解线性方程组的迭代法
Haha
送给需要的学弟学妹
摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法
目录：
一、问题背景介绍
二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理
1、Gauss 消去法求解原理
2、Jacobi 迭代法求解原理
3、G-S 迭代法求解原理
4、SOR 迭代法求解原理
5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程
（一）Hilbert 矩阵维数n=6时
1、Gauss 消去法求解
2、Jacobi 迭代法求解
3、G-S 迭代法求解
4、SOR 迭代法求解
（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时
1、G-S 迭代法求解图形
2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果
1、Gauss 消去法误差分析
2、G-S 迭代法误差分析
3、SOR 迭代法误差分析
G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会
正文：
一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？
二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，
,,1
(), , ,1,2,
,1
i j n n i j H h h i j n i j ?==
=+-
这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
三、求解模型的数学原理。 1、Gauss 消去法求解原理
对于Ax b =（A 非奇异）求解时，可以先将A 分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，即A LU =，就可以通过
, ,Ly b Ux y == (1.1) 求解出x 的值。
接下来就具体讲讲如何将A 分解成L 和U ，也就是Gauss 消去法。
欲把一个给定的矩阵A 分解为一个下三角阵L 与一个上三角阵U 的乘积，最自然的做法便是通过一系列的初等变换，逐步将A 约化为一个上三角阵，而又能保证这些变换的乘积是一个下三角阵。这可归结为：对于一个任意给定的向量,n x R ∈找一个尽可能简单的下三角阵，使x 经这一矩阵作用之后的第1k +至第n 个分量均为零。能够完成这一任务的最简单的下三角阵便是如下形式的初等下三角阵： ,T
k k k L I l e =-
其中 ()1,0,
,0,,
,,T
k k k nk l l l +=
即
1,,111
1k k k n k
L l l +??
??????=?
?-??????-???
?
这种类型的初等下三角阵称作Gauss 变换，而称向量k l 为Gauss 向量。
对于一个给定的向量()1,
,,T
n n x x x R =∈我们有
()111,,
,,,
,.T
k k k k k k n k nk L x x x x x l x x l ++=--
由此立即可知，只要取 , 1,,,i
ik k
x l i k n x =
=+ 便有
()1,
,,0,
,0.T
k k L x x x =
当然，这里我们要求0.k x ≠
而后经过多次变换可以得到
11,n n L L L A U -=
(1.2)
从而求出上三角阵U ，而后通过
()1
1, n n LA U L L L L -==
求得下三角阵
1.L UA -=
(1.3)
将(1.2)和(1.3)带入到(1.1)式中求出x 的值即可。
2、J 迭代法求解原理
考虑非奇异线性代数方程组 .Ax b =
令 ,A D L U =--
(1.4)
其中
()1122, ,,
,,ij nn A a D diag a a a ??==??
21313212,1000
,0n n n n a a a L a a a -????-??
??--=??????---??
1213
12321,00,00n n n n a a a a a U a ----????--?
??
?=??
-?
?????
那么(1.4)式和Ax b =合并后可以写成
,x Bx g =+
其中
()11, .B D L U g D b --=+= (1.5)
若给定初始向量
()()
()
(
)
000012,,
,,T
n
x x x x = 并代入(1.4)式右边，又可得到一个向量2x ；一次类推，有
1, 1,2,
.k k x Bx g k -=+=
(1.6)
这就是所谓的Jacobi 迭代法，其中B 叫做Jacobi 迭代法的迭代矩阵，g 叫做Jacobi 迭代法的常数项。
3、GS 迭代法求解原理
注意到Jacobi 迭代法中各分量的计算顺序是没有关系的，先算那个分量都一样。现在，假设不按Jacobi 迭代格式，而是在计算k x 的第一个分量用1k x -的各个分量计算，但当计算k x 的第二个分量()2k x 时，因()
1k x 已经算出，用它代替()
11k x -，其他分量仍用()
1k i
x -。类似地，计算()k l x 时，因()
()11,
,k k
l x x -都已算出，用它们
代替()
()11
11,
,,k k l x x ---其他分量仍用1k x -的分量，于是有
111, 1,2,.k k k x D Lx D Ux g k ---=++=
(1.7)
我们称这种迭代格式为Gauss-Seidel 迭代法，简称为G-S 迭代法。它的一个明显的好处是在编写程序是存储量减少了。如果()1
D L --存在，G-S 迭代法可以改写成
()()11
1.k k x D L Ux D L b ---=-+-
(1.8)
我们把()1
1L D L U -=-叫做G-S 迭代法的迭代矩阵，而把()1
D L b --叫做G-S 迭代法的常数项。
4、SOR 迭代法求解原理
我们知道，G-S 迭代法的迭代格式为
11111.k k k x D Lx D Ux D b ---++=++
现在令1,k k x x x +?=-则有
1.k k x x x +=+?
