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重庆大学自动化课程设计

课程设计指导教师评定成绩表

项目分

优秀

(100>x≥90)

良好

(90>x≥80)

中等

(80>x≥

70)

及格

(70>x≥60)

不及格

(x<60)

分参考标准参考标准参考标准参考标准参考标准

学习态度15

学习态度认

真,科学作风

严谨,严格保

证设计时间并

按任务书中规

定的进度开展

各项工作

学习态度比较

认真,科学作

风良好,能按

期圆满完成任

务书规定的任

学习态度

尚好,遵守

组织纪律,

基本保证

设计时间,

按期完成

各项工作

学习态度尚

可,能遵守组

织纪律,能按

期完成任务

学习马虎,

纪律涣散,

工作作风

不严谨,不

能保证设

计时间和

进度

技术水平

与实际能力25

设计合理、理

论分析与计算

正确,实验数

据准确,有很

强的实际动手

能力、经济分

析能力和计算

机应用能力,

文献查阅能力

强、引用合理、

调查调研非常

合理、可信

设计合理、理

论分析与计算

正确,实验数

据比较准确,

有较强的实际

动手能力、经

济分析能力和

计算机应用能

力,文献引用、

调查调研比较

合理、可信

设计合理,

理论分析

与计算基

本正确,实

验数据比

较准确,有

一定的实

际动手能

力,主要文

献引用、调

查调研比

较可信

设计基本合

理,理论分析

与计算无大

错,实验数据

无大错

设计不合

理,理论分

析与计算

有原则错

误,实验数

据不可靠,

实际动手

能力差,文

献引用、调

查调研有

较大的问

创新10 有重大改进或

独特见解,有

一定实用价值

有较大改进或

新颖的见解,

实用性尚可

有一定改

进或新的

见解

有一定见解观念陈旧

论文(计算

书、图纸)撰写质量50

结构严谨,逻

辑性强,层次

清晰,语言准

确,文字流畅,

完全符合规范

化要求,书写

工整或用计算

机打印成文;

图纸非常工

整、清晰

结构合理,符

合逻辑,文章

层次分明,语

言准确,文字

流畅,符合规

范化要求,书

写工整或用计

算机打印成

文;图纸工整、

清晰

结构合理,

层次较为

分明,文理

通顺,基本

达到规范

化要求,书

写比较工

整;图纸比

较工整、清

结构基本合

理,逻辑基本

清楚,文字尚

通顺,勉强达

到规范化要

求;图纸比较

工整

内容空泛,

结构混乱,

文字表达

不清,错别

字较多,达

不到规范

化要求;图

纸不工整

或不清晰

指导教师评定成绩:

指导教师签名:年月日

重庆大学本科学生课程设计任务书

课程设计题目

倒立摆系统的控制器设计

学院 自动化学院

专业 自动化

年级

已知参数和设计要求: M :小车质量 1.096kg m :摆杆质量 0.109kg b :小车摩擦系数 0.1N/sec l :摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I :摆杆惯量 0.0034kgm 2

利用根轨迹法设计控制器,使得校正后系统的性能指标满足: 调整时间误差带)

%(.250s t s = 最大超调量%10%≤p σ

利用频率特性法设计控制器,使得校正后系统的性能指标满足: (1)系统的静态位置误差常数为10; (2)相位裕量为 50?;

(3)增益裕量等于或大于10 分贝。

设计或调整PID 控制器参数,使得校正后系统的性能指标满足:

调整时间误差带)%2(2s t s = 最大超调量%15

%≤p σ

学生应完成的工作:

1、利用设计指示书中推导的模型及任务书中的实际参数,建立小车倒立摆的实际数学模型。

2、进行开环系统的时域分析。

3、利用根轨迹法设计控制器,进行闭环系统的仿真分析。

4、利用频域法设计控制器,进行闭环系统的仿真分析。

5、设计PID控制器,进行闭环系统的仿真分析。

6、所设计的控制器在倒立摆系统上的实时控制实验。

7、完成课程设计报告。

参考资料:

1、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,2005

2、固高科技有限公司. 倒立摆与自动控制原理实验,2005

3、固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册,2005

4、Matlab/Simulink相关资料

5、涂植英,陈今润. 自动控制原理. 重庆:重庆大学出版社,2005

6、胡寿松. 自动控制原理. 北京:科学出版社,2001

7、Katsuhiko Ogata.现代控制工程. 北京:电子工业出版社,2003

课程设计的工作计划:

