ?++????
3
28327??
== ???
10．已知216
lim 1x x ax x
→++-存在，
则a = 解：()1
lim 10x x →-=
()21lim 60x x ax →∴++=
160,7a a ++==-
11．1201arcsin lim sin x
x x e x x -→??+= ???
解：11
220011sin 1,lim 0lim sin 0x x
x x e e x x
-→→≤=∴= 又00arcsin lim
lim 1x x x x
x
x →→== 故 原式=1
12．若()220
ln 1lim
0sin n x x x x
→+=
且0sin lim
01cos n x x
x
→=-,则正整数n = 解：()2222
0ln 1lim
lim sin n n x x x x x x x
x
→→+?=
2
4
2
0,lim
02
n
x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n =
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求sin 32lim sin 23x x x
x x
→∞+-
解： 原式=sin 32
lim sin 23x x
x x
x
→∞+-
sin 31lim
0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞??
=≤= ???
sin 21lim
0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞??
=≤= ???
∴原式022
033
+=
=-- 14．求
x →
解：原式
有理化
x →0tan (1cos )1
lim
(1cos )2
x x x x x →-=?-
0tan 111
lim
lim 222
x x x x x x →∞→=?==
15．求21lim sin cos x
x x x →∞?
?+ ??
?
解：令
1
t x
=，当x →∞时，0t → 原式()
10
lim cos sin 2t t t t →=+ []
10
lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+
()
0cos 1sin 2lim
2t t t t
e
e →∞
-+=
16．求0ln cos 2lim
ln cos3x x
x
→
解：原式
[][]
ln 1cos 21lim
ln 1cos31x x x →--+-变形
0cos 21
lim
cos31
x x x →--等价
()()
2
02124
2lim 1932
x x x →-=-等价 注:原式
02sin 2cos3lim
cos 23sin 3x x x
x x
→∞?? ?∞??
-?
- 49
=??=
17．求02lim sin x x x e e x
x x
-→---
解： 原式
00
2
lim 1cos x x x e e x -→+-- 000
00
lim lim 2sin cos x x x x
x x e e e e x x
--→→++=
18．设()f
x 1
,0
x e a x x -?+>?=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。
解：10lim 0x x e a e a a a +
--∞
→??+=+=+= ???
0lim lim x x x
-
-→→=
lim 2
x -
→==-
a ∴= 19．()1
13ln 0
lim sin3x
x x +
+→
解： 原式
()003cos lim
sin30
ln(sin3)3lim
13ln 0x x x
x
x x x
e
e
-→+→+=换底法
0031lim
lim
3sin 33
x x x
x
x
x
e
e
e ++→→===
20．求2
1lim ln 1x x x x →∞
????-+
??????
?
解： 原式
()201ln 11lim t t t x
t t →=+??-????
()2
ln 1lim
t t t t
→-+通分
1101lim
2t t t
→??
?-??
+0 ()0
01111
lim
lim 2112
t t t t t t →→+-===++
四、证明题（共18分） 21．当x →∞时且
()()lim 0,lim x x u x v x →∞
→∞
==∞,
证明()()
()()
lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞
→∞
+=????
证：()()
lim 1v x x u x →∞
+????
()()
()()1
lim 1u x v x u x x u x ??→∞
=+????
()()
lim x u x v x e
→∞
?=
证毕
22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
（1）()3
tan sin 02
x x x x -→等价于
（2）()3
tan 03x x x x -→等价于
（3）3
sin 6x x x -等价于()0x →
（4）()3
arcsin 06
x x x x -→等价于
证：()30
tan sin 1lim
2
x x x
x →-
()
3
00tan 1cos lim
2
x x x x →?? ?-??
2302lim 12
x x x x
→?