(1.9) 这就是说，对G-S 迭代法来说，1k x +可以看作在向量k x 上加上修正项x ?而得到的。若修正项的前面加上一个参数ω，便得到松弛迭代法的迭代格式
()()11
1
1
11,
k k k k k x x x
x D Lx D Ux D b ωω+---+=+?=-+++ (1.10)
用分量形式表示即为
()()()
()
()111111,i n k k k k i i ij j ij j i j j i x x b x b x g ωω-++==+??=-+++ ???
∑∑
(1.11) 其中ω叫做松弛因子。当1ω>时，相应的迭代法叫做超松弛迭代法；当1ω<时，叫做低松弛迭代法；当1ω=时，就是G-S 迭代法。我们把超松弛迭代法简称为SOR 迭代法。
因为(
)
1
1
I D L ω---存在，所以(1.10)式可以改写为
()1
1,k k x L x D L b ωωω-+=+-
其中
()()1
1L D L D U ωωωω-=--+????
叫做松弛迭代法矩阵。
而SOR 迭代法收敛的充要条件是
() 1.L ωρ<
(1.12) 由(1.12)式知，SOR 迭代法的谱半径依赖于ω，当然会问：能否适当选取ω使收敛速度最快？这就是选择最佳松弛因子的问题。
经过相关计算可知，随着ω从0增加，()L ωρ减少，直至
() opt B ωω==
为Jacobi 迭代矩阵
(1.13)
时，()L ωρ达到极小
()
opt L ωρ=
(1.14)
ω再增加时，()L ωρ开始增加。因此，opt ω称为最佳松弛因子。
5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件
Jacobi 迭代法和G-S 迭代法两种迭代法有一个共同的特点，那就是新的近似解k x 是已知近似解-1k x 的线性函数，并且只与-1k x 有关，即它们都可以表示成如下形式：
-1.k k x Mx g =+
(1.15)
事实上，对Jacobi 迭代法，有
()11, .M D L U g D b --=+=
对G-S 迭代法，有
()()1
1
, .M D L U g D L b --=-=-
故要求出上述两个迭代法中k x 有确定的解，且与-1k x 相对误差较小，就必须说明k x 用上述两种迭代法
求解时收敛。下面就给出关于上述两种迭代法收敛的证明原理
解方程组的单步线性定常迭代法(1.15)收敛的充分必要条件是其迭代矩阵M 的谱半径小于1，即
() 1.M ρ<
(1.16)
从上述的(1.16)可知，迭代序列收敛取决于迭代矩阵的谱半径，而与初始向量的选取和常数项无关。
四、计算过程。
方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，
,,1
(), , ,1,2,
,1
i j n n i j H h h i j n i j ?==
=+-
（一）求解Hx b =，我们暂时选择系数矩阵H 的维数6n =，所以
111111234567111111345678,111111456789111111567891011111167891011H ????
??
????
=?
???
????
??
????????
令x 的各分量都为1,，即
()111111,T
x =
根据Hx b =得
2.4501.5931.218.0.9960.8460.737b Hx ????????
==??????????
而后我们接下来就用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种迭代法求解
1
1111123456111111 2.450234567 1.593111111 1.2183456781111110.9964567890.8461111110.737567891011111167891011x ?
???
??
??
????
????
??
??????=????????
????
????????
????????
(1.17)
的解x 。
1、Gauss 消去法求解
因为
11111123456711111134567811111145678911111156789101111116
7891011H ????