1、布置课程设计任务;参考相关资料,消化课程设计内容,进行初步设计(3天);

2、按课程设计的要求进行详细设计(4天);

3、进行实时控制实验,并按课程设计的规范要求撰写设计报告(2天);

4、课程设计答辩,实时控制验证(1天)。

任务下达日期 2011 年 12 月 12 日完成日期 2011 年 12 月23 日

指导教师(签名)学生(签名)

倒立摆的自动控制原理课程设计

1摘要

倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台,它在机器人技术、控制理论、计算机控制等自动控制领域,对多种技术的进行了有机结合。它具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性,在经典控制理论学习理解以及现代科技方面,诸如半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行等有广泛的应用。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制。通过本次简单的倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法,非常直观,简便。它可以在轻松的氛围下提高学生学习热情,充分调动学生积极性,达到理论与实践的有机统一,更好的学习知识!同时在设计的过程中多次用到了matlab中的simulink模块,可以让我们更好的学习计算机在控制系统中的巨大作用,更好的学习自动控制知识。

倒立摆已经扩展出很多种类,典型的有直线倒立摆,环形倒立摆,平面倒立摆和复合倒立摆等,倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置。对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

本文是基于固高倒立摆系统已经建立好的传递函数,根据参数要求,通过根轨迹分析和频域分析等控制算法设计控制器,并通过实际检测,最后得到参数要求的控制器并且倒立后能承受一定的干扰。

关键字:倒立摆,根轨迹,频域,校正

2 正文

2.1 倒立摆数学模型的建立

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成,是最常见的倒立摆之一,直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件,直线运动模块有一个自由度,小车可以沿导轨水平运动,在小车上装载不同的摆体组件。

系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模。对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。

本文用机理建模的方法求取小车的传递函数(设实验环境器材等均处于理想状态)如图:

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?M 小车质量1.096 Kg

?m 摆杆质量0.109 Kg

? b 小车摩擦系数0.1N/m/sec

?l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m

?I 摆杆惯量0.0034 kg·m2

? F 加在小车上的力

?x 小车位

?φ摆杆与垂直向上方向的夹角

?θ摆杆与垂直向下方向的夹角图1 直线一级倒立摆模型

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N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂

直方向的分量

图2 小车及摆杆受力分析

小车水平方向的合力:M

x F b xN =-- (2.1)

摆杆水平方向的合力:()2

2s i n d x l N m

d t θ+= (2.2)

化简得:2

c o s s i n N m x m l m l θθθθ

=+- (2.3)

水平方向的运动方程:()2

2s i n d x l N m

d t θ+= (2.4)

对摆杆垂直方向上的受力进行分析,可得垂直方向的运动方程:

()2

2c o s d l P m g m

d t θ-= (2.5)

即:2

s i n c o s P m g m l m l θθθθ-=-- (2.6)

力矩平衡方程如下:

s i n c o s P l N l I θθθ--= (2.7)

合并式(6)和(7).,消去P 和N 得到第二个运动方程:

()2

s i n c o s Im l m g l m l x θθθ++=- (2.8)

设θπφ=+,假设φ与1(单位均是)相比很小,即1φ<<,则可以进行如下近似:

2

c o s 1,s i n ,0

d

d t θθθφ??=-=-= ??? (2.9)

用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下:

()()2I m

l m g l m lx M m x b x m l u φφφ?+-=??

++-=?? (2.10)

假设φ、x 和它们的各阶导数的初始值均为零。对上式进行拉普拉斯变换,得到:

()()()()()()()()()222

22

I m l s s m g l s m l X s s M m X s s b X s sm l s s U S ?+Φ-Φ=??++-Φ=??

(2.11)

由于角度φ为输出量,求解方程组的第一个方程,可以得到摆杆角度和小车位移的传递函数:

()()()2

22

s m l s

X s I m l s m g l

Φ=+- (2.12) 如果令v x =,则摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:

()()()22

s m l

V s I m

l s m g l Φ=+- (2.13)

把上式代入方程组的第二个方程,得到:

22

22

2

()()()()()()()I m l g I m l g M m s s b s s m l s sU s m l s m l s ????+++-Φ++Φ-Φ=????????