== 当0x →时，3
tan sin 2
x x x -
()2
20
03tan sec 1
2lim
lim 13
x x x x x x x →→--= 22
2200tan lim lim 1x x x x x x →→=== 当0x →时，2tan 3
x x x -
()0
3sin 3lim
16x x x x →- 02
1cos lim
12
x x
x →-= 202
12lim 112
x x
x →== 当0x →时，3
1sin 6
x x x -
()0
3arcsin 4lim
16
x x x
x →-
002
1lim 12
2
x x x x →→-== 202
12lim 1112
x x x →==? 当0x →时，31arcsin 6
x x x -等价于
五、综合题（每小题10分，共20分） 23
．求(lim 3x x →∞
解： 原式
229921x x x x -++
有理化
x =
1
221333x --
-===-+
24． 已知()22281
lim 225
x x mx x n x n →-+=-++，求常
数,m n 的值。
解：（1）∵原极限存在且
()2
2
lim 220x x n x n →??-++=?? ()22
lim 80,4280x x mx m →∴-+=-+=
212,6m m ==
（2）()
22268
lim 22x x x x n x n →-+-++
()()
2002646
lim
2242x x x n n →?? ???
--=
-+-+ 2125
n -=
=- 102n ∴-=- 12n = 答6,12m n ==
选做题
求
()1
1
01lim x
x x x e
→??
+???????
?
解：原式()1
1011lim 1x
x x x e e
∞→??+-??+
??????
()()1
1
011lim
lim x
x x x x x e
x e
e
e e
→→???
?+????+-??
?==
令()()11
ln 11x
x x
y x e
+=+=
()
()12
1
ln 111x
x x x y x x
-++'=+ ()
()()
()
1
2
1ln 111x
x x x x x x -++=++
原式()()()
()2
2
1ln 10ln 1lim
lim
123x x x x x x x x x x e
e →→-++-+++==
2
01lim
232
x x
x x e
e →--
+==
第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若()f x 为是连续函数，
且()()01,10f f ==，
则1lim sin x f x x →∞
??
= ???
( ) A ． -1 B ．0 C ．1 D ． 不存在 解： 原式
1sin 1lim sin lim 1x x f x f x f x x →∞→∞?
?????=????????
?
?连续()10f ==，选B
2． 要使()()ln 1m
x
f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( )
A ． km
B ．
k m
C ． ln km
D ． km
e
解：()0
0lim ln lim(1)m
x x x f x kx →→??
=+????
lim ln ln x m
kx km x
e e km →?
===
()0f km ∴= 选A
3．若lim ()x a
f x A →=，则下列正确的是
（ ）
A ． ()lim x a
f x A →=
B ．
x a
→=
C ． ()lim x a
f x A →=-
D ． lim ()x a
f x A →=
解：
x a
→=
选B
4．设()()
(),00,0f x x F x x f x ?≠?
=??=?
且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠
()00f =,则0x =是()F x 的 ( )
A ． 可去间断点
B ． 跳跃间断点
C ． 无穷间断点
D ． 连续点 解：()()()()0
0lim lim
0,0
x x f x f F x f x →→-'==-
()()00f f '≠()()()0
00lim 0x F f F →∴=≠，
故0x =是()F x 的第一类可去间断点。选A
5．()1sin ,00,0
x f x x x x ?
?
=≠??=?在0x =处 ( )
A ． 极限不存在
B ．极限存在但不连续
C ．连续但不可导
D ．可导但不连续
解：()001
lim lim sin 0x x f x x x
→→=?= ，且()00f =
()f x ∴在0x =连续，又()0f ' 01sin 0
lim 0
x x x x →-==-不存在，
()f x ∴在0x =不可导 选C
6．设()21,1,1
x x f x ax b x ?+≤=?+>?在1x =可导，则
,a b 为 （ ）
A ． 2,2a b =-=
B ． 0,2a b ==
C ． 2,0a b ==
D ． 1,1a b == 解：（1）()f x 在1x =连续，
()()21
1
lim 12,lim x x x ax b a b -+
→→∴+=+=+ 故()21a b +=?
（2）()()211
1lim 2,11
x x f f x -
-+→-''==- ()()11112lim lim 11
x x a x ax b a x x ++→→-+-==--
2a ∴=，代入()1得0b =，选C
二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设()f x 为连续奇函数，则()0f =
解：（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-
（2）()()00lim lim x x f x f x →→-=-???