??
????
=?
???
????
??
????????
所以由(1.2)式知H 分解的上三角矩阵
33
33
4
445
5610.5
0.3330.250.20.167
0.0830.0830.0750.0670.065.556108.333109.524109.92110,3.571107.143109.921102.26810 5.669101.43210U ----------??
????
??
????=??????
???
????
??
?
由(1.3)式求出H 的下三角矩阵
1
10.510.33311,0.250.9 1.510.20.8 1.714210.1670.714 1.786 2.778 2.51L A U -????????==??????????
再通过(1.1)求出x 的值
13562.450.3680.033,2.063107.937101.43210y L b ----?
???????
=?=??
???????????
1
1.0001.0001.000.1.0001.0001.000x U y -????????=?=??????????
所以
()1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000.T
x =
2、Jacobi 迭代法求解
将系数矩阵H 用(1.4)方法分解成
111111,,,,,,357911D diag ??
= ???
010211
034,111
0456111105678111110678910L ??????-????--????=??---????
??
----??????-----????
111110234561111045671110.6781108910100U ??-----????
??
----????
??
---=??????
--?
???
-??
?????
?
所以由(1.5)式知
()1111110234563331302452755555034678.77777
04
568999999056781011111111110678910B D L U -?
?-----??????-----??????-----??
=+=????
-----????
-----???
???
-----????
(1.18)
在用Jacobi 迭代法求解前，我们先计算迭代矩阵B 的谱半径，
B 的特征值为
4.3090.380.932,0.99711λ-????????=????????
??
所以
()()1 4.309 1 1 6.i B max i ρλ==>∈
(1.19)
由(1.16)知迭代矩阵B 发散，所以无法用Jacobi 迭代法解x 的值。
3、G-S 迭代法求解
由(1.8)式知
()1
100.50.3330.250.20.16700.750.250.2250.2
0.17900.1040.8680.1350.1310.124,
00.0530.0790.910.0920.09100.0310.0520.0630.9320.070
0.019
0.0360.0460.0520.945L D L U g ------????----??
??
----=-=?
?----????
----??
----??
()1
2.451.1040.626,
0.4060.2830.207D L b -????????=-?=??????????
通过计算得迭代矩阵1L 的特征值为
00.4951130.916133,0.994820.999850.999998λ????????=??????????
所以
()()110.999998 1 1 6.i L max i ρλ==<∈
由(1.16)式知迭代矩阵1L 收敛。
令初始值
()0000000,T
x =
将其代入(1.8)式中，直到 ()
5
110, 0,1,2,
k k max x x k ---<=
得
()0.999 1.0130.954 1.037 1.0300.966,T
k x =
此时k x 即为Hx b =的解。
4、SOR 迭代法求解
根据(1.18)和(1.19)知
() 4.309,B ρ=
(1.20)
再代入(1.13)式，得
0.1080.452,i ω=
=-
因为ω为一个虚数，从而说明其最佳松弛因子不存在，故取=1.5.ω 所以
()()1
1-0.5
-0.750.50.3750.30.251.125 1.18800.0560.0750.08-0.859-0.3520.750.2070.1810.162=0.454
0.0900.9650.0510.058-0.290.1210.0960.090.9140.0830.1420.0230.0130.03
0.0390.L D L D U ωωωω-=--+????
-------------------956??
???
????
?
????
?
?
??
，
其特征值为
0.0531830.3306360.896308,0.9916140.9997770.999995λ????????=??????????
