2014高考数学知识点题型测试7
从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．
1． 平面向量中的五个基本概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a
|a |.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ?a 2b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4． 平面向量的三个性质
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a 2a ＝x 2
＋y 2
. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →
|＝x 2－x 12
＋y 2－y 12
.
(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，
则cos θ＝a 2b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
.
考点一 平面向量的概念及线性运算
例1 (1)(20132江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →
＝
λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB →
上的投影为
( )
A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3 答案 (1)1
2
(2)A
解析 (1)如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →
)
＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝1
2.
(2)由OA →＋AB →＋AC →
＝0， 得AB →＋AC →＝AO →.
又O 为△ABC 外接圆的圆心，OB ＝OC ， ∴四边形ABOC 为菱形，AO ⊥BC . 由|OA →|＝|AB →
|＝2， 知△AOC 为等边三角形．
故CA →在CB →上的投影为|CA →
|cos∠ACB ＝2cos π6
＝ 3.
(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．
(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合． (1)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m 的值为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(2)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →
的夹角为120°，
OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 答案 (1)B (2)6
解析 (1)∵MA →＋MB →＋MC →
＝0，∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →
，∴m ＝3.
(2)方法一 如图，OC →＝OB →1＋OA →1，|OB →1|＝2，|OA →1|＝|B 1C →
|＝4，
∴OC →＝4OA →＋2OB →. ∴λ＋μ＝6.
方法二 由OC →＝λOA →＋μOB →，两边同乘OC →，得OC →2＝λOA →2OC →
＋0，∴λ＝4. ∴OC →＝4OA →＋μOB →，两边同乘OA →， 得OC →2OA →＝4＋μOA →2OB →， 即3＝4＋(－1
2)μ.∴μ＝2.
∴λ＋μ＝6.
方法三 以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，
则A (1,0)，C (23cos 30°，23sin 30°)，B (cos 120°，sin 120°)． 即A (1,0)，C (3，3)，B (－12，3
2
)．
由OC →＝λOA →＋μOB →
得，???
??
λ－1
2
μ＝3，
32μ＝
3.
∴?
??
??
μ＝2
λ＝4.∴λ＋μ＝6.
考点二 平面向量的数量积
例2 (1)(20122江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为
BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →2AF →＝2，则AE →2BF →
的值是________．
(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a2b ＝0，(a －c )2(b －c )≤0，则|a ＋b
－c |的最大值为
( )
A.2－1 B ．1 C. 2
D ．2
答案 (1) 2 (2)B 解析 (1)方法一 坐标法．
以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则
A (0,0)，
B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．
故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →
＝(2，1)，
BF →
＝(x －2，2)，
∴AB →2AF →
＝(2，0)2 (x,2)＝2x . 又AB →2AF →
＝2，∴x ＝1. ∴BF →
＝(1－2，2)．
∴AE →2BF →
＝(2，1)2(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →
是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.
AB →2AF →＝AB →2(AD →＋DF →) ＝AB →2(AD →＋xAB →)＝xAB →2
＝2x ， 又∵AB →2AF →
＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝
22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋? ??
??22－1AB →. ∴AE →2BF →＝(AB →＋BE →
)2??????BC →＋? ????22－1AB →
＝? ????AB →＋12BC →????
??BC →＋? ????22－1AB →
＝? ??
??22－1AB →2＋12BC →2
＝?
??
??
22－132＋1234＝ 2.
(2)方法一 由题意知a 2
＝b 2
＝c 2
＝1， 又a 2b ＝0，
∵(a －c )2(b －c )＝a 2b －a 2c －b 2c ＋c 2
≤0， ∴a 2c ＋b 2c ≥c 2
＝1，
∴|a ＋b －c |2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋2a 2b －2a 2c －2b 2c ＝3－2(a 2c ＋b 2c )≤1， ∴|a ＋b －c |≤1.
方法二 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，
则x 2
＋y 2
＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )， 则(a －c )2(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y ) ＝x 2
＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1.
又a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， ∴|a ＋b －c |＝1－x 2
＋1－y 2
＝x －12
＋y －12
＝3－2x ＋y ≤1.