? 又()f x 在0x =连续
()()00f f ∴=- 故()00f =
8．若()f x 为可导的偶函数，则()0f '= 解：（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-= (2)()f x 可导，()()f x f x ''∴--= 故
()()00f f ''-= ()200f '= 即()00f '=
9．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的 一条切线，则k =
解： （1）6,66,666,2y y x x x ''==-∴-== （2）62346213,12121213,k k ?+=?-?+∴+=-+故1k =
10． 若()y f x =满足：()()0f x f =x +
()x +α，且()
0lim
0x x x
→α= 则()0f '= 解：()()()0
00lim
x f x f f x →-'=-
()0
lim
101x x x x
α→-==+=
11． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4， 则22
1
4lim ()24x f x x x →??-=
?--??
解： 原式=2224
(2)lim 4x x f x →+--
211
4lim 4124
x x →==?=+
12．()5sin 1()x x f x x x
?-=-的间断点个数为
解： 令()()()
52
0,1110x x x x x x -=-++=
0,1,1x x x ==-=为间断点，
故()f x 有三个间断点
三 、计算题（每小题8分，共64分）
13． 已知2sin 21
,0(),0ax x e x f x x
a x ?+-≠?
=??=?
在(),-∞+∞上连续，求a 的值 解：()f x 在0x =连续
()200sin 21
lim lim ax x x x e f x x →→+-∴=200sin 21lim lim 22ax x x x e a x x
→→-=+=+ 且()0,22f a a a =∴+= 故2a =-
14． 讨论1
,0()0,01ln ,11
x e x f x x x x x ??
=≤≤???>-?在0,1
x x ==连续性
解：（1）在0x =处，10
lim 0,x
x e -
→= 0
lim 00x +→= 且()00f =
()f x ∴在0x =处连续
（2）在1x =处，1
lim 00,x -
→= ()1
0ln 1ln 1lim lim 11x x t x x t
x t
+
+
→→+-===- ()f x ∴在1x =不连续
15． 设()f x 有连续的导函数，且
()()00,0f f b '==若()()sin ,0,0f x a x
x F x x
A x +?≠?
=??=?
在0x =连续，求常数A 。 解：()()()0
0sin lim lim
x x f x f a x
F x x
→→-+=
()()0
00sin lim
lim 0
x x f x f a x
x x
→→-=+-()0f a '=+
且()0F A =，a b A ∴+= 答A a b =+
16． 设()f x 1
,0,0x e x x kx b x ?-
=??+≥?
在0x =可导，
求,k b 的值。
解：（1）()f x 在0x =连续，
01
lim 1x x e x
-→-∴= 0lim ()x kx b b +
→+= 故有1b =
（2）()f x 在0x =可导
()01
1
0lim 0
x x e x f x --→--'=-
2
0000111lim lim 22x x x x e x e x x -→→??
?
??---== ()0
11
0lim
,x kx f k x
+→+-'== 12k ∴=
，答1
,12
k b == 17．设ln(1)
,0()1,0
ax x f x x
x +?≠?
=??-=?在0x =可导，求a 与()0f '
解：（1）()f x 在0x =连续，
()()00ln 1lim lim
x x ax f x x
→→+∴=0lim x ax
a x →== 且()01f =-，故有1a =- （2）()f x 在0x =可导
()0ln(1)
10lim x x x f x
→-+'= ()20001
10ln 11lim lim 2x x x x x x x
→→?? ?+-+??