故L ω的谱半径为
()0.9999951L ωρ=<
由(1.12)知SOR 迭代法收敛。
令初始值
()0000000,T
x =
将其代入(1.10)式中，直到 ()
5110, 0,1,2,
k k max x x k ---<=
得
()0.999 1.0080.973 1.023 1.0120.984,T
k x =
此时k x 即为Hx b =的解。
（二）现在逐步增大问题的维数，因为由（一）可知，四种方法只能有Gauss 消去法、G-S 迭代法和SOR 迭代法求解Hx b =，故下面只列出这三种求解方法。 1、当n=20时， ○
1Gauss 消去法 通过计算知道，此时上三角矩阵U 的第十八行全部变成0了，从而导致结果无法计算，故此方法无法求解Hx b =。
因为n=20时，Gauss 消去法求解无法算出结果，故以下计算不用此方法了。
○2G-S迭代法
○3SOR迭代法
x
2、当n=50时
○1G-S迭代法：
x3i
○2SOR迭代法
x
3、当n=100时
○1G-S迭代法：
x3i
○
2SOR 迭代法： x
五、编写计算程序。 （一）
n 6:= A 0:= X 0:=
H A ()A i j
,1i j +1
+←
j 0n 1-..∈for i 0n 1-..∈for A
:=
X X ():=
A H A ():= X1X X ():= b A X1
?:= H A ()11213
141516
12131415161713141516171814151617181
915161718191
10
161
71819110111?
???
??
????????????=
b 2.1.1.0.0.0.?
?=
1、Gauss 消去法求解
G auss A ()L1identityn ()
←L 0
←L
i i
,1
←i 0n 1-..∈for L
j k
,A
j k
,A
k k
,-
←j k 1+n 1
-..∈for A L A ?←L1L L1?←k 0n 2-..∈for M 0
L1
1
-←M 1
A
←⊕M :=
M Gauss A ():= L M 0:=
U M 1
:=
L 1
0.50.3330.250.20.1670110.90.80.7140011.51.7141.786000122.778000012.5
00000
1?
????
??
???
=
U 1000000.5
0.083000
0.3330.0835.556103-?0000.250.0758.333103-?3.571104-?000.20.0679.52410
3-?7.143104
-?2.268105
-?00.167
0.06
9.921103-?9.921104
-?5.669105
-?1.432106-??
??
?????
??
?
?=
y L 1
-b ?:= y 2.450.3680.0332.06
3103-?7.937105-?1.432106-?? ???
??
??????= x1U 1-y
?:= x1 1.0001.0001.0001.0001.0001.000? ?????????=
2、Jacobi 迭代法求解
J_G A ()D 0←L 0←⊕U 0
←⊕D i j
,A i j
,←L i j ,0←U i j
,0
←i
j
if L
i j ,A i j
,-←i j >if U
i j
,A
i j
,-←i j
D ←M 1 L ←⊕M 2 U ←⊕M := M J_G A ():= D1M 0 := L1M 1 := U1M 2:= D 110000000.3330000000.20000000.1430000000.1110000000.091? ?????????= L10 0.5-0.333-0.25-0.2-0.167-000.25-0.2-0.167-0.143-0000.167-0.143-0.125-00000.125-0.111-000 000.1-00000 0? ???? ??? ??= U 10000000.5-00000 0.333-0.25-00000.25-0.2-0.167-0000.2-0.167-0.143-0.125-000.167-0.143-0.125-0.111-0.1-0? ???????? ?= B1D11-L1U1+():= B101.5-1.667-1.75-1.8-1.833-0.5-01.25-1.4-1.5-1.571-0.333-0.75-01.167-1.286-1.375-0.25-0.6-0.833-01.125-1.222-0.2-0.5-0.714-0.875-01.1 -0.167-0.429-0.625-0.778-0.9-0? ?? ?????? ?= λ1eigenvalsB1():= λ14.309-0.380.9320.99711? ?????????= max λ1→?() 4.309= 3、G-S 迭代法求解 部分程序在上面2（Jacobi 迭代法求解）的里面 B2D1L1-()1-U1 ?:= B20000000.5-0.750.104-0.053-0.031-0.019-0.333-0.25-0.8680.079-0.052-0.036-0.25-0.225-0.135-0.910.063-0.046-0.2-0.2-0.131-0.092-0.9320.052-0.167-0.179-0.124-0.091-0.07-0.945? ?????????= λ2eigenvalsB2():= λ200.4951130.916133 0.994820.999850.999998 ? ?????????= max λ2→?()0.999998 = G _S D 1L1,U 1,()B D 1L1-() 1 -U 1?←g D 1L1-() 1 -b ←⊕x 0?? b 0 ?←ε1←A 0 ←⊕k 0←k k 1+←x k ??B x k 1-???g +←A x k ??x k 1-??-←εmax A → ?() ←ε10 5 ->w hile M 0x k ?? ←M 1 ε←⊕M 2 k ←⊕M := M G_S D1L1,U1,():= x3M 0:= εM 1:= k M 2:= x30.9991.0130.9541.0371.030.966? ?? ? ??????= ε9.995106-?= k 997= 4、SOR 迭代法求解 部分程序在上面2（Jacobi 迭代法求解）的里面 B D11-L1U1+()?:= B 0 1.5-1.667-1.75-1.8-1.833-0.5-01.25-1.4-1.5-1.571-0.333-0.75-01.167-1.286-1.375-0.25-0.6-0.833-01.125-1.222-0.2-0.5-0.714-0.875-01.1-0.167-0.429-0.625-0.778 -0.9-0? ????????? = λeigenvalsB ():= λ4.309-0.380.9320.99711? ?? ??????? = ρmax λ→?():= ρ4.309 = ω1211ρ 2 -+ := ω10.1080.452i -= ω 1.5 := B1D1ωL1?-()1-1ω-()D1ωU1?+??? ??:= B10.5-1.1250.859-0.4540.29-0.1420.75-1.1880.352-0.090.121-0.0230.5-00.7500.096-0.013-0.375-0.056-0.207-0.9650.09-0.03-0.3-0.075-0.181-0.051-0.9140.039-0.25-0.08-0.162-0.058-0.083-0.956? ?? ??????? = λ1eigenvalsB1():= λ10.0531830.3306360.8963080.9916140.9997770.999995 ? ?????????= ρ1max λ1→ ?():= ρ10.999995 = G _S D 1L1,U 1,()B D 1ωL1?