(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．
求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
(1)(20132山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →
＋AC →
，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为________．
(2)(20132重庆)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA
→
|的取值范围是
( )
A.? ??
??0，52
B.? ????5
2
，72 C.?
????
52，2
D.?
??
??
72，2 答案 (1)7
12
(2)D
解析 (1)由AP →⊥BC →知AP →2BC →
＝0， 即AP →2BC →＝(λAB →＋AC →)2(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →2AC →－λA B →2＋AC →2
＝(λ－1)33323? ??
??－12－λ39＋4＝0， 解得λ＝7
12.
(2)∵AB 1→⊥AB 2→，
∴AB 1→2AB 2→＝(OB 1→－OA →)2(OB 2→－OA →) ＝OB 1→2OB 2→－OB 1→2OA →－OA →2OB 2→＋OA →2
＝0， ∴OB 1→2OB 2→－OB 1→2OA →－OA →2OB 2→＝－OA →2.
∵AP →＝AB 1→＋AB 2→.
∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→
|＝1，
∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→2OB 2→－OB 1→2OA →－OB 2→2OA →) ＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2
，
∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，
∴74 2，2. 考点三 平面向量与三角函数的综合应用 例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋ 2cos α)，其中0<α (1)若α＝π 4，求函数f (x )＝b 2c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π 3 ，且a ⊥c ，求tan 2α的值． (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值． (2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )， c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π 4 ， ∴f (x )＝b 2c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ? ?? ? ?π4 则2sin x cos x ＝t 2 －1，且－1 ＋2t －1＝? ????t ＋222－3 2 ，－1 22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22 ， ∵ π4 4 π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12 . ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π 3 ， ∴cos π3＝a 2b |a |2|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α 3 . ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ? ????2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－3 5 . 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 已知向量a ＝? ????sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2 x －sin 2x 的值； (2)设函数f (x )＝2(a ＋b )2b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝ 63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π 3 ])的取值范围． 解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－3 4. ∴cos 2 x －sin 2x ＝cos 2 x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2 x ＝8 5 . (2)f (x )＝2(a ＋b )2b ＝2sin ? ????2x ＋π4＋32， ∴f (x )＋4cos ? ????2A ＋π6＝2sin ? ????2x ＋π4－12， ∵x ∈[0，π3]，∴2x ＋π4∈[π4，11π 12]． ∴ 32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12 . 1． 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表 示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA → (其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量． 2． 根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对 角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直． 3． 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 4． 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向 量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系. 1． 已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC → ＝ －2OA →＋λOB → (λ∈R )，则λ等于 ( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 C 解析 根据∠AOC ＝120°， 可知点C 在射线y ＝－3x (x <0)上，设C (a ，－3a )， 则有(a ，－3a )＝(－2,0)＋(λ，3λ)＝(－2＋λ，3λ)， 即得a ＝－2＋λ，－3a ＝3λ，消去a ，得λ＝1. 2． 函数y ＝tan(π4x －π 2)(0 点， 过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)2OA → ＝ ______. 答案 8 解析 A 点坐标为(2,0)，即OA → ＝(2,0)， 由y ＝tan(π4x －π 2)的图象的对称性知A 是BC 的中点． ∴OB →＋OC →＝2OA → ， ∴(OB →＋OC →)2OA →＝2OA →2OA →＝23|OA →|2 ＝8. 3． 在△ABC 中，向量m ＝(2cos B,1)，向量n ＝(1－sin B ，－1＋sin 2B )，且满足|m ＋n | ＝|m －n |. (1)求角B 的大小； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围． 解 (1)由|m ＋n |＝|m －n |，可知m ⊥n ?m 2n ＝0. 然而m ＝(2cos B,1)，n ＝(1－sin B ，－1＋sin 2B )， 所以有m 2n ＝2cos B －sin 2B －1＋sin 2B ＝2cos B －1＝0， 得cos B ＝1 2 ，从而B ＝60°. (2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(120°－A )＝32sin A ＋3 2cos A ＝3sin(A ＋30°)． 又0° 2 3 2 2 ，3]． 一、选择题 1． 下列命题中正确的是 ( ) A ．若λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0 B ．若a 2b ＝0，则a ∥b C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a | D ．