(2.14)

整理后得到式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数:

2

2432()()()()m l s

s q

bI m l M m m g l b m g l Us s s s s

q q q Φ=

+++--

带入实际参数:

M =1.096Kg m =0.109Kg b =0.1N/m/sec l =0.25m

I =0.0034 kg·m2

最后得到的最终表达式:

1) 摆杆角度和小车位移的传递函数:

2

2

()0.02725()0.01021250.26705s s

Xs s Φ=- (2.16)

2) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:

2

()0.02725

()0.01021250.26705s V s s Φ=- (2.17)

3) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:

32

()2.35655()0.088316727.91692.30942s s

U s s s s Φ=+-- (2.18)

4) 小车位置和加速度的传递函数

2

()1

()X s V s s = (2.19)

3 未校正前系统的时域分析

本系统采用以小车的加速度作为系统的输入,摆杆角度为输出响应,此时的传递函数为

26705.00102125.002725

.0)()()(2

22-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s (3.1)

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图3.1摆杆角度的单位阶跃响应曲线图

采用以小车的加速度作为系统的输入,小车位置为响应,则此时的传递函数为

2

()1

()X s V s s = (3.)

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图3.2小车位置的单位阶跃响应曲线图

由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的,说明系统不稳定,需加控制器进行校正

4 根轨迹校正

4.1 原系统的根轨迹分析

以小车的加速度为系统输入,摆杆角度为输出。前面已得到系统传递函数为:

26705.00102125.002725.0)()()(222-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s (4.1)

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4.1 原系统根轨迹曲线图

其中:z = 0,0 p = 5.1136,-5.1136

可以很直观地看出,系统有两个零点,有两个极点,并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图 3-6,可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面,并且有一条根轨迹起始于该极点,并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处,这意味着无论增益如何变化,这条根轨迹总是位于右半平面,即系统不稳定。

4.2串连超前系统的设计 设计后的参数要求: 调整时间:

0.5(2%)

s t s =

最大超调量: 4.2.1确定闭环期望极点的位置

由最大超调量 2(/1)10%p e ζζπ

σ--=≤ (4.2)

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4.2 闭环主导极点所在的极坐标图

在此我们对超调量留有一定余量,令 %6%=p δ 可以得到:8379.0=ζ

由cos ζθ=可以得到:5806.0=θ (弧度)

其中θ为位于第二象限的极点和O 点的连线与实轴负方向的夹角。 又由:4

0.5s n

t s

?ω=

其中β为位于第二象限的极点和O 点的连线与实轴负方向的夹角。

%10

%≤p

σ

又由:4

0.5s n

t s ?ω=

对调节时间留有一定余量,令4

0.5s n

t s ?ω=

≤ (±2%的误差带)

取其为0.3s ,可以得到:9299.15=n ω,于是可以得到期望的闭环主导极点为:

(c o s s i n)n

j ωθθ-+

代入数据后,可得期望的闭环主导极点为:13.3589±j8.6760 4.2.2 超前校正传递函数设计

未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上,不通过闭环期望极点,因此需要对系统进行超前校正,设控制器为:

1()(1)

1c c

s

z T s K s T s s p α

αα++==≤++ (4.3) 4.2.3 校正参数计算

计算超前校正装置应提供的相角,已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为:

(4.4)

7898.41

-=--=∑=i i i s p s G d

因此校正装置提供的相角为:

6498.1)7898.4(14.3=---=φ (4.5) 又已知5806.0=θ

对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到:

5456.0)(2

1=--=θφπγ (4.6)

j ω

S

错误!未找到引用源。 γ

θ σ

p Z

c

Z

图4.3直线一级倒立摆根轨迹计算图

由于角度都已求出,线段SO 的长度即为自然频率的大小,故可用正弦定理计算,求出超前校正装置的零点和极点(正弦定理) 分别为:

8758.69-=P Z

7885.13-=C Z (计算程序见附录4)

4.2.4 超前校正控制器 校正后系统的开环传递函数为:

()8758

.69)

7885.13(*

26705.00102125.002725.02++-=

s s K s s G (4.7) 由幅值条件()()1d d G s H s =,并设反馈为单位反馈,所以有2598.797=K 对相应参数保留五位有效值,于是我们得到了系统的控制器:

8758.69)

7885.13(2598.797)(++=

s s s G c (4.8) 4.2.5 matlab 环境下串联超前校正后的根轨迹图

对系统进行仿真,运行即可以得到以上的计算结果,校正后系统的跟轨迹如下图所示:

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图4.4 串联超前校正后系统的根轨迹图

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图4.5 串联超前校正simulink流程图

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图4.6 串联超前校正后的阶跃响应曲线

(为便于观察,阶跃信号设置了1s 的延时)