-()1 -1ω-()D 1ωU 1?+??? ??←g ωD 1ωL1?-()1 -b ←⊕x 0?? b 0 ?←ε1←A 0←⊕k 0←k k 1 +←x k ??B x k 1-???g +←A x k ??x k 1-??-←εmax A → ?() ←ε10 5 ->w hile M 0x k ?? ←M 1 ε←⊕M 2 k ←⊕M := M G_S D1L1,U1,():= x M 0:= εM 1 := k M 2:= 迭代法求解线性方程组的研究 【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi 迭代法，Gauss-seidel 迭代法，SOR 迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB 在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。 【关键字】:Jacobi 迭代法 Gauss-seidel 迭代法 SOR 迭代法 数值实验 一． 引言 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重 要方法。 迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。 设有方程组 b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x k k +=+)() 1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量) 0(x ，由式③可求得向量序列 ∞0)(}{k x ，若*) (lim x x k k =∞ →，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性质。 本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi 迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel 迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR 迭代法及其数值实验，第五部分总结。 二． 雅克比（Jacobi ）迭代法 1. 雅克比迭代法的格式 设有方程组 ),,3,2,1(1 n i b x a j j n j ij ==∑= …① 矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式 )(1 1 1j n j j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …② 取初始向量),,,() 0()0(2)0(1) 0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(11 1)() 1(∑≠=++-=n j j i k j ij ii k i b x a a x …③ 也可记为矩阵形式： J x J k F B x k +==) () 1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，式中 ???? ? ? ? ??=nn a a a D 2211， ?? ? ?? ?? ? ??=--00 00121323121nn n n a a a a a a L ， ?? ? ??? ? ? ? ?=--00 00122311312n n n n a a a a a a D 。 则方程Ax=b 变为 b x U L D =--)( 得 b x U L Dx ++=)( 于是 b D x U L D x 1 1 )(--++= 实验五 解线性方程组的迭代法 【实验内容】 对1、设线性方程组 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??-=???????????????? ?????????????????? ? ?--------------------------211938134632312513682438100412029137264 2212341791110161035243120 536217758683233761624491131512 013012312240010563568 0000121324 10987654321x x x x x x x x x x ()T x 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--= 2、设对称正定系数阵线性方程组 ?? ? ????? ??? ? ? ??---=????????????? ??????????????? ??---------------------4515229 23206019243360021411035204111443343104221812334161 2065381141402312122 00240424 87654321x x x x x x x x ()T x 2,0,1,1,2,0,1,1*--= 3、三对角形线性方程组 ?? ? ?? ? ????? ??? ? ? ??----=???????????????? ?????????????????? ??------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000 14100000000 1410987654321x x x x x x x x x x ()T x 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---= 试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。 【实验方法或步骤】 1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法加以比较； 2、分别对不同精度要求，如54310,10,10---=ε由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。 程序： 用雅可比方法求的程序： function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; 解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵 第五章 解线性方程组的迭代法 本章主要内容： 迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。 教学目的及要求： 使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。 教学重点： 雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。 教学难点： 迭代法基本定理的证明以及作用。 教学方法及手段： 应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。 在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。 教学时间： 本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。 教学内容： 一 迭代法定义 对于给定的线性方程组x Bx f =+，设它有唯一解*x ，则 **x Bx f =+ (6.1) 又设(0)x 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列 (1)(),0,1,2,k k x Bx f k +=+=L (6.2) 这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B 与f 与k 无关）。