-= ()0111
lim
212
x x x x →+-==--
答：()1
1,02
a f '=-=-
18． 讨论()f x ()x a x =-?在x a =是否可导，其中()x ?在x a =连续。 解：（1）()()()0
lim x a
x a x f a x a
?-
-→--'=-
()()lim x a
x a x x a
?-
→--=-
()()lim x a
x a ???-
→=--连续
（2）()()()0
lim x a
x a x f a x a ?+
+→--'=-
()()
()()
lim lim x a
x a
x a x x a x a
????+
-
→→-==-连续
答： 当()0a ?=时，()f x 在x a =连续， 当()0a ?≠时，()f x 在x a =不连续 19． 求1
()ln f x x
=的间断点，并指出间断点类型
解：（1） 间断点：0,1,1x x x ==-= （2） 在0x =处：01
lim
0ln x x
→=
0x ∴=是()f x 的第一类间断点。
（3） 在1x =±处：11
lim
ln x x
→±=∞
1x ∴=±为()f x 的第二类无穷间断点。 20． 设()1
1,0
()ln 1,10x e x f x x x -??>=??+-<≤?指出
()f x 的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）1x =为间断点，0x =可能是间断
点。
（2）在1x =处：
1
1
1
1
1
1
lim 0,lim x x x x e e
e -
+
-∞
--→→===∞
1x ∴=是()f x 的第二类无穷间断点
（3）在0x =处：
()1
11
lim ,lim ln 10x x x e e x +
-
--→→=+= 0x ∴=是()f x 的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
21． 求111()1x x f x x x
-
+=--的间断点，并判别
间断点的类型。
解： （1）间断点：01,1x x x ==-=， （2）在0x =处：
()()11
1(1)11
x x x f x x x x --=
?=
++ ()0
1
lim lim
11
x x x f x x →→-==-+ 0x ∴=是()f x 的第一类可去间断点
（3）在1x =处：
()1
1
1
lim lim 01
x x x f x x →→-==+ 1x ∴=是()f x 的第一类可去间断点
（4）在1x =-处： 11
lim
1
x x x →--=∞+
1x ∴=-是()f x 的第二类无穷间断点
22．已知2322,0(),01,1x x x f x ax bx cx d x x x x ?+≤?
=+++<
，
在(),-∞+∞可导，求,,,a b c d 之值
解：（1）()f x 在0x =连续，
()320
lim x ax bx cx d d +
→∴+++= ()()20
lim 0,00x x x f -
→+== 故()01d =?
（2）()f x 在0x =可导
()200lim 1,x x x f x --→+'==
()3200lim x ax bx cx
f c x
+→++'==
故有()12c =?
（3）()f x 在1x =连续，
()()3
2
1
lim 1x ax bx x f -
→++= 即()110a b f ++==
()103a b ∴++=?
（4）()f x 在0x =可导：
()211lim 11x x x
f x ++→-'∴==-
()3211lim 1
x ax bx x
f x --→++'=-
()2
1
00lim 321x ax bx -
→??
???
++ 321a b =++
故有()3204a b +=? 由（3）（4）解得2,3a b ==- 答：2,3,1,0a b c d ==-== 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明4
240x x --=在区间()2,2-内至
少有两个实根。
证：（1）()f x 在[]2,0-连续， 且()()040,2160f f =-<-=>
∴由零点定理知，
()f x =0在()2,0-上至少有一个实根。
（2）()f x 在[]0,2连续,且
()()040,216480f f =-<=-=> ∴由零点定理知，
()f x =0在()0,2上至少有一个实根
（3）综上所述，()f x =0在()2,2-上至少有两个实根
24． 设()1sin ,0
0,0
u
x x f x x
x ?≠?=??=?，证明（1）当0u >时()f x 在0x =连续，当1u >时，
()f x 在0x =可导
解：（1）0
01lim sin
0u
x u x x
→> 时
010sin 1,lim 0u x u x x →?>?≤ ???
∴当0u >时，()f x 在0x =连续 (2)1001
sin
11lim
lim sin 01u u x x x u x x x x
-→→>=- 时 1011sin 1,lim 0u x u x x -→?>?≤ ???
当1u >时，()f x 在0x =可导 总之，当0u >时，()f x 在0x =连续 当1u >时，()f x 在0x =可导 选做题
设对于任意的x ，函数满足()1f x +=
()af x 且()0,f b '=证明()1f a b '=?
证：（1）令0x =，()10f + ()0af =，即
()()10f af =
(2) ()()()
111lim
x f x f f x
→+-'=
()()
()0
0lim
0x af x af af a b x
→-'===?
证毕
第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设()
242
1,f x x x =++则()1f '=( )
A ．1
B ．3
C ． -1
D ． -3 解：（1）()()
2
2
221f x
x x =++
()21f x x x ∴=++
(2) ()()21,1211f x x f ''=+-=-+=- 选C
2．设()()()22
2
21
2f x x x x
=--
()
22
x n ?-,则()0f '= （ ） A ．2(!)n B ． ()2
1(!)n
n -
C ． !n
D ． ()1!n
n -
解： 令()()()()22
2
2221
2g x x x
x n =--?-
()()f x x g x =?