小结:在课程设计期间,根轨迹法由于时间较紧,而且看放到计算量很大,我们有没有数学软件,很复杂。算到一半就没算了。然后只是用试探的方法,以为只要仿真达到参数指标就可以了,得到的一组数据仿真效果非常好。但是在实际应用于倒立摆时就不行了,可以立起来,但是不稳定,会向左右摆,然后就倒了。经仔细分析得到原因:我们没有对小车在轴上的运动的距离进行控制,导致它不稳定。

5倒立摆系统频域分析

系统对正弦输入信号的响应,称为频率响应。在频率响应方法中,在一定范围内改变输入信号的频率,研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析,一种为伯德图,伯德图采用两幅分离的图来表示,一幅表示幅频特性,一幅表示相频特性;一种是奈奎斯特图,表示的是当ω从0 变化到无穷大时,向量G( j ω) 的矢端轨迹。奈奎斯稳

定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息,研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。

根据以上所建模型我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型,实际系统的开环传递函数为:

()()2

0.02725

(5.1)

.01021250.26705s V s s Φ=-

其中输入为小车的加速度()V S ,输出为摆杆的角速度(

)S φ。

在MATLAB下绘制系统的Bode图和Nyquist图如下所示。计算出开环传递函数的零极点分别为:

z = Empty matrix: 0-by-1

p =5.1136 -5.1136

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图5.1 直线一级倒立摆的bode图

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图5.2 直线一级倒立摆的Nyquist图

由上述计算结果可以知系统没有零点,但存在两个极点,其中一个极点位于右半S

平面。根据奈奎斯特稳定判据,闭环系统稳定的充分必要条件是:当ω由-∞→+∞变化

时, ()()G j ωH j ω曲线逆时针包围[]G H 平面上()-1,j0点的次数R 等于开环传递函数右

极点个数P 。对于直线一级倒立摆,由图7我们可以看出,开环传递函数在S 右半平面有一个极点。因此,()()G j ωH j ω曲线逆时针包围()-1,j0点的次数R =1。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围()-1,j0点一圈即1R ≠。因此系统不稳定,需要设计控制器来稳定系统。

6 频域法校正

6.1频域法控制器设计

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题:

考虑一个单位负反馈系统,其开环传递函数为(5.1)式所示,则可以设计控制器()c G s ,使得系统的静态位置误差常数为10,相位裕量为50,增益裕量等于或大于10d B 。 6.1.1控制器的选择

根据图7可以初步观察出,给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求,设超前校正装置为:

1()1c Ts

G s Ts

α+=

+ (6. 1) 则已校正系统具有开环传递函数()()c G s G s ,

()()12

0.027250.0102125-0.26705K

G s K G s s ?== (6. 2)

6.1.2系统开环增益的计算

根据稳态误差要求计算增益K

20010.02725l i m ()()l i m 1010.01021250.26705

p c s s T s KG s G s K T s s α

→→+==?=+- (6. 3)

可以得到: 98K = 于是有:

1()2

0.0272598

0.010215-0.26705

s G s ?= (6 .4)

6.1.3画bode 图和Nyquist 图

用MATLAB 画出()1G s 的Bode 图和Nyquist 图,如下所示

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图6.1 直线一级倒立摆加增益校正后的bode 图

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图6.2 直线一级倒立摆加增益校正后的Nyquist 图

可以看出,系统的相位裕量为0,根据设计要求,系统的相位裕量为50?,因此需要增加的相位裕量为50?,增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲线,这时增益交界

频率会向右移动,必须对增益交界频率增加所造成的()G j ω的相位滞后增量进行补偿。因此,假设需要的最大相位超前量近似为53o。

6.1.4计算α和T 求解校正装置

由αα

φ+-=

11sin m (6.5)

计算可以得到α值:

1110.0=α

确定了衰减系统,就可以确定超前校正装置的转角频率T 1=

ω和T

αω1=,可以看到,最大相位超前角m φ发生在两个转角频率的几何中心线上,由于包含(Ts+1)/(αTs+1)项,所以幅值变化为:

α

αωωαω1

111

=

++=

T

T j T

j

得到

dB 0756.111110

.011

==

α

并且-11.0756dB 对应于ω = 29.3rad/s ,选择此频率做c ω,相当于c ω=T

α1

得到:3477.71

==c T ωα

9870.791

=T

α

于是矫正装置确定为:9870

.793477

.7)(++=s s K s G c

c ,Kc=900.0019

6.1.6 matlab 下作校正后系统的Bode 图和Nyquist 图

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