如果() lim k k x →∞ 存在 （记为*x ），称此迭代法收敛，显然*x 就是方程组的解，否则称此迭代法发散。 迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列() {} k x 是否收敛。为此，我们引入误差向量 (1)(1)*k k x x ε++=- 将(6.2)式与(6.1)式相减，我们可得 (1)*()*()k k x x B x x +-=- (1)(),0,1,2,k k B k εε+==L 递推下去，得 ()(1)2(2)(0)k k k k B B x B x εε--====L 线性方程组的迭代法及程序实现 学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文 题目线性方程组的迭代法及程序实现 学生姓名 专业班级 学号 系 (部)数理科学系 指导教师职称 完成时间 2012年5月20日河南工程学院 毕业设计(论文)任务书 题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容: 通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。 二、基本要求: 学会编写规范论文,独立自主完成。 运用所学知识发现问题并分析、解决。 3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。 4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。 完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名: 年月日 目录 中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ) 1 综述 1 2 经典迭代法概述 3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法 4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法 5 2.5 收敛性分析5 2. 6 数值试验 6 3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19 求解线性方程组——超松弛迭代法 #include cout<<"输入松弛因子w (1 作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束 程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d) 程序结果（1） （2） Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if i 线性方程组的迭代求解 摘要 迭代法是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行。迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组 本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR 迭代法，并且介绍了软件JA V A在这方面的应用。 关键词： Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；计算 SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS OF ITERATION WITH THE EXPERIMENTAL ABSTRACT Iteration is a kind of method to solve questions by step-by-step approximation. When we are getting the solution of linear equations by using iteration, the coefficient matrix is always staying the same in computation process. Computer could operate fastly so that it is suitable for operating again and again. Iteration is easy to operate to solve the large matrix equations by using a calculate method called circulation. This summary understanding of linear equations three kind of iteration, Jacobi iteration, Gauss-Seidel iteration, successive over relaxation method ,and introduce modern software JA V A in this respect. Key words:Jacobi iteration; Gauss-Seidel iteration; Successive Over Relaxation method ; calculating 实验三：用SOR 迭代法求解线性方程组 ?????? ? ??=??????? ????????? ??----------74.012.018.168.072.012.006.016.012.001.103.014.006.003.088.001.016.014.001.076.04321x x x x 取初始点T x )0,0,0,0()0(=，松弛因子05.1=ω，精度要求610-=ε。 1，建立SOR.m 函数文件，此函数文件可调用，程序源码如下： function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin==4 eps= 1.0e-6;%精度要求 M = 200; elseif nargin<4 error; return elseif nargin ==5 M = 200; end if(w<=0 || w>=2) error; return; end D=diag(diag(A)); %求A 的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A 的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A 的上三角阵 B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2，输入矩阵。并根据要求调用函数，运行结果如下图所示： 即经过7次迭代算出结果，且求得： 1.27151.28440.48581.2843x ?? ? ?= ? ??? 第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到 由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。 在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式 Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时，用最新分量 ) 1(1 +k x ， ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x ， ???) (2 k x ) (1 -k i x ，可以起 到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 第六章线性方程组的迭代解法 2015年12月27日17:12 迭代法是目前求解大规模稀疏线性方程组的主要方法之一。