()()()f x g x xg x ''=+
()()()()2
2
00012f g '=+=-- ()()
()
2
2
1!n
n n ??-=-
选B
注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设()()ln 1f x x =+，则()
()5f x = ( )
A ．
()
5
4!
1x + B ．
()
5
4!
1x -+
C ．
()
5
5!
1x + D ．
()
5
5!
1x -+
解：()()1
1,f x x -'=+
()()2
11,f x x -''=-+ ()()()()3
121f x x -'''=--+ ()()()()()()4
41231,f x x -=---+
()()()()()()
5
(5)12341f x x -=----+54!(1)x -=+ 选A
4．设()y f x =由方程()2cos 1
x y
e
xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )
A ．2
B ． -2
C ．
12 D ． -12
解：()()()22sin 0x y
e
y xy y xy +''++?+=
()()2000,e y ''++=()()002y f ''==-
选B
5． 设()f x 为可导偶函数，且()()cos g x f x =，则'2g π??
=
???
（ ） A ． 0 B ．1 C ．-1 D ． 2 解：（1）()()()cos cos g x f x x '''=?
()()cos sin f x x '=?-
（2）()(),f x f x -=
()()()1f x f x ''∴-?-= ()()00f f ''-=得()00f '=
（3）()002g f π??
'=-=
???
选A 6．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,
则(0
lim x d
f dx
+
→= ( ) A ． 1 B ． -1 C ． 2 D ．-2
解
：
(d
f dx
(
(
f '=?-(2)
原式(0
lim x f +
→'=
()1
112
f -'=
=- 选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．若sin cos t
t
x e t y e t -?=??=??
， 则22d y
dx = 解：（1）2cos sin (1)sin cos t t t
t t
dy e t e t e dx e t e t -----==-+ (2) 2322sin cos t d y dy e dy dx dt dt dx dx t t
-''-===+
8．设(
)f x =
则()f e '=
解：(1)(
)11
2ln ln x x
f x ?
'== （2）(
)2f e e '==
9． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是
解：1,010x x
e y e y e ''=-=∴-= 曲
故有切点坐标()0,1-
10．()y f x =由方程3
3
sin 60
x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 解：当0x =时，360y y +=得0y =
2233cos 60x y y x y ''+?-+=
()106y '=
，()01
06
x dy y dx dx ='∣== 11
．设y = 则dy = 解：()()11
ln 1ln 122
x x y e e =
--+ 21122111
x x x
x
x x
e e e
y e e e -'=-=-+- 12．设()1
0110n
n n f x a x a x
a x a --=++?++，
则 ()()0n
f =
解：()1201(1)n n f x na x n a x --'=+-
1n a -+?,?
()()()01n n n f x n n a x -=-?1 ()()00!,0!n n a f n a ==
三、计算题（每小题8分，共64分） 13
．设y =dy 。
解：
(1))
1)ln
1y =-
(2)y '=
=
（3
）dy =
14．
设arcsin
2
x
y x =+求y '及y ''。 解：
(1) 1arcsin
2
x y '=+
arcsin
2x =+
arcsin 2x
=
(2)arcsin 2x y '?
?''= ??
?
x '
?? ?=
=
15．方程()1
sin ln
1x xy y
+-=确定()y y x =，求
0x dy
dx
=∣ 解：(1)()11
cos ()1xy y xy y x y
''?+-+?+=0
（2） 当0x =时，0ln 1y y e +=→=
（3）()1
cos 0(0)1(0)0e e y e
'??+-+=
1
1(0)e y e
'-= ，(0)(1)y e e '=-
16．设 ()
c o s
s i n x y x x =，求y '
解：（1）ln ln cos ln sin y x x x =+
(2)11cos sin ln sin cos sin x
y x x x y x x
'=-?+
()
()2cos 1cos sin sin ln sin sin x
x y x x x x x x ??
'=+-????
17
．设arctan x y t t
??=?=-??，确定()y y x =，
求22d y
dx
。 解：（1）
221221111t t dy dy t dt t dx dx dt +-+=== (2)()2
222
11dy t d y dy t dt
dx t dx dx t dt t '
''+====
+ 18． 设11x y x
-=+，求()
n y
解：（1）变形，122
111x y x x
--+==-+++
（2）()()2
211y x -'=-+
()()()3
2121y x -''=--+
()()()4
2121y x -'''=--+??