若a ⊥b ，则a 2b ＝(a 2b )2 答案 D 解析 根据平面向量基本定理，必须在a ，b 不共线的情况下，若λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0；选项B 显然错误；若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |或－|a |，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a ⊥b ?a 2b ＝0，(a 2b )2 ＝0. 2． (20122四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | 答案 C 解析 利用向量的相等与共线知识解决． a |a |表示与a 同向的单位向量， b |b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a | ＝ b |b | ，观察选择项易知C 满足题意． 3． (20132湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD → 方向上的 投影为 ( ) A.32 2 B.3152 C. －322 D ．－3152 答案 A 解析 AB →＝(2,1)，CD → ＝(5,5)， ∴AB →在CD → 方向上的投影为AB →2CD → |CD →|＝235＋13552＋52 ＝ 15 52＝32 2. 4． (20132福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C 解析 ∵AC →2BD → ＝0， ∴AC ⊥BD . ∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝1 2 35325＝5. 5． (20132湖南)已知a ，b 是单位向量，a 2b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取 值范围是 ( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2] 答案 A 解析 ∵a 2b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2 ＝c 2 －2c 2(a ＋b )＋2a 2b ＋a 2 ＋b 2 ＝1， ∴2c 2(a ＋b )＝c 2＋1. ∵|a |＝|b |＝1且a 2b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2 ＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0 ＋1≤22|c |， ∴c 2 －22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1. 6． 若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC → ，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D. 925 答案 C 解析 设AB 的中点为D ， 由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →， 即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD →＝35 CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比为3 5. 二、填空题 7． (20132安徽)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为 ________． 答案 －1 3 解析 由已知条件得a 2 ＝(a ＋2b )2 ，即a 2b ＝－|b |2 ， cos 〈a ，b 〉＝a 2b |a ||b |＝－1 3 . 8． (20132北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ ＝________. 答案 4 解析 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ?(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λ μ ＝4. 9． 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB → ，它们的夹角为90°.如图所示， 点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB → ，其中x 、y ∈R ， 则x ＋y 的最大值是________． 答案 2 解析 设∠AOC ＝α，则∠COB ＝90°－α， ∴OC →＝cos α2OA →＋sin α2OB → ，即? ?? ?? x ＝cos αy ＝sin α. ∴x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ? ????α＋π4≤ 2. 10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →2BC → ＝1，则BC ＝________. 答案 3 解析 ∵AB →2BC → ＝1，且AB ＝2， ∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC → |cos B ＝－1. 在△ABC 中，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB 3BC 2cos B ， 即9＝4＋BC 2 －23(－1)． ∴BC ＝ 3. 三、解答题 11．(20132江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ； (2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． (1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2 ＋(sin α－sin β)2 ＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a 2b ＝0，因此a ⊥b . (2)解 由已知条件??? ?? cos α＋cos β＝0sin α＋sin β＝1 ， 又0<β<α<π， cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， sin α＝12，α＝π6或α＝5π 6， 当α＝π6时，β＝5π 6(舍去) 当α＝5π6时，β＝π 6 . 12．(20122湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ， 23cos ωx )，设函数f (x )＝a 2b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ 为常数，且ω∈? ?? ??12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点? ????π4，0，求函数f (x )在区间? ?????0，3π5上的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝sin 2 ωx －cos 2 ωx ＋23sin ωx 2cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ? ????2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ? ????2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋1 3(k ∈Z )． 又ω∈? ?? ??12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 故T ＝2π2ω＝65 π. 所以f (x )的最小正周期是6π 5 . (2)由y ＝f (x )的图象过点? ????π4，0，得f ? ?? ??π4＝0， 即λ＝－2sin ? ?? ??563π2－π6＝－2sin π4＝－ 2. 故f (x )＝2sin ? ????53 x －π6－ 2. 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π 6， 所以－12≤sin ? ????53 x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ? ????53 x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在? ?????0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝ ? ?? ??cos 2A 2，cos 2A ，且m2n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 的形状． 解 (1)由m ＝(4，－1)，n ＝? ?? ??cos 2 A 2，cos 2A ， 得m2n ＝4cos 2 A 2－cos 2A ＝421＋cos A 2－(2cos 2 A －1) ＝－2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝72，