包括定常迭代法和不定常迭代法，定常迭代法的迭代矩阵通常保持不变，包括有雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）、超松弛迭代法（SOR） 1.雅可比迭代法（Jacobi） A表示线性方程组的系数矩阵，D表示A的主对角部分，L表示下三角部分，U表示上三角部分。 A=D+L+U 要解的方程变为Dx+Lx+Ux=b x=D^(-1)（b-（L+U）x） 所以Jocabi方法如下： Matlab程序 function [x,iter] =jacobi(A,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); x=zeros(size(b)); for iter=1:500 x=D\(b+L*x+U*x); error=norm(b-A*x)/norm(b); if(error 迭代法解线性方程组作业 沈欢00986096 北京大学工学院，北京100871 2011年10月12日 摘要 由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b，分析系数矩阵A，并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀 疏对称矩阵。于是，在matlaB中，使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再 按照.mm文件中的描述，分别对第i行、第j列的元素赋对应的值，就生成了系数矩阵A，并 将A存为.mat文件以便之后应用。 由于右端项是全为1的列向量，所以由语句”b=ones(900,1)”生成。 得到了矩阵A后，求其行列式，使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大，matlaB无法显示。由此证明，矩阵A可逆，线性方程组 Ax=b 有唯一解。 接着，判断A矩阵是否是对称矩阵(其实，这步是没有必要的，因为A矩阵本身是对称矩阵，是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵，那么 A?A T=0 。于是，令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示： B ∞=0,所以，B是零矩阵，也就是：A是对称矩阵。 然后，求A的三个条件数： Cond(A)= A ? A?1 所求结果是，对应于1范数的条件数为：377.2334;对应于2范数的条件数为：194.5739;对应 于3范数的条件数为：377.2334; 1 从以上结果我们看出，A是可逆矩阵，但是A的条件数很大，所以，Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以，我们可以用迭代方法来求解该线性方程组，但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示： 图1:Jacobi迭代方法程序流程图 在上述流程中，取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3，需要误差满足： error= x k+1?x k x k+1 数值分析实验五 班级： 10信计二班 学号：59 姓名：王志桃 分数： 一．实验名称 高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 二．实验目的 1. 学会利用高斯赛德尔方法解线性方程组 2. 明白迭代法的原理 3. 对于大型稀疏矩阵方程组适用于迭代法比较简单 三．实验内容 利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组 ?????=++=-+=+-36123633111420238321 321321x x x x x x x x x ， 其中取→=0)0(x 。 四、算法描述 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量)1(+k i x 时，用最新分量)1(1+k x ，???+)1(2k x )1(1-+k i x 代替旧分量)(1k x ，???)(2k x )(1-k i x ，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， )(11111)()1( ) 1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者写为 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++)(1)210i 210(1111)( )1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 五、 编码 #include 数值分析实验报告 0 a 12 K a 1,n 1 K a 2,n 1 U O M 则有： 第一步： Jacobi 迭代法 a 1n a 2n M , 则有： A D L U a n 1,n Ax b A A x D b L U (D L U)x b Dx (L U)x b x D (L U)x D b 令 J D (L U) 则称 J 为雅克比迭代矩阵 f D b 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 x (k 1) Jx (k) f ,k 0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel 迭代法 Ax b (D L U )x b (D L)x Ux b x (D L) Ux (D L) b A D L U a 11 a 12 L a 1n a 11 A a 21 a 22 L a 2n a 22 M MM MO a n1 a n2 L a nn a 11 得到 D a 22 O a nn 由 a 21 0 M M O a n 1,1 a n 1,2 L 0 a nn a n1 a n2 L a n,n a 21 L M M O a n 1,1 a n 1,2 L a n1 a n2 L a n,n 1 a 12 K a 1,n 1 a 1n 0 K a 2,n 1 a 2n O M M a n 1,n 10 令 G (D L) U ，则称G 为Gauss-Seidel 迭代矩阵 f (D L) b 由此可得 Gauss-Seidel 迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 第三步 SOR 迭代法 w0 AD L U 1 ( D 1 wL ((1 w)D wU )) (D 1 wL) ((1 w)D wU ) w w w 令M w 1 (D wL), N 1 ((1 w)D wU )则有：A MN w w Ax b AM L W N M (M N )x b Mx Nx b x M Nx M b N M, 令W f Mb 带入 N 的值可有 L W ((1 w)D wU) (D wL) 1((1 w)D wU) (D wL) f 1 b w 1(D wL) 1b 1 (D wL) w 称 L W 为 SOR 迭代矩阵，由此可得 SOR 迭代的迭代格式如下： x (0) ,初始向量 二、算法程序 Jacobi 迭代法的 M 文件： function [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps) %************************************************* %函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % b 常数项 % x0 估计解向量 x (k 1) Gx (k) f ,k 0,1,2,L (k 1) f,k 0,1,2,L 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪 费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量) 1(+k i x 时， 用最新分量) 1(1 +k x ，???