()n
y ()()
1
21!1n n n x --=-+
19． 设()y y x =
由方程()
()22
0F x y F x y y +++-=所确
定，其中F 可导，且
()()12,(4)1,022F F y ''===，求0x dy
dx
=∣
解：（1）()
()22
22F x y x yy ''+?+
()()10F x y y y '''+++-=
（2）当0x =时，2y = （3）()[][]44(0)(2)1(0)F y F y ''''?++ (0)0y '-=
[]1
4(0)1(0)(0)02
y y y '''+
+-=
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3
【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(
Chap1 数列的极限 1. 设()01,2, n x n >=及lim n n x a →∞ =,用N ε-语言, 证明 : n =. 证 0n x >, 0a ∴≥. (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 下证0n =. 0ε?>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<. ε<, 0ε<. 0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε?>, 存在 0N >, 当n N >时 , n x a -<. ε= < <. n ∴= 综上两方面 ,即证. 2. 已知lim n n x a →∞ =, 用N ε-语言, 证明 : n =. 证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时, 2n x ε< ; ε<, 此即0n ==. (2) 当 a ≠时, 因 为 2 2 2 2 2 3 3 04 4 +=+ ≥>. 令2 3 4 M = , lim n n x a →∞ =, 则对0ε?>,存在0N >, 当n N >时,有 n x a M ε-<.
2 2 n x a -= 1 n x a M M M εε-≤, 存在10N >, 使当1n N >时, 有 2 n x a ε -<. ① ( ) 1112111 n N N n x x x a x a x a x a x a n n +++ +-≤ -++-+-+ +- 令1 11N c x a x a =-++-, 那么 1212 n x x x n N c a n n n ε++ +--≤ +? . ② 存在20N >, 使当2n N >时, 有2 c n ε <. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有 1212 222 n x x x n N a n n ε εεε ε++ +--< + ?<+=. 12lim lim n n n n x x x a n ξ→∞→∞ ++ ∴==.
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
高等数学 一、选择题（共 191 小题，） 1、 下列函数中为奇函数的是 ； ； ； 答（ ） ()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+== --2 2 4 22 π 2、 [][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ） x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22 3、 关于函数的单调性的正确判断是 当时，单调增；当时，单调减； 当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。 答（ ） y x A x y x B x y x C x y x x y x D x y x x y x =- ≠=-≠=-<=->=-<=- >=- 1010101010101()()()() 4、 答（ ） ；； ； 的是 下列函数中为非奇函数 7 373)( 1arccos )()1lg()( 1 2 12)(2 2 2 2 +--++= +=++ =+-= x x x x y D x x x y C x x y B y A x x 5、
函数 是 奇函数； 偶函数； 非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ） f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 6、 f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是 有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ） 7、 设，，，则此函数是 周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。 答（ ） f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤?????3 3 0ππ 8、 设，，，则此函数是 奇函数； 偶函数；有界函数； 周期函数。 答（ ） f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤?????3330 02 9、 f x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333 23 2 在其定义域，上是 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为 的周期函数； 非周期函数。 答（ ） πππ 10、 f x x x A B C D ()cos()()()()()()= ++-∞+∞212 在定义域，上是 有界函数； 周期函数；奇函数； 偶函数。 答（ ）
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n =
解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?==
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在
例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0 )sin 1(sin lim n n n -+∞ →求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 设 其中、为常数，，求的表达式； 确定，之值，使，． f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos() ()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121 1 21 021211π π 求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n x x x x x f ---+∞→++=12lim )( ． ，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞ →=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x x x x x n n ()lim ()()=+++++++????? ?→∞-11122221 ．，求，其中设n n k n k k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1
【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在
②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：
17年高考数学一轮复习数列的极限知识点 极限是微积分中的基础概念，下面是整理的数列的极限知识点，希望考生可以认真学习。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极
限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解. e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然
第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x
2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1） 教学目标： 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点： 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点： 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计：“五步”教学法 教学用具：三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构，构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--；解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）