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量)(1k x ，???) (2 k x ) (1-k i x ，可以起到节省存储 空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 )()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+)()1( 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， )(1111 1 )() 1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)() 1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的C语言源代码：#include ptr2->link=ptr1; ptr2=ptr1; } } j++; } if(ptr2!=NULL){ ptr2->link=NULL; ptr2=NULL; } if(Rhead!=NULL){ p1=(struct Line*)malloc(sizeof(Line)); if(p1==NULL){ printf("内存分配错误!\n"); exit(1); } p1->L=i; p1->head=Rhead; if(p2==NULL){ Lhead=p1; p2=p1; } else{ p2->next=p1; p2=p1; } } i++; Rhead=NULL; j=1; } if(p2!=NULL) p2->next=NULL; return Lhead; } struct Line *Change(struct Line*Lhead,int n){ struct Line*p1,*p2,*p3,*p; struct Row*ptr; int i=1,k,j; float max,t; if(Lhead==NULL){ printf("链表为空!\n"); 数值分析方法中方程求解的直接法和迭代法 第3章 解线性方程组的直接法 一、 消元法 1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ??? (1)(1)(1)(1)(1)11 121311(2)(2)(2)(2)222322 (3)(3)(3)3333()()000 00 n n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ?? ? ? ? ? ? ?? ? 步骤如下： 第一步：1 11 1,2,,i a i i n a -? +=第行第行 11121121222212 n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ??? 111211(2)(2)(2)2222 (2)(2)(2)2 00n n n nn n a a a b a a b a a b ?? ? ? ? ??? 第二步：(2)2 (2)222,3, ,i a i i n a -?+=第行第行 111211(2)(2)(2)2222 (2)(2)(2)200n n n nn n a a a b a a b a a b ?? ? ? ? ?? ? 111213 11 (2)(2)(2)(2) 222322 (3)(3)(3) 33 33(3)(3)(3) 3 00000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ?? ? ? ? ? ? ?? ? 类似的做下去，我们有： 第k 步：() ()k ,1, ,k ik k kk a i i k n a -?+=+第行第行。 n －1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为： 线性方程组的直接法 直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。 线性方程组迭代法 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。 1. 线性方程组的直接法 直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。 1.1 Cramer 法则 Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。 定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D D x x x D D D ===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。 Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。 2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组 1231231 2311x x x a ax x x x x ax ++=??++=??++=?有唯一解。 解：2111111 11011(1)11001 A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。 定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。 定理3齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。 1.2 Gauss 消元法 Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。 1.2.1 用Gauss 消元法为线性方程组求解 eg ：Gauss 消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制： ()()()123283211223x y z L x y z L x y z L +-=??--+=-??-++=-? 这个算法的原理是：首先，要将1L 以下的等式中的x 消除，然后再将2L 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。 在刚才的例子中，我们将132 L 和2L 相加，就可以将2L 中的x 消除了。迭代法求解线性方程组的研究
常微分方程的解线性方程组的迭代法
MATLAB代码 解线性方程组的迭代法
第六章解线性方程组的迭代法
线性方程组的迭代法及程序实现
求解线性方程组——超松弛迭代法(c)
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
线性方程组的迭代求解java
SOR迭代法求解线性方程组
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
线性方程组的迭代解法(Matlab)
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高斯-赛德尔迭代法解线性方程组精选.
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